八年級上冊一次函數經典例題

1、 一次函數復習課 知識點1 一次函數和正比例函數的概念 若兩個變量x，y間的關系式可以表示成y=kx+b（k，b為常數，k0）的形式，則稱y是x的一次函數（x為自變量），特別地，當b=0時，稱y是x的正比例函數.例如：y=2x+3，11x等都是一次函數，y=xy=，y=-x都是正比例函數. y=-x+2， 22【說明】 （1）一次函數的自變量的取值范圍是一切實數，但在實際問題中要根據函數的實際意義來確定. （2）一次函數y=kx+b（k，b為常數，b0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意義相同，即自變量x的次數為1，一次項系數k必須是不為零的常數，b可為任意常數. （3）

2、當b=0，k0時，y= kx仍是一次函數. （4）當b=0，k=0時，它不是一次函數. 知識點2 函數的圖象 把一個函數的自變量x與所對應的y的值分別作為點的橫坐標和縱坐標在直角坐標系內描出它的對應點，所有這些點組成的圖形叫做該函數的圖象畫函數圖象一般分為三步：列表、描點、連線 知識點 3一次函數的圖象 由于一次函數y=kx+b（k，b為常數，k0）的圖象是一條直線，所以一次函數y=kx+b的圖象也稱為直線y=kx+b 由于兩點確定一條直線，因此在今后作一次函數圖象時，只要描出適合關系式的兩點，再連成直線即可，一般選取兩個特殊點：直線與y軸的交點（0，b），直線與x軸的交點b（-，0）.但也不

3、必一定選取這兩個特殊點.畫正比例函數y=kx的圖象時，只要描出點（0， k0），（1，k）即可. 知識點4 一次函數y=kx+b（k，b為常數，k0）的性質 （1）k的正負決定直線的傾斜方向； 1 / 20 k0時，y的值隨x值的增大而增大； kO時，y的值隨x值的增大而減小 （2）|k|大小決定直線的傾斜程度，即|k|越大，直線與x軸相交的銳角度數越大（直線陡），|k|越小，直線與x軸相交的銳角度數越?。ㄖ本€緩）； （3）b的正、負決定直線與y軸交點的位置； 當b0時，直線與y軸交于正半軸上； 當b0時，直線與y軸交于負半軸上； 當b=0時，直線經過原點，是正比例函數 （4）由于k，b的符號

4、不同，直線所經過的象限也不同； 如圖1118（l）所示，當k0，b0時，直線經過第一、二、三象限（直線不經過第四象限）； 如圖1118（2）所示，當k0，bO時，直線經過第一、三、四象限（直線不經過第二象限）； 如圖1118（3）所示，當kO，b0時，直線經過第一、二、四象限（直線不經過第三象限）； 如圖1118（4）所示，當kO，bO時，直線經過第二、三、四象限（直線不經過第一象限） （5）由于|k|決定直線與x軸相交的銳角的大小，k相同，說明這兩個銳角的大小相等，且它們是同位角，因此，它們是平行的另外，從平移的角度也可以分析，例如：直線y=x1可以看作是正比例函數y=x向上平移一個單位得到

5、的 知識點5 正比例函數y=kx（k0）的性質 （1）正比例函數y=kx的圖象必經過原點； （2）當k0時，圖象經過第一、三象限,y隨x的增大而增大； （3）當k0時，圖象經過第二、四象限,y隨x的增大而減小 知識點6 點P（x，y）與直線y=kx+b的圖象的關系 00（1）如果點P（x，y）在直線y=kx+b的圖象上，那么x,y的值必滿足解析式y(tǒng)=kx+b； 0000 2 / 20 （2）如果x，y是滿足函數解析式的一對對應值，那么以x，y為坐標的點P（1，00002）必在函數的圖象上 例如：點P（1，2）滿足直線y=x+1，即x=1時，y=2，則點P（1，2）在直線y=x+l的圖象上；點P

