微分幾何曲面局部理論

1、 微 分 幾 何 2011.04 - 06 講師講師 沈玉萍沈玉萍 第二章 曲面：局部理論 第一節(jié)第一節(jié) 參數(shù)曲面和第一基本形式參數(shù)曲面和第一基本形式 第二節(jié)第二節(jié) gaussgauss映射和第二基本形式映射和第二基本形式 第三節(jié)第三節(jié) g-cg-c方程和曲面基本定理方程和曲面基本定理 第四節(jié)第四節(jié) 協(xié)變微分，平行移動和測地線協(xié)變微分，平行移動和測地線 第二章 曲面：局部理論 第二節(jié)第二節(jié) gaussgauss映射和第二基本形式映射和第二基本形式 定義定義 給定正則參數(shù)曲面給定正則參數(shù)曲面 ，單位法向量對應(yīng)的，單位法向量對應(yīng)的 映射映射 稱為曲面稱為曲面 的的gaussgauss映射。映射。n

2、:m m m 第二章 曲面：局部理論 曲面的很多幾何性質(zhì)體現(xiàn)在其曲面的很多幾何性質(zhì)體現(xiàn)在其gaussgauss映射中，例如映射中，例如 l平面的切平面不變，平面的切平面不變，gaussgauss映射為常值函數(shù)；映射為常值函數(shù)； l圓柱的切平面沿著母線不變，則圓柱的切平面沿著母線不變，則gaussgauss映射將圓映射將圓 柱面映射到球面的一個圓周上；柱面映射到球面的一個圓周上； l圓心在原點(diǎn)的球面，圓心在原點(diǎn)的球面， gaussgauss映射就是位置向量映射就是位置向量 的單位化。的單位化。 第二章 曲面：局部理論 思路：曲面思路：曲面 在點(diǎn)在點(diǎn) 的形狀，可以由曲面的形狀，可以由曲面 上上 經(jīng)

3、過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn) 的曲線的曲率來描述。的曲線的曲率來描述。 pmm p 第二章 曲面：局部理論 定義定義 在點(diǎn)在點(diǎn) 由由單位切方向單位切方向 和單位法向和單位法向 量量 決定的平面稱為曲面在點(diǎn)決定的平面稱為曲面在點(diǎn) 由此切方向由此切方向 確定的確定的法截面法截面。法截面與曲面的交線稱為曲面。法截面與曲面的交線稱為曲面 在點(diǎn)在點(diǎn) 的一條的一條法截線法截線。 假設(shè)某條法截線由弧長參數(shù)表示假設(shè)某條法截線由弧長參數(shù)表示 則它在點(diǎn)則它在點(diǎn) 的主法向量的主法向量 為為 ，曲率，曲率 p p p vt m n( )p p ( ),(0),(0).spv ( )n p p nn(n) (0)n( ). v nttv

4、 dp n 第二章 曲面：局部理論 命題命題 對任意切向量對任意切向量 ， 的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù) 仍然是切向量。由此定義的映射仍然是切向量。由此定義的映射 是一個對稱的線性映射，即是一個對稱的線性映射，即 我們稱我們稱 為曲面在點(diǎn)為曲面在點(diǎn) 的的形狀算子形狀算子，或者，或者 weingartenweingarten映射映射。 p vt m n n( ) vp dpt m p s ( )( ),. ppp s uvu s vu vt m p :n( ) pppv st mt m vdp ( )( ),. ppp s uvu s vu vt m 第二章 曲面：局部理論 證明證明 假設(shè)法截線有弧長參

5、數(shù)表示假設(shè)法截線有弧長參數(shù)表示 考慮到考慮到 是單位向量，滿足是單位向量，滿足 所以所以 成立。成立。 另外另外 關(guān)于向量關(guān)于向量 自然是線性的。自然是線性的。 ( ),(0),(0).spv n( ) s n( ) n( )(n) (0) (n)(0)0. v dpp n( ) vp dpt m nn v dv v 第二章 曲面：局部理論 利用向量函數(shù)的混合偏導(dǎo)來證明當(dāng)利用向量函數(shù)的混合偏導(dǎo)來證明當(dāng) 時時 滿足滿足: : 對于對于 ，都可以寫成，都可以寫成 和和 的的 線性組合，容易驗(yàn)證對稱性成立。線性組合，容易驗(yàn)證對稱性成立。 , uv uxvx p s ()n( )nn nn( )().

