2021年初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專(zhuān)題培訓(xùn)(18)：歸納與發(fā)現(xiàn)_2

1、精編word文檔 下載可編輯初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專(zhuān)題培訓(xùn)(18)歸納與發(fā)現(xiàn)鼎吉教育（dinjeducation）中小學(xué)生課外個(gè)性化輔導(dǎo)中心資料初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專(zhuān)題培訓(xùn)講練初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專(zhuān)題培訓(xùn)第十八講歸納與發(fā)現(xiàn)歸納的方法是認(rèn)識(shí)事物內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律性的一種重要思考方法，也是數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)命題與發(fā)現(xiàn)解題思路的一種重要手段這里的歸納指的是常用的經(jīng)驗(yàn)歸納，也就是在求解數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，首先從簡(jiǎn)單的特殊情況的觀(guān)察入手，取得一些局部的經(jīng)驗(yàn)結(jié)果，然后以這些經(jīng)驗(yàn)作基礎(chǔ)，分析概括這些經(jīng)驗(yàn)的共同特征，從而發(fā)現(xiàn)解題的一般途徑或新的命題的思考方法下面舉幾個(gè)例題，以見(jiàn)一般例1如圖2-99，有一個(gè)六邊形點(diǎn)陣，它的中心是一個(gè)點(diǎn)，算作第一層；第二層每

2、邊有兩個(gè)點(diǎn)(相鄰兩邊公用一個(gè)點(diǎn))；第三層每邊有三個(gè)點(diǎn)，這個(gè)六邊形點(diǎn)陣共有n層，試問(wèn)第n層有多少個(gè)點(diǎn)？這個(gè)點(diǎn)陣共有多少個(gè)點(diǎn)？分析與解(1)在圖2-100中，設(shè)以p點(diǎn)為公共點(diǎn)的圓有1，2，3，4，5個(gè)(取這n個(gè)特定的圓)，觀(guān)察平面被它們所分割成的平面區(qū)域有多少個(gè)？為此，我們列出表181(2)這n個(gè)圓共有多少個(gè)交點(diǎn)？(1)這n個(gè)圓把平面劃分成多少個(gè)平面區(qū)域？分析與解我們來(lái)觀(guān)察點(diǎn)陣中各層點(diǎn)數(shù)的規(guī)律，然后歸納出點(diǎn)陣共有的點(diǎn)數(shù)s2-s1=2，第一層有點(diǎn)數(shù)1；s3-s23，第二層有點(diǎn)數(shù)16；s4-s34，第三層有點(diǎn)數(shù)26；s5-s45，第四層有點(diǎn)數(shù)36；由此，不難推測(cè)第n層有點(diǎn)數(shù)(n-1)sn-sn-1n因

3、此，這個(gè)點(diǎn)陣的第n層有點(diǎn)(n-1)6個(gè)n層共有點(diǎn)數(shù)為由表181易知把上面(n-1)個(gè)等式左、右兩邊分別相加，就得到sn-s1234n，因?yàn)閟1=2，所以例2在平面上有過(guò)同一點(diǎn)p，并且半徑相等的n個(gè)圓，其中任何兩個(gè)圓都有兩個(gè)交點(diǎn)，任何三個(gè)圓除p點(diǎn)外無(wú)其他公共點(diǎn)，那么試問(wèn)學(xué)習(xí)地址佛山市南海區(qū)南海大道麗雅苑中區(qū)雅廣居2d第1頁(yè)咨詢(xún)熱線(xiàn)0757-8630706713760993549（吉老師）鼎吉教育遵循“授人以魚(yú)，不如授人以漁”的教育理念秉承以人為本，質(zhì)量第一，突出特色，服務(wù)家長(zhǎng)下面對(duì)sn-sn-1=n，即sn=sn-1n的正確性略作說(shuō)明分析與解我們先來(lái)研究一些特殊情況因?yàn)閟n-1為n-1個(gè)圓把平面

