點、直線、圓與圓的位置關系—知識講解[基礎]

1、點、直線、圓與圓的位置關系一知識講解（基礎）【學習目標】1. 理解并掌握點與圓、直線與圓、圓與圓的各種位置關系；2. 理解切線的判定定理、性質(zhì)定理和切線長定理，了解三角形的內(nèi)切圓和三角形的內(nèi)心的概念，并熟練 掌握以上內(nèi)容解決一些實際問題；3. 了解兩個圓相離（外離、內(nèi)含），兩個圓相切（外切、內(nèi)切），兩圓相交，圓心距等概念理解兩圓的位 置關系與d、ri、r2等量關系的等價條件并靈活應用它們解題.【要點梳理】要點一、點和圓的位置關系1 點和圓的三種位置關系：由于平面上圓的存在，就把平面上的點分成了三個集合，即圓內(nèi)的點，圓上的點和圓外的點，這三類點各具 有相同的性質(zhì)和判定方法；設O O的半徑為r,點

2、P到圓心的距離為d，則有點p在圓內(nèi)o況 f o +y學習參考（2）點尸在圓上令d =尸0+/ = n點P在圓外O況 r O Jd +尹r.2 .三角形的外接圓經(jīng)過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三 角形的外心.三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等要點詮釋：（1）點和圓的位置關系和點到圓心的距離的數(shù)量關系是相對應的，即知道位置關系就可以確定數(shù)量關系； 知道數(shù)量關系也可以確定位置關系；（2） 不在同一直線上的三個點確定一個圓.要點二、直線和圓的位置關系1 直線和圓的三種位置關系：（1）相交：直線與圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交.這時直線

3、叫做圓的割線.（2）相切：直線和圓有唯一公共點時，叫做直線和圓相切.這時直線叫做圓的切線， 唯一的公共點叫做切點.（3）相離：直線和圓沒有公共點時，叫做直線和圓相離.2 .直線與圓的位置關系的判定和性質(zhì).直線與圓的位置關系能否像點與圓的位置關系一樣通過一些條件來進行分析判斷呢？由于圓心確定圓的位置， 半徑確定圓的大小， 因此研究直線和圓的位置關系， 就可以轉(zhuǎn)化為直線和點（圓心） 的位置關系.下面圖（1）中直線與圓心的距離小于半徑；圖 （2）中直線與圓心的距離等于半徑；圖 （3）中直線與圓 心的距離大于半徑.0如果O O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d,那么(1) 直線/和OOt目交(2) 直

4、線和G)O相切 d = r；(3) 直線/和G)O相離odr要點詮釋：這三個命題從左邊到右邊反映了直線與圓的位置關系所具有的性質(zhì)；從右邊到左邊則是直線與圓的位置關系 的判定.要點三、切線的判定定理、性質(zhì)定理和切線長定理1. 切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線要點詮釋：切線的判定定理中強調(diào)兩點：一是直線與圓有一個交點，二是直線與過交點的半徑垂直，缺一不可.2 .切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點的半徑 3 .切線長：經(jīng)過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長要點詮釋：切線長是指圓外一點和切點之間的線段的長，不是“切線的長”的簡稱切線是直

5、線，而非線段4 切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角要點詮釋：切線長定理包含兩個結(jié)論：線段相等和角相等5.三角形的內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓6 .三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫做三角形的內(nèi)心三角形的內(nèi)心到三邊的距離都相等要點詮釋：(1) 任何一個三角形都有且只有一個內(nèi)切圓，但任意一個圓都有無數(shù)個外切三角形；(2) 解決三角形內(nèi)心的有關問題時，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長與內(nèi)切圓半徑乘積的一半，即一 l、(S為三角形的面積，P為三角形的周長，r為內(nèi)切圓的半徑).2三角形的外

6、心與內(nèi)心的區(qū)別:名稱確定方法圖形性質(zhì)外心(三角形外接圓的圓心)三角形三邊中垂線的交占八、A(1)到三角形三個頂點的距離相等，即 OA=OB=QC(2)外心不一定在三角形內(nèi)部內(nèi)心(三角形三角形三條角平分線內(nèi)切圓的圓的交點(1) 到三角形三邊距離相等；(2) 0A、OB OC分別平分/BAG / ABC / ACB (3)內(nèi)心在三角形內(nèi)部要點四、圓和圓的位置關系1 圓與圓的五種位置關系的定義兩圓外離：兩個圓沒有公共點，且每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外離兩圓外切：兩個圓有唯一公共點，并且除了這個公共點外，每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩 個圓外切這個唯一的公共點叫做切點兩

