人教版高中數(shù)學(xué)必修一學(xué)案：《用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征》(含答案)

1、2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征(一)【明目標(biāo)、知重點】1能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征，并做出合理的解釋2會求樣本的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)3能從頻率分布直方圖中，求得眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)【填要點、記疑點】1眾數(shù)的概念一組數(shù)據(jù)中重復(fù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫做這組數(shù)的眾數(shù)2中位數(shù)的定義把一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，把處于中間位置的那個數(shù)稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)當(dāng)數(shù)據(jù)個數(shù)為奇數(shù)時， 中位數(shù)是按從小到大的順序排列的中間的那個數(shù) 當(dāng)數(shù)據(jù)個數(shù)為偶數(shù)時，中位數(shù)是按從小到大的順序排列的最中間兩個數(shù)的平均數(shù)3平均數(shù)的概念如果有 n 個數(shù) x1， x2， x3， ， xn，那么 x 1(x1 x2 xn)

2、叫這 n 個數(shù)的平均數(shù)n【探要點、究所然】 情境導(dǎo)學(xué) 美國 NBA 在 2011 2012 年度賽季中，甲、乙兩名籃球運動員在隨機抽取的12 場比賽中的得分情況如下：甲運動員得分：12,15,20,25,31,30, 36,36,37,39,44,49；乙運動員得分： 8,13,14,16,23,26, 28,38,39,51,31,39. 如果要求我們根據(jù)上面的數(shù)據(jù)，估計、比較甲， 乙兩名運動員哪一位發(fā)揮得比較穩(wěn)定，就應(yīng)有相應(yīng)的數(shù)據(jù)作為比較依據(jù)，即通過樣本數(shù)字特征對總體的數(shù)字特征進行研究所以今天我們開始學(xué)習(xí)用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征探究點一眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)問題在初中我們學(xué)過眾數(shù)、

3、中位數(shù)和平均數(shù)的概念，它們都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的特征數(shù)， 只是描述的角度不同，你還能回憶起眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的定義及特點嗎？思考 1眾數(shù)是如何定義的？有什么特點？舉例加以說明答眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)特點：是這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)；(2)眾數(shù)可以有一個或多個；(1)眾數(shù)如：一組數(shù)據(jù)為2,2,3,4,4,5,5,6,7,8；眾數(shù)為2,4,5.思考 2中位數(shù)是如何定義的？有什么特點？舉例加以說明答中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)特點： (1)排序后找中位數(shù)；(2)中位數(shù)只有一個；

4、(3) 中位數(shù)不一定是這組數(shù)據(jù)中的數(shù)如：一組數(shù)據(jù)為2,2,3,4,4,5,5,6,7,8；中位數(shù)為 12(4 5) 4.5.思考 3平均數(shù)是如何定義的？答平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即1x ( x1 x2 xn)n探究點二眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的關(guān)系思考 1如何在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，估計出眾數(shù)的值？舉例加以說明答眾數(shù)大致的值就是樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中最高矩形的中點的橫坐標(biāo)例如，在 2.2.1( 一)節(jié)調(diào)查的100 位居民的月均用水量的問題中，從這些樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖可以看出，月均用水量的眾數(shù)估計是2.25 t如圖所示：思考 2如何在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，

5、估計出中位數(shù)的值？舉例加以說明答在樣本中，有50%的個體小于或等于中位數(shù)，也有50% 的個體大于或等于中位數(shù)，因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)使得在它左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等，由此可以估計中位數(shù)的值，下圖中虛線代表居民月均用水量的中位數(shù)的估計值，此數(shù)據(jù)值為 2.02 t.思考3如何在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中估計出平均數(shù)的值？答平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，是直方圖的平衡點，因此， 每個小矩形的面積與小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)的乘積之和為平均數(shù)思考4從居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)可知，該樣本的眾數(shù)是2.3，中位數(shù)是2.0，平均數(shù)是 1.973，這與我們從樣本頻率分布直方圖得出的結(jié)論有偏差，你

