幾道中考幾何應(yīng)用題的剖析

1、數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科， 最終必須為人們生產(chǎn)、生活服務(wù)，體現(xiàn)它的實(shí)用性。 作為中考在考查學(xué)生的理論知識(shí)的同時(shí)， 也必然考查學(xué)生設(shè)計(jì)方案， 動(dòng)手操作等 實(shí)踐能力。特別是近幾年，各地中考加大了作為能較好考查學(xué)生的實(shí)踐能力的幾 何應(yīng)用題。幾何應(yīng)用題的難度與廣度，使得作為一線的師生們勢(shì)必將引起高度重視。 瀏覽了部分地區(qū)中考中的幾何應(yīng)用題， 略有些粗淺認(rèn)識(shí)， 現(xiàn)歸類如下， 以饗 、七 讀者。一、以圓與圓外切等有關(guān)知識(shí)為主線，意在考查學(xué)生方案決擇問題例 1. 2010 年湖北恩施第 23 題：（ 1 ）計(jì)算：如圖（ 1 ），直徑為 a 的三等 圓。0、OQ、O Q兩兩外切，切點(diǎn)分別為 A B、C,求OA的長(zhǎng)

2、（用含a的代數(shù) 式表示） .（ 2）探索：若干個(gè)直徑為 a 的圓圈分別按如圖（ 2）所示的方案一和如圖 （ 3） 所示的方案二的方式排放，探索并求出這兩種方案中n層圓圈的高度ha和h a（用含 n、 a 的代數(shù)式表示）（ 3）應(yīng)用：現(xiàn)有長(zhǎng)方體集裝箱，其內(nèi)空長(zhǎng)為 5 米，寬為 3.1 米，高為 3.1 米.用這樣的集裝箱裝運(yùn)長(zhǎng)為 5 米，底面直徑（橫截面的外圓直徑）為 0.1 米的 圓柱形鋼管，你認(rèn)為采用（ 2）中的哪種方案在該集裝箱中裝運(yùn)鋼管數(shù)最多？并 求出一個(gè)這樣的集裝箱最多能裝運(yùn)多少根鋼管？（）解析（1）v Q,O C2,O Q 兩兩相切 二 OQ=QQ=OQ=a又 QA=QACA丄 C2

3、C3（ 2 ）（ 3）方案二裝運(yùn)鋼管最多。理由：方案一，如圖（2）所示每層可放3.1 -0.仁31根，放置總根數(shù)31 X 31=961 根.方案二：如圖（ 3）所示 第一層排放 31 根 第二層排放 30根 依次循環(huán) 設(shè)鋼管的放置層數(shù)為n,可得w 3.1解得nw 35.68 n為正整數(shù)/. n=35鋼管放置總數(shù)：31 X 18+17X 30=1068根 1068 961方案二裝運(yùn)鋼管最多，最多可裝運(yùn) 1068根 點(diǎn)評(píng) 選擇最優(yōu)方案是人們生產(chǎn)生活中所追求的境界， 而它的本質(zhì)是數(shù)學(xué)知 識(shí)作核心支持的類題1. 2008 年甘肅白銀，第 24題. 是一盒剛打開的“蘭州”牌香煙， 圖是它的橫截面（矩形

4、ABCD，已知每支香煙底面圓的直徑是 8mm.（1）矩形 ABCD勺長(zhǎng) AB=mm;（2）利用圖求矩形ABCD勺寬AD （，結(jié)果精確到0.1mm類題2. 2008年江蘇南通第27題。在一次數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)活動(dòng)中，某學(xué)習(xí) 小組要制作一個(gè)圓錐體模型，操作規(guī)則是：在一塊邊長(zhǎng)為16cm的正方形紙片上剪出一個(gè)扇形和一個(gè)圓，使得扇形圍成圓錐的側(cè)面時(shí)，圓恰好是該圓錐的底面 他們首先設(shè)計(jì)了如圖所示的方案一， 發(fā)現(xiàn)這種方案不可行， 于是他們調(diào)整了扇形 和圓的半徑， 設(shè)計(jì)了如圖所示的方案二 （兩個(gè)方案的圖中， 圓與正方形相鄰兩邊 及扇形的弧均相切 . 方案一中扇形的弧與正方形的兩邊相切） .（1）請(qǐng)說明方案一不可行