4、劃分的區(qū)域數(shù)，當(dāng)再加上一個(gè)圓，即當(dāng)n個(gè)圓過(guò)定點(diǎn)p時(shí)，這個(gè)加上去的圓必與前n-1個(gè)圓相交，所以這個(gè)圓就被前n-1個(gè)圓分成n部分，加在sn-1上，所以有sn=sn-1n(2)與(1)一樣，同樣用觀(guān)察、歸納、發(fā)現(xiàn)的方法來(lái)解決為此，可列出表182(2)設(shè)b=n=2，類(lèi)似地可以列舉各種情況如表183(1)設(shè)b=n=1，這時(shí)b=1，因?yàn)閍bc，所以a=1，c可取1，2，3，若c=1，則得到一個(gè)三邊都為1的等邊三角形；若c2，由于ab=2，那么ab不大于第三邊c，這時(shí)不可能由a，b，c構(gòu)成三角形，可見(jiàn)，當(dāng)b=n=1時(shí)，滿(mǎn)足條件的三角形只有一個(gè)例3設(shè)a，b，c表示三角形三邊的長(zhǎng)，它們都是自然數(shù)，其中abc，如

5、果b=n(n是自然數(shù))，試問(wèn)這樣的三角形有多少個(gè)？由表182容易發(fā)現(xiàn)這時(shí)滿(mǎn)足條件的三角形總數(shù)為1+2=3a11，(3)設(shè)b=n=3，類(lèi)似地可得表184a2-a11，a3-a22，a4-a33，a5-a44，這時(shí)滿(mǎn)足條件的三角形總數(shù)為123=6通過(guò)上面這些特例不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)b=n時(shí)，滿(mǎn)足條件的三角形an-1-an-2n-2，an-an-1n-1n個(gè)式子相加這個(gè)猜想是正確的因?yàn)楫?dāng)b=n時(shí)，a可取n個(gè)值(1，2，3，n)，對(duì)應(yīng)于a的每個(gè)值，不妨設(shè)a=k(1kn)由于bcab，即ncnk，所以c可能取的值恰好有k個(gè)(n，n1，n2，nk-1)所以，當(dāng)b=n時(shí)，滿(mǎn)足條件的三角形總數(shù)為總數(shù)為例4設(shè)123n縮

6、寫(xiě)為n！(稱(chēng)作n的階乘)，試化簡(jiǎn)注意請(qǐng)讀者說(shuō)明an=an-1(n-1)的正確性1！12！23！3n！n.分析與解先觀(guān)察特殊情況以鮮明的教育理念啟發(fā)人以濃厚的學(xué)習(xí)氛圍影響人第2頁(yè)以不倦的育人精神感染人以?xún)?yōu)良的學(xué)風(fēng)學(xué)紀(jì)嚴(yán)律人鼎吉教育（dinjeducation）中小學(xué)生課外個(gè)性化輔導(dǎo)中心資料初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專(zhuān)題培訓(xùn)講練(1)當(dāng)n=1時(shí)，原式=1=(11)！-1；(2)當(dāng)n=2時(shí)，原式=5=(21)！-1；(3)當(dāng)n=3時(shí)，原式=23=(31)！-1；(4)當(dāng)n=4時(shí)，原式=119=(41)！-1由此做出一般歸納猜想原式=(n+1)！-下面我們證明這個(gè)猜想的正確性1+原式=1+(1！12！23！3+n！

7、n)=1！22！23！3+n！n=2！+2！23！3+n！n=2！3+3！3+n！n=3！+3！3+n！n=n！+n！n=(n1)！，所以原式=(n+1)！-例5設(shè)x0，試比較代數(shù)式x3和x2+x+2的值的大小分析與解本題直接觀(guān)察，不好做出歸納猜想，因此可設(shè)x等于某些特殊值，代入兩式中做試驗(yàn)比較，或許能啟發(fā)我們發(fā)現(xiàn)解題思路為此，設(shè)x=0，顯然有x3x2+x+2設(shè)x=10，則有x3=1000，x2+x2=112，所以xx+x+2設(shè)x=100，則有xx+x+2觀(guān)察、比較，兩式的條件和結(jié)論，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)x值較小時(shí)，x3x2+x+2；當(dāng)x值較大時(shí)，x3x2+x+2那么自然會(huì)想到當(dāng)x=？時(shí)，x3=x2+x