6、能解釋一下原因嗎？答 因為樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖只是直觀地表明分布的形狀， 從直方圖本身得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，也就是說頻率分布直方圖損失了一些樣本數(shù)據(jù)，得到的是一個估計值，且所得估計值與數(shù)據(jù)分組有關(guān)，所以估計的值有一定的偏差思考 5根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)各自的特點，你能分析它們對反映總體存在的不足之處嗎？答 (1)眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點，但它對其它數(shù)據(jù)信息的忽視使得無法客觀地反映總體特征；(2) 中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線，它不受少數(shù)幾個極端值的影響，這在某些情況下是優(yōu)點，但它對極端值的不敏感有時也會成為缺點；(3) 由于平均數(shù)與每一個樣本的數(shù)據(jù)有關(guān)，所以任何一個樣本數(shù)據(jù)的改變

7、都會引起平均數(shù)的改變， 這是眾數(shù)、 中位數(shù)都不具有的性質(zhì) 也正因如此， 與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來，平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息， 但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中的極端值的影響較大，使平均數(shù)在估計時可靠性降低例 1樣本 (x1，x2， ， xn)的平均數(shù)為x ，樣本 (y1，y2， ， ym)的平均數(shù)為 y ( x y )若樣本 (x1，x2， ， xn，y1，y2， ， ym)的平均數(shù) z x (1 ) y ，其中 01，則 n，2m 的大小關(guān)系為()A nmCn mD 不能確定答案A解析利用兩個樣本平均數(shù)表示總體平均數(shù)，從而確定系數(shù).x x1 x2 xn， y y1y2 ym，nmz x1

8、x2 xn y1 y2 ym，mnn x m ynm則 z m n x mn y .m n由題意知 0n1， nm.m n2反思與感悟根據(jù)樣本頻率分布直方圖，可以分別估計總體的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)(1)眾數(shù)：最高矩形下端中點的橫坐標(biāo)；(2)中位數(shù)：直方圖面積平分線與橫軸交點的橫坐標(biāo)(3)平均數(shù)：每個小矩形的面積與小矩形底邊中點的橫坐標(biāo)的乘積之和跟蹤訓(xùn)練 1 在一次中學(xué)生田徑運動會上，參加男子跳高的17 名運動員的成績?nèi)绫硭荆撼煽?(單位： m)1.501.601.651.701.751.801.851.90人數(shù)23234111分別求這些運動員成績的眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)解在17個數(shù)據(jù)中， 1.

9、75出現(xiàn)了4 次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，即這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是1.75.上面表里的17 個數(shù)據(jù)可看成是按從小到大的順序排列的，其中第 9 個數(shù)據(jù) 1.70 是最中1間的一個數(shù)據(jù)，即這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是1.70；這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是x 17(1.50 228.751.603 1.90 1)17 1.69(m)答 17 名運動員成績的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)依次為1.75 m， 1.70 m,1.69 m.探究點三眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的簡單應(yīng)用例 2某公司的 33 名職工的月工資 (單位：元 )如下表：職業(yè)董事長副董事董事總經(jīng)理經(jīng)理管理員職員長人數(shù)11215320工資5 5005 0003 5003 0002 50

10、02 0001 500(1)求該公司職工月工資的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)(2)若董事長、副董事長的工資分別從5 500 元、 5 000 元提升到30 000 元、 20 000 元，那么公司職工新的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)又是什么？(3)你認為哪個統(tǒng)計量更能反映這個公司員工的工資水平？解 (1)公司職工月工資的平均數(shù)為x 5 500 5 000 3 500 23 0002 500 52 0003 1 50020 33 69 000 2 091(元 )33若把所有數(shù)據(jù)從大到小排序，則得到：中位數(shù)是1 500 元，眾數(shù)是1 500 元(2)若董事長、副董事長的工資提升后，職工月工資的平均數(shù)為x 30 0

11、00 20 0003 500 2 3 0002 500 5 2 000 3 1 500 20108 500 33333288(元 )中位數(shù)是 1 500 元，眾數(shù)是 1 500 元(3) 在這個問題中，中位數(shù)和眾數(shù)都能反映出這個公司員工的工資水平，因為公司少數(shù)人的工資額與大多數(shù)人的工資額差別較大，這樣導(dǎo)致平均數(shù)與中位數(shù)偏差較大，所以平均數(shù)不能反映這個公司員工的工資水平反思與感悟樣本的眾數(shù)、 中位數(shù)和平均數(shù)常用來表示樣本數(shù)據(jù)的“中心值 ”，其中眾數(shù)和中位數(shù)容易計算，不受少數(shù)幾個極端值的影響，但只能表達樣本數(shù)據(jù)中的少量信息平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息，但受樣本中每個數(shù)據(jù)的影響，越極端的數(shù)據(jù)對平均數(shù)的