7、圓相交：兩個圓有兩個公共點時，叫做這兩圓相交兩圓內(nèi)切：兩個圓有唯一公共點，并且除了這個公共點外，一個圓上的點都在另一個圓的內(nèi)部時，叫做這兩 個圓內(nèi)切這個唯一的公共點叫做切點兩圓內(nèi)含：兩個圓沒有公共點，且一個圓上的點都在另一個圓的內(nèi)部時，叫做這兩個圓內(nèi)含2 兩圓的位置與兩圓的半徑、圓心距間的數(shù)量關系：設O 0的半徑為ri,O Q半徑為2, 兩圓心OO的距離為d,則：兩圓外離 一dri+r2兩圓外切一d=r計2兩圓相交 :r i-r 2 r 2)兩圓內(nèi)切一d=ri-r 2 (r ir2)兩圓內(nèi)含 d2)要點詮釋：分類,(1) 圓與圓的位置關系，既考慮它們公共點的個數(shù)，又注意到位置的不同，若以兩圓的

8、公共點個數(shù) 又可以分為：相離(含外離、內(nèi)含)、相切(含內(nèi)切、外切)、相交；(2) 內(nèi)切、外切統(tǒng)稱為相切，唯一的公共點叫作切點；(3) 具有內(nèi)切或內(nèi)含關系的兩個圓的半徑不可能相等，否則兩圓重合【典型例題】類型一、點與圓的位置關系i. 已知圓的半徑等于 5 cm,根據(jù)下列點 P到圓心的距離：(i)4 cm； (2)5 cm； (3)6 cm,判定點P與圓的 位置關系，并說明理由【答案與解析】學習參考(1) 當 d=4 cm 時，T dv r ,點 P在圓內(nèi)；(2) 當d=5 cm時，T d=r，點 P在圓上；(3) 當d=6 cm時，t d r，點P在圓外.【總結(jié)升華】禾U用點與圓的位置關系，由點

9、到圓心的距離與半徑的大小比較舉一反三：【變式】 點A在以0為圓心，3為半徑的OO內(nèi)，則點A到圓心0的距離d的范圍是.【答案】Ow dv 3.類型二、直線與圓的位置關系2. 在Rt ABC中，/ C=90, AC=3厘米，BC=4厘米，以C為圓心，r為半徑的圓與 AB有怎樣的位置關系？為什么？(1)r=2 厘米；(2)r=2.4 厘米；(3)r=3 厘米【答案與解析】過C點作CDL AB于D,在 Rt ABC中，/ C=90, AC=3, BC=4 得 AB=5Szabc =-AB-CD = -AC BC， ab cd=ac bc, mk 22CD=AC BCAB=口 =2.4 (cm),5(1

10、 )當i r =2cm 時 CD r ,圓C與AB相離;(2 )當i r= 2.4cm 時，CD=r,圓C與AB相切；(3 )當i r=3cm 時，CDV r ,圓C與AB相交.【總結(jié)升華】 欲判定O C與直線AB的關系，只需先求出圓心 C到直線AB的距離CD的長，然后再與r比較即可. 舉一反三：【變式】 如圖，P點是/ AOB的平分線OC上一點，PE丄OA于 E,以P為圓心，PE為半徑作O P .求證：O P與OB 相切。B【答案】 作PF丄OB于 F,則可證明厶OEPA OFP所以PF=PE即F在圓P上，故O P與OB相切。3. 如圖所示，在 Rt ABC中，/ B= 90,/ A的平分線

11、交 BC于D,以D為圓心，DB長為半徑作O D.求 證：AC是O D的切線.【答案與解析】過D作DF丄AC于F./ B= 90,. DB 丄AB.又AD平分/ BACDF = BD=半徑. AC與O D相切.【總結(jié)升華】 如果已知條件中不知道直線與圓有公共點，其證法是過圓心作直線的垂線段，再證明垂線段的長等于半徑的長即可.可簡記為：作垂直，證半徑.類型三、圓與圓的位置關系4. (1)已知兩圓的半徑分別為3cm, 5cm,且其圓心距為7cm,則這兩圓的位置關系是()A .外切 B .內(nèi)切 C .相交 D .相離(2) 已知O O與O Q相切，O O的半徑為3cm O Q的半徑為2cm,貝U 0Q

12、的長是()A. 1cm B . 5cm C . 1cm或 5cm D . 0.5cm 或 2.5cm【答案】(1) C ;( 2) C.【解析】(1)由于圓心距 d= 7cm, R+r= 5+3= 8(cm) , R-r = 5-3 = 2(cm). R-r v dv R+r,故這兩圓的位置關系是相交.(2)兩圓相切包括外切和內(nèi)切，當OO與O Q外切時，d = OQ= R+r= 3+2 = 5(cm);當O 0 與O Q內(nèi)切時，d= OQ= R-r = 3-2 = 1(cm).【總結(jié)升華】 由數(shù)量確定位置或由位置確定數(shù)量的依據(jù)是：兩圓外離二d R+r；兩圓外切二d = R+r；兩圓相交二 R-

