冗余機(jī)器人的軌跡規(guī)劃

1、.基于笛卡爾空間變量反饋的關(guān)節(jié)軌跡規(guī)劃和仿真徐建明，陸群（浙江工業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院 ，浙江杭州 ）摘要：對(duì)于冗余操作臂逆運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題，建立歐拉迭代公式，將關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃問(wèn)題，化為求解關(guān)節(jié)角速度和關(guān)節(jié)角加速度的問(wèn)題。對(duì)于奇異位形問(wèn)題和避障問(wèn)題，沿用過(guò)去經(jīng)典的方法，并對(duì)這些方法加以論證。 最終給出了基于笛卡爾空間變量反饋的關(guān)節(jié)軌跡規(guī)劃流程圖，并對(duì)平面 4R 操作臂進(jìn)行了MATLAB 仿真。關(guān)鍵詞 ：冗余操作臂 ；奇異位形和碰撞；仿真中圖分類號(hào) ：Joint Trajectory Planning and SimulationBased on the Feedback of Cartesian Sp

2、aceVariableXu Jian-ming,Lu Qun(College of Information Engineering,Zhejiang University of Technology .Hangzhou Zhejiang )Abstract:For the problem of redundant manipulator inverse kinematic, we convert the joint space programming proplem into solving the problem of joint velocity and joint acceleratio

3、n using Euler Iterative Method. For the problem of singularity gesture and collision avoidance, we follow the classical methods, and acquire the demonstration of these methods. Finally we proposed the joint trajectoryplanning flow diagram based on the feedback of Cartesian space variable. As an illu

4、stration, we simulate the plane 4R manipulator using MATLAB and get desired result.Key words:redundant manipulators;singularity and collision;simulation0 引言從 1959 年第一代工業(yè)機(jī)器人在美國(guó)誕生起，機(jī)器人行業(yè)發(fā)展迅速 。 機(jī)器人的研究對(duì)象.下載可編輯 .也先后經(jīng)歷了具有確定性的機(jī)器人到具有不確定性的機(jī)器人、單個(gè)機(jī)器人到多個(gè)機(jī)器人、非冗余機(jī)器人到冗余機(jī)器人的發(fā)展階段。添加冗余自由度的機(jī)械臂能夠在有障礙物的機(jī)動(dòng)工作空間中具有更好的靈活性，同

5、時(shí)可以方便、有效地避開其奇異位形?？紤]到冗余機(jī)器人具有靈活性好和多任務(wù)等特點(diǎn)，自 20 世紀(jì) 80 年代以后 ，研究冗余機(jī)器人的人數(shù)不斷增加，研究不僅限于傳統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)層次，而且也包括傳感器和信息處理，從而實(shí)現(xiàn)智能機(jī)器人的分級(jí)控制系統(tǒng)8 。逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解問(wèn)題是機(jī)器人學(xué)中重要的環(huán)節(jié)，由于其解情況的復(fù)雜性，逆運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題相對(duì)于正運(yùn)動(dòng)學(xué)要復(fù)雜得多。 Whitney(1969,1972)13,14 和 Albala(1979) 等分別提出了解決逆運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題的兩種方法： ResolvedMotionMethod和 InverseKinematicMethod，Resolved Motion Method可以看成

6、是Inverse Kinematic Method沒(méi)有內(nèi)建收斂標(biāo)準(zhǔn)的一次迭代的形式。 PyungH.Chang （ 1987 ）在他的博士論文8 中對(duì)這兩種方法在冗余機(jī)器人和非冗余機(jī)器人中的應(yīng)用進(jìn)行了比較。鑒于冗余機(jī)器人的雅可比矩陣為非方陣，Whitney(1972) 通過(guò)提出了雅可比矩陣的Moore-Penrose 偽逆矩陣 ， J.Baillieul(1985)1 則給出了逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解的一般形，但其中的一些參數(shù)的求解方法并未給出。 Hanafusa(1981) 等提出了基于優(yōu)先級(jí)分解總?cè)蝿?wù)為子任務(wù)的概念， Tsuneo Yoshikawa(1984,1987) 4 等將奇異位形或障礙物避開等