6、（2，1）不滿足解析式y(tǒng)=x+1，因為當x=2時，y=3，所以點P（2，1）不在直線y=x+l的圖象上 知識點7 確定正比例函數及一次函數表達式的條件 （1）由于正比例函數y=kx（k0）中只有一個待定 系數k，故只需一個條件（如一對x，y的值或一個點）就可求得k的值 （2）由于一次函數y=kx+b（k0）中有兩個待定系數k，b，需要兩個獨立的條件確定兩個關于k，b的方程，求得k，b的值，這兩個條件通常是兩個點或兩對x，y的值 知識點8 待定系數法 先設待求函數關系式（其中含有未知常數系數），再根據條件列出方程（或方程組），求出未知系數，從而得到所求結果的方法，叫做待定系數法其中未知系數也叫待

7、定系數例如：函數y=kx+b中，k，b就是待定系數 知識點9 用待定系數法確定一次函數表達式的一般步驟 （1）設函數表達式為y=kx+b； （2）將已知點的坐標代入函數表達式，解方程（組）； （3）求出k與b的值，得到函數表達式 例如：已知一次函數的圖象經過點（2，1）和（-1，-3）求此一次函數的關系式 解：設一次函數的關系式為ykx+b（k0）， 由題意可知， 3 / 20 1?2k?b,? ?3?k?b,?4?k?,? ?3解 ?5?.?b? 3?45此函數的關系式為y= ?x 33【說明】 本題是用待定系數法求一次函數的關系式，具體步驟如下：第一步，設（根據題中要求的函數“設”關系式y(tǒng)

8、=kx+b，其中k，b是未知的常量，且k0）；第二步，代（根據題目中的已知條件，列出方程（或方程組），解這個方程（或方程組），求出待定系數k，b）；第三步，求（把求得的k，b的值代回到“設”的關系式y(tǒng)=kx+b中）；第四步，寫（寫出函數關系式）. 思想方法小結 （1）函數方法 函數方法就是用運動、變化的觀點來分析題中的數量關系，抽象、升華為函數的模型，進而解決有關問題的方法函數的實質是研究兩個變量之間的對應關系，靈活運用函數方法可以解決許多數學問題 （2）數形結合法 數形結合法是指將數與形結合，分析、研究、解決問題的一種思想方法，數形結合法在解決與函數有關的問題時，能起到事半功倍的作用 知識規(guī)

9、律小結 （1）常數k，b對直線y=kx+b(k0）位置的影響 當b0時，直線與y軸的正半軸相交； 當b=0時，直線經過原點； 當b0時，直線與y軸的負半軸相交 b當k，b異號時，即-0時，直線與x軸正半軸相交； k 4 / 20 b=0時，直線經過原點； 當b=0時，即- kb x軸負半軸相交k，b同號時，即-0時，直線與當 k當kO，bO時，圖象經過第一、二、三象限； 當k0，b=0時，圖象經過第一、三象限； 當bO，bO時，圖象經過第一、三、四象限； 當kO，b0時，圖象經過第一、二、四象限； 當kO，b=0時，圖象經過第二、四象限； 當bO，bO時，圖象經過第二、三、四象限 （2）直線y

10、=kx+b（k0）與直線y=kx(k0)的位置關系 直線y=kx+b(k0)平行于直線y=kx(k0) 當b0時，把直線y=kx向上平移b個單位，可得直線y=kx+b； 當bO時，把直線y=kx向下平移|b|個單位，可得直線y=kx+b （3）直線b=kx+b與直線y=kx+b（k0 ，k0）的位置關系 22121211?y與yk相交； k2211k?k?21?y與y相交于y軸上同一點（0，b）或（； 0，b）?2211b?b?12k?k,?21?y與y平行； ?21b?b?21k?k,?21?y與y重合. ?21b?b?12 5 / 20 典例講解 基本題 本節(jié)有關基本概念的題目主要是一次函

