數(shù)學(xué)新同步湘教版選修2-1講義+精練：第3章3.3直線的方向向量Word版含解析

1、3.直線的方向向量抽象問(wèn)題情境化 新知無(wú)師自通讀教材填要點(diǎn)高中數(shù)學(xué)1. 直線的方向向量一般地，如果向量 v豐0與直線l平行，就稱v為I的方向向量.2. 直線的方向向量的應(yīng)用（1）兩條直線垂直？它們的方向向量垂直.（2）要證明兩條直線平行， 只要證明這兩條直線不重合， 并且它們的方向向量與6D平行，也就是證明其中一個(gè)方向向量是另一個(gè)方向向量的實(shí)數(shù)倍：CD = |k AB（k是某個(gè)實(shí)數(shù)）.（3）求兩條異面直線 AB, CD所成的角.B B若兩條異面直線 AB, CD所成的角為a, AB , CD所成的角為ai,則COS a= |cos_ogB B|AB CD |B B .|AB|CD|小問(wèn)題大思維

2、1直線的方向向量是唯一的嗎？若不唯一，直線的方向向量之間的關(guān)系是怎樣的？提示：直線的方向向量不是唯一的，直線的不同的方向向量是共線向量.2.兩條異面直線所成的角與它們的方向向量所成的角之間有什么關(guān)系？提示：相等或互補(bǔ).離頻若點(diǎn)題組化.名師一點(diǎn)就通AB=2, BCHEU|求異面直線所成的角（2017全國(guó)卷n ）已知直三棱柱 ABC-AiBiCi中，/ ABC = 120=CC1= 1，則異面直線 AB1與BC1所成角的余弦值為（）A.B.155C也0D亞C. 5D. 3自主解答以Bi為坐標(biāo)原點(diǎn)，BiCi所在的直線為x軸，垂直于BiCi的直線為y軸，BB1所在的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所

3、示由已知條件知Bi(o,o,o)，B(O,O,i)，Ci(i,O,O)，A( - i,3, i),則 BCi = (i,0,i),富= (i,-ABi BCi =2_Vi0|AeTi| |EBOi|a，25所以異面直線 ABi與BCi所成的角的余弦值為10.5答案C利用向量求異面直線所成角的步驟為:(1) 確定空間兩條直線的方向向量；(2) 求兩個(gè)向量夾角的余弦值；(3) 比較余弦值與0的大小，確定向量夾角的范圍；(4) 確定線線角與向量夾角的關(guān)系：當(dāng)向量夾角為銳角時(shí)，即為兩直線的夾角；當(dāng)向量 夾角為鈍角時(shí)，兩直線的夾角為向量夾角的補(bǔ)角.1.如圖，在四棱錐 O-ABCD中，底面 ABCD是邊長(zhǎng)

4、為1的菱形，/ABC = n.OA丄底面 ABCD , OA = 2, M為OA的中點(diǎn).求異面直線 AB與 4MD所成角的大小.解：作AP丄CD于點(diǎn)P.如圖，分別以AB, AP, AO所在直線為x, y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.則 A(0,0,0), B(1,0,0),D -舟，舟,0，M(0,0,1).設(shè)AB和MD所成角為0,AB = (1,0,0),12.MD = cos 0=|AB MD|= =| AB | |MD |0= n異面直線AB與MD所成角的大小為 扌.證明線線垂直已知正三棱柱 ABC-AiBiCi的各棱長(zhǎng)都為 1，M是底面上 BC邊的中點(diǎn)，N是側(cè)棱C1上的點(diǎn)，且CN = 1C

5、C1求證：AB1丄MN.自主解答法一：（基向量法）設(shè)-? = a, AC = b, A = c,則由已知條件和正三棱柱的性質(zhì)，得|a|=|b| = |c| = 1,AB1 = a+ c,a c= b c= 0, 1AM = 2(a+ b),AtT = b+ ；c,4x軸,y軸,MN = AN? - AivT = - *a+ b+ 1 1 1 AB1 MN = (a+ c) -a+ ：b+1 1 1 =-2+ 2cos 60 +4= 0. AeT1 丄-N. AB1 MN.法二：（坐標(biāo)法）設(shè)AB中點(diǎn)為O,作0。1 / AA1.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 OB, OC, 001所在直線分別為 z軸建立如圖