7、任務(wù)歸為低優(yōu)先級(jí)的子任務(wù)，引出了低優(yōu)先級(jí)子任務(wù)的性能指標(biāo)，從而給出了逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解的具體形式。 Joel W.Burdick （ 1989 ） 11 以2R 和 3R 操作臂為例，分析了它們的自運(yùn)動(dòng)流形（ Self-MotionManifolds）， 給出了冗余操作臂的零空間的幾何解釋。 D.K.Chol 等 12 （ 1992 ）結(jié)合自運(yùn)動(dòng)流形的定義，提出了給定任務(wù)最優(yōu)解的充分條件，并給出了SFS（ Singularity-FreeSpace ）的概念和定義。 Jin-LiangChen （ 2002 ） 10 等結(jié)合了梯度投影方法，給出了一種新的目標(biāo)方程來(lái)避免障礙物和關(guān)節(jié)角的限制。 Guoxi

8、angPing （ 2009 ） 9 基于人工安全區(qū)域，給出了操作臂與安全區(qū)的距離的度量，從而達(dá)到實(shí)時(shí).下載可編輯 .避障 。論文首先對(duì)操作臂逆運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題加以描述，然后針對(duì)歐拉迭代的方法，將冗余操作臂的奇異位形和避障問(wèn)題都?xì)w結(jié)于求解關(guān)節(jié)速度和關(guān)節(jié)角速度的問(wèn)題。對(duì)于經(jīng)典的避免奇異位形和避障的方法加以闡述和證明。最后，根據(jù)笛卡爾空間變量反饋，給出了關(guān)節(jié)軌跡規(guī)劃的流程圖 ，并對(duì) 4R 操作臂進(jìn)行了MATLAB 仿真 。1 逆運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題考慮一個(gè) n 自由度的操作臂 ，定義各關(guān)節(jié)變量定義為t in 。操作臂ii ( ),1,2,3,.,任務(wù)空間笛卡爾變量： x jx j (t ),1,2,3,., m

9、。 根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可建立兩者的關(guān)系，x(t ) f ( ) 。驅(qū)動(dòng)器函數(shù)是要最終給出的，它不易用笛卡爾變量表示，而關(guān)節(jié)變量能起到橋梁的作用 。 通常運(yùn)動(dòng)學(xué)方程是非線性的，無(wú)法求出的解析解 。 根據(jù) ResolvedMotion Method，可構(gòu)造雅可比矩陣 ：J() J(t )f ( (t)Rm n ，且 x x(t)dx(t) ,(t)d (t) ，則有(t )dtdtx(t )J (t)(t)（ 1 ）據(jù)（ 1）式，如果 mn ，則 J (t)不是方陣 ，對(duì)于特定的 x(t) ，與之對(duì)應(yīng)的(t ) 有無(wú)窮多個(gè) ，這一方面說(shuō)明了該操作臂是冗余的，證實(shí)了冗余機(jī)器人能夠避免奇異位形和障礙的可能

10、性 ，另一方面也提出了如何尋找最合適的關(guān)節(jié)軌跡的問(wèn)題。解決軌跡規(guī)劃的一種思路是采用歐拉迭代，即分步控制方法，即（2）式(tt )(t) (t) t1(t) t 2（2）2t 是個(gè)常量 ，則關(guān)鍵是對(duì)(t),(t ) 的求解 。2 關(guān)節(jié)角速率的求解2.1 關(guān)節(jié)角速率的求解可用 Moore-Penrose偽逆陣來(lái)解決雅可比矩陣為非方陣的問(wèn)題， J () 的偽逆陣定.下載可編輯 .義為 J ( (t )J(t)T ( J ( (t ) J ( (t)T ) 1 ， 可得(t )J( (t)x(t ) 。 為了避免機(jī)械臂的奇異位形和障礙物，J.Baillieul1 給出了 （ 1）解的一般形式 ：(t)

11、J ( (t)x(t )(IJ ( (t) J ( (t ) k(t)（3 ）其中 k(t ) 是先驗(yàn)的 ，是隨時(shí)間變化的向量，且維數(shù)與(t ) 相同 。TsuneoYoshikawa （ 1975 ）將避開操作臂奇異位形作為第二優(yōu)先級(jí)的子任務(wù)，提出了標(biāo)量性能指標(biāo) ，從而解決了 （ 3）中 k 。 定義性能指標(biāo)函數(shù)為：pq( )（ 4）并且 p 越大 ，表示性能越好 。記 1 , n T , lq ,(l 1,2, ,n) ， 對(duì) 于（ 4 ） 兩 側(cè) 對(duì)時(shí) 間 求導(dǎo) 得 ，lTp（ 5 ）pTT Jr( IJ J )kT JrT (IJ J )k（ 6 ）若令 kk1（其中 k1 為常數(shù) ）