6、 u v puvxvuvvv vuxupvu sxxdpxxx xdpxsxx , p u vt m u x v x 第二章 曲面：局部理論 命題命題 如果曲面如果曲面 任意一點(diǎn)任意一點(diǎn) 的形狀算子的形狀算子 都都 是零，則是零，則 是平面（的一部分）。是平面（的一部分）。 證明證明 由于由于 那么對于那么對于 點(diǎn)附近的任意一個正則參數(shù)表示點(diǎn)附近的任意一個正則參數(shù)表示 有有 由連通性可以得出由連通性可以得出 是常向量，即曲面是平面。是常向量，即曲面是平面。 mp p s m n( )0, vp dpvt m nn0. uv p( , )x u v n 第二章 曲面：局部理論 例例1 1 是半徑

7、為是半徑為 ，中心在原點(diǎn)的的球面，則，中心在原點(diǎn)的的球面，則 在局部參數(shù)表示下在局部參數(shù)表示下gaussgauss映射為映射為 它的形狀算子滿足它的形狀算子滿足 所以它在每點(diǎn)切平面上都是的數(shù)量線性變換所以它在每點(diǎn)切平面上都是的數(shù)量線性變換 。 ma 1 n( , ).x u v a 11 ()n,()n. puuupvvv sxxsxx aa 1 i a 第二章 曲面：局部理論 對于一般的曲面，我們不容易直接寫出形狀算子對于一般的曲面，我們不容易直接寫出形狀算子 在切平面的局部標(biāo)架在切平面的局部標(biāo)架 下的矩陣形式。下的矩陣形式。 但是形狀算子的關(guān)于內(nèi)積的對稱性誘導(dǎo)我們定義但是形狀算子的關(guān)于內(nèi)積

8、的對稱性誘導(dǎo)我們定義 曲面的曲面的第二基本形式第二基本形式 特別的對于特別的對于 , uv xx :, ( , )( ),. ppp ppp t mt m u vs uvu vt m ( , )( )n( ). ppv v vs vvdp v ,1, p vt mv 第二章 曲面：局部理論 在在 點(diǎn)鄰域上的有正則參數(shù)表示點(diǎn)鄰域上的有正則參數(shù)表示 ， 有自然的基底有自然的基底 ，我們定義曲面的，我們定義曲面的 第二類基本量第二類基本量 p p t m , uv xx ( , )x u v (,)nn, (,)nn(,), (,)nn. u u v puuxuuu puvxvuvpvu pvvxu

9、vv lxxdxx mxxdxxx x nx xdxx 第二章 曲面：局部理論 曲面的曲面的第二基本形式第二基本形式局部參數(shù)表示下有對稱矩陣局部參數(shù)表示下有對稱矩陣 形式形式 類似第一基本形式，我們得到曲面的類似第一基本形式，我們得到曲面的第二基本形第二基本形 式的二次微分形式式的二次微分形式 nnnn . nnnn uuuvuuuv p vuvvvuvv xxxxlm xxxxmn (,)n lmdu du dvdx d mndv 第二章 曲面：局部理論 如果如果 是單位正交標(biāo)架，則矩陣是單位正交標(biāo)架，則矩陣 就是就是 形狀算子形狀算子 。但是一般情形下，。但是一般情形下， 有矩陣表示有矩陣

10、表示 l作為實(shí)對稱矩陣，作為實(shí)對稱矩陣， 可以對角化，它有兩個實(shí)可以對角化，它有兩個實(shí) 特征值，記為特征值，記為 和和 。 , uv xx p p s p s 1 1 . pp eflm fgmn 1 1 . pp eflm fgmn p s 1( ) k p 2 ( )kp 第二章 曲面：局部理論 定義定義 曲面曲面 在點(diǎn)在點(diǎn) 處的形狀算子處的形狀算子 的特征的特征 值稱為曲面在此點(diǎn)的值稱為曲面在此點(diǎn)的主曲率主曲率；對應(yīng)的特征方向；對應(yīng)的特征方向 稱為稱為主方向主方向。如果曲面上的曲線每一點(diǎn)的切方。如果曲面上的曲線每一點(diǎn)的切方 向都是主方向，那么這條曲線稱為向都是主方向，那么這條曲線稱為曲率

11、線曲率線。 l曲面在任意點(diǎn)曲面在任意點(diǎn) 的兩個主方向是正交的，于是的兩個主方向是正交的，于是 我們可以選擇了切平面我們可以選擇了切平面 的一個正交基底的一個正交基底 恰好由主方向向量構(gòu)成。恰好由主方向向量構(gòu)成。 p smp p p t m 第二章 曲面：局部理論 定理（定理（eulereuler公式公式）令）令 為曲面為曲面 在點(diǎn)在點(diǎn) 的的 單位主方向，分別對應(yīng)主曲率單位主方向，分別對應(yīng)主曲率 和和 。假設(shè)。假設(shè) 切向量切向量 ，其中，其中 。 則則 證明：略。證明：略。 22 12 ( , )cossin.v vkk mp 12 cossinvee 12 ,e e 1 k 2 k 0,2 )

12、 第二章 曲面：局部理論 l注意到球面在任意一點(diǎn)的任意方向的法截線都注意到球面在任意一點(diǎn)的任意方向的法截線都 有相同的（非零）曲率；有相同的（非零）曲率； l下圖馬鞍面的有些法截線恰好是直線。下圖馬鞍面的有些法截線恰好是直線。 第二章 曲面：局部理論 定義定義 如果曲面如果曲面 切向量切向量 確定的法截確定的法截 線點(diǎn)線點(diǎn) 處的曲率為零處的曲率為零 ，即，即 我們稱我們稱 為為 在點(diǎn)在點(diǎn) 的一個的一個漸近方向漸近方向。 如果曲面上的曲線每一點(diǎn)的切方向都是漸近方如果曲面上的曲線每一點(diǎn)的切方向都是漸近方 向，那么這條曲線稱為向，那么這條曲線稱為漸近線漸近線。 l如果曲面包含直線，則直線為漸近線。如

