《流體力學(xué)》(柱坐標(biāo)系和求坐標(biāo)系下)連續(xù)方程推導(dǎo)的巧方法

1、流體力學(xué)連續(xù)方程推導(dǎo)的巧方法 施春華，高慶九，李忠賢 （南京信息工程大學(xué)大氣科學(xué)學(xué)院，江蘇南京210044） 摘要:針對(duì)柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系下流體力學(xué)中連續(xù)方程形式復(fù)雜、理解不便的特點(diǎn) 采用歐拉控制體方法，把“質(zhì)量通量”整體作為一物理量，從而巧妙地推導(dǎo)了這兩類連續(xù) 方程,該過程物理意義明確、數(shù)學(xué)算法簡(jiǎn)單，有助于學(xué)生理解。 關(guān)鍵詞：連續(xù)方程；柱坐標(biāo)系；球坐標(biāo)系 在大學(xué)流體力學(xué)教學(xué)中，連續(xù)方程是最基本的內(nèi)容之一，在很多相關(guān)專業(yè)課程中得到 廣泛應(yīng)用。相對(duì)而言，在直角坐標(biāo)系中的連續(xù)方程形式簡(jiǎn)單，也易于理解，但在柱坐標(biāo)系和球坐 標(biāo)系中，連續(xù)方程的形式卻相對(duì)復(fù)雜，理解相對(duì)困難。目前，很多參考書123 對(duì)于后

2、兩類連續(xù)方程要么沒有給出具體推導(dǎo)，要么推導(dǎo)過程較為復(fù)雜，使數(shù)理基礎(chǔ)較薄弱的學(xué) 生難以理解，在此，筆者結(jié)合教學(xué)中的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，演示柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系下一種物理意義明 確、數(shù)學(xué)理解簡(jiǎn)單的連續(xù)方程的推導(dǎo)過程。 1連續(xù)方程的一般算子形式 流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)方程，是表示流體運(yùn)動(dòng)和其質(zhì)量分布的關(guān)系式。在拉格朗日方法中，某流體塊 在運(yùn)動(dòng)時(shí)其體積和形狀盡管可發(fā)生變化，但它始終由這些流點(diǎn)構(gòu)成，因此它的質(zhì)量不變。 由此可見，連續(xù)方程實(shí)質(zhì)上是質(zhì)量守恒定律在“連續(xù)介質(zhì)” （流體）中的應(yīng)用。一般的拉格朗日方法考慮，某個(gè)別流體微團(tuán)（質(zhì)量體）在運(yùn)動(dòng)過程中，其隨體密 度的變化，必然與其體積變化趨勢(shì)相反 ，如體積膨脹，它的密度減小，

3、體積收縮，則密度增大。其 算子形式的通用表達(dá)式1 亨-PVV 山（1） 一般的歐拉方法考慮，對(duì)于某固定位置的空間單位體積元（控制體）來說,該體積元內(nèi)單位時(shí)間 的質(zhì)量變化，與該體積元邊界上的質(zhì)量通量變化相聯(lián)系，如質(zhì)量往外流，它的密度減小，反之 則增大。其算子形式的通用表達(dá)式 1 兩種方法的區(qū)別：拉格朗日方法多從物理量的定義出發(fā) ，模型簡(jiǎn)單容易理解，但數(shù)學(xué)解析在實(shí) 際應(yīng)用中有些困難；歐拉方法則通過適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)建模后 ，能在數(shù)學(xué)上給出方便的解析，有利于 從數(shù)學(xué)角度更好地理解概念。 在直角坐標(biāo)系中，通過建立三維空間微元控制體（圖略，很多教科書都詳細(xì)給出，且易于理解）， 很容易得到（2）式在三維直角坐標(biāo)系

4、下連續(xù)性微分方程的一般表達(dá)式 2柱坐標(biāo)系歐拉連續(xù)方程 基于柱坐標(biāo)系把“質(zhì)量通量”整體作為一物理量的考慮，物理意義明確，數(shù)學(xué)理解簡(jiǎn)單的 歐拉連續(xù)方程的推導(dǎo)見圖 1。 囹1柱坐標(biāo)系體和元AE5CDEFQH 如圖1所示，柱坐標(biāo)系體積?？刂企w ABCDEFGH徑向方向r,圓周切向方向B ，垂直方向 乙 徑向速度Vr,圓周切向速度 VB,垂直速度w,則徑向線微元AB表達(dá)為dr,切向線微元AD表達(dá)為 rd 0 ,垂直微元 GC為dz,體積微元dV=rd Odrdz。 由徑向速度 Vr垂直穿越面元 ADHE和 BCGF面積rd 0z）所引起的質(zhì)量通量均可表達(dá)為p Vr* rd 0dz,但r坐標(biāo)值在兩個(gè)面元處

