圓中最值問題

1、與圓有關(guān)的最值（取值范圍）問題引例1:【2012年武漢市中考】在坐標系中，點A的坐標為（3 , 0），點B為y軸正半軸上的一點，點 C是第象限內(nèi)一點，且 AC=2設tan / BOC=m貝U m的取值范圍是 .引例2 :【2013年武漢市元月調(diào)考試題】如圖，在邊長為 1的等邊 OAB中，以邊AB為直徑作O D,以O為圓 心OA長為半徑作O O,C為半圓弧AB上的一個動點（不與A、B兩點重合），射線AC交O O于點E, BC=a , AC=b，求a b的最大值引例3:【2013年武漢市四月調(diào)考試題】如圖，/ BAC=60，半徑長為1的圓O與/ BAC的兩邊相切，P為圓O上一動點，以P為圓心,PA

2、長為半徑的圓P交射線AB AC于D E兩點，連接DE貝懺段DE長度的最大值為（）.A . 3 B . 63.31BkyCOAx一、題目分析：此題是一個圓中的動點問題，也是圓中的最值問題， 主要考察了圓內(nèi)的基礎知識、基本技能和基本思維方法，注重了初、高中知識的銜接1 .引例1:通過隱藏圓（高中軌跡的定義），尋找動點C與兩個定點 O A構(gòu)成夾角的變化規(guī)律，轉(zhuǎn)化為 特殊位置（相切）進行線段、角度有關(guān)計算，同時對三角函數(shù)值的變化（增減性）進行了延伸考查，其實質(zhì)是高中“直線斜率”的直接運用；2 .引例2:通過圓的基本性質(zhì)，尋找動點C與兩個定點A、B構(gòu)成三角形的不變條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化，其實質(zhì)是

3、高中“柯西不等式”的直接運用；3.弓側(cè)3:本例動點的個數(shù)由引例 1、引例2中的一個動點，增加為三個動點，從性質(zhì)運用、構(gòu)圖形式、 動點關(guān)聯(lián)上增加了題目的難度， 解答中還是注意動點 D、E與一個定點A構(gòu)成三角形的不變條件 （/ DAE=60 ）, 構(gòu)造弦DE、直徑所在的直角三角形，從而轉(zhuǎn)化為弦DE與半徑AP之間的數(shù)量關(guān)系，其實質(zhì)是高中“ 正弦定理”的直接運用；綜合比較、回顧這三個問題，知識本身的難度并不大，但其難點在于學生不知道轉(zhuǎn)化的套路，只能憑直觀感覺去尋找、猜想關(guān)鍵位置來求解，但對其真正的幾何原理卻無法通透二、解題策略1 .直觀感覺，畫出圖形；2 .特殊位置，比較結(jié)果；3 .理性分析動點過程中

4、所維系的不變條件，通過幾何構(gòu)建，尋找動量與定量（常量）之間的關(guān)系，建立等式，進行轉(zhuǎn)化.【2013年武漢市中考】 如圖，E、F是正方形 ABCD勺邊AD上兩個動點，滿足 AE DF,連接CF交 BD于點G,連接BE交AG于點H,若正方形的邊長為2,則線段DH長度的最小值是 【2014年武漢市四月調(diào)考試題】如圖，P為的O O內(nèi)的一個定點，A為O O上的一個動點，射線 AP、AO分別與O O交于B、C兩點.若O O的半徑長為3, OP = 3，則弦BC的最大值為A. 2 3 .B . 3.C.6 .D. 3,2 .【2014年武漢市元月調(diào)考試題】.如圖，扇形AOD中，/ AOD = 90, OA =

5、 6,點P為弧AD上任意一點（不 與點A和D重合），PQ丄OD于Q,點IOPQ的內(nèi)心，過 0,1和D三點的圓的半徑為 r 貝U當點P在弧AD上運動時，r的值滿足（ ）A. 0 r 3B. r 3C . 3 r 3. 2D . r 3.2三、中考展望與題型訓練 方法一、找出與圓的最近點、最遠點（極端位置）1 .如圖，在 Rt ABC中，/ ACB=90 , AC=4, BC=3,點D是平面內(nèi)的一個動點，且 AD=2 M為BD的中 點，在D點運動過程中，線段 CM長度的取值范圍是2.如圖，O O的直徑為4, C為O O上一個定點，/ ABC=30，動點P從A點出發(fā)沿半圓弧 Ab向B點運動（點P與點

6、C在直徑AB的異側(cè)），當P點到達B點時運動停止，在運動過程中，過點C作CP的垂線CD交PB的延長線于D點.在點P的運動過程中，線段CD長度的取值范圍為方法二、正弦定理如圖， ABC 中，/ BAC=60，/ ABC=45 ,CBOPBC上的一個動點，以 AD為直徑作OOAB=2 . 2 , D是線段方法三、柯西不等式在平面直角坐標系中，以坐標原點0為圓心，2為半徑畫O 0, P是O 0上一動點，且 P在第一象限內(nèi),過點P作O 0的切線與x軸相交于點A,與y軸相交于點B,線段AB長度的最小值是.方法四、利用函數(shù)求最值如圖，已知半徑為2的OO與直線I相切于點A,點P是直徑AB左側(cè)半圓上的動點，過點

