233平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

1、實(shí)用精品文獻(xiàn)資料分享233平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算2. 3.2 & 2.3.3平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算預(yù)習(xí)課本P9498,思考并完成以下問題(1)怎樣分解一個(gè)向量才為 正交分解？ (2)如何由a, b的坐標(biāo)求a+ b, a b,入a的坐標(biāo)？新 知初探1.平面向量正交分解的定義 把一個(gè)平面向量分解為兩個(gè)互 相垂直的向量.2 .平面向量的坐標(biāo)表示(1)基底：在平面直角坐標(biāo) 系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，作為基底.(2) 坐標(biāo)：對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a,有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)x, y,使得a = xi + yj，則有序?qū)崝?shù)對(duì)(x , y)叫做向

2、量a的坐標(biāo).(3)坐標(biāo)表示：a =(x ,y) . (4)特殊向量的坐標(biāo)：i = (1,0) ,j = (0,1) , 0= (0,0).點(diǎn) 睛(1)平面向量的正交分解實(shí)質(zhì)上是平面向量基本定理的一種應(yīng) 用形式，只是兩個(gè)基向量e1和e2互相垂直.(2)由向量坐標(biāo)的定義， 知兩向量相等的充要條件是它們的橫、縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相等，即a= b? x1=x2 且 y1 = y2,其中 a= (x1 , y1) , b= (x2 , y2) . 3 .平面向量的 坐標(biāo)運(yùn)算 設(shè)向量a = (x1 , y1) , b= (x2 , y2),入 R,則有下表：文 字描述符號(hào)表示加法兩個(gè)向量和的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相

3、 應(yīng)坐標(biāo)的和a + b= (x1 + x2 , y1 + y2)減 法 兩個(gè)向量差的坐標(biāo)分別 等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的差 a b= (x1 x2 , y1 y2)數(shù) 乘 實(shí)數(shù) 與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)入a =(入x1 ,入y1)重要結(jié)論 一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段 的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)已知A(x1 , y1) , B(x2 , y2),貝S =(x2 x1, y2 y1)點(diǎn)睛(1)向量的坐標(biāo)只與起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對(duì)位 置有關(guān)，而與它們的具體位置無關(guān).(2)當(dāng)向量確定以后，向量的坐 標(biāo)就是唯一確定的，因此向量在平移前后，其坐標(biāo)不變.小試身手 1.判斷下列命

4、題是否正確.(正確的打“,錯(cuò)誤的打“X” ) (1) 相等向量的坐標(biāo)相同與向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)無關(guān).()(2)當(dāng)向量的始點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐標(biāo).()(3)兩向量差的坐標(biāo)與兩向量的順序無關(guān).()(4)點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)相同.()答案：(1) V (2) V (3) X X 2.若a=(2,1) , b= (1,0),則 3a + 2b 的坐標(biāo)是()A . (5,3)B. (4,3) C . (8,3) D . (0，- 1)答案：C 3.若向量 =(1,2),= (3,4)，則=()A. (4,6) B. ( - 4, -6) C. ( -2, - 2) D. (2,2)答案

5、：A 4.若點(diǎn)M(3,5),點(diǎn)N(2,1),用坐標(biāo)表示向量 =.答案：(一1，- 4)平面向量的坐標(biāo)表示典例如圖，在邊長為1的正方形ABCDK AB與x軸正半軸成30角.求點(diǎn)B和點(diǎn)D的坐標(biāo)和 與 的坐標(biāo).解由題知B, D分 別是30, 120角的終邊與單位圓的交點(diǎn).設(shè)B(x1 , y1) , D(x2 ,y2). 由三角函數(shù)的定義，得 x1 = cos 30 = 32, y1= sin 30 = 12,a B32, 12. x2 = cos 120 =- 12, y2 = sin 120 = 32,/.D12, 32. / = 32, 12,=- 12, 32.求點(diǎn)和向量坐標(biāo)的常用方法(1)求

