2021屆北京市海淀區(qū)高三一?？荚嚁?shù)學試題Word版含解析

1、2021屆北京市海淀區(qū)高三一?？荚嚁?shù)學試丿一、單選題1. 在復平面內(nèi)，復數(shù)K2-i)對應的點位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【答案】A【解析】試題分析：i(2,) = 1 + 2/,對應的點為1,2 ,在第一象限【考點】復數(shù)運算2. 已知集合A = x0x3tAB=1 ,則集合可以是()A. (1, 2B. 1, 3C. 0, 1, 2D. (1, 2, 3 )【答案】B【解析】集合4, 是數(shù)集，A = x0x3 ,1 , 集合中一定沒有元素2,由選項可得.【詳解】1 ,則集合3中一泄有元素1，又A = x0x0)的離心率為則&的值為()A. 1B. 2C. 3D. 4

2、【答案】B【解析】由題知2 = 1 , e = - = y/5及c2 = a2+b2聯(lián)解可得.a【詳解】由題矢口 a2 = 1 e = = /5 e2 =二=v = 5,acr cr:.b = 2.故選：B.【點睛】本題考查利用雙曲線離心率求雙曲線方程.求雙曲線方程的思路：(1)如果已知雙曲線的中心在原點，且確定了焦點在x軸上或y軸上，則設岀相應形 式的標準方程，然后根據(jù)條件確定關(guān)于0 b, C的方程組，解岀嚴，從而寫出雙曲線的標準方程(求得 的方程可能是一個，也有可能是兩個，注意合理取舍，但不要漏解).(2)當焦點位置不確泄時，有兩種方法來解決：一種是分類討論，注意考慮要全面；另一種是設雙曲

3、線的一 般方程為nix2 + ny = 0)求解.4. 已知實數(shù)a, b, c在數(shù)軸上對應的點如圖所示，則下列式子中正確的是()/)c cA. b Cl C +CIB c2 D.問【答案】D【解析】由數(shù)軸知cv/?-2-1 -不成立.對于 B, v(-3)2 (-2)(-1), /.不成立.33對于C, */ v ,不成立.-2 -1對于 D, |-2|x(-3) 2, /. m /3D. JI【答案】C【解析】四棱錐底而是直角梯形，E4丄底而ABCD，可知最長棱是EC,在直角三角形E4C中利用勾股龍 理可解.【詳解】由三視圖知，四棱錐底而是直角梯形，E4丄底而ABCD, EA = AB =

4、BC = 2,最長棱是EC,在 RtMBC 中，AC2=AB2 + BC2,在 R臨EAC 中，EC2 = EA2+AC2,:.EC2 =EA2+AB2+BC2 =12,EC = 2 忑.故選：D.【點睛】由幾何體三視圖還原其直觀圖時應注意的問題.要熟悉柱、錐、球、臺的三視圖，結(jié)合空間想象將三視圖還 原為直觀圖.9. 若數(shù)列色滿足5=2,則“切丿：吩,=“丹”是“匕為等比數(shù)列”的（）B.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件A.充分而不必要條件C.充分必要條件【答案】A【解析】,ar=apar,不妨設r = l 則作+i =作5=2%可證充分性;色為等比數(shù)列且Q H 2時得不到如.=嘰.,可

5、知必要性不成立【詳解】不妨設r = l,則作+i =作 % = 2cip,：.=2 .“”為等比數(shù)列：故充分性成立反之若%為等比數(shù)列，不妨設公比為q,%,之嚴叫2/1,竹qr 2/心=4嚴-2當qH2時S+rHdp勺，所以必要性不成立故選:A.【點睛】（1）證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常用左義法與中項公式法，英他方法只用于選擇、填空題中的判泄：若證明某 數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可.（2）利用遞推關(guān)系時要注意對n=l時的情況進行驗證.10. 形如2+1 S是非負整數(shù)）的數(shù)稱為費馬數(shù)，記為厲數(shù)學家費馬根據(jù)佗都是質(zhì)數(shù)提出了猜想:費馬數(shù)都是質(zhì)數(shù).多年之后，數(shù)學家歐拉計算出人不是

6、質(zhì)數(shù)，那的位數(shù)是（）（參考數(shù)據(jù)：20.3010 ）A. 9B 10C. 11D. 12【答案】B【解析】耳=232 + 1,設加二2巴兩邊取常用對數(shù)估算？的位數(shù)即可.【詳解】 = 232 + 1,設加二232，則兩邊取常用對數(shù)得lg m = lg 232 = 321g2 = 32x 0.3010 = 9.632./w= 109632 al0故4的位數(shù)是10, 故選:B.【點睛】解決對數(shù)運算問題的常用方法：(1) 將貞數(shù)化為底數(shù)的指數(shù)幕的形式進行化簡.(2) 將同底對數(shù)的和、差、倍合并.(3) 利用換底公式將不同底的對數(shù)式轉(zhuǎn)化成同底的對數(shù)式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應用.(4) 利用常用