6、所示的空間直角坐標(biāo)系.由已知得A -2, 0, 0 , B2, 0, 0 , Co,壬,0 ,n 0,子,4,毗01, M 為 BC 中點(diǎn)， M 4, -4, o .十 4,當(dāng)，1)金=(1,0,1)， 1 1MN ABi = ；+ 0 + = 0.44 MA 丄 ABA. AB1X MN .規(guī)耀紀(jì)結(jié)1利用向量法證明空間兩條直線互相垂直，其主要思路是證明兩直線的方向向量相互垂直.(1)利用坐標(biāo)法時(shí)要建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，并能準(zhǔn)確地寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo).利用基向量法證明的關(guān)鍵是能用基向量正確表示出相關(guān)的向量.2.直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是矩形，AB = 2, A

7、D = 1, AAj = 3, M是BC的中點(diǎn).在 DD1上是否存在一點(diǎn) N，使MN丄DC1 ?并說(shuō)明理由.解：如圖所示，建立以 D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA, DC , DD1所在直線分別為 x軸，y軸，z軸的空間直角坐標(biāo)系，則C1(0,2,3), M 1, 2, 0 , D(0,0,0)，設(shè)存在N(0,0 , h),則的=2, 2, h ,DC,= (0,2,3), 1MN DC1= 2, 2, h (0,2,3) = 4 + 3h,當(dāng)h= 4時(shí)，耐處=0,3此時(shí)丄5Cf,.存在N DD1, 使 MN丄DC1.解題高手妙解題什么是智慧，智慧就是簡(jiǎn)單、高效、不走彎路B如圖，已知空間四邊形 OABC各邊

8、都相等，E, F分別為AB, OC的中 點(diǎn)，求OE與BF所成的角的余弦值.巧思求異面直線 OE與BF所成的角，由于已知OA, OB , OC的長(zhǎng) 度及夾角，因此，可以用OA, Ob , 15c表示6己與岸，然后利用向量的夾角公式計(jì)算即可.bbA妙解設(shè) OA = a, OB = b, OC1 且|a|= |b|= |c|= 1，貝U ab= bc= ca= ?.11 -j 3又 0E = 2(a+ b), BF = ?c b, |0E |=|BF | = 2.所以 OE -BF = *a + b) gc b1 1 14ac 2ab+ 4bc所以cos OE BF |OE| | BF|23.2所以

9、直線OE與BF所成角的余弦值為2.3髓堂練習(xí)常態(tài)化.當(dāng)堂強(qiáng)化所學(xué)1若A( 1,0,1), B(1,4,7)在直線I上，則直線l的一個(gè)方向向量為()A (1,2,3)B (1,3,2)C (2,1,3)D (3,2,1)解析：AB = (2,4,6)，且(2,4,6) = 2(1,2,3),二直線 l 的一個(gè)方向向量是(1,2,3) 答案：A2.設(shè)l1的方向向量為 a = (1,2, 2), l2的方向向量為 b= ( 2,3, m),若丄，貝V m=( )A 1B 21JD 3解析：h 丄 l2? a b= 2+ 6 2m= 0? m= 2.答案：B3.在正方體 ABCD-A1B1C1D1中，

10、若E為A1C1的中點(diǎn)，則直線 CE垂直于()B BDA ACC A1DD A1A解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1.則 A(1,0,0), B(1,1,0), C(0,1,0), D(0,0,0), A1(1,0,1), G(0,1,1),AC = ( 1,1,0),2, 1BD = (- 1, - 1,0),DAiD = ( 1,0,- 1),DAiA = (0,0,- 1).尿 BD = (- 1)X 2 + (- 1)X -2 + 0x 1 = 0, CE 丄 BD.答案：B4.直線11的方向向量 v 1= (1,0，- 1)，直線12的方向向量為 v2= (-2,0

11、,2)，則直線11 與12的位置關(guān)系是.解析： v 1= (1,0，- 1), v2= (-2,0,2), v 2= 2 v 1 , v 1 / v2, 11與12平行或重合.答案：平行或重合5.已知在棱長(zhǎng)為 a的正方體 ABCD-A B C D中，E是BC的中點(diǎn).則直線 A CA (0,0, a), C(a, a,0),與DE所成角的余弦值為 .解析：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0, a,0), E a, |, 0 ,D則A C= (a, a, - a),DDE =Dcos A C,DDE D DA C DEIaCi -11515 .6.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，

