2012年重點高中自主招生數(shù)學(xué)模擬試題(含答案)[1]

1、 6 2012年重點中學(xué)自主招生數(shù)學(xué)模擬試題一 答題時注意： 1、試卷滿分150分;考試時間：120分鐘. 2、試卷共三大題，計 16道題?？荚嚱Y(jié)束后，將本卷及演算的草稿紙一并上交。 一、選擇題(共5小題，每題6分，共30分.以下每小題均給出了代號為 A,B,C,D 的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的.請將正確選項的代號填入題后 的括號內(nèi).不填、多填或錯填均不得分) 2 1、如果關(guān)于x的方程x 2 ax a 3 0至少有一個正根，則實數(shù)a的取值范圍是( B、3 a 2 C、.3 a 2 -.3 a 2 2、如圖，已知：點 交CE于點G、H 于 F分別是正方形 ，若正方形ABCD ) AB

2、CD的邊AB、BC的中點，BD、DF分別 的面積是240，則四邊形BFHG的面積等 A、26 C、24 B、28 D、30 3、設(shè)x、y、z是兩兩不等的實數(shù)，且滿足下列等式: %x3(y x)3 6x3(zx)3 6y x 則代數(shù)式 4、如圖, 3xyz的值是 C、 四邊形BDCE內(nèi)接于以 3 ,BCE 5 ) BC 10, cos BCD A、89 B、7 3 C、4+3 . 3 BC為直徑的O 30，則線段 D、條件不足，無法計算 A，已知: DE的長 D、3+4 一 3 5、某學(xué)校共有3125名學(xué)生，一次活動中全體學(xué)生被排成 一個n排的等腰梯形陣， 多一人的規(guī)律排列，則當(dāng) 是 ( 且這

3、n排學(xué)生數(shù)按每排都比前一排 n取到最大值時，排在這等腰梯形陣最外面的一周的學(xué)生總?cè)藬?shù) ) A、296 B、221 C、225 D、641 二、填空題：（共5小題，每題6分，共30分） 6、已知：實常數(shù) a、b、c、d同時滿足下列兩個等式： asinbcos c 0 ； a cosbsin d 0 （其中 為任意銳角），則a、b、c、d之間的關(guān)系式是： 7、函數(shù)y x 1 2x 2 3x 3 4x 4的最小值是 8、已知一個三角形的周長和面積分別是 摩擦地滾動一周后回到原來的位置（如圖） 滾過的部分的面積是 84、210，一個單位圓在它的內(nèi)部沿著三邊勻速無 ，則這個三角形的內(nèi)部以及邊界沒有被單位

4、圓 9、已知：x 廠3廠，則J2可用含x的 ACD的面積之比是3 ： 1 ： 4，點 E在邊AD上，CE交BD于G，設(shè)-BGk。 GD EA 求3 7k220的值； 若點H分線段BE成聖 2的兩段，且 HE 式表示 ABD三邊長的平方和。 AH2 2 2 BH DH 2 p，試用含p的代數(shù) 14、（本題滿分 16 分） 觀察下列各個等式： 12 1,12 22 5,12 你能從中推導(dǎo)出計算 12 22 32 42 請你用中推導(dǎo)出的公式來解決下列問題： 已知：如圖， 拋物線 yx2 22 32 14,12 22 32 42 30, 2 n2 的公式嗎？請寫出你的推導(dǎo)過程； 2x 3與x、y軸的正

5、半軸分別交于點 A、B，將線段OA n 等分，分點從左到右依次為 A1、 A2、 A3、 A4、 A5 、 A6、 An 1，分別過這 n 1 個點 作 x 軸的垂線依次交拋物線于點 B1、 B2、 B3、 B4、B5、 B6、 、Bn i，設(shè) OBAi、 A1B1A2 、 A2B2A3 A3B3A4 An 1Bn 1A 的 面 積 依 次 為 S1、 S2、 S3、 S4、 、 Sn 。 當(dāng) n 2010時，求 S1 S2 S3 S4 S5 LS2010 的值； 試探究：當(dāng)n取到無窮無盡時，題中所有三角形的面積和將是什么值？為什么? 15、（本題滿分16分） ABC ； 有如圖所示的五種塑料