5、的理由；（2）判斷方案二是否可行？若可行， 請(qǐng)確定圓錐的母線長(zhǎng)及其底面圓半徑； 若不可行，請(qǐng)說明理由 .二、以扇形、圓錐的轉(zhuǎn)化關(guān)系為切入點(diǎn)，意在考查幾何方面的最值問題。例2. 2010年黃岡市第10題。將半徑為4cm的半圓圍成一個(gè)圓錐，在圓錐 內(nèi)接一個(gè)圓柱（如圖所示），當(dāng)圓柱的側(cè)面的面積最大時(shí)，圓住的底面半徑是 cm. 解析 第 1 步，扇形轉(zhuǎn)化為圓錐，設(shè)圓錐底面半徑為 Rcm. R=2第 2 步，在圓錐中截取圓柱，設(shè)圓柱底面半徑為 x cm.高 EF=y cm CF=2-x在 Rt COD中,OD/ EF 即當(dāng) x=1 時(shí)， S 有最大值 . 點(diǎn)評(píng) 本題是看似簡(jiǎn)單，實(shí)則是很復(fù)雜的綜合幾何應(yīng)用

6、題，考查知識(shí)點(diǎn)廣， 難度大。類題2010 年孝感市第 10題。如圖，圓錐的底面半徑為 5，母線長(zhǎng)為 20， 一只蜘蛛從底面圓周上一點(diǎn) A出發(fā)沿圓錐的側(cè)面爬行一周后回到點(diǎn) A的最短路程 是（）A.8 B.C. D. 預(yù)測(cè)題 如圖，圓錐的底面半徑為 2，母線長(zhǎng)為 6。一只螞蟻從底面圓周上 一點(diǎn)A出發(fā)沿圓錐的側(cè)面爬到OB的中點(diǎn)C.則螞蟻爬行的最短路程是三、以臺(tái)風(fēng)、管道等線路問題為載體，意在考查原始幾何公理，以及三角形的相關(guān)知識(shí)。例 3 2009湖北黃岡市第 18題：如圖，在海面上產(chǎn)生了一股強(qiáng)臺(tái)風(fēng)，臺(tái)風(fēng)中心（記為點(diǎn)M位于海濱城市（記作點(diǎn)A）的南偏西15，距離為km,且位于臨 海市(記作點(diǎn)B)正西方向k

7、m處.臺(tái)風(fēng)中心正以72km/h的速度沿北偏東60的 方向移動(dòng)(假設(shè)臺(tái)風(fēng)在移動(dòng)過程中的風(fēng)力保持不變)，距離臺(tái)風(fēng)中心 60k m的圓 形區(qū)域均會(huì)受到此次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)的侵襲 .(1) 濱海市、臨海市是否會(huì)受到此次臺(tái)風(fēng)的侵襲？請(qǐng)說明理由.(2) 若受到此次臺(tái)風(fēng)侵襲，該城市受到臺(tái)風(fēng)侵襲的持續(xù)時(shí)間有多少小時(shí)？解析(1)設(shè)臺(tái)風(fēng)中心運(yùn)行的路線為射線 MN貝過A作AHL MN于H.則厶AMH為等腰直角三角形.，二 AH=6160故濱海市不受到臺(tái)風(fēng)影響。過B作BH丄MN于H?V 60故臨海市會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響。(2)以B為圓心，60半徑作圓交MN于Ti, T2.貝 BT1=BT2=60.在 Rt BTHi中，,即厶BT1T

8、2為等邊三角形 T1T2=60臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過線段T1T2上所用時(shí)間為點(diǎn)評(píng)“點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短”、“兩點(diǎn)之間，線段最短”等，這兩個(gè)原始幾何公理是解決這類問題的法寶，也是考查熱點(diǎn)。類題1. 2010年杭州市第23題。如圖，臺(tái)風(fēng)中心位于點(diǎn)P,并沿東北方向 PQ移動(dòng)，已知臺(tái)風(fēng)移動(dòng)的速度為30千米/時(shí)，受影響區(qū)域的半徑為200千米，B 市位于點(diǎn)P的北偏東75方向上，距離點(diǎn)P320千米處.( 1 )說明本次臺(tái)風(fēng)會(huì)影響 B 市；(2)求這次臺(tái)風(fēng)影響B(tài)市的時(shí)間.類題2. 2010 年黃岡市第 23題。如圖，某天然氣公司的主輸氣管道從 A 市的東偏北30方向直線延伸，測(cè)繪員在 A處測(cè)得要安裝天然氣的M小區(qū)