11、數、正比例函數的概念及它們之間的關系，以及構成一次函數及正比例函數的條件 例1 下列函數中，哪些是一次函數？哪些是正比例函數？ 12x； （2）y=-； （3）y=-3-5x； （1）y=- x2122. 6）y=x(x-4)-xy=6x- ； （5） ）（4y=-5x（ 2 基礎應用題 本節(jié)基礎知識的應用主要包括：（1）會確定函數關系式及求函數值；（2）會畫一次函數（正比例函數）圖象及根據圖象收集相關的信息；（3）利用一次函數的圖象和性質解決實際問題；（4）利用待定系數法求函數的表達式 例3 一根彈簧長15cm，它所掛物體的質量不能超過18kg，并且每掛1kg的物體，彈簧就伸長05cm，寫出

12、掛上物體后，彈簧的長度y（cm）與所掛物體的質量x(kg）之間的函數關系式，寫出自變量x的取值范圍，并判斷y是否是x的一次函數 6 / 20 學生做一做 烏魯木齊至庫爾勒的鐵路長約600千米，火車從烏魯木齊出發(fā)，其平均速度為58千米時，則火車離庫爾勒的距離s（千米）與行駛時間t（時）之間的函數關系式是 . 2-5t+100M=t（時）的函數：時的溫度M（）是時間t4例4 某物體從上午7時至下午（其中t=0表示中午12時，t=1表示下午1時），則上午10時此物體的溫度為 例5 已知y-3與x成正比例，且x=2時，y=7. （1）寫出y與x之間的函數關系式； （2）當x=4時，求y的值； （3）當

13、y=4時，求x的值 7 / 20 例6 若正比例函數y=（1-2m）x的圖象經過點A（x，y）和點B（x，y），當x11212x時，yy，則m的取值范圍是（ ） 212AmO Bm0 1DCm m M 2 學生做一做 某校辦工廠現在的年產值是15萬元，計劃今后每年增加2萬元 （1）寫出年產值y（萬元）與年數x（年）之間的函數關系式； （2）畫出函數的圖象； （3）求5年后的產值 例7 已知一次函數y=kx+b的圖象如圖1122所示，求函數表達式 8 / 20 例8 求圖象經過點（2，-1），且與直線y=2x+1平行的一次函數的表達式 綜合應用題 本節(jié)知識的綜合應用包括：（1）與方程知識的綜合應

14、用；（2）與不等式知識的綜合應用；（3）與實際生活相聯(lián)系，通過函數解決生活中的實際問題 例8 已知y+a與x+b（a，b為是常數）成正比例 （1）y是x的一次函數嗎？請說明理由； （2）在什么條件下，y是x的正比例函數？ 9 / 20 例9 某移動通訊公司開設了兩種通訊業(yè)務：“全球通”使用者先交50元月租費，然后每通話1分，再付電話費04元；“神州行”使用者不交月租費，每通話1分，付話費06元（均指市內通話）若1個月內通話x分，兩種通訊方式的費用分別為y元和y元 21（1）寫出y，y與x之間的關系； 21（2）一個月內通話多少分時，兩種通訊方式的費用相同？ （3）某人預計一個月內使用話費200

15、元，則選擇哪種通訊方式較合算？ 例10 已知y+2與x成正比例，且x=-2時，y=0 （1）求y與x之間的函數關系式； （2）畫出函數的圖象； （3）觀察圖象，當x取何值時，y0？ （4）若點（m，6）在該函數的圖象上，求m的值； （5）設點P在y軸負半軸上，（2）中的圖象與x軸、y軸分別交于A，B兩點，且S=4，ABP求P點的坐標 10 / 20 2+18. x-2k（3-k）例11 已知一次函數y=（1）k為何值時，它的圖象經過原點？ （2）k為何值時，它的圖象經過點（0，-2）? （3）k為何值時，它的圖象平行于直線y=-x？ （4）k為何值時，y隨x的增大而減小？ 例12 判斷三點A（