12、， 則有J r (I J J ) k1（ 7 ）pT J rT (I J J ) k1（ 8）為了便于討論 k 的形式 ，可假設(shè)某時(shí)刻 r0 ，則（ 7）、（ 8）兩式變?yōu)?（ 9）、（ 10），1(IJ J ) k1（ 9 ）pT ( IJ J ) k1（ 10 ）.下載可編輯 .J JJ JJT(JJT) 1JJT(JJT) 1JT (JJT) 1J J(IJJ)(IJJ)I2JJJJJJIJJ（ 11 ）由（ 11）易見(jiàn) IJ J是冪等的。記 AT (IJ J),B (I J J)根據(jù) IJJ 的冪等性 ，可得 ABT(I J J)據(jù)矩陣范數(shù)的相容性有：|AB| |A|B |（12 ）而

13、|A|B | | ,| AB |pk1k1據(jù)（ 12）有 k1 p | |2（13 ）推得：|2k1 pmaxk12T ( IJJ) （14 ）假設(shè) | |k2 H ， 其中H 為關(guān)節(jié)速率的閾值， k2 為一個(gè)常數(shù) （ 0 k21 ），可推得 |k1 pmaxk1T (IJJ) 1/2k2H（15 ）因此k1k2 H T (IJ J) 1/2（16 ）對(duì)于 （ 4）， Tsuneo Yoshikawa （ 1985 ）2 引入了可操作性的概念，其表達(dá)式為 ：wdet(JJ T )（17 ）.下載可編輯 .對(duì)于 J進(jìn)行SVD 分解，即 JUV ，其中 U ,V 為酉矩陣 ， 為由奇異值構(gòu)成的矩陣

14、，奇異值為i, i1,2, m。 可推得 ：wdet(UVV TTUT)det(UTUT)det(U ) det(T ) det(U T )12m若 J 為方陣時(shí) ， w| det(J ) | ；若機(jī)械臂處于奇異位形時(shí)，至少有m 0 ，則 w0。 w越大 ，表明機(jī)械臂的位形越好。假設(shè)各連桿的長(zhǎng)度和為一定值，則可以利用使得w 最大 ，而設(shè)計(jì)各連桿的長(zhǎng)度大小。對(duì)于（5）中的，其推導(dǎo)過(guò)程如下 ：記 GJJ T gij , i , j 1,2,.,m ，則 wdet(G) w( 1,2 ,.,n ) ，對(duì) w 求導(dǎo) ，lwdet(G)1det(G) /l ,l1,2,.,nll2det(G)（18 ）

15、g11( 1 ,2 ,.,n )g1m (1 ,2 ,.,n )det(G )gm1( 1 ,2 ,.,n )gmm (1 ,2 ,.,n )（19 ）det(G)mgi1gi 2gimmmgij(Gi 1Gi 2Gim )Gijli 1llli 1j 1l（ 20 ）其中 ， Gij 為代數(shù)余子式 。Rn n 為可逆矩陣 ，則 A*A11An1若 AA 1，其中 A* 為伴隨矩陣 ， A*| A |A1nAnn則有 Gijdet(G)G 1 jidet(G) G 1 ji（ 21 ）且 gijJi J j T ，其中 Ji , J j 分別為 J 的第 i, j 行向量 。.下載可編輯 .g

16、ijJiTJ jTJ jJilll（ 22 ）將（ 22）-（24）帶入（21），1mmJiTJ jT1det(G)(Ji) G jil2J ji 1j 1ll（ 23 ）除此之外 ，還有其它不同的性能指標(biāo)，它們與可操作性是等價(jià)的，如：條件數(shù) ，運(yùn)動(dòng)學(xué)作用指標(biāo)KCI，它們的定義分別為：( J )l, KCI1 ，其中 l , s , m 分別是最大奇異值 ，最小奇異值及最小條件數(shù) 。sm2.2 空間解釋YoshihikoNakamura （ 1987 ） 4 等對(duì) （ 3）作了空間解釋，為了導(dǎo)出結(jié)論，先引出四個(gè)引理 ：設(shè) A ， B 為 mn ， mn 且 rank (A)rank ( B)m