13、果曲面包含直線，則直線為漸近線。 p vt m m p ( , )0, p v v vm p 第二章 曲面：局部理論 推論推論 曲面曲面 在點(diǎn)在點(diǎn) 處有漸近方向當(dāng)且僅當(dāng)處有漸近方向當(dāng)且僅當(dāng) 證明證明 首先首先 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 是漸近方向。然是漸近方向。然 后不妨設(shè)后不妨設(shè) 。如果。如果 ， 那么那么 反過來，由反過來，由 ，我們很容易構(gòu)造漸近，我們很容易構(gòu)造漸近 方向方向 。 12 0.k k mp 2 e 2 0k 2 0k 12 cossinvee 222 1212 cossin0tan0.kkk k 12 0k k v 第二章 曲面：局部理論 例例2 2 如圖所示圓柱螺面是如圖所示圓柱

14、螺面是 一個直紋面，它所有的一個直紋面，它所有的 直母線直母線明顯都是漸近線。明顯都是漸近線。 另外，不太明顯的，另外，不太明顯的， 其上的一族其上的一族圓柱螺線圓柱螺線 也都是漸近線。也都是漸近線。 第二章 曲面：局部理論 事實(shí)上，如右圖所示，在點(diǎn)事實(shí)上，如右圖所示，在點(diǎn) 處的沿圓柱螺線單位切向量的處的沿圓柱螺線單位切向量的 法截線在點(diǎn)法截線在點(diǎn) 為拐點(diǎn)。因此，為拐點(diǎn)。因此， 圓柱螺線是圓柱螺面上的漸近圓柱螺線是圓柱螺面上的漸近 線。線。 具體計算為作業(yè)。具體計算為作業(yè)。 p p 第二章 曲面：局部理論 假設(shè)假設(shè) 為曲面為曲面 上一條弧長參數(shù)曲線，滿足上一條弧長參數(shù)曲線，滿足 那么由之前的計

15、算得到那么由之前的計算得到 它給出了曲線它給出了曲線 的曲率向量的曲率向量 在曲面在曲面 的單的單 位向量上的投影，我們稱它為位向量上的投影，我們稱它為 在點(diǎn)在點(diǎn) 處的處的法曲法曲 率率，記為，記為 。 p ( , )n. p v vn ( ) s m (0),(0).pv nm n 第二章 曲面：局部理論 l（meusniermeusnier公式公式）假設(shè)）假設(shè) 為曲面為曲面 上在點(diǎn)上在點(diǎn) 的單位切向量為的單位切向量為 的一條曲線，則的一條曲線，則 其中其中 為曲線主法向量為曲線主法向量 和曲面單位法向和曲面單位法向 量量 的夾角。的夾角。 l曲面上曲線在某一點(diǎn)的法曲率只取決于此點(diǎn)的曲面上曲

16、線在某一點(diǎn)的法曲率只取決于此點(diǎn)的 切向量。切向量。 l漸近線的法曲率處處為零。漸近線的法曲率處處為零。 m p v ( ,)cos , pn v v n n 第二章 曲面：局部理論 l主曲率是法曲率的最大值和最小值。不妨假主曲率是法曲率的最大值和最小值。不妨假 設(shè)設(shè) ，則由，則由eulereuler公式得公式得 l法曲率的最大值和最小值出現(xiàn)在互相正交的方法曲率的最大值和最小值出現(xiàn)在互相正交的方 向上。向上。 21 kk 222 121211 cossin()sin,kkkkkk 222 121222 cossin()cos.kkkkkk 第二章 曲面：局部理論 下面我們介紹曲面理論中極其重要的

17、一些概念。下面我們介紹曲面理論中極其重要的一些概念。 定義定義 曲面曲面 在點(diǎn)在點(diǎn) 處的兩個主曲率的乘積處的兩個主曲率的乘積 稱為稱為 在點(diǎn)在點(diǎn) 的的 gaussgauss曲率曲率；主曲率的平均值；主曲率的平均值 稱為稱為 在點(diǎn)在點(diǎn) 的的中曲率（平均曲率）中曲率（平均曲率）。 m p 12 det p kk ks m 12 11 () 22 p hkktrs p pm 第二章 曲面：局部理論 定義定義 曲面曲面 在點(diǎn)在點(diǎn) 處的主曲率滿足處的主曲率滿足 則稱為點(diǎn)則稱為點(diǎn) 為曲面為曲面 的的臍點(diǎn)臍點(diǎn)。 特別的，特別的， 稱稱 為為平點(diǎn)平點(diǎn)。 如果如果 ，且，且 不是平點(diǎn)，則稱不是平點(diǎn)，則稱 為為拋