6、薄板（厚度不計）：兩直角邊分別為 3、4的直角三角形 腰長為4、頂角為36的等腰三角形JKL ； 腰長為5、頂角為120的等腰三角形OMN ； 兩對角線和一邊長都是 4且另三邊長相等的凸四邊形 PQRS ； 長為4且寬（小于長）與長的比是黃金分割比的黃金矩形WXYZ。 “不可操 它們都不能折疊，現(xiàn)在將它們一一穿過一個內(nèi)、外徑分別為2.4、2.7的鐵圓環(huán)。 我們規(guī)定：如果塑料板能穿過鐵環(huán)內(nèi)圈，則稱為此板“可操作”；否則，便稱為 作”。 證明：第種塑料板“可操作”； 求：從這五種塑料板中任意取兩種至少有一種“不可操作”的概率。 JMPS Q 16、（本題滿分16分） 定義：和三角形一邊和另兩邊的延

7、長線同時相切的圓叫做三角形這邊上的旁切圓。 如圖所示， 點D 。 已知I是厶ABC的BC邊上的旁切圓，E、F分別是切點，AD IC于 2012年重點中學(xué)自主招生數(shù)學(xué)模擬試題一 參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn) 一、選擇題（共5小題，每題6分，共30分.以下每小題均給出了代號為 A,B,C,D 的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的.請將正確選項的代號填入題后 的括號內(nèi)不填、多填或錯填均不得分） 2 2 1、 如果關(guān)于x的方程x ax a 3 0至少有一個正根，貝U實數(shù)a的取值范圍是（C ） A、 2 a 2B、 3 a 2C、3 a 2 D、3 a 2 2、 如圖，已知：點 E、F分別是正方形 ABCD的

8、邊AB、BC的中點，BD、DF分別交CE于點G、H ,若正方形ABCD的面積是240 ,則四邊形BFHG的面積等 E B A F H 于(B ) A、 26B、 28 C、24D、30 3、設(shè)X、y、Z是兩兩不等的實數(shù)，且滿足下列等式： 6,x3(y x)36. x3(z x)36 y x 6 x z，則代數(shù)式 x3 y3 z3 3xyz 的值是 (A ) 4、如圖，四邊形 BDCE內(nèi)接于以 BC為直徑的O A，已知 BC 10,cos BCD 3 5 , BCE 30，則線段DE的長 疋 -( D ) A、89 B、 7、3 C、 4+3 . 3 D、3+4 i 3 B C、3D、條件不足，

9、無法計算 多一人的規(guī)律排列，則當(dāng) 是 ( 5、某學(xué)校共有3125名學(xué)生，一次活動中全體學(xué)生被排成 一個n排的等腰梯形陣，且這 n排學(xué)生數(shù)按每排都比前一排 n取到最大值時，排在這等腰梯形陣最外面的一周的學(xué)生總?cè)藬?shù) B ) A、296 二、填空題： B、221C、225D、641 (共5小題，母題6分，共30分。不設(shè)中間分) 6、 已知：實常數(shù) a、b、c、d同時滿足下列兩個等式： asinbcos c 0 ； a cos bsind 0 (其中 為任意銳角)，則a、b、c、d之間的關(guān)系式是： 2 . 2 2 . 2 a b c d _。 7、 函數(shù)y x 1 2x 2 3x 3 4x 4的最小值

10、是8。 8、 已知一個三角形的周長和面積分別是84、210, 一個單位圓在它的內(nèi)部沿著三邊勻速無 摩擦地滾動一周后回到原來的位置(如圖)，則這個三角形的內(nèi)部以及邊界沒有被單位圓 滾過的部分的面積是 84 9、已知:x 則2可用含x的 有理系數(shù)三次多項式來表示為：.2 = 1311 x x o 6 6 10、設(shè)p、q、r為素數(shù)，則方程p3p2 q2 r2的所有可能的解p、q、r組成的三元 數(shù)組（p, q, r ）是（3,3,3）o 三、解答題（共6題，共90分。學(xué)生若有其它解法，也按標(biāo)準(zhǔn)給分） 11、（本題滿分12分） 趙巖，徐婷婷，韓磊不但是同班同學(xué)，而且是非常要好的朋友，三個人的學(xué)習(xí)成績不相