12、E, F分別是DD1,BD的中點(diǎn)，如圖所示.求證：EF丄CF.證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則 D(0,0,0), E 0, 0, 1 ,(1 1 QC(0,1,0), F 2 2 0.0= 0. = - X - - 1X -+2 2 2 2EF丄 C?，即 EF 丄 CF.、選擇題課下訓(xùn)練經(jīng)典化，貴在觸類旁通1 已知三條直線li, 12, 13的一個(gè)方向向量分別為 a= (4, - 1, 0), b= (1,4,5), c=(-3,12, - 9),則()A . ll丄S,但ll與l3不垂直B. ll丄l3,但ll與l2不垂直C . l2丄b,但l2與ll不垂直D . li, l2,

13、l3兩兩互相垂直解析：T a b= (4, 1,0) (1,4,5) = 4 4+ 0= 0,a c= (4,- 1,0) (-3,12, - 9)=- 12- 12=- 24工 0. bc= (1,4,5) ( 3,12,- 9)=- 3+ 48 45= 0, a丄b, a與c不垂直，b丄c.l1丄b,丨2丄丨3,但h不垂直于l 3.答案：A2.已知直線l1的一個(gè)方向向量為a= (1, - 2,1),直線l2的一個(gè)方向向量為b= (2,-2,0)，則兩直線所成角的余弦值為()A. 1B並B. 333解析：cos a, b= |a b| |a|b|=1, 2, 1乂2，廠 2, 0|_ = |

14、2+ 4 =也 ,12+ - 2 2+ 12 - , 22+ - 2 2 6 - 8 2答案：D3.在長(zhǎng)方體 ABCD-A1B1C1D1 中，AB= 2, BC= 2, DD1= 3，則 AC 與 BDj 所成角的余B.37070弦值為()A. 0C.-喙解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則Di(0,0,3), B(2,2,0),fl A(2,0,0), C(0,2,0).所以 BDi = ( 2, 2,3), AC =Ai/VVI 、 (2,2,0).所以 cos BDi -AC -一 一 =o.|BDi| |AC |答案：A4.如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱ABC-AiBiCi, C

15、A=CCi = 2CB，則直線 BCi與直線ABi夾角的余弦值為(A遲A. 50ClC 2/5C. 5解析：設(shè) CA = 2,則 C(0,0,0), A(2,0,0), B(0,0,1), CgO),Bi = (0,2,1),可得向量 A=(2,2,1),- -2 X 0 + 2X 2+ i X iBCi = (0,2, i)，由向量的夾角公式得 cosABi, BCi=一=Q0+ 4+ i 4 + 4 + i答案：A二、填空題5.已知a= (2,4,5), b= (3,x, y)分別是直線li, I2的方向向量，若li H I2,則x=解析：Tli/l2,. a/ b,.3= X = 5，二

16、 x= 6, y=寥答案：61526已知直線li的方向向量為 a= (i, 2,2), l2的方向向量為 b= (x,3, x),且li丄l2,貝 y x=.解析：li丄l2,a丄b,即a b= 0,x 6 + 2x= 3x 6= 0,. x = 2.答案：27.若直線li的方向向量與l2的方向向量的夾角為 i50，則li與l2這兩條異面直線所成 的角等于.解析：根據(jù)異面直線所成的角與方向向量的夾角之間的關(guān)系知，這兩條異面直線所成的角等于30答案：308.在直角坐標(biāo)系 O-xyz中，已知點(diǎn) P(2cos x + 1,2cos 2x+ 2,0)和點(diǎn) Q(cos x， 1,3)，其中x 0， n，

17、若直線OP與直線OQ垂直，則x的值為解析：由OP丄O Q,得 P OQ = 0.即(2cosx+ 1) cosx + (2cos 2x+ 2) ( 1)= 0.1 cosx= 0 或 cosx = q.I x 0, n, x= n或 xn3.答案：n或n三、解答題9.如圖，在三棱錐 V-ABC中，頂點(diǎn)C在空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn) 處，頂點(diǎn) A，B，V分別在 x, y, z軸上，D是線段 AB的中點(diǎn)，且AC = BC= 2,Z VDC = n，求異面直線 AC與VD所成角的余弦值.3解：因?yàn)锳C= BC = 2, D是AB的中點(diǎn)，所以 C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0).在 Rt VCD 中，CD = 2，Z VDC =彳，故 V(0,0，6).3所以 CC = ( 2,0,0)， = (1,1，6). 所以cosBiC = (0,1,0)-(1,1,1) = (- 1,0,- 1),eF b1c = 2x (-1)+ 1x