18、物點(diǎn)拋物點(diǎn)； 如果如果 ，則稱，則稱 為為橢圓點(diǎn)橢圓點(diǎn)； 如果如果 ，則稱，則稱 為為雙曲點(diǎn)雙曲點(diǎn)。 m p 12 kk 0k p p m 12 0kk pp 0k p 0k p 第二章 曲面：局部理論 例例3 3 環(huán)面的外側(cè)均為橢圓點(diǎn)，上下圓周為拋物環(huán)面的外側(cè)均為橢圓點(diǎn)，上下圓周為拋物 點(diǎn)，內(nèi)側(cè)均為雙曲點(diǎn)。點(diǎn)，內(nèi)側(cè)均為雙曲點(diǎn)。 第二章 曲面：局部理論 例例4 4 偽球面?zhèn)吻蛎嬗袇?shù)表示有參數(shù)表示 其中其中 如圖它是由曳物線得如圖它是由曳物線得 到的旋轉(zhuǎn)面。到的旋轉(zhuǎn)面。 0,0,2 ).uv cossin ( , )(tanh ,), coshcosh vv x u vuu uu 第二章 曲面

19、：局部理論 l經(jīng)線是曲率線，并且在經(jīng)線確定的平面上，主經(jīng)線是曲率線，并且在經(jīng)線確定的平面上，主 法向量法向量 和曲面的法向量和曲面的法向量 一致。計算經(jīng)線一致。計算經(jīng)線 的曲率以初始的曲率以初始 曲線為例：曲線為例： 2 2 2 23 1 ( )(tanh ,0), cosh sinhtanh ( )(,0), coshcosh 2tanhsinh1 ( )(,0), coshcosh uuu u uu u uu uu u uu n n u 第二章 曲面：局部理論 所以曲面的一個主曲率為所以曲面的一個主曲率為 2 3 3 ( )tanh , sinh ( )(0,0,), cosh ( )1

20、. sinh ( ) uu u u u u u u 1 1 . sinh k u 第二章 曲面：局部理論 l圓緯線是曲率線，曲率為圓緯線是曲率線，曲率為 ，但這不，但這不 是法曲率。由于是法曲率。由于 和和 的夾角的夾角 ，利用，利用 meusniermeusnier公式得到公式得到 coshu n n 2 cos (cosh )( tanh ) sinh . k uu u 第二章 曲面：局部理論 l中曲率為零中曲率為零 的曲面稱為的曲面稱為極小曲面極小曲面，如，如 懸鏈面。它的兩個主曲率為相反數(shù)，因此它只懸鏈面。它的兩個主曲率為相反數(shù)，因此它只 有平點(diǎn)或者雙曲點(diǎn)，沒有橢圓點(diǎn)。有平點(diǎn)或者雙曲點(diǎn)

21、，沒有橢圓點(diǎn)。 0h 第二章 曲面：局部理論 l中曲率中曲率 為非零常數(shù)的例子：球?yàn)榉橇愠?shù)的例子：球 面，圓柱面等。面，圓柱面等。 lgaussgauss曲率曲率 為零的例子：平面，圓柱面，為零的例子：平面，圓柱面， 圓錐面等。圓錐面等。 lgaussgauss曲率曲率 為非零常數(shù)的例子：為非零常數(shù)的例子： 球面，偽球面等。球面，偽球面等。 0hconst 0kconst 0k 第二章 曲面：局部理論 第三節(jié)第三節(jié) gauss-codazzigauss-codazzi方程和曲面基本定理方程和曲面基本定理 給定正則參數(shù)曲面給定正則參數(shù)曲面 ，它的局部正則參數(shù)表，它的局部正則參數(shù)表 示示 給出了

22、給出了 的一組基底的一組基底 。 之前的第二類基本形式基本量之前的第二類基本形式基本量 恰好是二階恰好是二階 微分向量微分向量 在單位法向量在單位法向量 上的投影。上的投影。 ( , )x u v 3 m ,n uv x x , uuuvvv xxx ,l m n (,)n, (,)n(,), (,)n. puuuu puvuvpvu pvvvv lxxx mxxxx x nx xx n 第二章 曲面：局部理論 現(xiàn)在我們考慮上述二階微分向量在基底現(xiàn)在我們考慮上述二階微分向量在基底 下的線性表示：下的線性表示： 函數(shù)函數(shù) 被稱為被稱為christoffelchristoffel記號記號，滿足對稱

23、性，滿足對稱性 n, n, n. uv uuuuuuuv uv uvuvuuvv uv vvvvuvvv xxxl xxxm xxxn ,n uv xx * * * uvvu (1)eq 第二章 曲面：局部理論 例例1 1 單位球面單位球面 給定一個參數(shù)表示給定一個參數(shù)表示 計算它的計算它的christoffelchristoffel記號記號 。 解：首先局部基底是解：首先局部基底是 2 s ( , )(sincos ,sin sin ,cos ).x u vuvuvu (cos cos ,cos sin , sin ) ( sin sin ,sin cos ,0) n( , ). u v x