7、對數(shù)中的Ig2 + lg5 = 1簡化計算.二、填空題11. 已知點P(l, 2)在拋物線qF=2刃上，則拋物線C的準線方程為_.【答案】x = -l【解析】P(l,2)代入拋物線方程，求出” =2,可求準線方程.【詳解】P(l，2)在拋物線C：y2=2px上，2p = 4,/? = 2,準線方程為兀=上=一1,2故答案為：x = -.【點睛】本題考査拋物線的性質(zhì)涉及拋物線幾何性質(zhì)的問題常結(jié)合圖形思考，通過圖形可以直觀地看出拋物線的頂 點、對稱軸、開口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想解題的直觀性.12. 在等差數(shù)列%中，卩=3,也+你=16,則數(shù)列%的前4項的和為_.【答案】24【解析】利用

8、等差數(shù)列基本量關(guān)系求通項.利用等差數(shù)列前項和公式求岀S”.【詳解】設等差數(shù)列的公差為. a2 +5 = 16 ,a + + q + 4 = 16, q = 3, d = 2 , 5 = ! +(H 一 1)J = 3 + (n-1)x2 = 2/?+l, sfW竺巴=24.4 2 2故答案為：24【點睛】本題考查解決等差數(shù)列通項公式及前川項和S”.(1) 等差數(shù)列基本繪訃算問題的思路：與等差數(shù)列有關(guān)的基本運算問題，主要用繞著通項公式 =+ (n -1)和前n項和公式S =卩f = na. +,在兩個公式中共涉及五個量：2 2，”，山，S“,已知其中三個量，選用恰當?shù)墓剑梅匠?組)可求岀剩

9、余的兩個量.13. 已知非零向量亦滿足卜“-耳，則(；-#；)屁一【答案】0【解析】 麗“-耳兩邊平方求出仍卩=2嵐：化簡(a-U) b可求解.【詳解】由R卜p-耳兩邊平方，得GFt胡2 +1亦2 _2a_b,b2=2a b,一 1_一1-2(u b) b = a b 一 b = a b u b=0 ,2 2故答案為：o【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的應用.求向量模的常用方法：(1) 若向疑方是以坐標形式岀現(xiàn)的，求向量方的?？芍苯永霉絧l=JF+b.(2) 若向呈:亦 是以非坐標形式岀現(xiàn)的，求向量2的模可應用公式u=a*a或 ab2 =(ab)2 =a 2a7ZH-Z；2 先求向量模的平方

10、，再通過向量數(shù)量積的運算求解.14. 如圖，在等邊三角形 磁中，Q6.動點P從點兔出發(fā)，沿著此三角形三邊逆時針運動回到力點，記P運動的路程為*點P到此三角形中心0距離的平方為Ax),給出下列三個結(jié)論：B 函數(shù)Ax)的圖象的對稱軸方程為X9； 于X的方程/ (x)=戀+ 3最多有5個實數(shù)根.其中，所有正確結(jié)論的序號是.【答案】【解析】寫出P分別在AB.BC,CA上運動時的函數(shù)解析式/(x) = |OP|2,利用分段函數(shù)圖象可解.P分別在AB上運動時的函數(shù)解析式/(x) = |OP|2 =3 + (x-3)(0x6).P分別在BC上運動時的函數(shù)解析式f(x) = |OP|2 =3 + (x-9)2

11、,(6a12),P分別在C4上運動時的函數(shù)解析式f(x) = |OP|2 = 3 + (x-12)2,(12 x 18),3 + (x-3)(0x6)f(x) =1 OP l2=3 + (x-9)2,(6x12),3 + (x-12)2,(12a/3,l),求出平面BEC求出的法 2向量，利用空間向量夾角公式可得.【詳解】(I) .AB 丄平面 BBg GB u 平面 CBB&i，；.AB 丄 C】B,在CBC 中，CC、= BB、= 2,BC = 、BC = * ,BC2 + BC = CC,2, BC 丄 C，ABcBC = B,CB丄平面?zhèn)€;；(II) 由(I)知AB丄C&, AB丄C3

12、, BC丄C&,則建立空間直角坐標系B-xyz.則 B(0、0,0), E(- -,履 1), C(l,0,0),2BC = (l,0,0),BE = (-|,5/3,l),乙設平而BEC的法向量為齊=(x,y,z),” pb BC = 0 故S 一n BE = 0 n = (0,據(jù)-3),又平而BAC的法向量為嬴=(0丄0),/?/? 1二 cos = 一 _=- m n 2由題知二而角A-BC-E為銳二而角，所以二而角A-BC-E的大小為亍.【點睛】本題考查線面垂直判定及利用空間向屋計算二而角大小.計算二而角大小的常用方法:分別求出二而角的兩個半平而所在平而的法向量，然后通過兩個平而的法向