7、P作直線I的垂線，垂足為 C, PC與OO交于點D,連接PA PB,設PC的長為x PD?CD勺值最大，且最大值是為時,方法五、借助對稱求最值如圖，已知，OO的直徑CD為4,點A在O0上，/ ACD=30 , B為弧AD的中點，P為直徑CD上一動點，求BP+AP的最小值【題型訓練】1如圖，已知直線 I與O 0相離，0ALI于點A 0A=5 0A與O 0相交于點P,AB與O 0相切于點B, BP的延長線交直線I于點C，若在O 0上存在點Q,(2v x V 4)，則當 x=3使厶QAC是以AC為底邊的等腰三角形，則O 0的半徑r的取值范圍為 .2.如圖，O M O N的半徑分別為 2cm, 4cm

8、,圓心距MN=10cm P為O M上的任意一點，Q為O N上的任意一點,直線PQ與連心線I所夾的銳角度數(shù)為，當P、3Q在兩圓上任意運動時，tan34的最大值為（）.(D)3.如圖，在 Rt ABC中，/ C=90,Q,則線段PQ長度的最小值是（A.理B . 2445AC=8).BC=6經(jīng)過點C且與邊AB相切的動圓與CA CB分別相交于點P、D .4.2(3題)(4題)ACD和等邊 BCE O 0外接于 CDE5.如圖，線段AB=4, C為線段AB上的一個動點,以AC BC為邊作等邊4.如圖，在等腰 Rt ABC中，/ C=90, AC=BC=4 D是AB的中點，點E在AB邊上運動（點 E不與點

9、A重合），線段EF長度的最小值為過A、D、E三點作O O, O0交AC于另一點F,在此運動變化的過程中,則O 0半徑的最小值為（）.A.4 B. 2 3 C. 3 2 326.如圖，A、B兩點的坐標分別為（2 , I一個動點，線段 DA與y軸交于點D. 2C.0）、（0 , 2） , O C的圓心的坐標為（-1 丘，則厶ABE面積的最小值是（2 二2,0），半徑為1,若D是O C上的).7.如圖，已知一個動點,A. 3A、B兩點的坐標分別為射線AD與y軸交于點113& 如圖/ BAC= 60O P交射線AB，半徑長AC于 D、9、如圖，已知線段0A交OO求/ OAP的最大值。10、如圖，ABF

10、分別是AC、BXZ艮D(zhuǎn).(7題)（-2 , 0）、（0 , 1） , O C的圓心坐標為 丘，則厶ABE面積的最大值是（）.103(0 ,-1)（8題），半徑為1, D是OC上的1的O O與/ BAC的兩邊相切，P為O O上一動點，以E兩點，連接DE則線段DE長度的范圍為 .于點B,且0B= AB,點P是OO上的一個動點,P為圓心，PA長為半徑的是O O的一條弦，點C是O O上一動點，且/ ACB=30。，點E、 BC的中點，直線EF與O O交于G、H兩點，Rt AOB 中，OA=OB=3 J習，O O 的半徑為 111、如圖，在切線PQ （點Q為切點），求PQ的最小值12、在平面直角坐標系

11、xOy中，以原點0為圓心的圓過點 A （13, y=kx - 3k+4與O O交于B、C兩點，求弦BC的長的最小值。y13、設AB是。0的動切線，與通過圓心 0而互相垂直的 兩直線相交于A、B,O 0的半徑為r，求O曲OB的最小值14、如圖，圓O與正方形ABCD勺兩邊AB AD相切，E與圓AB=7求DE的最大值15、如圖，在。O上有定點C和動點P,位于直徑AB的異側(cè),過點C作CP的垂線，與PB的延長線交于點Q,已知： O半徑為二聞/ ABC=，求 CQ的最大值16、在平面直角坐標系xOy中，已知點A (6, 0)， 點B (0，6)，動點C在以半徑為3的。0上，連接OC過O點作ODLOC OD與OO相交于點D (其中點C、 時針方向排列)，連接AB.ACBC,當點C在OO上運動時, 的面積的最大值.1117、如圖所示，已知 A(,yj , B(2, y2)為反比例函數(shù)y圖像上的兩點,2x動點P（x,O）在x正半軸上運動，當線段 AP與線段BP之差達到最大時，點 P的坐標是（1A.（護）2C.（3，）218、如圖，定長弦B.(1,0)5（,0）2CD在以AB為直徑的。O上滑動（點C、D與點A B不重合），M是CD的中點,D.過點C作CP!AB于點P,