24、uvuvu xuvuv x u v * * 第二章 曲面：局部理論 繼續(xù)求導(dǎo)計算繼續(xù)求導(dǎo)計算 ( sin cos , sin sin , cos )n ( cos sin ,cos cos ,0)(cot ) ( sin cos , sin sin ,0)sin (cos ,sin ,0). uu uvv vv xuvuvu xuvuvu x xuvuvuvv 第二章 曲面：局部理論 容易得到容易得到 又由又由 推出推出 所以所以 0, uv uuuu 0,cot , uv uvuv u (cot )(0,0, sin ) n(0,0,cos ) uvv vv xu xu xu 2 (sin

25、cos )(sin)n. vvu xuu xu sin cos ,0. uv vvvv uu 第二章 曲面：局部理論 對于一般的曲面，我們考慮內(nèi)積對于一般的曲面，我們考慮內(nèi)積 . uv uuuuuuu uv uuvuuuu uv uvuuvuv uv uvvuvuv uv vvuvvvv uv vvvvvvv xxef xxfg xxef xxfg xxef xxfg 第二章 曲面：局部理論 觀察得到觀察得到 1111 (),() 2222 1111 (),() 2222 1 () 2 1 (). 2 uuuuuuuuvuuuvv uvvvvuuvvvvvvv uuvuvuuuvuv vvuu

26、vvuvvvu xxxxexxxxe xxxxgxxxxg xxxxxxfe xxxxxxfg 第二章 曲面：局部理論 寫成矩陣形式寫成矩陣形式 1 2 1 2 u u uu v uu uv e ef fg fe 1 1 2 . 1 2 u u uu v uu uv e ef fg fe (2.1)eq 第二章 曲面：局部理論 同理同理 1 1 2 1 2 u v uv v uv u e ef fg g 1 1 2 . 1 2 u vu vv v vv v fg ef fg g (2.2)eq (2.3)eq 第二章 曲面：局部理論 利用利用(eq-2)(eq-2)驗(yàn)證例驗(yàn)證例1 1的結(jié)果的結(jié)

27、果 2 2 2 1000 0csc00 1000 0cscsin coscot 10sin cossin cos . 0csc00 u uu v uu u uv v uv u vv v vv u uuuu uuuu u 第二章 曲面：局部理論 形狀算子形狀算子 在基底在基底 下有矩陣表示下有矩陣表示 這里涉及的是向量這里涉及的是向量 的一階微分的一階微分 , uv xx p s 1 2 1 . aceflm bdfgmn lgmfmgnf lfmemfneegf n nn()() nn()(). u v uxpuuv vxpvuv dsxaxbx dsxcxdx (3)eq 第二章 曲面：局部

28、理論 這保證我們能繼續(xù)對等式這保證我們能繼續(xù)對等式(eq-1(eq-1）繼續(xù)求偏微分繼續(xù)求偏微分 () () ()n, uuuvu uuvuuvuuuvuuvvu vuvvv uuvuuuvuuvvv uv uuuuv xlc x ld x mnl () () ()n, uuuvu uvuuvuuvuvuuvuvu vuvvv uvuuvuuuvuvv uv uvuvu xma x mb x lmm 第二章 曲面：局部理論 由于由于 ，比較線性表示的系數(shù)得到，比較線性表示的系數(shù)得到 ()() () () . uvuuvu uuvuuvvuvuuvuv vuvvv uuvuuuvuuvv vuv

29、vv uvuuvuuuvuv uvuv vuuuuuuvuv lcma ld mb lmnmlm uuvuvu xx (4)eq 第二章 曲面：局部理論 同理由同理由 ，比較系數(shù)得到，比較系數(shù)得到 uvvvvu xx () () ()() . uuuvu uvvuvuvuvvv uuuvu vvuvvuuvvuv vuvvuv uvvuvuvvvuvvuu uvuv vuvuvuvvvv mc na mdnb mmnnlm (5)eq 第二章 曲面：局部理論 由上述兩組等式由上述兩組等式(eq-4)(eq-4)和和(eq-5)(eq-5)中法向量的系中法向量的系 數(shù)得到的是曲面的數(shù)得到的是曲面

30、的 codazzicodazzi方程方程 () () uvuv vuuvuvuuuu uvuv vuvvvvuvuv lmlmn mnlmn (6)eq 第二章 曲面：局部理論 利用利用 ，(eq-3)(eq-3)， (eq-4)(eq-4)和和 (eq-5)(eq-5)得到的是曲面的得到的是曲面的 gaussgauss方程方程 2 2 ()()() ()() ()() ()()(). vvuvvvuvv uuvuvuuuuvuuvvuvuuuv uuvuvu uvuuuvuvuvuuuv vvuvuv uvvvvuuvuvvvuu uuuuvuuvu vvuuvvvvuuvvuvuvuvvv

31、 ek fk fk gk 2 2 lnm k egf (7)eq 第二章 曲面：局部理論 當(dāng)當(dāng) 時，由時，由gaussgauss方程我們得到（習(xí)題）方程我們得到（習(xí)題） 定理定理(gausss theorema egregium(gausss theorema egregium） 曲面的曲面的gaussgauss曲率由曲面的第一基本形式?jīng)Q定，曲率由曲面的第一基本形式?jīng)Q定， 即它在曲面的局部等距對應(yīng)下保持不變。即它在曲面的局部等距對應(yīng)下保持不變。 0f 1 ()() ). 2 vu vu eg k egegeg (8)eq 第二章 曲面：局部理論 lgaussgauss曲率的定義利用了曲面在空間