6、一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可以轉(zhuǎn)化為求該點(diǎn) 相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的位置向量的坐標(biāo).(2)在求一個(gè)向量時(shí)，可以首先 求出這個(gè)向量的起點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo)，再運(yùn)用終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo) 得到該向量的坐標(biāo).活學(xué)活用已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，|43, / xOA=60, (1)求向量 的坐標(biāo)；(2)若B(3, - 1)，求 的坐標(biāo). 解：(1)設(shè)點(diǎn) A(x , y)，則 x = 43cos 60 = 23, y = 43sin 60 = 6, 即 A(23, 6),= (23 , 6) . (2)= (23 , 6) (3 , - 1) = (3 , 7).平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算典例(1)已知三點(diǎn)A(2 , - 1) ,

7、 B(3,4) , C(-2,0), 則向量3 + 2 =, 2 =. (2)已知向量a , b的坐標(biāo)分別是(1,2) , (3 , -5),求 a+ b , a-b,3a,2a + 3b 的坐標(biāo).解 析(1) t A(2 , - 1), B(3,4) , C(- 2,0) , / = (1,5) ,= (4,-1), = ( - 5 , - 4) ./ 3 + 2 = 3(1,5) + 2(4 , - 1) = (3 + 8,15-2) = (11,13) . -2 = ( - 5, -4) -2(1,5) = ( -5-2, -4- 10) =(-乙一14).答案(11,13)( - 7

8、, - 14)解：a + b=(-1,2) + (3, -5) = (2, -3), a -b= ( - 1,2) -(3 , - 5) = ( -4,7), 3a=3( - 1,2) = ( - 3,6) , 2a + 3b=2( - 1,2) + 3(3 , - 5) = ( - 2,4) + (9, -15) = (7, - 11).平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧(1)若已知向 量的坐標(biāo)，則直接應(yīng)用兩個(gè)向量和、差及向量數(shù)乘的運(yùn)算法則進(jìn) 行.(2)若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則可先求出向量的坐標(biāo)，然 后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算.(3)向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算可完全類比數(shù)的 運(yùn)算進(jìn)行.活學(xué)活用1.設(shè)平面向量a

9、 = (3,5) ,b= ( 2,1)，則a 2b=()A. (7,3)B. (7,7) C. (1,7) D. (1,3) 解析：選Av 2b= 2( 2,1) = ( 4,2), a 2b= (3,5) ( 4,2)=3) . 2 .已知 M(3, 2) ,N( 5, 1) ,=12 ,則 P 點(diǎn)坐標(biāo)為.解析：設(shè) P(x, y) ,= (x 3, y + 2) ,=( 8,1),二= 12= 12( 8,1) = 4, 12,二X 3= 4, y +2= 12.二x= 1,y=32.答案：1, 32向量坐標(biāo)運(yùn)算的綜合應(yīng)用典例已知點(diǎn)0(0,0) , A(1,2) , B(4,5) 及=+1

10、, t為何值時(shí)，點(diǎn)P在x軸上？點(diǎn)P在y軸上？點(diǎn)P在第 二象限？解因?yàn)?=+1 = (1,2) +1(3,3) = (1 + 3t,2 + 3t),若點(diǎn)P在x軸上，則2+ 3t = 0,所以t = 23.若點(diǎn)P在y軸上， 則1 + 3t = 0,所以t = 13.若點(diǎn)P在第二象限，則1 + 3t V 0, 2 + 3t 0,所以23Vt V 13. 一題多變1 .變條件本例中條 件“點(diǎn)P在x軸上，點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)P在第二象限”若換為“B為 線段AP的中點(diǎn)”試求t的值.解：由典例知P(1 + 3t,2 + 3t),則 1 + 1 + 3t2 = 4, 2 + 2+ 3t2 = 5,解得t = 2.

11、 2 .變?cè)O(shè)問本例條件不 變，試問四邊形OABP能為平行四邊形嗎？若能，求出t值；若不能， 說明理由. 解：=(1,2) ,= (3 3t,3 3t).若四邊形OABP為平行四邊形，貝卩=,所以3 3t = 1,3 3t = 2,該方程組無解.故四邊形OAB環(huán)能成為平行四邊形.向量中含參數(shù)問題的求解(1) 向量的坐標(biāo)含有兩個(gè)量：橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，如果橫或縱坐標(biāo)是一個(gè)變 量，則表示向量的點(diǎn)的坐標(biāo)的位置會(huì)隨之改變.(2)解答這類由參數(shù) 決定點(diǎn)的位置的題目，關(guān)鍵是列出滿足條件的含參數(shù)的方程(組)，解 這個(gè)方程(組),就能達(dá)到解題的目的.層級(jí)一 學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1 .如 果用i ,j分別表示x軸和y軸方向上