17、A, B 的零空間分別記為： SRANull ( A) x : Ax0, xRn ；A 的值域分別記為： R( A) v : vAx, xR n ， R(B)v : vBx, xR nA 的偽逆記為 ： AAT (AAT ) 1引理1設(shè)AAT ( AAT ) 1，Rn 1,Rm 1 ， 則構(gòu)成的空間為A 零空間的補(bǔ)空間 ，即S( Null ( A)(SRA )。此引理只需對(duì)原式兩側(cè)同時(shí)乘以A 方可證明。引 理2設(shè)(IA A)，Rn 1 ,Rm 1 ， 則所 構(gòu) 成 的 空 間 為null ( A)SRA 。同樣的 ，對(duì)于原式兩側(cè)同時(shí)左乘A.下載可編輯 .AA(IA A)(AAA A)(AAAT

18、(AAT) 1A)(AA)0 ， 易見(jiàn)結(jié)論。引理 3設(shè)C B(IA A),(I CC)，則所構(gòu)成的空間為 ： SRSR。AB根據(jù)引理2，可得所構(gòu)成的空間為 ：Null (C )Null ( B( IA A):B(I A A)0:BAA 0SRASRB引理4設(shè)C，Rn 1,R m 1，則( Null ( A)Null ( B)SRASRB。由引理 1、 3 可得引理4。為了表述方便將（ 1）、（ 5）式記為 ：r iJ i,i1,2（ 24 ）重復(fù)利用 （ 3）對(duì)（1）的求解方法 ，可得 ：J1 r 1( IJ1 J1) kJ1 r 1(IJ1 J1 ) J 2 ( r 2J2 J1 r1 )(

19、 IJ1 J1)( IJ 2 J 2 )z（ 25 ）其中， J2(I J1 J1) J2。設(shè) , r 1, r 2 分別為 Rn , Rm1 , Rm2 空 間， SR1 , SR2 分別是 J1 , J2 的零空間 ， SM1 , SM 2 分別是 J1,J2在 下的值域 。如圖 1 所示 ，根據(jù)引理1，式（ 25）右側(cè)的第一項(xiàng)將r 1 映射到子空間A 中 。 右側(cè)第二項(xiàng)的 r 2 J2 J1r 1 ，它是不影響第一子空間變量的第二子空間變量，它最終映射到子空間B 中。據(jù)引理3，右側(cè)的第三項(xiàng)將第三操作變量映射到剩余的子空間C 中 。 也就是在處理奇異位形時(shí) ，不會(huì)影響笛卡爾空間的要求 。.

20、下載可編輯 .子空間 A : Rn子空間 B r1 : Rm1子空間CSR1SM1R( J1)SR2SM2R(J 2)r 2 : Rm 2圖 1 空間解釋示意圖3 關(guān)節(jié)角加速度的求解3.1 避免障礙物Uicker （ 1965 ）和 Kahn （1969 ） 5 提出了剛體機(jī)械系統(tǒng)基于Euler-Lagrange方程的方法，它們用這種方法來(lái)模擬多剛體系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性。歐拉 - 拉格朗日方程為：dTTdt（ 26 ）其中 T 為標(biāo)量函數(shù) ，它表示系統(tǒng)的動(dòng)能，為 n 維廣義力矢量。其中可分為兩部分，即：pn ；pV ，為 V 產(chǎn)生的系統(tǒng)的保守力；n 為非保守力 。若令LTV，則有dLLndt（ 2

21、7 ）Khatib 和 Le Maitre （ 1978 ） 4 根據(jù)歐拉 - 拉格朗日方程 ，提出了用Artificalpotential和耗散函數(shù)來(lái)確定關(guān)節(jié)廣義力來(lái)避免障礙物的方法。關(guān)節(jié)廣義力表達(dá)式為：T(dP / ddD / d)T（ 28 ）.下載可編輯 .n其 中 P 為 人 工 勢(shì) 能 （ Artificalpotential ） ， D 為 耗 散 函 數(shù)2D kDii 1（29 ）所需的廣義力 ，一部分用來(lái)避開障礙物，另一部分用來(lái)提供各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)的能量。Khatib 和 Le Maitre（ 1978 ） 15定義了障礙物表面的逼近方程：平行六面體 ： ( xx0 )8( yy0