13、量 的夾角得到二而角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角的大小17. 已知函數(shù) f (a) = 2cos2 y,x + sin/2sin(2x4-)+l,再由xe-,-可得4 2 6+二,結(jié)合正弦函數(shù)圖象求解最值：4412馬=1,今=1, /(x) = 2cos2x+sinx = -2sin2x+sinx+2 利用拋物線知識求解【詳解】 /(0) = 2cos2 0 + sin0 = 2 :由題意得/(x) = 2cos2 x + sin 2x = cos2x + sin 2x +1 = /2 sin(2x+ )+1, :.T =兀、42X+4jr所以當X = -時，于（兀）取最小值一 1厶

14、偽=1 =1 t f(x) = 2cos2 x + sinx = -2sin2 x + sinx + 2 ,.* xeII, 令sinx = /,2 6當r=-l時，函數(shù)取得最小值為/（-1） = -Lf（x） = 2cos2 x + sinx,. f（x+2/r） = 2cos2（x+2/r） + sin（x+2） = 2cos2 x + sinx :.T = 2”【點睛】本題考查三角恒等變換在三角函數(shù)圖象和性質(zhì)中的應用.（1）利用三角恒等變換及輔助角公式把三角函數(shù)關(guān)系式化成Asm（o）x+（p）+k或Acos（血+*）+k的形 式：（2）根據(jù)自變疑的范國確定CDX +（p的范|卞,根據(jù)相應

15、的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值.（3）換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)研究最值.18. 科技創(chuàng)新能力是決定綜合國力和國際竟爭力的關(guān)鍵因素，也是推動經(jīng)濟實現(xiàn)高質(zhì)量發(fā)展的重要支撐,而研發(fā)投入是科技創(chuàng)新的基本保障，下圖是某公司從2010年到2019年這10年研發(fā)投入的數(shù)據(jù)分布圖：2010 201120J 2 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019研發(fā)投入研貯投入占背牧其中折線圖是該公司研發(fā)投入占當年總營收的百分比，條形圖是當年研發(fā)投入的數(shù)值（單位:十億元）.(力從2010年至2019年中隨機選取一年，求該年研發(fā)投入占當年總營收的百分比超過10%的概率;(ZZ)從2010年至2019

16、年中隨機選取兩個年份，設/表示其中研發(fā)投入超過500億元的年份的個數(shù)，求X 的分布列和數(shù)學期望；(“力根據(jù)圖中的信息，結(jié)合統(tǒng)計學知識，判斷該公司在發(fā)展的過程中是否比較垂視研發(fā)，并說明理由.9【答案】一：(II)E(X) = 1,分布列如下:X012P(x)295929(111) 2010年到2019年共10年中，研發(fā)投入占當年總營收的百分比超過10%有9年，每年基本上都在增加, 因此公司在發(fā)展的過程中重視研發(fā).【解析】 折線圖中2010年到2019年共10年中，2010年公司研發(fā)投入占當年總營收的百分比在10%以 下(II) 2010年到2019年共10年中，研發(fā)投入超過500億元的有5年，X

17、的取值可能為0, 1, 2,超幾何分 布求槪率.(III) 圖中信息10年中，研發(fā)投入占當年總營收的百分比超過10%有9年，每年基本上都在增加，判斷公 司在發(fā)展的過程中比較重視研發(fā).【詳解】(I) 由題知，2010年到2019年共10年中，研發(fā)投入占當年總營收的百分比超過10$有9年，設從2010年9至2019年中隨機選取一年，求該年研發(fā)投入占當年總營收的百分比超過10%為事件A , .-.P(A) = -.(II) 由題意得X的取值可能為0, 1, 2C2 2P(X=1) =P(X=2)=気C1OX的分布列為X012P(x)29592975?E(X)= 0x- + 1x- + 2x- = 1

18、.V 7999(III) 2010年到2019年共10年中，研發(fā)投入占當年總營收的百分比超過10%有9年，每年基本上都任增 加，因此公司在發(fā)展的過程中重視研發(fā).【點睛】超幾何分布的特征.(I) 考察對象分兩類：(2)已知務類對象的個數(shù)：(3)從中抽取若干個個體，考查某類個體數(shù)X的概率分布.求 離散型隨機變量分布列的步驟.19. 已知函數(shù) f (x) = ex +ax.(刀當時， 求曲線/(x)在點(0, f(0)處的切線方程； 求函數(shù)Ax)的最小值；(12)求證:當d W(-2,0)時，曲線y = /(X)與y = -lnx有且只有一個交點.【答案】(1)切線方程y = i； /(-v)min