8、+2呢？如果這個(gè)方程得解，則它很可能就是本題得解的“臨界點(diǎn)”為此，設(shè)x3=x2x2，則x-x-x-20，(x3-x2-2x)(x-2)=0，學(xué)習(xí)地址佛山市南海區(qū)南海大道麗雅苑中區(qū)雅廣居2d第3頁(yè)咨詢(xún)熱線(xiàn)0757-8630706713760993549（吉老師）323232(x-2)(x2+x+1)=0因?yàn)閤0，所以x+x+10，所以x-2=0，所以x=2這樣(1)當(dāng)x=2時(shí)，x=x+x+2；(2)當(dāng)0x2時(shí)，因?yàn)閤-20，x2+x+20，所以(x-2)(x2x+2)0，即x3-(x2x+2)0，所以x3x2x(3)當(dāng)x2時(shí)，因?yàn)閤-20，x2+x+20，所以(x-2)(x2+x+2)0，即x3

9、-(x2x2)0，所以x3x2x2綜合歸納(1)，(2)，(3)，就得到本題的解答322分析先由特例入手，注意到例7已知e，f，g，h各點(diǎn)分別在四邊形abcd的ab，bc，cd，da邊上(如圖2101)鼎吉教育遵循“授人以魚(yú)，不如授人以漁”的教育理念秉承以人為本，質(zhì)量第一，突出特色，服務(wù)家長(zhǎng)練習(xí)十八1試證明例7中2平面上有n條直線(xiàn)，其中沒(méi)有兩條直線(xiàn)互相平行(即每?jī)蓷l直線(xiàn)都相交)，也沒(méi)有三條或三條以上的直線(xiàn)通過(guò)同一點(diǎn)試求(1)這n條直線(xiàn)共有多少個(gè)交點(diǎn)？(2)這n條直線(xiàn)把平面分割為多少塊區(qū)域？(2)當(dāng)上述條件中比值為3，4，n時(shí)(n為自然數(shù))，那s么s四邊形efgh與s四邊形abcd之比是多少？引

10、gmac交da于m點(diǎn)由平行截割定理易知g(2)設(shè)然后做出證明.)當(dāng)k=3，4時(shí)，用類(lèi)似于(1)的推理方法將所得結(jié)論與(1)的結(jié)論列成表184求適合x(chóng)5=656356768的整數(shù)x(提示顯然x不易直接求出，但可注意其取值范圍505656356768605，所以502x602觀(guān)察表185中p，q的值與對(duì)應(yīng)k值的變化關(guān)系，不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)k=n(自然數(shù))時(shí)有以上推測(cè)是完全正確的，證明留給讀者以鮮明的教育理念啟發(fā)人以濃厚的學(xué)習(xí)氛圍影響人第4頁(yè)以不倦的育人精神感染人以?xún)?yōu)良的學(xué)風(fēng)學(xué)紀(jì)嚴(yán)律人擴(kuò)展閱讀初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專(zhuān)題培訓(xùn)數(shù)學(xué)思維的教育第一講因式分解(一).1第二講因式分解(二).4第三講實(shí)數(shù)的若干性質(zhì)和應(yīng)用.7第四

11、講分式的化簡(jiǎn)與求值.10第五講恒等式的證明.13第六講代數(shù)式的求值.16第七講根式及其運(yùn)算.18第八講非負(fù)數(shù).22第九講一元二次方程.26第十講三角形的全等及其應(yīng)用.29第十一講勾股定理與應(yīng)用.33第十二講平行四邊形.36第十三講梯形.39第十四講中位線(xiàn)及其應(yīng)用.42第十五講相似三角形(一).45第十六講相似三角形(二).48多項(xiàng)式的因式分解是代數(shù)式恒等變形的基本形式之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具因式分解方法靈活，技巧性強(qiáng)，學(xué)習(xí)這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的解題技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力，都有著十分獨(dú)特的作用初中數(shù)學(xué)教材中

12、主要介紹了提取公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法和十字相乘法本講及下一講在中學(xué)數(shù)學(xué)教材基礎(chǔ)上，對(duì)因式分解的方法、技巧和應(yīng)用作進(jìn)一步的介紹1運(yùn)用公式法在整式的乘、除中，我們學(xué)過(guò)若干個(gè)乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a22ab+b2=(ab)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)下面再補(bǔ)充幾個(gè)常用的公式(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)an-b