11、伯 仲，且在整個年級中都遙遙領(lǐng)先，高中畢業(yè)后三個人都如愿的考入自己心慕以久的大學(xué)， 后來三個人應(yīng)母校邀請給全校學(xué)生作一次報告。報告后三個人還出了一道數(shù)學(xué)題：有一種 密碼把英文按字母分解，英文中的a，b, c,L L，z26個字母（不論大小寫）依次用 1,2,3,L ,26這26個自然數(shù)表示，并給出如下一個變換公式： X 1（其中x是不超過26的正奇數(shù)） y21；已知對于任意的實數(shù) x，記號x表示 亍13（其中x是不超過26的正偶數(shù)） 8 1 不超過x的最大整數(shù)。將英文字母轉(zhuǎn)化成密碼，如8 13 17，即h變成q , 2 11 再如11 1 6，即k變成f。他們給出下列一組密碼：etwcvcjw

12、 ej ncjw 2 wcabqcv ,把它翻譯出來就是一句很好的臨別贈言?，F(xiàn)在就請你把它翻譯出來，并簡單地 寫出翻譯過程。 略解：由題意，密碼etwcvcjw對應(yīng)的英語單詞是interest, ej對應(yīng)的英語單詞是is, ncjw對 應(yīng)的英語單詞是 best, wcabqcv對應(yīng)的英語單詞是 teacher.（9分） 所以，翻譯出來的一句英語是In terest is best teacher,意思是興趣是最好的老師”。 （3分） 12、（本題滿分15分） 如果有理數(shù) m可以表示成2x2 6xy 5y2 （其中x、y是任意有理數(shù)）的形式，我們就 稱m為“世博數(shù)”。 個“世博數(shù)” a、b之積也

13、是“世博數(shù)”嗎？為什么？ 證明：兩個“世博數(shù)”a、b（ b 0）之商也是“世博數(shù)”。 20 略解： m 2x2 6xy 5y2 = (x 2y)2 (x y)2，其中 x、y是有理數(shù), 世博數(shù)” m p2 q2 （其中 p、q是任意有理數(shù)） ,只須p x 2y,q x 即可。 (3 分) 對于任意的兩個兩個“世博數(shù)” a、b，不妨設(shè)a k2,b r2 s2 ,其中 j、 k、r、s為任意給定的有理數(shù), (3 分) 則 ab (j2 2 2 2 k )(r s ) (jr ks)2 (js kr)2是 “世博數(shù)” (3 分) 2 - 2 ajk 2 2 brs (j2 k2)(r2 (r2 s2

14、)2(3分) (jrks)2 (js kr)2 22、2 (r s ) =d r s js kr_）2也是“世博數(shù)” s (r2 (3 分) 13、（本題滿分 如圖，在四邊形 E在邊AD上， 15分） ABCD 中，已知 ABC、 BG CE交BD于G，設(shè) - GD BCD、 DE EA ACD的面積之比是 3 : 占 八、 求3 7k220的值; 若點H分線段BE成堂 2的兩段，且 HE 式表示 ABD三邊長的平方和。 AH 2 BH 2 DH 2 p2，試用含 p的代數(shù) 略解：不妨設(shè)厶 ABC、 BCD、 ACD的面積分別為3、1、4, BG DE GD EA ABD的面積是6,A BDE

15、的面積是 6k 14k6k CDG的面積是亠 , CDE的面積為 竺 , DEG的面積是6k 2 k 1k 1(k 1)2 (3分)由此可得： 丄 + 坐=竺，即4k2 3k 10, k 1(3分) k 1 (k 1)2 k 1 - 3 7k220 =3(1 分) BH 由知：E、G分別為AD、BD的中點，又點 H分線段BE成空 2的兩段， HE 點H是厶ABD的重心。（2分） 而當(dāng)延長BE到K ,使得BE EK ,連結(jié)AK、DK后便得到平行四邊形 ABDK , 再利用“平行四邊形的四邊平方和等于兩對角線的平方和”就可得： 2 2 2 2 2(AB BD ) AD 4BE ,類似地有 2(BD