12、影響也越大跟蹤訓(xùn)練2某班甲、乙兩名學(xué)生的高考備考成績?nèi)缦拢杭祝?512554528549536556534541522538乙： 515558521543532559536548527531(1)用莖葉圖表示兩名學(xué)生的成績；(2)分別求兩名學(xué)生成績的中位數(shù)和平均分解 (1)兩學(xué)生成績的莖葉圖如圖所示 .(2)將甲、乙兩學(xué)生的成績從小到大排列為：甲： 512522528534536538541549554556乙： 515521527531532536543548558559從以上排列可知甲學(xué)生成績的中位數(shù)為536 538 537.2乙學(xué)生成績的中位數(shù)為532 536534.2甲學(xué)生成績的平均分

13、為50012 22 28 34 36 38 41 49 5456 537，10乙學(xué)生成績的平均分為50015 21 27 31 32 36 43 48 5859 537.10例 3 某課外活動小組對該市空氣含塵調(diào)查， 下面是一天每隔兩小時測得的數(shù)據(jù)： 0.03、0.03、0.04、0.05、 0.01、 0.03(單位： G/M3 )(1)求出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)？G(2)若國際 (國家環(huán)保局的標(biāo)準(zhǔn) )是平均值不得超過 0.025 /M3 ；問這一天城市空氣是否符合標(biāo)準(zhǔn)？解 (1)由題意知眾數(shù)是 0.03，中位數(shù)為 0.03.(2)這一天數(shù)據(jù)平均數(shù)是0.03， 0.03 0.025， 這一天

14、該城市空氣不符合國際標(biāo)準(zhǔn)反思與感悟如果樣本平均數(shù)大于樣本中位數(shù)，說明數(shù)據(jù)中存在許多較大的極端值；反之，說明數(shù)據(jù)中存在許多較小的極端值在實際應(yīng)用中， 如果同時知道樣本中位數(shù)和樣本平均數(shù)，可以使我們了解樣本數(shù)據(jù)中極端數(shù)據(jù)的信息，幫助我們作出決策跟蹤訓(xùn)練3某工廠人員及工資構(gòu)成如下：人員經(jīng)理管理人高級技工人學(xué)徒合計員工周工資2 200250220200100人數(shù)16510123合計2 2001 5001 1002 0001006 900(1)指出這個問題中周工資的平均數(shù)(2)這個問題中，工資的平均數(shù)能客觀地反映該廠的工資水平嗎？為什么？解 (1) x 1 (2 200 6 250 5 22010 20

15、0 100) 300. 23(2)因平均數(shù)為300，由表格中所列出的數(shù)據(jù)可見，只有經(jīng)理在平均數(shù)以上，其余的人都在平均數(shù)以下，故用平均數(shù)不能客觀真實地反映該工廠的工資水平【當(dāng)堂測、查疑缺】1下列說法錯誤的是()A 在統(tǒng)計里，把所需考察對象的全體叫作總體B一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定大于這組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)C平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢D眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)答案B解析平均數(shù)不大于最大值，不小于最小值2一個樣本數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為13,14,19，x,23,27,28,31，其中位數(shù)為22，則x 為()A21B22C20D 23答案A解析數(shù)據(jù)個數(shù)為偶數(shù)時，中位數(shù)

16、為中間兩數(shù)的平均值x 23 22， x 21.23已知樣本數(shù)據(jù) x1， x2， ， x10，其中 x1，x2， x3 的平均數(shù)為 a，x4， x5，x6， ， x10 的平均數(shù)為 b，則樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為()a b3a 7b7a 3ba bA. 2B.10C.10D. 10答案B解析前 3 個數(shù)據(jù)的和為 3a，后 7 個數(shù)據(jù)的和為7b，樣本平均數(shù)為 10 個數(shù)據(jù)的和除以10.4某高校有甲，乙兩個數(shù)學(xué)建模興趣班，其中甲班40 人，乙班50 人現(xiàn)分析兩個班的一次考試成績，算得甲班的平均成績是90 分，乙班的平均成績是81 分，則該校數(shù)學(xué)建模興趣班的平均成績是 _分答案85解析平均成績?yōu)?40 90 50 81 85.90【呈重點、現(xiàn)規(guī)律】1一組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)可能不止一個，眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中