分段函數(shù)及函數(shù)的性質知識梳理

1、分段函數(shù)及函數(shù)的性質分段函數(shù)概念在自變量的不同取值范圍內，有不同的對應法則，需要用不同的解析式來表示的函數(shù)叫做 分段表示的函數(shù) ，簡稱分段函數(shù) 定義域分段函數(shù)的定義域是自變量的各個不同取值范圍的并集函數(shù)值求分段函數(shù)的函數(shù)值 f x0 時，應該首先判斷 x0 所屬的取值范圍， 然后再把 x0 代入到相應的解析式中進行計算注意分段函數(shù)在整個定義域上仍然是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)，只不過這個函數(shù)在定義域的不同范圍內有不同的對應法則，需要用相應的解析式來表示分段函數(shù)的作圖因為分段函數(shù)在自變量的不同取值范圍內，有著不同的對應法則，所以作分段函數(shù)的圖像時， 需要在同一個直角坐標系中， 要依次作出自變量的各

2、個不同的取值范圍內相應的圖像，從而得到函數(shù)的圖像例 12 x 1,x , 0,設函數(shù) y f x2 ,x 0.x（）求函數(shù)的定義域；（）求 f 2 , f 0 , f1 的值（3）作出函數(shù)圖像1.設函數(shù)yfx2x1 ,2 x ,0 ,1x2 ,0 x3 .（ 1）求函數(shù)的定義域；（2）求 f 2 ,f 0 , f 1的值 （3）作出函數(shù)圖像2設函數(shù) fx4x1,2x , 0,1,0 x3.（ 1）求函數(shù)的定義域；（2）求 f 2，f (0)，f (1) ；（3）作出函數(shù)圖像3. fxx21, x0,若 ff 2=.2 x, x0,4. 已知 f ( x)x5(x6) ，則 f(3)為（）f (

3、x2)(x6)A 2B 3C 4D 5函數(shù)的性質1單調性概念函數(shù)值隨著自變量的增大而增大 （或減?。┑男再|叫做函數(shù)的 單調性 1 / 41即對于任意的 x1 , x2a, b ，當 x1x2 時，都有 fx1fx2成立這時把函數(shù)fx叫做區(qū)間a, b 內的增函數(shù)，區(qū)間a ,b 叫做函數(shù) fx 的增區(qū)間 2即對于任意的x1 , x2a, b ，當 x1x2 時，都有fx1fx2成立這時函數(shù)fx 叫做區(qū)間a, b 內的減函數(shù)，區(qū)間a,b 叫做函數(shù) fx的減區(qū)間3 如果函數(shù) f x 在區(qū)間 a,b 內是增函數(shù)（或減函數(shù)） ，那么，就稱函數(shù) f x 在區(qū)間a, b 內具有單調性，區(qū)間a,b 叫做函數(shù)fx

4、的單調區(qū)間 例判斷函數(shù) y4x2 的單調性1. 已知函數(shù) f ( x )=x 2+ax+b，且對任意的實數(shù) x 都有 f (1+x)=f (1 x) 成立。（）求實數(shù) a 的值；（）利用單調性的定義證明函數(shù)f(x)在區(qū)間 1， ) 上是增函數(shù)。2如果函數(shù)f x=x 2 +2(a-1)x+2 在區(qū)間 ( ， 4) 上是減函數(shù)，則實數(shù) a 值范圍是（）。Aa 3B. a 3C. a5D. a33. 如果函數(shù) f (x)x22(a1)x2 在區(qū)間,4 上是減少的，那么實數(shù) a 的取值范圍是（）Aa3Ba3Ca 5Da 54. 若 f x=x 2 +2ax 與 g x =a 在區(qū)間 1，2 上是減函數(shù)

5、，則 a 的取值范圍是_x1函數(shù)f(x)x2 2x3的單調增區(qū)間為 _5.1(6x 2 x2 )6 函數(shù) y2的單調增區(qū)間是 _2 / 42 奇偶性設函數(shù) yfx 的定義域為數(shù)集D，對任意的 xD ，都有xD （即定義域關于坐標原點對稱），且（ 1） fxfx函數(shù) yfx 的圖像關于y 軸對稱，此時稱函數(shù) yf ( x) 為偶函數(shù)；（ 2） fxfx函數(shù) yfx 的圖像關于坐標原點對稱，此時稱函數(shù)稱函數(shù) y f ( x) 為奇函數(shù) 如果一個函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，那么，就說這個函數(shù)具有奇偶性 不具有奇偶性的函數(shù)叫做 非奇非偶函數(shù) 判斷一個函數(shù)是否具有奇偶性的基本步驟是：（1）求出函數(shù)的定義域；（

6、2）判斷對任意的 xD 是否都有xD 若存在某個 x0D 但xD ，則函數(shù)肯定是非奇非偶函數(shù)；（ 3 ）分 別計 算出 f ( x) 與 f ( x) 若f ( x)f (x)，則函數(shù)為偶函數(shù)；若f ( x)f ( x) ，則函數(shù)為奇函數(shù)；若f ( x)f (x) 且 f ( x)f ( x) ，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù)例判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1） fxx3 ；（ 2） f x2 x21 ；（3） fxx ；（ 4） f xx 1 1 .判斷下列函數(shù)的奇偶性：3 / 4（1） f xx ；（ 2） f x1；x2（3） f x3x1 ； （ 4） f x3x221、 f ( x)(m 1) x

7、2(m2)x(m 27m12) 為偶函數(shù)，則 m 的值是（）A、 1B、 2C 、 3D、 41. 已知 f ( x) ax2 bx是定義在 a 1,2a 上的偶函數(shù)，那么a b的值是_.2已知 f x 是偶函數(shù)，且 f 45 ，那么 f 4f4的值為（）。（A） 5(B) 10(C )8(D) 不確定3設 f(x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，當 x0時， f(x)2x2x，則 f(1)等于 ()A. 3B.1C.1D.34已知函數(shù) f (x)是定義在 (,) 上的偶函數(shù) . 當 x(, 0 ) 時，f ( x)x x4 ，則當 x ( 0,)時， f ( x).5.已知函數(shù) yf (x) 為奇

8、函數(shù)，且當 x0時 f ( x)x 22x 3 ，則當 x0 時，f ( x) 的解析式為（）A. f ( x)x 22x 3B. f (x)x22 x 3C. f (x)x22x 3D. f ( x)x 22x 36.如果奇函數(shù) f (x) 在區(qū)間 3,7上是增函數(shù)且最大值為5 ，那么 f ( x) 在區(qū)間 7, 3上是（）A 、增函數(shù)且最小值是5B、增函數(shù)且最大值是5C、減函數(shù)且最大值是5D、減函數(shù)且最小值是53.周期性(1) 周期函數(shù)： 對于函數(shù) y f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當 x 取定義域內的任何值時，都有 f( xT) _，那么就稱函數(shù)y f(x)為周期函數(shù)，稱T 為這個函數(shù)的周期 .1 若函數(shù) f ( x) 是周期為 4 的函數(shù)，且 f (2)5, 則f (2)2 .已知 f(x)在 R