13、n=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+abn-2+bn-1)其中n為正整數(shù)；(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-+abn-2-bn-1)，其中n為偶數(shù)；第十七講*集合與簡(jiǎn)易邏輯.51第十八講歸納與發(fā)現(xiàn).56第十九講特殊化與一般化.59第二十講類(lèi)比與聯(lián)想.63第二十一講分類(lèi)與討論.67第二十二講面積問(wèn)題與面積方法.70第二十三講幾何不等式.73第二十四講*整數(shù)的整除性.77第二十五講*同余式.80第二十六講含參數(shù)的一元二次方程的整數(shù)根問(wèn)題.83第二十七講列方程解應(yīng)用問(wèn)題中的量.86第二十八講怎樣把實(shí)際問(wèn)題化成數(shù)學(xué)問(wèn)題.90第二十九講生活中的數(shù)學(xué)(三)鏡

14、子中的世界.94第三十講生活中的數(shù)學(xué)(四)買(mǎi)魚(yú)的學(xué)問(wèn).99第一講因式分解(一)(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-abn-2+bn-1)，其中n為奇數(shù)運(yùn)用公式法分解因式時(shí)，要根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，根據(jù)字母、系數(shù)、指數(shù)、符號(hào)等正確恰當(dāng)?shù)剡x擇公式例1分解因式(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7解(1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)=-2xn-1yn(x2n)2-2x2ny2+(y2)2=-2xn-1y

15、n(x2n-y2)2=-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2本小題可以稍加變形，直接使用公式(5)，解法如下原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)數(shù)學(xué)思維的教育=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+

16、b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2分解因式a3+b3+c3-3abc本題實(shí)際上就是用因式分解的方法證明前面給出的公式(6)分析我們已經(jīng)知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正確性，現(xiàn)將此公式變形為a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)這個(gè)式也是一個(gè)常用的公式，本題就借助于它來(lái)推導(dǎo)解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a+b)2-c(a+b)+c2-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)說(shuō)

17、明公式(6)是一個(gè)應(yīng)用極廣的公式，用它可以推出很多有用的結(jié)論，例如我們將公式(6)變形為a3+b3+c3-3abc顯然，當(dāng)a+b+c=0時(shí)，則a3+b3+c3=3abc；當(dāng)a+b+c0時(shí)，則a3+b3+c3-3abc0，即a3+b3+c33abc，而且，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立如果令x=a30，y=b30，z=c30，則有等號(hào)成立的充要條件是x=y=z這也是一個(gè)常用的結(jié)論例3分解因式x15+x14+x13+x2+x+1分析這個(gè)多項(xiàng)式的特點(diǎn)是有16項(xiàng)，從最高次項(xiàng)x15開(kāi)始，x的次數(shù)順次遞減至0，由此想到應(yīng)用公式an-bn來(lái)分解解因?yàn)閤16-1=(x-1)(x15+x14+x13+x2+x+

18、1)，所以說(shuō)明在本題的分解過(guò)程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，這一技巧在等式變形中很常用2拆項(xiàng)、添項(xiàng)法因式分解是多項(xiàng)式乘法的逆運(yùn)算在多項(xiàng)式乘法運(yùn)算時(shí)，整理、化簡(jiǎn)常將幾個(gè)同類(lèi)項(xiàng)合并為一項(xiàng)，或?qū)蓚€(gè)僅符號(hào)相反的同類(lèi)項(xiàng)相互抵消為零在對(duì)某些多項(xiàng)式分解因式時(shí)，需要恢復(fù)那些被合并或相互抵消的項(xiàng)，即把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，或者在多項(xiàng)式中添上兩個(gè)僅符合相反的項(xiàng)，前者稱(chēng)為拆項(xiàng)，后者稱(chēng)為添項(xiàng)拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的是使多項(xiàng)式能用分組分解法進(jìn)行因式分解例4分解因式x3-9x+8分析本題解法很多，這里只介紹運(yùn)用拆項(xiàng)、添項(xiàng)法分解的幾種解法，注意一下拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的與技巧解法1將常數(shù)項(xiàng)8拆成-1+9原

19、式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)解法2將一次項(xiàng)-9x拆成-x-8x原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)解法3將三次項(xiàng)x3拆成9x3-8x3原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)解法4添加兩項(xiàng)-x2+x2原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)2數(shù)

20、學(xué)思維的教育說(shuō)明由此題可以看出，用拆項(xiàng)、添項(xiàng)的方法分解因式時(shí)，要拆哪些項(xiàng)，添什么項(xiàng)并無(wú)一定之規(guī)，主要的是要依靠對(duì)題目特點(diǎn)的觀(guān)察，靈活變換，因此拆項(xiàng)、添項(xiàng)法是因式分解諸方法中技巧性最強(qiáng)的一種例5分解因式(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1解(1)將-3拆成-1-1-1原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6

