二次根式的概念與性質(zhì)

1、=|(3 |= * 二次根式的概念與性質(zhì)帀 編稿：莊永春 審稿：邵劍英 責編：張楊 一、目標認知陋 1. 學習目標：危 理解二次根式的概念，了解被開方數(shù)是非負數(shù)的理由；理解并掌握下列結論: 0) S 3，戸j S叭并利用它們進行計算和化簡. 2. 重點：耘 詬工0二0；（掐r =$0王）, F二冇二0）及其運用. 3. 難點：更 利用 、, 1 - - 解決具體問題. 二、知識要點梳理被開方數(shù)為非負數(shù). 知識點二：二次根式的性質(zhì)廐 9 a (a 0) 3. a (a 0)的值是非負數(shù)，其性質(zhì) 可以正用亦可逆用，正 用時去掉根號起到化簡的作用；逆用時可以把一個非負數(shù)寫成完全平方的形式，有利于在實

2、 數(shù)范圍內(nèi)進行因式分解 知識點三：代數(shù)式飼 形如5, a, a+b, ab, , x：這些式子，用基本的運算符號(基本運算包 括加、減、乘、除、乘方、開方)把數(shù)和表示數(shù)的字母連接起來的式子，我們稱這樣的式子 為代數(shù)式(algebraic expression). 三、規(guī)律方法指導. 1. 如何判斷一個式子是否是二次根式？ (1) 必須含有二次根號，即根指數(shù)為2； (2) 被開方數(shù)可以是數(shù)也可以是代數(shù)式但必須是非負的，否則在實數(shù)范圍內(nèi)無意義. 2. 如何確定二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？ 要使二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義必須滿足被開方數(shù)為非負數(shù).要確定被開方數(shù)中所含 .當二次根式 字母的取值范圍，可

3、根據(jù)題意列出不等式，通過解不等式確定字母的取值范圍 作為分母時要注意分母不能為零 經(jīng)典例題透析洌 類型一：二次根式的概念耘 R1 01、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式: 丄_ 1 J :、十;、.、(X 0)、！/、：、丨.、(x 0, y 0) 思路點撥：二次根式應滿足兩個條件：第一，有二次根號“】”；第二，被開方數(shù)是正數(shù)或 解：二次根式有：J：、(x 0)、小、：、J (x 0, y 0); 丄I 不是二次根式的有： 2、當x是多少時，/；1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？ 磕 才能有意義. 思路點撥：由二次根式的定義可知，被開方數(shù)一定要大于或等于0，所以3x-1 0, ?、 1 丄 解：

4、由 3x-1 0，得：x 丄 當x；時，在實數(shù)范圍內(nèi)有意義. 總結升華：要使二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須滿足被開方數(shù)是非負數(shù). 舉一反三 【變式1】x是怎樣的實數(shù)時，下列各式實數(shù)范圍內(nèi)有意義? 1 ; (2) 解: (1)由 0,解得：x取任意實數(shù) 當x取任意實數(shù)時，二次根式 1在實數(shù)范圍內(nèi)都有意義 (2)由 x-1 0，且 x-1 工 0，解得：x 1 當X1時，二次根式1在實數(shù)范圍內(nèi)都有意義 丄 【變式2】當x是多少時，二丄+在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？ 思路點撥：要使- 1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義， 必須同時滿足中的2x+3 0和-l中的x+1豐0. 2jc + 30 解：依題意，得M+u 3 由

5、得：x - 由得：XH -1 3丄 當x -二且x豐-1時1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義. 類型二：二次根式的性質(zhì) 3、計算：”:” i 思路點撥：我們可以直接利用 解： (a 0)的結論解題. N_ 住冏 -的=45-75 = -30 舉一反三 【變式1】計算: 思路點撥： 因為x 0,所以x+1 0;(2)a 2 0; 2 2 2 2 2 2 (3) a +2a+1=(a+1) 0;(4)4x -12x+9=(2x) -2 2x 3+3=(2x-3) 0. = a (a 2 2 2 2 (4) T 4x -12x+9=(2x) -2 2x 3+3 =(2x-3) 又 (2x-3) 2 0 2 2 /