22、 )8( zcz0 )81ab圓錐 ： ( xx0 )2( yay0 )2( zz0 )81ac圓柱體 ： ( xax0 )8( yy0 )8( zz0 )81bc其中 ， x0 , y0 , z0 分別是各障礙物的幾何中心。設(shè) pi為操作臂中某些點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為( xi, yi , zi) ，且有 N 個(gè)點(diǎn) 。 以平行六面體為例，定義下列函數(shù) ：CO ( pi ) ( xix0 )8( yiy0 )8( ziz0 )8abc（30 ）NPOkO1/ CO ( pi ) 1i1（31 ）n22PJkJ1/(i maxi )i1（32 ）nPVi 1Vi（33 ）PO 限制了障礙物與操作臂的相對(duì)位置

23、， PJ 防止各關(guān)節(jié)超過(guò)最大關(guān)節(jié)角， PV 為勢(shì)能項(xiàng) 。則PPOPJPV.下載可編輯 .（ 34 ） 3.2 關(guān)節(jié)角加速度的求解機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)方程為 ：TM()V(,)G()（ 35 ）M ( ) 為操作臂的質(zhì)量矩陣， V (,) 為離心力和哥氏力， G () 為重力矢量 。由（ 28）和（35）可得M 1 ( )( dP / ddD / d)TV ( ,)G( )（ 36 ）4 反饋控制由于操作臂的建模誤差及部分參數(shù)的不準(zhǔn)確性的存在以及擾動(dòng)輸入與計(jì)算的精度的影響，操作臂實(shí)際輸出的關(guān)節(jié)角與期望的關(guān)節(jié)角是存在偏差的，同樣 ，操作臂末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)軌跡也存在輪廓誤差。反饋控制可以較好的解決該問(wèn)題，使

24、其精度提高 。 通常對(duì)于操作臂有兩種反饋方式 ：基于關(guān)節(jié)變量的反饋以及基于笛卡爾變量的反饋。對(duì)于前者反饋的方式所需的傳感器比較簡(jiǎn)單，后者所需的傳感器要求比較高，但控制精度會(huì)更高 ，應(yīng)為其輸出反饋的是最終要求的。對(duì)于前者的控制反饋示意圖如圖2所示：Xr ef , X r e f, X r e fr e f, r e f, r e fT, ,X, X,X功率逆運(yùn)動(dòng)學(xué)操作臂正運(yùn)動(dòng)學(xué)放大器圖 2基于關(guān)節(jié)變量的反饋控制基于后者的反饋控制，可以采用Yoshihiko Nakamura4 （ 1987 ）的形式 ，該方法與傳統(tǒng)的反饋控制方法不同，是將反饋后形成的差量，作為的一個(gè)輸入 ，具體過(guò)程為 ：對(duì)（ 1

25、）兩側(cè)同時(shí)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得，.下載可編輯 .rJ()J()（ 37 ）利用反饋 ，r orG1 (r or )G2 (ror )0（ 38 ）其中 ， ro , r o , r o 為理想軌跡 ，速度及加速度 。綜合 （ 37）、（ 38 ）可得：J ( )J ( )r oG1( r or 1 )G2 (ror1)h1 ( , , t )（ 39 ）記J2M 1 ( )( d P/ ddD / d )TV ( , ) h2 ( , , t ), J 2 I Rn n（ 40 ）仿照 （ 3）的形式 ，則由 （ 39）、（ 40 ）可得J h1 ( IJ J )h2（41 ）據(jù)此 ，（ 2 ）的問(wèn)題

26、得到了解決。 這里有一點(diǎn) ，當(dāng)初始關(guān)節(jié)角滿足 w( )0 時(shí)，要給 添加一個(gè)增量，通常可取0.2, ,0.2T ，由于可操作性函數(shù)的作用，操作臂其它時(shí)刻點(diǎn)不會(huì)出現(xiàn)奇異位形 。 操作臂關(guān)節(jié)軌跡規(guī)劃流程圖 ，如圖 3 所示：.下載可編輯 .M (i )Prir i(34)G ( i)JJ T(JJT) 1iJ( i )(1)w（18）iDh2 ( , ,t )T（17）(7)(29)(40)(41)(35)寄存器 1（2）初值為 0r i寄存器2V(, )寄存器3ro寄存器4r or o機(jī)械臂圖 3 冗余操作臂軌跡規(guī)劃流程圖4 仿真實(shí)例假設(shè)一個(gè)平面4R機(jī)器人，它各連桿的長(zhǎng)為L(zhǎng)11.0m, L21.