16、3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在同一條直線上 11 / 20 探索與創(chuàng)新題 主要考查學生運用知識的靈活性和創(chuàng)新性，體現分類討論思想、數形結合思想在數學問題中的廣泛應用 例13 老師講完“一次函數”這節(jié)課后，讓同學們討論下列問題： （1）x從0開始逐漸增大時，y=2x+8和y=6x哪一個的函數值先達到30？這說明了什么？ （2）直線y=-x與y=-x+6的位置關系如何？ 甲生說：“y=6x的函數值先達到30，說明y=6x比y=2x+8的值增長得快” 乙生說：“直線y=-x與y=-x+6是互相平行的” 你認為這兩個同學的說法正確嗎？ 例14 某校一名老師將在假期帶領學生去北京旅游，用旅

17、行社說：“如果老師買全票，其他人全部半價優(yōu)惠”乙旅行社說：“所有人按全票價的6折優(yōu)惠”已知全票價為240元 （1）設學生人數為x，甲旅行社的收費為y元，乙旅行社的收費為y元，分別表乙甲示兩家旅行社的收費； （2）就學生人數討論哪家旅行社更優(yōu)惠 12 / 20 學生做一做 某公司到果園基地購買某種優(yōu)質水果，慰問醫(yī)務工作者.果園基地對購買量在3000千克以上（含3000千克）的有兩種銷售方案甲方案：每千克9元，由基地送貨上門；乙方案：每千克8元，由顧客自己租車運回，已知該公司租車從基地到公司的運輸費為5000元 （1）分別寫出該公司兩種購買方案的付款y（元）與所購買的水果量x（千克）之間的函數關系

18、式，并寫出自變量X的取值范圍； （2）當購買量在什么范圍時，選擇哪種購買方案付款少？并說明理由 例15 一次函數y=kx+b的自變量x的取值范圍是-3x6，相應函數值的取值范圍是-5y-2，則這個函數的解析式為 . 13 / 20 中考試題預測 例1 某地舉辦乒乓球比賽的費用y（元）包括兩部分：一部分是租用比賽場地等固定不變的費用b（元），另一部分與參加比賽的人數x（人）成正比例，當x=20時y=160O；當x=3O時，y=200O （1）求y與x之間的函數關系式； （2）動果有50名運動員參加比賽，且全部費用由運動員分攤，那么每名運動員需要支付多少元？ 例2 已知一次函數y=kx+b，當x=

19、-4時，y的值為9；當x=2時，y的值為-3 （1）求這個函數的解析式。 （2）在直角坐標系內畫出這個函數的圖象 14 / 20 例3 如圖1127所示，大拇指與小拇指盡量張開時，兩指尖的距離稱為指距某項研究表明，一般情況下人的身高h是指距d的一次函數，下表是測得的指距與身高的一組數據 20 21 22 23 d/cm 指距187 169 160 178 h/cm 身高（1）求出h與d之間的函數關系式；（不要求寫出自變量d的取值范圍） （2）某人身高為196cm，一般情況下他的指距應是多少？ 例4 汽車由重慶駛往相距400千米的成都，如果汽車的平均速度是100千米時，那么汽車距成都的路程s（千米）與行駛時間t（時）的函數關系用圖象（如圖1128所示）表示應為（ ） 15 / 20 例5 已知函數：（1）圖象不經過第二象限；（2）圖象經過點（2，-5）.請你寫出一個同時滿足（1）和（2）的函數關系式： 例6 人在運動時的心跳速率通常和人的年齡有關如果用a表示一個人的年齡，用b表示正常情況下這個人運動時所能承受的每分心跳的最高次數，另么b=08（220-a） （1）正常情況下，在運動時一個16歲的學生所能承受的每分心跳的最高