32、的位置，曲率的定義利用了曲面在空間的位置， 但實(shí)際上卻并不依賴于位置而只依賴于曲面的但實(shí)際上卻并不依賴于位置而只依賴于曲面的 度量結(jié)構(gòu)（第一基本形式）；度量結(jié)構(gòu)（第一基本形式）； l專門研究曲面上由第一基本形式?jīng)Q定的幾何學(xué)專門研究曲面上由第一基本形式?jīng)Q定的幾何學(xué) 稱為內(nèi)蘊(yùn)幾何學(xué)，它在高維的推廣就是稱為內(nèi)蘊(yùn)幾何學(xué)，它在高維的推廣就是 riemann riemann 幾何學(xué)幾何學(xué)。 第二章 曲面：局部理論 lgaussgausscodazzicodazzi方程被稱為曲面論的方程被稱為曲面論的相容性方相容性方 程程。 l通過逐次微分或任何別的手段，我們不能在曲通過逐次微分或任何別的手段，我們不能在曲

33、 面的第一基本形式和第二基本形式基本量面的第一基本形式和第二基本形式基本量 及其導(dǎo)數(shù)之間得到更多的關(guān)系及其導(dǎo)數(shù)之間得到更多的關(guān)系 式。式。 事實(shí)上，第一基本形式和第二基本形式局部事實(shí)上，第一基本形式和第二基本形式局部 上決定了曲面。上決定了曲面。 , ,e f g l m n 第二章 曲面：局部理論 曲面論基本定理曲面論基本定理 唯一性：唯一性： 兩個正則參數(shù)曲面兩個正則參數(shù)曲面 只相差一只相差一 個剛體運(yùn)動，即存在個剛體運(yùn)動，即存在 使得使得 當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的第一基本形式當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的第一基本形式 和和 第二基本形式第二基本形式 。 *3 ,:x xu * * * abxx 3 a

34、(3),bo 第二章 曲面：局部理論 存在性：存在性： 給定區(qū)域給定區(qū)域 上函數(shù)上函數(shù) 滿足滿足 和和gaussgausscodazzicodazzi方程，則每一點(diǎn)方程，則每一點(diǎn) 局部上局部上 存在鄰域存在鄰域 和正則參數(shù)曲面和正則參數(shù)曲面 滿滿 足足 2 v 2 0,0eegf 3 :x u , ,e f g l m n 22 22 2 2. edufdudvgdv ldumdudvndv pv uv 第二章 曲面：局部理論 l曲面論基本定理的存在性部分要用到到偏微分曲面論基本定理的存在性部分要用到到偏微分 方程組的解的存在定理，其中方程組的解的存在定理，其中g(shù)aussgausscodazz

35、icodazzi 方程保證了對應(yīng)的偏微分方程組的可積性。方程保證了對應(yīng)的偏微分方程組的可積性。 l曲面論基本定理的唯一性部分和曲線論基本定曲面論基本定理的唯一性部分和曲線論基本定 理類似。要注意的區(qū)別是曲面的局部自然標(biāo)架理類似。要注意的區(qū)別是曲面的局部自然標(biāo)架 不是單位正交的。不是單位正交的。 第二章 曲面：局部理論 第四節(jié)第四節(jié) 協(xié)變微分，平行移動和測地線協(xié)變微分，平行移動和測地線 l曲面的內(nèi)蘊(yùn)幾何概念之一：曲面的內(nèi)蘊(yùn)幾何概念之一：“平行移動平行移動”。 l如何比較曲面上任意兩點(diǎn)的切向量如何比較曲面上任意兩點(diǎn)的切向量? ?怎么判斷怎么判斷 它們是否平行？它們是否平行？ 第二章 曲面：局部理論

36、 定義：定義：給定正則參數(shù)曲面給定正則參數(shù)曲面 ，向量函數(shù)，向量函數(shù) 稱為稱為 上一個上一個（切）向量場（切）向量場，如果它滿足，如果它滿足 （1 1） （2 2）對于曲面任意的正則參數(shù)表示）對于曲面任意的正則參數(shù)表示 函數(shù)函數(shù) 都是連續(xù)可微的。都是連續(xù)可微的。 3 :w m ( ),; p w pt mpm m :x um 3 :wx u m 第二章 曲面：局部理論 于是我們可以考慮對曲面上的切向量場于是我們可以考慮對曲面上的切向量場 求關(guān)求關(guān) 于切向量于切向量 的方向?qū)?shù)：的方向?qū)?shù)： 選取曲面上的一條參數(shù)曲線選取曲面上的一條參數(shù)曲線 滿足滿足 則則 l注意注意: :曲面上曲面上“居民居民