21、+2x3+3)(2)將4mn拆成2mn+2mn原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)(3)將(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4-(x2-1)2=(x+1)2+(x-1)22-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)(4)添加兩項(xiàng)+ab-ab原式=a3b-

22、ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)b(a+b)+1+(ab+b2+1)=a(a-b)+1(ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)說(shuō)明(4)是一道較難的題目，由于分解后的因式結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加項(xiàng)后分成的三項(xiàng)組又無(wú)公因式，而是先將前兩組分解，再與第三組結(jié)合，找到公因式這道題目使我們體會(huì)到拆項(xiàng)、添項(xiàng)法的極強(qiáng)技巧所在，同學(xué)們需多做練習(xí)，積累經(jīng)驗(yàn)3換元法換元法指的是將一個(gè)較復(fù)雜的代數(shù)式中的某一部分看作一個(gè)整體，并用一個(gè)新的字母替

23、代這個(gè)整體來(lái)運(yùn)算，從而使運(yùn)算過(guò)程簡(jiǎn)明清晰例6分解因式(x2+x+1)(x2+x+2)-12分析將原式展開(kāi)，是關(guān)于x的四次多項(xiàng)式，分解因式較困難我們不妨將x2+x看作一個(gè)整體，并用字母y來(lái)替代，于是原題轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的二次三項(xiàng)式的因式分解問(wèn)題了解設(shè)x2+x=y，則原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)說(shuō)明本題也可將x2+x+1看作一個(gè)整體，比如今x2+x+1=u，一樣可以得到同樣的結(jié)果，有興趣的同學(xué)不妨試一試?yán)?分解因式(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90分析先將兩個(gè)括號(hào)內(nèi)的多項(xiàng)式分解

24、因式，然后再重新組合解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=(x+1)(2x+3)(x+2)(2x+1)-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90令y=2x2+5x+2，則原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)說(shuō)明對(duì)多項(xiàng)式適當(dāng)?shù)暮愕茸冃问俏覀冋业叫略?y)的基礎(chǔ)例8分解因式(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2解設(shè)x2+4x+8=y，則原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)3數(shù)學(xué)思維的

25、教育=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)說(shuō)明由本題可知，用換元法分解因式時(shí)，不必將原式中的元都用新元代換，根據(jù)題目需要，引入必要的新元，原式中的變?cè)托伦冊(cè)梢砸黄鹱冃?，換元法的本質(zhì)是簡(jiǎn)化多項(xiàng)式例9分解因式6x4+7x3-36x2-7x+6解法1原式=6(x4+1)7x(x2-1)-36x2=6(x4-2x2+1)+2x2+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+2x2+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=2(x2-1)-3x3(x2-1)+8x=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)說(shuō)明本解法實(shí)際

26、上是將x2-1看作一個(gè)整體，但并沒(méi)有設(shè)立新元來(lái)代替它，即熟練使用換元法后，并非每題都要設(shè)置新元來(lái)代替整體解法21雙十字相乘法分解二次三項(xiàng)式時(shí)，我們常用十字相乘法對(duì)于某些二元二次六項(xiàng)式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我們也可以用十字相乘法分解因式例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3我們將上式按x降冪排列，并把y當(dāng)作常數(shù)，于是上式可變形為2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是關(guān)于x的二次三項(xiàng)式對(duì)于常數(shù)項(xiàng)而言，它是關(guān)于y的二次三項(xiàng)式，也可以用十字相乘法，分解為即-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)原式=x26(t2+2)+7t-3

27、6=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x22(x-1/x)-33(x-1/x)+8=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)例10分解因式(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)分析本題含有兩個(gè)字母，且當(dāng)互換這兩個(gè)字母的位置時(shí)，多項(xiàng)式保持不變，這樣的多項(xiàng)式叫作二元對(duì)稱(chēng)式對(duì)于較難分解的二元對(duì)稱(chēng)式，經(jīng)常令u=x+y，v=xy，用換元法分解因式解原式=(x+y)2-xy2-4xy(x+y)2-2xy令x+y=u，xy=v，則原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-