12、的單位向量，且A(2,3) ,B(4,2), 則可以表示為()A. 2i + 3jB . 4i + 2j C. 2ij D . 2i + j解析：選C記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則 =2i + 3j ,=4i + 2j，所以 = =2i j. 2 .已知 =a,且 A12, 4, B14, 2, 又入=12,貝卩入 a 等于()A. 18, 1 B. 14, 3 C. 18, 1 D.14, 3 解析：選 A va= = 14, 2- 12, 4=- 14, 2, 二入 a=12a=- 18,-1. 3.已知向量 a = (1,2) ,2a + b= (3,2)，則 b=()A. (1 , - 2) B

13、. (1,2) C . (5,6) D . (2,0) 解析：選 A b = (3,2) -2a= (3,2) -(2,4) = (1 , -2) . 4 .在平行四邊形 ABCD, AC為 一條對(duì)角線，=(2,4) , = (1,3)，貝S = () A. (2,4) B. (3,5)C. (1,1) D . (- 1,- 1)解析：選 C =-=-=-(-)=(1,1) . 5 .已知 M(- 2,7) , N(10, - 2)，點(diǎn) P是線段 MN上的點(diǎn), 且 =-2，則 P 點(diǎn)的坐標(biāo)為()A.( - 14,16) B. (22，- 11) C. (6,1)D. (2,4)解析：選 D 設(shè)

14、 P(x, y)，貝S = (10 - x, - 2 -y),=(-2-x,7 -y), 由 =-2 得 10-x = 4+ 2x,- 2-y =- 14 + 2y，所 以 x=2, y = 4. 6 .(江蘇高考)已知向量 a= (2,1) , b= (1 , 2), 若 ma+ nb= (9 , 8)(m , n R),貝卩 m- n 的值為. 解析：v ma nb= (2m + n , m- 2n) = (9 , 8) ,2m+ n = 9 , m- 2n=- 8 , m= 2 , n = 5,m- n = 2-5=- 3.答案：3 7 .若 A(2 , - 1), B(4,2) , C

15、(1,5),貝S + 2 =.解析：v A(2 , 1) , B(4,2),C(1,5) , = (2,3) ,= ( 3,3) . + 2 = (2,3) + 2( 3,3)=(2,3) + ( 6,6) = ( 4,9). 答案：(一4,9) 8 .已知 0是坐標(biāo)原 點(diǎn)，點(diǎn)A在第二象限，| = 6, / xOA= 150 向量 的坐標(biāo)為 . 解析：設(shè)點(diǎn) A(x , y),貝卩 x=| |cos 150 = 6cos 150 =33 , y = | |sin 150 = 6sin 150 = 3, 即 A( 33 , 3),所以=(33 , 3).答案：(一33 , 3) 9.已知 a= ,

16、 B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0), b= ( 3,4) , c = ( 1,1),且 a= 3b 2c ,求點(diǎn) A的坐標(biāo).解：vb=(3,4) , c = ( 1,1) , 3b 2c= 3( 3,4) 2( 1,1) = ( 9,12) (2,2) = ( 7,10),即 a = ( 7,10)=.又 B(1,0),設(shè) A點(diǎn)坐 標(biāo)為(x , y),貝S = (1 x,0 y) = ( 7,10) , 1 x= 7 , 0 y=10? x= 8 , y = 10 ,即A點(diǎn)坐標(biāo)為(8 , 10) . 10 .已知向量 = (4,3) ,= ( 3, 1),點(diǎn) A( 1, 2) . (1)求線段 BD 的中

17、點(diǎn) M的坐標(biāo).(2)若點(diǎn)P(2 , y)滿足 =入(入 R),求入與y的值.解： (1)設(shè) B(x1 , y1),因?yàn)?(4,3) , A( 1, 2),所以(x1 + 1 , y1 + 2) = (4,3),所以 x1 + 1 = 4 , y1 + 2 = 3,所以 x1 = 3 , y1 = 1,所 以B(3,1).同理可得D( 4, 3), 設(shè)BD的中點(diǎn)M(x2 , y2),則 x2 = 3-42=- 12, y2 = 1 32=- 1, 所以 Mk 12, 1. (2)由 =(3,1) - (2 ,y) =(1,1 -y) , = ( -4, - 3) - (3,1) =( -7, -