6、 4x -12x+9 0，二=4x -12x+9. 仇化簡： (1) J- ; (2) L 一 ;(3) J :; (4) J . 思路點撥： 因為(1)9=3 2,(-4)2=42,(3)25=52,(-3)2=32,所以都可運用丁7 去化簡. 解：(1) -匕=；廣=3;(2)(=4; Z=5;(4八Ji C5、填空：當a 0時，戸=;當av 0時， 因為亠 ，所以aw 0; 因為當a a 0時，要使g * ,即使a a所以a不存在；當 要使，即使-a a,即卩a v 0；綜上，a v 0. 類型三：二次根式性質(zhì)的應用怎 6當X=-4時，求二次根式-的值.,i 思路點撥：二次根式也是一種代

7、數(shù)式，求二次根式的值和求其他代數(shù)式的值方法相同 解：將x=-4代入二次根式，得 1 7、已知y=_二+5,求的值.宓 z _ 2 解：由 _ 一 可得工二1 二，* （2） .!， I 卜I 叮,： J口 +1 = 0, Jb 1 = 0 ；. + 1 = 0, A - 1= 0 a - 7 b - 1 十滬叫I嚴+1沁=2 8、在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：囪 23 x -5 ; (2)x -2x ; 解：(1)原式一 乂)(屈. (2)原式 _一 ； - 學習成果測評竜 基礎達標宓 一、選擇題 1. 下列式子中，不是二次根式的是() A. B丿 C. 2. 已知一個正方形的面積是 A. 5B.十

8、5，那么它的邊長是() C.D.以上皆不對 3. (福建省福州市)若代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍為() 1 L 價 I I 12? + A. x 0 的值是（） A. 2 B. 2 C. 4-; D .以上都不對 5. a0 時， r、丫 ；、 ，比較它們的結果，下面四個選項中正確的是 4. A. B. 廠- 十 C. 6.( A. 遼寧省大連市）如圖，數(shù)軸上點 帀B.右 N表示的數(shù)可能是（） C. 二、填空題 1. 若肛=4，貝y x =. 2. 若有意義，則左的取值范圍是 5宀= 7.若+鍥=0 ,則幡 ；若JQ一知-3d- 1 ,則 乙的解答為：原式 =a+T =a+(a-1

9、)=2a-1=17 . 兩種解答中， 的解答是錯誤的，錯誤的原因是 . 4. 若心：時，試化簡II廠；| 廠1 1 . 5在實數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式 - ； (2) J . 答案與解析玄 基礎達標宓 、1.D 2.B3.D4.C 5.A6.B 、1.16 2. - 3.-0.02 4.tt-3.14 5.2-x 6. 1 7.: 8 2住擠見 3 9.二；(2)6 ; (3)-6 10.4 1. 解：(1)由 a+1 0 ，得 a -1 字母a的取值范圍是大于或等于-1的實數(shù)。 丄 （2）1 二 0,得 1-2a 0,即卩 a0 1. 解：依題意得：L兀走。 3 .當x-二且x豐0時，+ x2在實數(shù)范圍內(nèi)有意義. 2. 解：-J，人-，且+-有意義 y/3 x = 0F i/r- 3 = 0, x = 3 3.解：T|疋-習二0,麗萬乏0且|兀_5|豐何巨工0 上-5|二 +4 = 0 .r-5 = 0? 護斗4三0 :.= 5,y- 4 解.丁 J応 +* 二 0,訥- y 0且 不 + J4 -p 三 C1 .-占+3 二 0, J4_y 二口 :./ + 3 Op 4 y = 0 Jr = -3, = 4 ；.兀 + _y = 1 綜合探究隱 1. 一 ：2.-4xy