28、3xy)2=(x2-xy+y2)2第二講因式分解(二)再利用十字相乘法對(duì)關(guān)于x的二次三項(xiàng)式分解所以，原式=x+(2y-3)2x+(-11y+1)=(x+2y-3)(2x-11y+1)上述因式分解的過(guò)程，實(shí)施了兩次十字相乘法如果把這兩個(gè)步驟中的十字相乘圖合并在一起，可得到下圖它表示的是下面三個(gè)關(guān)系式(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；4數(shù)學(xué)思維的教育(2y-3)(-11y+1)=-22y+35y-3這就是所謂的雙十字相乘法用雙十字相乘法對(duì)多項(xiàng)式ax+bxy+cy+dx+ey+f進(jìn)行因式分解的步驟是(1)用十字相乘法分解ax+bxy+c

29、y，得到一個(gè)十字22222原式=(x-5y+2)(x+2y-1)(2)相乘圖(有兩列)；(2)把常數(shù)項(xiàng)f分解成兩個(gè)因式填在第三列上，要求第二、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的ey，第一、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的dx例1分解因式(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2解(1)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)說(shuō)明(4)中有三個(gè)字母，解法仍與前面的類(lèi)似2求根法我們把形如ann-1nx+an-1x+a1x+a0(n為非負(fù)整數(shù))的代數(shù)式稱(chēng)為關(guān)于x的一元多

30、項(xiàng)式，并用f(x)，g(x)，等記號(hào)表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，當(dāng)x=a時(shí)，多項(xiàng)式f(x)的值用f(a)表示如對(duì)上面的多項(xiàng)式f(x)f(1)=12-31+2=0；f(-2)=(-2)2-3(-2)+2=12若f(a)=0，則稱(chēng)a為多項(xiàng)式f(x)的一個(gè)根定理1(因式定理)若a是一元多項(xiàng)式f(x)的根，即f(a)=0成立，則多項(xiàng)式f(x)有一個(gè)因式x-a根據(jù)因式定理，找出一元多項(xiàng)式f(x)的一次因式的關(guān)鍵是求多項(xiàng)式f(x)的根對(duì)于任意多項(xiàng)式f(x)，原式=(x+y+1)(x-y+4)(3)原式中缺x2項(xiàng)，可把這一項(xiàng)的系數(shù)看成0來(lái)分解原式=(y+1)(x+y-2)(4

31、)要求出它的根是沒(méi)有一般方法的，然而當(dāng)多項(xiàng)式f(x)的系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，即整系數(shù)多項(xiàng)式時(shí)，經(jīng)常用下面的定理來(lái)判定它是否有有理根定理2的根，則必有p是a0的約數(shù)，q是an的約數(shù)特別地，當(dāng)a0=1時(shí)，整系數(shù)多項(xiàng)式f(x)的整數(shù)根均為an的約數(shù)我們根據(jù)上述定理，用求多項(xiàng)式的根來(lái)確定多項(xiàng)式的一次因式，從而對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解例2分解因式x3-4x2+6x-4分析這是一個(gè)整系數(shù)一元多項(xiàng)式，原式若有整數(shù)根，必是-4的約數(shù)，逐個(gè)檢驗(yàn)-4的約數(shù)1，2，4，只有f(2)=23-422+62-4=0，5數(shù)學(xué)思維的教育即x=2是原式的一個(gè)根，所以根據(jù)定理1，原式必有因式x-2解法1用分組分解法，使每組都有因式(x-2

32、)原式=(x-2x)-(2x-4x)+(2x-4)=x(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x-2x+2)解法2用多項(xiàng)式除法，將原式除以(x-2)，223222可以化為9x-3x-2，這樣可以簡(jiǎn)化分解過(guò)程總之，對(duì)一元高次多項(xiàng)式f(x)，如果能找到一個(gè)一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解為(x-a)g(x)，而g(x)是比f(wàn)(x)低一次的一元多項(xiàng)式，這樣，我們就可以繼續(xù)對(duì)g(x)進(jìn)行分解了3待定系數(shù)法所以原式=(x-2)(x2-2x+2)說(shuō)明在上述解法中，特別要注意的是多項(xiàng)式的有理根一定是-4的約數(shù)，反之不成立，即-4的約數(shù)不一定是多項(xiàng)式的根因此，必須對(duì)-4的約數(shù)逐個(gè)代入多