37、”只看得到上述向量在曲面只看得到上述向量在曲面 切平面的投影！切平面的投影！ w () (0). v d ww (0),(0),pv p vt m :(, )m 第二章 曲面：局部理論 定義定義 曲面曲面 上的可微切向量場上的可微切向量場 關(guān)于切向關(guān)于切向 量量 的的協(xié)變導(dǎo)數(shù)協(xié)變導(dǎo)數(shù)為為 給定給定 上曲線上曲線 ，如果，如果 則稱向量場則稱向量場 沿參數(shù)曲線沿參數(shù)曲線 平行平行。 w ()(n)n. t vvvv wd wd wd w ( ) 0, t wti p vt m m m:im w 第二章 曲面：局部理論 例例1 1 單位球面單位球面 上任意一個大圓上任意一個大圓 的切向量的切向量

38、場場 是單位切向量場，是單位切向量場， 恰好是指向球心，所以恰好是指向球心，所以 l球面上大圓的切向量場沿著大圓平行。球面上大圓的切向量場沿著大圓平行。 l另外常向量場另外常向量場 沿著球面的赤道平行。沿著球面的赤道平行。 ( ) ( )( )n( ). s dt st ss 2 s ( )t s ( ) s ( ) ( )0. s t s (0,0,1) 第二章 曲面：局部理論 例例2 2 曲面曲面 上參數(shù)曲線上對應(yīng)的切向量場的協(xié)上參數(shù)曲線上對應(yīng)的切向量場的協(xié) 變導(dǎo)數(shù)恰好可以由變導(dǎo)數(shù)恰好可以由christoffelchristoffel記號表示。記號表示。 在給定局部參數(shù)表示在給定局部參數(shù)表

39、示 下下 m :x um (), (), (). uu vvu vv tuv xuxuuuuuuv tuv xuxuuvuuvvxv tuv xvxvvvuvvv xd xxx xd xxxx xd xxx 第二章 曲面：局部理論 命題命題 設(shè)設(shè) 是曲面是曲面 上一條參數(shù)曲上一條參數(shù)曲 線，且線，且 ，切向量，切向量 。則沿著。則沿著 存在唯一存在唯一的的平行向量場平行向量場 使得使得 。 證明：不妨設(shè)曲線證明：不妨設(shè)曲線 包含在某個參數(shù)表示包含在某個參數(shù)表示 中，有中，有 。進(jìn)一步假設(shè)。進(jìn)一步假設(shè) (0)p :0,1m 0p wt m m w 0 ( )w pw ( , ):x u vum

40、( )( ( ), ( )tu t v t ( ( )( )( ( ), ( )( )( ( ), ( ) uv wta t x u t v tb t x u t v t 第二章 曲面：局部理論 由于由于 ，我們計算，我們計算( )( )( ) uv tu t xv t x ( ) () ( )( ( )( ) ( )( )( )()( )() ( )( )( )( ( )( ) ( )( ( )( ) ( ( )( )( )( )( )( ) tt tuv tt uvuv t uvuuuv t vuvv uuu uuuvvu d wwta t xb t x dt dd a t xb t xa

41、 txb tx dtdt a t xb t xa t u t xv t x b t u t xv t x a ta tu tv tb tu t ( ) ( ( )( )( )( )( )( )( ). u vvu vvvv uuuvvuvvv v tx b ta tu tv tb tu tv tx 第二章 曲面：局部理論 是沿著是沿著 的平行向量場當(dāng)且僅當(dāng)?shù)钠叫邢蛄繄霎?dāng)且僅當(dāng) 是下列方程組的解：是下列方程組的解： 由微分方程解的存在唯一性定理，只要取定了由微分方程解的存在唯一性定理，只要取定了 ，使得，使得 ， 我們就得到唯一的平行向量場我們就得到唯一的平行向量場 滿足滿足 。 ( )( )(

42、 )( )( )( )( )0 ( )( )( )( )( )( )( )0. uuuu uuuvvuvv vvvv uuuvvuvv a ta tu tv tb tu tv t b ta tu tv tb tu tv t w ( ), ( )a t b t (0), (0)ab 0 ( )w pww 0 (0)(0) uv waxbx (1)eq 第二章 曲面：局部理論 定義定義 設(shè)設(shè) 是曲面是曲面 上一條參數(shù)曲上一條參數(shù)曲 線，且起始點(diǎn)為線，且起始點(diǎn)為 。 是沿是沿 的平行向量場，則向量的平行向量場，則向量 稱為稱為 沿沿 到點(diǎn)到點(diǎn) 的的平行移動平行移動。 l之前的命題的存在唯一性結(jié)論保證

43、了平行移動之前的命題的存在唯一性結(jié)論保證了平行移動 定義的合理性。定義的合理性。 l如果曲線如果曲線 是正則的，則平行移是正則的，則平行移 動不依賴于動不依賴于 的參數(shù)表示。的參數(shù)表示。 (0),(1)pq :0,1mm 0 ( )ww p w ( )w q q (0,1) :0,1m 第二章 曲面：局部理論 例例3 3 單位球面單位球面 上緯線圓上緯線圓 ，考慮向量，考慮向量 從點(diǎn)從點(diǎn) 出發(fā)沿著緯線逆時針的平行移動。出發(fā)沿著緯線逆時針的平行移動。 0v xx 00 (0, )uu u ( , )(sincos ,sin sin ,cos )x u vuvuvu 0 (,0)p uu v 第二