18、4),又 =入(入 R),所以(1,1 - y)=入(一7, - 4) = ( - 7 入，一4 入)，所 以 1 = - 7入，1 y = - 4 入，所以 入=一 17, y = 37.層級(jí)二 應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1 .已知向量 =(2,4) ,= (0,2)，則12 =()A. (- 2,- 2)B. (2,2) C. (1,1) D.(-1, - 1)解析：選 D 12 = 12( - ) = 12( -2, - 2) = ( - 1, - 1), 故選 D. 2 .已知向量 a = (1,2) , b= (2,3) , c = (3,4)，且 c=入 1a +入2b,貝S入1,入2的值分別為

19、()A.-2,1 B. 1,-2 C. 2,-1 D. 1,2 解析：選 D vc=1a+入 2b, 二(3,4)=入 1(1,2) + 入 2(2,3)=(入 1 +2 入 2,2 入 1 + 3 入 2) ,入 1 + 2 入 2= 3, 2 入 1 +3入2= 4,解得入1 = - 1,入2 = 2. 3 .已知四邊形ABCD勺三個(gè)頂點(diǎn) A(0,2) , B(- 1,-2) , C(3,1)，且=2 ,則頂點(diǎn) D的坐標(biāo)為()A. 2, 72 B. 2,- 12 C. (3,2) D . (1,3) 解析：選 A 設(shè)點(diǎn) D(m n)，則由題意得(4,3) = 2(m, n-2) = (2m

20、,2n - 4)，故 2m= 4, 2n-4 =3,解得m= 2, n = 72,即點(diǎn)D2, 72,故選A. 4 .對(duì)于任意的兩個(gè) 向量 m= (a , b), n= (c , d),規(guī)定運(yùn)算“ ？ ”為 m? n= (ac - bd, bc + ad)，運(yùn)算“ ？ ”為 m? n = (a + c, b+ d).設(shè) f = (p , q), 若(1,2) ? f = (5,0),則(1,2) ? f 等于()A. (4,0) B. (2,0)C. (0,2) D . (0, - 4)解析：選 B 由(1,2) ?f = (5,0),得 p-2q =5,2p+ q = 0,解得 p=1, q=

21、-2,所以 f = (1 , -2),所以(1,2) ? f =(1,2) ? (1 , -2) = (2,0) . 5 .已知向量 i = (1,0) , j = (0,1), 對(duì)坐標(biāo)平面內(nèi)的任一向量a,給出下列四個(gè)結(jié)論：存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù) x , y,使得 a = (x , y);若 x1, x2 , y1, y2 R, a= (x1 , y1)工(x2, y2),則 x1mx2 ,且 y1y2;若 x , y R a= (x , y), 且0,貝S a的起點(diǎn)是原點(diǎn)O;若x , y R a0,且a的終點(diǎn) 坐標(biāo)是(x , y),則a = (x , y).其中，正確結(jié)論有 .解析：由平面向量基

22、本定理，可知正確；例如， a= (1,0)工(1,3), 但1 = 1,故錯(cuò)誤；因?yàn)橄蛄靠梢云揭?，所以a = (x , y)與a的起點(diǎn) 是不是原點(diǎn)無關(guān)，故錯(cuò)誤；當(dāng) a的終點(diǎn)坐標(biāo)是(x , y)時(shí)，a= (x , y)是以a的起點(diǎn)是原點(diǎn)為前提的，故錯(cuò)誤.答案：1 6.已知A(-3,0) , B(0,2) , O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) C在/ AOB內(nèi), |OC| = 22,且/ AOC =n 4.設(shè)=入+ (入 R),則入=.解析：過C作CELx軸于點(diǎn) E，由/ AO= n 4 知，|OE| = |CE| = 2,所以=+ =入 + , 即=入，所以(2,0)=入(3,0)，故入=23.答案：23 7 .在 ABC中，已知 A(7,8) , B(3,5) , C(4,3) , M N