16、2 AD2) AB2 4DM 2 2( AB2 AD2) BD24 AG2 n等分，分點從左到右依次為 A. A2、 A5、 A6、 An 1,分別過這n 1個點作 其中點 M 為邊 AB 的中點。 3(AB2 BD2 AD2) 4(BE2 DM 2 AG2)。 (3 分) AH 2 2 - BEDM 2AG,BH 2 BE, DH DM , AH 3 BD2 AD2 2 2 2 2 BHDHp , 2 3 p o (3 分) 3 AG2 9 ；P 3 2. AB2 14、（本題滿分16分） 觀察下列各個等式：12 1,12 22 5,12 22 3214,1222 324 230,o 你能從

17、中推導(dǎo)出計算 12 22 32 42 n2的公式嗎？請寫出你的推導(dǎo)過程； 請你用中推導(dǎo)出的公式來解決下列問題： 已知：如圖，拋物線yx2 2x 3與x、y軸的正半軸分別交于點 A、B，將線段OA x軸的垂線依次交拋物線于點 B1、B?、B3、B4、B5、Be、 、Bn 1，設(shè) OBA1、 A1B1A2、A2B2A3、A3B3A4、An1Bn 1A 的面積依次為 S1、S2、S3、S4、 、Sno 當(dāng) n 2010 時，求 S S2 S3 S4 S5 LS2010 的值； 試探究：當(dāng)n取到無窮無盡時，題中所有三角形的面積和將是什么值？為什么? 略解：n3 （n 1）3 3n2 3n 1，二當(dāng)式中

18、的n從1、2、3、依次取到n時，就 可得下列 n個等式： （2分） 13 03 3 3 1,2313 3 22 3 2 1,33 233 323 3 1, 3 (n 1)3 3n2 3n 1，將這 .人冷J、厶J f匚一 n n個寺式的左右兩邊分別相加得： 3 n 3 (122232 n2) 3 (123 n) n(2 分) 即1 2 2 23242 3 2 n n = 3(12 3 n) n n(n 1)(2n1)。(3 分) 36 先求得A、B兩點的坐標(biāo)分別為（3,0）、（0,3），二點A|、A2、A3A4、A5、A6、An 1 的橫坐標(biāo)分別為 3 6 9 、 3( n 1） ，點 B、B

19、2、B3、B4、B5、B 6、B n 1 的縱坐 n n n n 3 標(biāo)分別為（一）2 3 2()3、 6 2 () 2 兩對角線和一邊長都是 4且另三邊長相等的凸四邊形 PQRS ； 長為4且寬（小于長）與長的比是黃金分割比的黃金矩形WXYZ。 它們都不能折疊，現(xiàn)在將它們一一穿過一個內(nèi)、外直徑分別為2.4、2.7的鐵圓環(huán)。 我們規(guī)定：如果塑料板能穿過鐵環(huán)內(nèi)圈，則稱為此板“可操作”；否則，便稱為 “不可操 作”。 證明：第種塑料板“可操作”； 求：從這五種塑料板中任意取兩種至少有一種“不可操作”的概率。 略解：由題意可知四邊形 PQRS必然是等腰梯形, （2分）不妨設(shè) QS PR QR 4,

20、PQ PS RS = x，分別過點 cRI RS I、F，則由 QRF RSI得到 ，即 RF QR S、Q作QR、RS的垂線，垂足為 4 x -2-X，解得 x 2 5 2。 X 4 2 SIRS2 IR2. x2 （4 X）2 2 .102 5 v 2.4, 第種塑料板 如上圖所示， （5分） ABC斜邊BC上的高AH、等腰三角形JKL的腰JL上 的高KE、等腰三角形 OMN底邊上的高 “可操作”。 分別作直角三角形 MG，易求得：AH =2.4, MG =2.5. （2 分） 又由可得等腰梯形 PQRS的銳角底角是 72 , JKL 心 PQR , KE=SI . （4分） “不可操作”。 的概率P 。（ 3分） 10 而黃金矩形 WXYZ的寬等于4上工 2 52 2.4, 2 第三種塑料板“可操作”；而第兩種塑料板 從這五種塑料板中任意取兩種至少有一種“不可操作” 16、（本題滿分16分） 定義：和三角形一邊和另兩邊的延長線同時相切的