33、項(xiàng)式進(jìn)行驗(yàn)證例3分解因式9x4-3x3+7x2-3x-2分析因?yàn)?的約數(shù)有1，3，9；-2的約數(shù)有1，為所以，原式有因式9x2-3x-2解9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)說(shuō)明若整系數(shù)多項(xiàng)式有分?jǐn)?shù)根，可將所得出的含有分?jǐn)?shù)的因式化為整系數(shù)因式，如上題中的因式待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中的一種重要的解題方法，應(yīng)用很廣泛，這里介紹它在因式分解中的應(yīng)用在因式分解時(shí)，一些多項(xiàng)式經(jīng)過(guò)分析，可以斷定它能分解成某幾個(gè)因式，但這幾個(gè)因式中的某些系數(shù)尚未確定，這時(shí)可以用

34、一些字母來(lái)表示待定的系數(shù)由于該多項(xiàng)式等于這幾個(gè)因式的乘積，根據(jù)多項(xiàng)式恒等的性質(zhì)，兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)應(yīng)該相等，或取多項(xiàng)式中原有字母的幾個(gè)特殊值，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程(或方程組)，解出待定字母系數(shù)的值，這種因式分解的方法叫作待定系數(shù)法例4分解因式x2+3xy+2y2+4x+5y+3分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的兩個(gè)一次項(xiàng)一定是x+2y+m和xyn的形式，應(yīng)用待定系數(shù)法即可求出m和n，使問(wèn)題得到解決解設(shè)x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比較兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系

35、數(shù)，則有解之得m=3，n=1所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)說(shuō)明本題也可用雙十字相乘法，請(qǐng)同學(xué)們自己解一下例5分解因式x4-2x3-27x2-44x+7數(shù)學(xué)思維的教育分析本題所給的是一元整系數(shù)多項(xiàng)式，根據(jù)前面講過(guò)的求根法，若原式有有理根，則只可能是1，7(7的約數(shù))，經(jīng)檢驗(yàn)，它們都不是原式的根，所以，在有理數(shù)集內(nèi)，原式?jīng)]有一次因式如果原式能分解，只能分解為(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式解設(shè)原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考慮b=1，d=7有實(shí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)特別是微積分的重要基礎(chǔ)

36、在初中代數(shù)中沒(méi)有系統(tǒng)地介紹實(shí)數(shù)理論，是因?yàn)樗婕暗綐O限的概念這一概念對(duì)中學(xué)生而言，有一定難度但是，如果中學(xué)數(shù)學(xué)里沒(méi)有實(shí)數(shù)的概念及其簡(jiǎn)單的運(yùn)算知識(shí)，中學(xué)數(shù)學(xué)也將無(wú)法繼續(xù)學(xué)習(xí)下去了例如，即使是一元二次方程，只有有理數(shù)的知識(shí)也是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠用的因此，適當(dāng)學(xué)習(xí)一些有關(guān)實(shí)數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，以及運(yùn)用這些知識(shí)解決有關(guān)問(wèn)題的基本方法，不僅是為高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)打基礎(chǔ)，而且也是初等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所不可缺少的本講主要介紹實(shí)數(shù)的一些基本知識(shí)及其應(yīng)用用于解決許多問(wèn)題，例如，不難證明任何兩個(gè)有理數(shù)的和、差、積、商還是有理數(shù)，或者說(shuō)，有理數(shù)對(duì)加、減、乘、除(零不能做除數(shù))是封閉的性質(zhì)1任何一個(gè)有理數(shù)都能寫(xiě)成有限小數(shù)(整數(shù)可以看作小數(shù)點(diǎn)后面

37、為零的小數(shù))或循環(huán)小數(shù)的形式，反之亦然例1所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)說(shuō)明由于因式分解的唯一性，所以對(duì)b=-1，d=-7等可以不加以考慮本題如果b=1，d=7代入方程組后，無(wú)法確定a，c的值，就必須將bd=7的其他解代入方程組，直到求出待定系數(shù)為止本題沒(méi)有一次因式，因而無(wú)法運(yùn)用求根法分解因式但利用待定系數(shù)法，使我們找到了二次因式由此可見(jiàn)，待定系數(shù)法在因式分解中也有用武之地第三講實(shí)數(shù)的若干性質(zhì)和應(yīng)用分析要說(shuō)明一個(gè)數(shù)是有理數(shù)，其關(guān)鍵要看它能否寫(xiě)成兩個(gè)整數(shù)比的形式證設(shè)兩邊同乘以100得-得99x=2654-61=2593，無(wú)限不循環(huán)小數(shù)稱(chēng)為無(wú)理數(shù)有理數(shù)對(duì)四則運(yùn)算是封閉的，而無(wú)理是說(shuō)