5、有差異。這使得質(zhì)量通量沿徑向r方向不盡相同 c（ Pvr 廣就表達(dá)了質(zhì)量通量在穿越面元ADHE和BCGF時(shí)沿徑向r方向的梯度，乘以 dn dr后得它表示了徑向速度 Vr垂直穿越面元 ADHE和BCGF后導(dǎo)致體積 元ABCDEF2GH內(nèi)質(zhì)量通量的變化量 （略去高階小量，下同），即徑向速度 Vr引起的體積元 ABCDEFGH內(nèi)單位時(shí)間凈流出的質(zhì)量。 同理，由切向速度 V0垂直穿越面元 DCGH和ABFE面積rd 0 d所引起的質(zhì)量通量均可表 達(dá)為p V edrdz,但0坐標(biāo)值在兩面元處不同，質(zhì)量通量沿切向0方向的梯度描述為 （p V edrdz）/ 0 ,而（p VQdrdz）/ 0 ） d0則描

6、述了切向速度 V0垂直穿越面元 DCGH和ABFE 后導(dǎo)致體積元ABCDEF2GH內(nèi)質(zhì)量通量的變化量，即切向速度V0引起的體積元ABCDEFGH內(nèi) 單位時(shí)間凈流出的質(zhì)量。 同理，垂直速度 w垂直穿越面元 EFGH和ABCD面積rd 0dr）所引起的質(zhì)量通量均可表達(dá) 為p wrd 0dr,但z坐標(biāo)值在兩面元處不同，質(zhì)量通量沿z方向的梯度描述為（p wrd 0dr）/ z, 而(p wrd 0dr)/ z) dz則描述了垂直速度 ABCDEFGH內(nèi)質(zhì)量通量的變化量，即垂直速度 的質(zhì)量。 該柱坐標(biāo)中，流體所有運(yùn)動(dòng)可以分解為在 時(shí)間凈流出控制體 ABCDEFGH的質(zhì)量就表達(dá)為 w垂直穿越面元 EFGH

7、和ABCD后導(dǎo)致體積元 w引起的體積元ABCDEFGH內(nèi)單位時(shí)間凈流出 3個(gè)正交的方向r、B和z上運(yùn)動(dòng),所以流體單位 2Pvr ?d6d-（Pv d /d-j = Piv jrffldrJ z dr + 二 dH + Or7沿緯圈方向線微元 AB為rcos $ d入速度為u;沿經(jīng)圈方 向線微元DA為rd $ ,速度為v;球徑向線微元為dr,速度為w。體積元ABCDEFGH為 d t =rA2*cos $ d入d $ dr。沿緯圈方向穿越面元 AEHD和BFGC的質(zhì)量通量均可表達(dá)為 p urd $ dr,這兩個(gè)面元上質(zhì)量通量沿入方向的梯度表示為(p urd $ dr)/入，乘以d入后 (p ur

8、d $ dr)/入)d入就描述了緯圈速度 u穿越面元AEHD和BFGC后導(dǎo)致體積元 ABCDEFGH內(nèi)質(zhì)量通量的變化量(略去高階小量，下同)，即沿緯圈方向的質(zhì)量通量所引起的體 積元ABCDEFGH內(nèi)單位時(shí)間凈流出的質(zhì)量。 r + dH +:d; 圖2球坐標(biāo)系體積元控制體JREEFGff 由于入、和r相互獨(dú)立，且體積元 ABCDEFGH為d t =rA2*cos $ d入d $ dr,故沿緯圈方向的質(zhì) 量通量所引起的體積元 ABCDEFGH內(nèi)單位時(shí)間凈流出的質(zhì)量為 c(Pwd 1?d(PjJ d-V 二-一 mA do d f 1-11.1 f co伸 申 曲 th 二 匚 J； di IVOSP 囲icosf?少 CA (6) 同理,沿經(jīng)圈方向的質(zhì)量通量所引起的體積元ABCDEFGH內(nèi)單位時(shí)間凈流出的質(zhì)量為 dp -竝3缶砒廠 冗0妙丿、.1T . SfPVCO) 二，- 廣 coscp dAf 二, d t 吃門渙?co妙砂(7) 沿徑向的質(zhì)量通量所引起的體積元ABCDEFGH內(nèi)單位時(shí)間凈流出的質(zhì)量為 込迥皿皿ck二亞心O)妙肛犯dr (8) 3個(gè)方向流失質(zhì)量之和，應(yīng)等于該體 CrCr 根據(jù)質(zhì)量守恒，整個(gè)體積元單位時(shí)間內(nèi)凈流失的質(zhì)量是沿 積元單位時(shí)間的質(zhì)量減小量(P t ) d T,故 & 口“Pl-CO J Cf f