13、r vd v R+r；兩圓內(nèi)切二d = R-r ；兩圓內(nèi)含二d v R-r .點、直線、圓與圓的位置關系一鞏固練習(基礎)【鞏固練習】一、選擇題1.已知：如圖，PA PB分別與O O相切于A, B點，C為O O上一點，/ ACB=65，則/ APB等于()A. 65B. 50C. 45 D . 402 .如圖，AB是O O的直徑，直線 EC切O 0于B點，若/ DBC=z，貝U ().1A.Z A= a B . Z A=90-a C . Z ABD= a D. Z ABD =90 -23.設OO的半徑為第2題圖I與OO至少有一個公共點,則d應滿足的條件是()學習參考A.d=3 B. dv 3C

14、. d 34 .在Rt ABC中，/ C=90 , AB=1Q AC=6以C為圓心作OC和AB相切，則OC的半徑長為（）A.8B.4C.9.6D.4.85.已知OO1 和OO 2的半徑分別為1和5,圓心距為3,則兩圓的位置關系是（）A.相交B.內(nèi)切C.外切D.內(nèi)含6 .已知：A, B, C, D, E五個點中無任何三點共線，無任何四點共圓，那么過其中的三點作圓， 最多能作出（）.A. 5個圓B. 8個圓C. 10個圓D. 12個圓二、填空題7 銳角三角形的外心在三角形的 部，鈍角三角形的外心在三角形的 部，直角三角形的外心在 .8.若 ABC中，/ C=90, AC=10cm BC=24cm則

15、它的外接圓的直徑為 .9 .若 ABC內(nèi)接于O 0, BC=12cm 0點到BC的距離為8cm,則O O的周長為 .10. 如圖所示，以O為圓心的兩個同心圓中， 大圓的弦是小圓的切線，C為切點，若兩圓的半徑分別為 3cm和5cm, 貝H AB的長為cm.11. 如圖所示，已知直線 AB是O O的切線，A為切點，OB交O O于點C,點D在O O上，且/ OBA= 40，則/ ADC第10題圖廠第11題圖0學習參考12. 如圖，施工工地的水平地面上，有三根外徑都是1 m的水泥管，兩兩相切地堆放在一起，其最高點到地面的距離是.三、解答題13. 如圖所示，四邊形 ABCD是平行四邊形，以 AB為直徑的

16、O O經(jīng)過點D, E是O O上一點，且/ AED= 45，試 判斷CD與OO的關系，并說明理由.14. AB是OO的直徑，BC切OO于B, AC交OO于D點，過 D作O O的切線DE交BC于E.求證：CE=BE.J3 E15. 如圖所示，AB是O O的直徑，P為AB延長線上任意一點，C為半圓AB的中點，PD切O 0于點D,連CD交AB于點E,求證：PD= PE學習參考【答案與解析】一、選擇題1. 【答案】B；【解析】連結(jié) OA 0B 則/ AOB=130，/ PAOM PBO=90，所以/ P=50 .2. 【答案】A;【解析】 AB是O O 的直徑，/ ADB=90，/ A+M ABD=90

17、 ,又直線 EC切O O于 B 點， +M ABD=90，/ A=a，故選 A.3. 【答案】C;【解析】直線I可能和圓相交或相切4. 【答案】D;【解析】作CDLAB于D,則CD為OC的半徑，BC= AB2 - AC2 = . 106 =8,由面積相等，得 AB- CD=AC BC.CD=4.8.105. 【答案】D;【解析】內(nèi)切、外切分別對應d=R r, d=R r,它們起著分界作用.在OO1和OO相對運動時依次產(chǎn)生外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含五種位置關系，圓心距逐漸變小，而相內(nèi)切和外切起著分界作用，所以先計算d+ r和d r，因為圓心距 d=3v R r，所以“內(nèi)含”.6. 【答案】C.

18、【解析】過其中的三點作圓，最多能作出10個，即分別過點 ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDECDE的圓.二、填空題7 .【答案】內(nèi)，外，它的斜邊中點處.8.【答案】26cm.9 .【答案】20 n cm10. 【答案】8.【解析】因為AB切小O O于C,連OA OC如圖，由切線的性質(zhì)知 OCLAB,又由垂徑定理得 AC= BC, 在 Rt AOC中, AO= 5, OC= 3.AB = 2AC= 8(cm).11. 【答案】25 .【解析】 OALAB,M OBA= 40,M BOA= 50,Z ADC= 1 Z BOA= 25 .212. 【答案】(1+丄m.2【解析】由于三個圓兩兩外切，所以圓心距等于半徑之和，所以三個圓心為頂點的三角形是邊長為1 m的