38、，無(wú)理數(shù)對(duì)四則運(yùn)算是不封閉的，但它有如下性質(zhì)性質(zhì)2設(shè)a為有理數(shù)，b為無(wú)理數(shù)，則(1)a+b，a-b是無(wú)理數(shù)；數(shù)學(xué)思維的教育有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為實(shí)數(shù)，即在實(shí)數(shù)集內(nèi)，沒(méi)有最小的實(shí)數(shù)，也沒(méi)有最大的實(shí)數(shù)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，可以比較大小全體實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的所有點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的在實(shí)數(shù)集內(nèi)進(jìn)行加、減、乘、除(除數(shù)不為零)運(yùn)算，其結(jié)果仍是實(shí)數(shù)(即實(shí)數(shù)對(duì)四則運(yùn)算的封閉性)任一實(shí)數(shù)都可以開(kāi)奇次方，其結(jié)果仍是實(shí)數(shù)；只有當(dāng)被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)時(shí)，才能開(kāi)偶次方，其結(jié)果仍是實(shí)數(shù)例2分析證所以分析要證明一個(gè)實(shí)數(shù)為無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是一件極難辦到的事由于有理數(shù)與無(wú)理數(shù)共同組成了實(shí)數(shù)集，且二者是矛盾的兩個(gè)對(duì)立面，所以，判定一個(gè)實(shí)數(shù)是無(wú)理數(shù)時(shí)，常

39、常采用反證法證用反證法所以p一定是偶數(shù)設(shè)p=2m(m是自然數(shù))，代入得4m22q2，q22m2，例4若a1+b1a=a2+b2a(其中a1，a2，b1，b2為有理數(shù)，a為無(wú)理數(shù))，則a1=a2，b1=b2，反之，亦成立分析設(shè)法將等式變形，利用有理數(shù)不能等于無(wú)理數(shù)來(lái)證明證將原式變形為(b1-b2)a=a2-a1若b1b2，則反之，顯然成立說(shuō)明本例的結(jié)論是一個(gè)常用的重要運(yùn)算性質(zhì)是無(wú)理數(shù)，并說(shuō)明理由整理得由例4知aab，1=a，8數(shù)學(xué)思維的教育說(shuō)明本例并未給出確定結(jié)論，需要解題者自己發(fā)現(xiàn)正確的結(jié)有理數(shù)作為立足點(diǎn)，以其作為推理的基礎(chǔ)例6已知a，b是兩個(gè)任意有理數(shù)，且ab，求證a與b之間存在著無(wú)窮多個(gè)有

40、理數(shù)(即有理數(shù)集具有稠密性)分析只要構(gòu)造出符合條件的有理數(shù)，題目即可被證明證因?yàn)閍b，所以2aa+b2b，所以說(shuō)明構(gòu)造具有某種性質(zhì)的一個(gè)數(shù)，或一個(gè)式子，以達(dá)到解題和證明的目的，是經(jīng)常運(yùn)用的一種數(shù)學(xué)建模的思想方法例7已知a，b是兩個(gè)任意有理數(shù)，且ab，問(wèn)是否存在無(wú)理數(shù)，使得ab成立？即由，有存在無(wú)理數(shù)，使得ab成立b4+12b3+37b2+6b-20的值分析因?yàn)闊o(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，所以不可能把一個(gè)無(wú)理數(shù)的小數(shù)部分一位一位確定下來(lái)，這樣涉及無(wú)理數(shù)小數(shù)部分的計(jì)算題，往往是先估計(jì)它的整數(shù)部分(這是容易確定的)，然后再尋求其小數(shù)部分的表示方法14=9+6b+b2，所以b2+6b=5b4+12b3+37b2+6b-20=(b4+26b3+36b2)+(b2+6b)-20=(b2+6b)2+(b2+6b)-20=52+5-20=10例9求滿(mǎn)足條件的自然數(shù)a，x，y解將原式兩邊平方得由式變形為兩邊平方得數(shù)學(xué)思維的教育例10設(shè)a2222n是1+2+3+n的個(gè)位數(shù)字，n=1，2，3，求證0.a1a2a3a