函數(shù)名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割[教學(xué)類別]

1、函數(shù)名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，從點(diǎn)O引出一條射線OP，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為，設(shè)OP=r，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y）有 正弦函數(shù) sin=y/r 余弦函數(shù) cos=x/r 正切函數(shù) tan=y/x 余切函數(shù) cot=x/y 正割函數(shù) sec=r/x 余割函數(shù) csc=r/y （斜邊為r，對(duì)邊為y，鄰邊為x。） 以及兩個(gè)不常用，已趨于被淘汰的函數(shù)： 正矢函數(shù) versin =1-cos 余矢函數(shù) covers =1-sin 正弦（sin）:角的對(duì)邊比上斜邊 余弦（cos）:角的鄰邊比上斜邊 正切（tan）:角的對(duì)邊比上鄰邊 余切（cot）:角的鄰邊比上對(duì)邊 正割（sec）

2、:角的斜邊比上鄰邊 余割（csc）:角的斜邊比上對(duì)邊編輯本段同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系式： 平方關(guān)系： sin()+cos()=1 cos(a)=(1+cos2a)/2 tan()+1=sec() sin(a)=(1-cos2a)/2 cot()+1=csc() 積的關(guān)系： sin=tan*cos cos=cot*sin tan=sin*sec cot=cos*csc sec=tan*csc csc=sec*cot 倒數(shù)關(guān)系： tancot=1 sincsc=1 cossec=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的對(duì)邊比斜邊, 余弦等于角A的鄰邊比斜邊 正切等于對(duì)邊比鄰邊, 三角函數(shù)

3、恒等變形公式 兩角和與差的三角函數(shù)： cos(+)=coscos-sinsin cos(-)=coscos+sinsin sin()=sincoscossin tan(+)=(tan+tan)/(1-tantan) tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan) 三角和的三角函數(shù)： sin(+)=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsin cos(+)=coscoscos-cossinsin-sincossin-sinsincos tan(+)=(tan+tan+tan-tantantan)/(1-tantan-tantan-tantan) 輔助角公

4、式： Asin+Bcos=(A+B)(1/2)sin(+t)，其中 sint=B/(A+B)(1/2) cost=A/(A+B)(1/2) tant=B/A Asin+Bcos=(A+B)(1/2)cos(-t)，tant=A/B 倍角公式： sin(2)=2sincos=2/(tan+cot) cos(2)=cos()-sin()=2cos()-1=1-2sin() tan(2)=2tan/1-tan() 三倍角公式： sin(3)=3sin-4sin() cos(3)=4cos()-3cos 半角公式： sin(/2)=(1-cos)/2) cos(/2)=(1+cos)/2) tan(/

5、2)=(1-cos)/(1+cos)=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin 降冪公式 sin()=(1-cos(2)/2=versin(2)/2 cos()=(1+cos(2)/2=covers(2)/2 tan()=(1-cos(2)/(1+cos(2) 萬能公式： sin=2tan(/2)/1+tan(/2) cos=1-tan(/2)/1+tan(/2) tan=2tan(/2)/1-tan(/2) 積化和差公式： sincos=(1/2)sin(+)+sin(-) cossin=(1/2)sin(+)-sin(-) coscos=(1/2)cos(+)+cos(-) sins

6、in=-(1/2)cos(+)-cos(-) 和差化積公式： sin+sin=2sin(+)/2cos(-)/2 sin-sin=2cos(+)/2sin(-)/2 cos+cos=2cos(+)/2cos(-)/2 cos-cos=-2sin(+)/2sin(-)/2 推導(dǎo)公式 tan+cot=2/sin2 tan-cot=-2cot2 1+cos2=2cos 1-cos2=2sin 1+sin=(sin/2+cos/2) 其他： sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)+sin+2*(n-1)/n=0 cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+c

7、os(+2*3/n)+cos+2*(n-1)/n=0 以及 sin()+sin(-2/3)+sin(+2/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 cosx+cos2x+.+cosnx= sin(n+1)x+sinnx-sinx/2sinx 證明： 左邊=2sinx(cosx+cos2x+.+cosnx)/2sinx =sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+.+ sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x/2sinx （積化和差） =sin(n+1)x+sinnx-sinx/2sinx=右邊 等

8、式得證 sinx+sin2x+.+sinnx= - cos(n+1)x+cosnx-cosx-1/2sinx 證明: 左邊=-2sinxsinx+sin2x+.+sinnx/(-2sinx) =cos2x-cos0+cos3x-cosx+.+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x/(-2sinx) =- cos(n+1)x+cosnx-cosx-1/2sinx=右邊 等式得證編輯本段三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式 公式一： 設(shè)為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等： sin（2k）sin cos（2k）cos tan（2k）tan cot（2k）cot 公式二： 設(shè)為

9、任意角，+的三角函數(shù)值與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式三： 任意角與 -的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式四： 利用公式二和公式三可以得到-與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2-與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（2）sin cos（2）cos tan（2）tan cot（2）cot 公式六： /2及3/2與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（/2）cos

10、cos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan sin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan sin（3/2）cos cos（3/2）sin tan（3/2）cot cot（3/2）tan sin（3/2）cos cos（3/2）sin tan（3/2）cot cot（3/2）tan (以上kZ)編輯本段正余弦定理 正弦定理是指在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)的角的正弦的比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 余弦定理是指三角形中任何一邊的平方等于其它兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的2倍，即a2=b2+c2-