44、章 曲面：局部理論 解：將單位球面解：將單位球面christoffelchristoffel記號的計算結(jié)果帶入記號的計算結(jié)果帶入 方程方程(eq-1)(eq-1)中得到中得到 加上初始值條件加上初始值條件 ，解得，解得 l觀察到觀察到 。平行移動保持切。平行移動保持切 向量的長度不變？向量的長度不變？ 00 0 ( )sincos( ) ( )cot( ). a tuu b t b tu a t (0)0,(0)1ab 000 ( )sinsin(cos) ),( )cos(cos) ).a tuu tb tu t 2 2 0 ( ( )sinxtu 第二章 曲面：局部理論 命題命題 假設(shè)假設(shè)

45、 和和 是沿是沿 的兩個平的兩個平 行向量場，則內(nèi)積行向量場，則內(nèi)積 為常數(shù)。為常數(shù)。 推論推論 平行移動保持向量的長度和夾角平行移動保持向量的長度和夾角。 證明：向量場證明：向量場 沿沿 平行，則平行，則 與與 平行，則平行，則 同理同理 w ( ( )( ( )wtvt ( ):timv w ( ) t dw n ( ) ( ( )( ( )( ( )0. t wtvtdw vt ( ( )( ( )0.wtvt ( ( )( ( )0( ( )( ( )co. d wtvtwtvtnst dt 第二章 曲面：局部理論 l平面中平面中“直線直線”在曲面的推廣在曲面的推廣“測地線測地線”。

46、l曲面上兩點(diǎn)之間的最短連線是什么？曲面上兩點(diǎn)之間的最短連線是什么？ 定義定義 曲面曲面 上一條非常值參數(shù)曲線上一條非常值參數(shù)曲線 稱為稱為測地線（測地線（geodesicgeodesic），如果切向量場，如果切向量場 沿沿 平行，即平行，即 l測地線滿足測地線滿足 ，參數(shù)曲線正則，可，參數(shù)曲線正則，可 以引進(jìn)弧長參數(shù)以引進(jìn)弧長參數(shù) 。 0. :im ( ) t m ( )0tc sct 第二章 曲面：局部理論 l曲面上以曲面上以弧長弧長為參數(shù)的測地線為參數(shù)的測地線 的曲率向量的曲率向量 在曲面的切平面上投影為零，即測地線在每點(diǎn)的在曲面的切平面上投影為零，即測地線在每點(diǎn)的 主法向量與曲面的法向量

47、平行。主法向量與曲面的法向量平行。 這里曲線的曲率向量在曲面法向量上的投影這里曲線的曲率向量在曲面法向量上的投影 恰好是曲線的法曲率。恰好是曲線的法曲率。 ( ) s ( ) ( )( ) s nsds 第二章 曲面：局部理論 曲面曲面 上一條上一條弧長弧長參數(shù)曲線參數(shù)曲線 在考慮法曲率時，我們實(shí)際上引入了有別于在考慮法曲率時，我們實(shí)際上引入了有別于 frenetfrenet標(biāo)架的另一個標(biāo)架標(biāo)架的另一個標(biāo)架 （darbouxdarboux 標(biāo)架）。標(biāo)架）。 ,n,ntt :imm 第二章 曲面：局部理論 此時，曲率向量可以分解為此時，曲率向量可以分解為 其中法曲率其中法曲率 是曲率的法分量，而

48、是曲率的法分量，而 是曲率是曲率 的切分量，稱為曲面上曲線的的切分量，稱為曲面上曲線的測地曲率測地曲率 （geodesic curvature)geodesic curvature)。 l曲線是曲面測地線當(dāng)且僅當(dāng)它的測地曲率為零。曲線是曲面測地線當(dāng)且僅當(dāng)它的測地曲率為零。 例例1 1證明球面上的大圓是測地線。證明球面上的大圓是測地線。 (n)(n)(n)n n g nnttn n g 第二章 曲面：局部理論 定理定理（liouvilleliouville公式）公式）假設(shè)假設(shè) 是曲面是曲面 上的上的正交正交參數(shù)表示，參數(shù)表示， 是是 上的上的 一條曲線，其中一條曲線，其中 是弧長參數(shù)。是弧長參數(shù)。 假定曲線假定曲線 與與 曲線的夾角為曲線的夾角為 ，則曲，則曲 線線 的測地曲率為的測地曲率為 m ( ( ), ( )x u s v s ( , )x u v m 1ln1ln cossin . 22 g deg dsvuge u s 第二章 曲面：局部理論 證明：證明： 曲線和曲線和 曲線的單位切向量為曲線的單位切向量為 曲線曲線 的切向量的切向量 夾角夾角 滿足滿足 darbouxdarboux標(biāo)架中標(biāo)架中 12, dudv teege dsds 12 nsincos.tee 12 11 ,. uv exex eg cos,sin. dudv eg dsds