19、 = 1: (2)證明見解析【解析】函數(shù)求導f (x) = ex-,求出k = fXO)得切線方程；解廣(刃0求單增區(qū)間，解r(x)0)得到函數(shù)調(diào)調(diào)性，由零點存在性沱理證有且只有一個零點.【詳解】(D 當 a=- 時,函數(shù)f(x) = ex-x,=即廣(0) = -1=0,曲線y = fW在點(0, /(O)處的切線方程為y = 1.令廣a)= R-io,得x0,令廣(切=護一10,得x 0)有且只有一個零點.g，(x) = ex + +ax0), I當xe(OJ)時，ex當xel,4e2,丄0,Xa g (-2,0),則 g，(x) = e + 丄 + a 0,.X.g(x)在(0,+8)上

20、單增，于點Q.求證:8%為等腰三角形.【答案】(I)l + /=1： (H)證明見解析4【解析】(I)運用橢圓離心率公式和三角形而積公式，結(jié)合gb,c的關(guān)系，解方程可得a = 2,b = l,從而得 到橢圓方程(II)設直線AW的直線方程為y = -(x-2)直線A/的直線方程為y = lx + l,聯(lián)解求 岀P點坐標，同理求出0坐標，|BP=可+(1 兒)，+(1 )訂=討；，只需證 明v=V，利用作差法可證明.【詳解】a 2_了 2由題意得-2ab = 2 ,解得u = 2,b = 、c = #,故橢圓的方程為 +/=!.(ID 由題意得人(2,O)4(2,O),B(O,1),設點則有亦+

21、4屛=4.又直線的直線方程為y = -(x-2),直線的直線方程為y = -x + , m_22尸士a 一 2) m 一 2V = x +122nt + 4/?-42n 一 m + 242n -m+ 2P點的坐標為2m + 4/? 一 44nIn - m + 2 5 2n-m + 2又直線M的直線方程為y = -(x + 2),宜線AB的直線方程為y =x+1m + 22n z “ 廠市(W)1 1 y = _x + l 22m 一 4/z + 42n + in + 242n + ？ + 2二0點的坐標為2m 一 4/z + 4 4n 2n + m+ 2 2n + m + 2 -Q =對+(l

22、_y/.，2w + 4/z-4k2 /2加一4” + 4、，x -x- = ()-()J2/z - m + 22n + m + 2_ 4(/? + 2n-2) (2n + m + 2) -4(m-2n + 2)(2“一“？ + 2)(2n - m + 2)(2n + m + 2)(2n-in + 2) (2n + ni + 2):.BP =BQ, :.BP = BQ, :./BPQ 為等腰三角形.【點睛】圓錐曲線中的幾何證明問題多出現(xiàn)在解答題中，難度較大，多涉及線段或角相等以及位宜關(guān)系的證明等.通 常利用代數(shù)方法，即把要求證的等式或不等式用坐標形式表示出來，然后進行化簡計算等進行證明21. 已

23、知數(shù)列”是由正整數(shù)組成的無窮數(shù)列.若存在常數(shù)k e N*,使得5“ +吆=g任意的已2成立，則稱數(shù)列”具有性質(zhì)中&). 分別判斷下列數(shù)列”是否具有性質(zhì)中(2)；(直接寫出結(jié)論) T=2, 若數(shù)列”滿足如“,( = 123,)，求證：“數(shù)列叫具有性質(zhì)中”是“數(shù)列%為常數(shù)列” 的充分必要條件； 已知數(shù)列”中勺=1，且| 佈(= 1.2,3,-).若數(shù)列”具有性質(zhì)中，求數(shù)列”的通項公式.【答案】(1)”=1時，數(shù)列a具有性質(zhì)中：=2時，數(shù)列%不具有性質(zhì)空(2). (2)證明見解析(3) a=2n-.【解析】(1)代入驗證即可得.(2) 充分性:由a2n_l+a2n2an及數(shù)列”具有性質(zhì)空可得如叫叫；必要性:數(shù)列%為常數(shù)列，所以a =j可證勺“_1 + % =加(3) 數(shù)列”具有性質(zhì)中，求出勺=3,由+4=42=12,對心取值進行證明排除，得到_64mn(m2 +4n2 -4)=1,勺=3,色=5,山=7,猜想=2/1-1,用反證法證明猜想成立.【詳解】(1) =1時，數(shù)列a具有性質(zhì)中.心=2”時，數(shù)列”不具有性質(zhì)中(2).(2) 2a”( = l,2,3,.),a2n-l 切2” 加