11、2bc cosA 角A的對(duì)邊于斜邊的比叫做角A的正弦，記作sinA，即sinA=角A的對(duì)邊/斜邊 斜邊與鄰邊夾角a sin=y/r 無論yx或yx 無論a多大多小可以任意大小 正弦的最大值為1 最小值為-編輯本段部分高等內(nèi)容 高等代數(shù)中三角函數(shù)的指數(shù)表示(由泰勒級(jí)數(shù)易得)： sinx=e(ix)-e(-ix)/(2i) cosx=e(ix)+e(-ix)/2 tanx=e(ix)-e(-ix)/ie(ix)+ie(-ix) 泰勒展開有無窮級(jí)數(shù)，ez=exp(z)1z/1！z2/2！z3/3！z4/4！zn/n！ 此時(shí)三角函數(shù)定義域已推廣至整個(gè)復(fù)數(shù)集。 三角函數(shù)作為微分方程的解： 對(duì)于微分方程組

12、 y=-y;y=y，有通解Q,可證明 Q=Asinx+Bcosx，因此也可以從此出發(fā)定義三角函數(shù)。 補(bǔ)充：由相應(yīng)的指數(shù)表示我們可以定義一種類似的函數(shù)雙曲函數(shù)，其擁有很多與三角函數(shù)的類似的性質(zhì)，二者相映成趣。 特殊角的三角函數(shù): 角度a 0 30 45 60 90 120 180 1.sina 0 1/2 2/2 3/2 1 3/2 0 2.cosa 1 3/2 2/2 1/2 0 -1/2 -1 3.tana 0 3/3 1 3 無限大 -3 0 4.cota / 3 1 3/3 0 -3/3 /編輯本段三角函數(shù)的計(jì)算 冪級(jí)數(shù) c0+c1x+c2x2+.+cnxn+.=cnxn (n=0.)

13、c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+.+cn(x-a)n+.=cn(x-a)n (n=0.) 它們的各項(xiàng)都是正整數(shù)冪的冪函數(shù), 其中c0,c1,c2,.cn.及a都是常數(shù), 這種級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù). 泰勒展開式(冪級(jí)數(shù)展開法): f(x)=f(a)+f(a)/1!*(x-a)+f(a)/2!*(x-a)2+.f(n)(a)/n!*(x-a)n+. 實(shí)用冪級(jí)數(shù)： ex = 1+x+x2/2!+x3/3!+.+xn/n!+. ln(1+x)= x-x2/3+x3/3-.(-1)k-1*xk/k+. (|x|1) sin x = x-x3/3!+x5/5!-.(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)

14、!+. (-x) cos x = 1-x2/2!+x4/4!-.(-1)k*x2k/(2k)!+. (-x) arcsin x = x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + . (|x|1) arccos x = - ( x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + . ) (|x|1) arctan x = x - x3/3 + x5/5 - . (x1) sinh x = x+x3/3!+x5/5!+.(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+. (-x) cosh x = 1+x2/2!+x4/4!+.(-1)k*x2k/(2k)!+. (-x)

15、 arcsinh x = x - 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 - . (|x|1) arctanh x = x + x3/3 + x5/5 + . (|x|1) 在解初等三角函數(shù)時(shí)，只需記住公式便可輕松作答，在競(jìng)賽中，往往會(huì)用到與圖像結(jié)合的方法求三角函數(shù)值、三角函數(shù)不等式、面積等等。 - 傅立葉級(jí)數(shù)(三角級(jí)數(shù)) f(x)=a0/2+(n=0.) (ancosnx+bnsinnx) a0=1/(.-) (f(x)dx an=1/(.-) (f(x)cosnx)dx bn=1/(.-) (f(x)sinnx)dx 三角函數(shù)的數(shù)值符號(hào) 正弦 第一，二象限為正， 第三，四象限為

16、負(fù) 余弦 第一，四象限為正 第二，三象限為負(fù) 正切 第一，三象限為正 第二，四象限為負(fù)編輯本段三角函數(shù)定義域和值域 sin(x),cos(x)的定義域?yàn)镽,值域?yàn)?1,1 tan(x)的定義域?yàn)閤不等于/2+k,值域?yàn)镽 cot(x)的定義域?yàn)閤不等于k,值域?yàn)镽編輯本段初等三角函數(shù)導(dǎo)數(shù) y=sinx-y=cosx y=cosx-y=-sinx y=tanx-y=1/(cosx) =(secx) y=cotx-y=-1/(sinx) =-(cscx) y=secx-y=secxtanx y=cscx-y=-cscxcotx y=arcsinx-y=1/1-x y=arccosx-y=-1/1-

17、x y=arctanx-y=1/(1+x) y=arccotx-y=-1/(1+x)編輯本段反三角函數(shù) 三角函數(shù)的反函數(shù)，是多值函數(shù)。它們是反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x，反正割A(yù)rcsec x=1/cosx，反余割A(yù)rccsc x=1/sinx等，各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割為x的角。為限制反三角函數(shù)為單值函數(shù)，將反正弦函數(shù)的值y限在y=-/2y/2，將y為反正弦函數(shù)的主值，記為y=arcsin x；相應(yīng)地，反余弦函數(shù)y=arccos x的主值限在0y；反正切函數(shù)y=arctan x的主值限在-/2y/2；反余切函數(shù)y=arccot x的主值限在0y。 反三角函數(shù)實(shí)際上并不能叫做函數(shù)，因?yàn)樗⒉粷M足一個(gè)自變量對(duì)應(yīng)一個(gè)函數(shù)值的要求，其圖像與其原函數(shù)關(guān)于函數(shù)y=