9、在A 市東偏北60方向上，測(cè)繪員沿主輸氣管道步行 2000米到達(dá)C處，測(cè)得小區(qū)M 位于C的北偏西60方向上，請(qǐng)你在主輸氣管道上尋找支管道連接點(diǎn) N,使到該 小區(qū)鋪設(shè)的管道最短，并求 AN的長(zhǎng).四、以生活中的實(shí)物為模型， 意在考查學(xué)生的想象能力， 解決實(shí)際問題的能力。例4. 2010年河北省第23題。某種在同一平面進(jìn)行傳動(dòng)的機(jī)械裝置如圖， 圖是它的示意圖.其工作原理是：滑塊Q在平直滑道I上可以左右滑動(dòng)，在Q 滑動(dòng)的過程中，連桿PQ也隨之運(yùn)動(dòng)，并有PQ帶動(dòng)連桿OP繞固定點(diǎn)O擺動(dòng)，在 擺動(dòng)過程中，兩連桿的接點(diǎn)P在以O(shè)P為半徑的。O上運(yùn)動(dòng).數(shù)學(xué)興趣小組為進(jìn)一 步研究其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)，過點(diǎn)O作OHL

10、 l于點(diǎn)H,并測(cè)得O#4dmPQ=3dm OP=2dm.(1) 點(diǎn)Q與點(diǎn)o間的最小距離是dm點(diǎn)Q與點(diǎn)o之間的最大距離是dm點(diǎn)Q在I上滑到最左端的位置與滑到最右端位置間的距離是 dm；(2) 如圖，小明同學(xué)說：“當(dāng)點(diǎn) Q滑動(dòng)到點(diǎn)H的位置時(shí)，PQ與O O是相 切的. ”你認(rèn)為他的判斷對(duì)嗎？為什么？(3) 小麗同學(xué)發(fā)現(xiàn)：“當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到OH上時(shí)，點(diǎn)P到I的距離最小.”事實(shí)上，還存在著點(diǎn)p到I距離最大的位置，此時(shí)，點(diǎn)p到I的距離是dm當(dāng)OP繞點(diǎn)o左右擺動(dòng)時(shí)，所掃過的區(qū)域?yàn)樯刃?，求這個(gè)扇形面積最大時(shí) 圓心角的度數(shù) .解析(1) 4， 5， 6(2) 不對(duì)OP=2, PQ=3, OQ=4 且 42工22+3

11、2 OQm pQ+OP OP與 PQ不垂直 PQ與O o不相切.(3) 3;由中知，在O o上存在點(diǎn)P，P到I的距離均為3,此時(shí)OP#不能再 向下轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖，OP在繞點(diǎn)0左，右擺動(dòng)過程中所掃過的最大扇形就是 P OP 易求/ OPP 二/OP P=300，/ POP =120所求最大圓心角的度數(shù)為120 .點(diǎn)評(píng)在本題(3)中，體會(huì)當(dāng)連桿PQ運(yùn)動(dòng)到PQLI時(shí)，OP再不能向下轉(zhuǎn)動(dòng)，是難點(diǎn)，也是本題的精華，意在考察學(xué)生的想象能力，解決實(shí)際問題的能力.類題 2010 年江西省第 23 題。如圖( 1)所示的遮陽傘，傘柄垂直于水平 地面，其示意圖如圖(2),當(dāng)傘收緊時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合.當(dāng)傘慢慢撐開時(shí)，動(dòng) 點(diǎn)P由A向B移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，傘張得最開.已知傘在撐開的過程中， 總有 PM=PN=CMtCN=6.0 分米，CE=CF=18.0 分米，BC=20 分米.設(shè) AP=x 分米.(1) 求 x 的取值范圍;(2) 若/ CPI4600,求 x 的值；(3) 設(shè)陽光直射下，傘下的陰影(假定為圓面)面積為