27、0m, L3 0.2m, L40.2m ，其初始角度為：1,2, 3, 4T 30 ,70 ,30 ,40 T，規(guī)劃該機(jī)器人的各關(guān)節(jié)軌跡，末端執(zhí)行器的笛卡爾運(yùn)動(dòng)速度要求為：X x, y, zT 0.2, 0.2,0.2T (m / s, rad / s) 。4L3L432L2L11圖 4 平面 4R機(jī)器人.下載可編輯 .由圖 4 末端執(zhí)行器坐標(biāo) ( x, y) 的表達(dá)式為 ：x L1c 1L2 c( 12 ) L3 c( 123 ) L4c( 1234 )y L1s 1L2 s( 12 ) L3 s( 13 ) L4 s( 1（42）2234 )對(duì)于 （ 42）兩側(cè)同時(shí)求導(dǎo)，可得xL1 s1L

28、2s12L3 s123L4 s1234L2 s12L3s123L4 s1234L3 s123L4 s1234L4 s1234yL1c1L2 c12L3c123L4c1234L2 c12L3c123L4 c1234L3c123L4c1234L4 c1234z1111（ 43）其中 ， ssin, ccos，且 s1234sin( 1234 ) ， c1234cos( 1234 ) ，z 表示末端執(zhí)行器繞 z 軸旋轉(zhuǎn)的角速度。末端執(zhí)行器只用實(shí)現(xiàn)三個(gè)動(dòng)作：兩平移 、一旋轉(zhuǎn) ，而操作臂有四個(gè)關(guān)節(jié)，易判斷該4R 操作臂是冗余的。由于本實(shí)例比較特殊，對(duì)于的求解 ，只需JX 即可 ，又由于不具有具體的操作臂

29、對(duì)象，無(wú)法建立動(dòng)力學(xué)方程，這里只考慮到分步速度控制層面。表 1為該操作臂的DH 參數(shù)表 。 利用 MATLAB&RoboticsToolBox 進(jìn)行仿真 ，其結(jié)果如圖5 所示。1234表 1機(jī)械臂 DH 參數(shù)表ii 1ai 1dii1000120L10230L20340L304.下載可編輯 .5 結(jié)語(yǔ)針對(duì)操作臂奇異位形和任務(wù)空間避障問(wèn)題，結(jié)合基于笛卡爾空間變量反饋的方法，將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解關(guān)節(jié)速率及關(guān)節(jié)加速度的方法。該方法 ，流程清楚 ，具有確定性和可行性 。 且編程簡(jiǎn)單 ，無(wú)條件判斷語(yǔ)句，執(zhí)行速度快 。120120100100808060604040202000-20-20-40-40-6

30、0-60-80123-8012300圖 5 操作臂關(guān)節(jié)及關(guān)節(jié)速率軌跡曲線參考文獻(xiàn)1J.Baillieul,Kinematic programming alternatives for redundant manipulators,Proceedings.1985 IEEE Int.Conference on Robotics and Automation,March. 1985.pp.722-728.2T.Yoshikawa,Manipulability and redundancy control of robotic mechanisms,Proceedings.1985 IEEE Int

31、.Conf. On Robotics and Automation,March.1985.pp.1004-1009.3T.Yoshikawa,Analysis and control of robot manipulators with redundancy,Robotic Research:The FirstInt.Symposium ,Brady,M.and Paul,R.(eds).MITPress 1984.pp.735-747.4Nakamura,Y.,Hanafusa,H.andYoshikawa,.TTask prioritybasedredundancycontrolof ro

32、botmanipulators,International Journal of Robotics Research,1987.6(2).pp.3-15.5Jorge Angeles,Fundamentals of Robotic Mechanical Systems, Spriger-Verlag New Yourk,Inc.2003.6R.V.Mayorga-A.K.C.Wong,ASingularitiesavoidancemethodforthe trajectoryplanning ofredundant and nonredundant robot manipulators,Pro

33、ceedings.1987 IEEE International Conference onRobotics and Automation. Mar 1987.pp.1707-17127Tsuneo Yoshikawa,a steering law for three double-gimbal control moment gryo systems, NASASTI/Recon Technical Report N,.Aug.1975.8Pyung H.Chang,Analysis and Control of Robot Manipulators wit

34、h Kinematic Redundancy,TechanicalReport 1022,MIT 1987.9Guoxiang Ping,Bing Wei,Xianglong Li,Xiang Luo,Realtime obstacleavoidanceforredundantrobot,IEEE International Conference on Mechatronics and Automation,Aug.2009.pp.223-228.下載可編輯 .10Jinliang Chen,Jingsin Liu,Avoidance of obstacles and joint limit for end-effector trackin