分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理知識點與習題

1、分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，能正確區(qū)分“類”和 兩 個 原 理 解 決一些 簡 單 的“步”，并能利用 實 際 問 題課前雙基鞏固知識聚焦不簡單羅列1.分類加法計數(shù)原理完成一件事有n類不同的方案，在第一類方案中有m1種不同的方法，在第二類方案中有m2種不同的方法， ，在第 n類方案中有mn種不同的方法，則完成這件事情，共有N種不同的方法.2.分步乘法計數(shù)原理完成一件事情需要 n個不同的步驟， 種不同的方法，完成第n步有完成第一步有 mi種不同的方法，完成第二步有 m2 mn種不同的方法，那么完成這件事情共有種不同的方法.3.兩個計數(shù)原理的區(qū)別分類加

2、法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理， 的區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理與分類有關， 以完成這件事；分步乘法計數(shù)原理與分步有關, 這件事才算完成.它們用其中的任一種方法都可 只有各個步驟都完成了，都涉及完成一件事情的不同方法的種數(shù).各種方法相互獨立，各個步驟相互依存，正本清源不單純記憶 /鏈接教材1.教材改編現(xiàn)有高一年級的學生 3名，高二年級的學生 待外賓的活動，有 種不同的選法.5名，從中任選1人參加接2.教材改編5位同學站成一排準備照相的時候，有2位老師碰巧路過，同學們強烈要求與老師合影留念， 如果5位同學順序一定，那么2位老師與同學們站成一排照相的站法 總數(shù)為.3.教材改編如圖9-55-1所示，使電

3、路接通，開關不同的開閉方式有種.圖 9-55-1易錯問題4. 分類加法計數(shù)原理：每一種方法都能完成這件事情；類與類之間是獨立的.某同學有同樣的畫冊 2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友，每位朋 友1本，則不同的贈送方法共有 種.5. 分步乘法計數(shù)原理：所有步驟完成才算完成；步與步之間是相關聯(lián)的.將甲、乙、丙等6人分配到高中三個年級，每個年級2人，要求甲必須在高一年級，乙和丙均不能在高三年級，則不同的安排種數(shù)為 .通性通法6. 分類計數(shù)原理：分類時標準要明確.1 , 2,如果把個位數(shù)是1,且恰有三個數(shù)字相同的四位數(shù)叫作“好數(shù)”，那么在由四個數(shù)字組成的有重復數(shù)字的四位數(shù)中，“好數(shù)”共

4、有 .7. 分步計數(shù)原理：步驟互相獨立，互不干擾；步與步確保連續(xù)，逐步完成.B, C,某市汽車牌照號碼可以上網(wǎng)自編，但規(guī)定從左到右第二個號碼只能從字母選擇，其他四個號碼可以從 09這十個數(shù)字中選擇（數(shù)字可以重復），某車主第一個號碼 左到右）只想在數(shù)字3，5, 6, 8，9中選擇，其他號碼只想在 1, 3，6，9中選擇，則他的車 牌號碼可選的所有可能情況有 種.課堂考點探究0探究點一分類加法計數(shù)原理圓1某校開設A類選修課2門，B類選修課3門，一位同學從中選 3門.若要求兩類課 程中各至少選一門，則不同的選法共有（）3種 B. 6種C.9種 D. 18種現(xiàn)有5種不同的顏色可供使用，將一個五棱錐的各

5、個側(cè)面涂色，5個側(cè)面分別編號為1, 2, 3, 4, 5，而有公共邊的兩個面不能涂同一種顏色，則不同的涂色方法有種.總結反思分類標準是運用分類計數(shù)原理的難點所在，重點在于抓住題目中的關鍵詞、 關鍵元素或關鍵位置.首先，根據(jù)題目特點恰當選擇一個分類標準；其次，分類時應注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類.應用分類加法計數(shù)原理時， 應先明確分類標準,確保計數(shù)不重復，不遺漏.團式題有1人參加,(1)某班班會準備從甲、乙等 則不同的發(fā)言順序的種數(shù)為7名學生中選4名學生發(fā)言，要求甲、乙 2人至少A. 840B. 720 C. 600 D. 30(2)如圖9-55-2所示為某旅游區(qū)各景點的分布圖，

6、圖中一支箭頭表示一段有方向的路,試計算順著箭頭方向，從A到H可走的不同的旅游路線的條數(shù)為()圖 9-55-215 B. 16C.17 D. 18探究點二分步乘法計數(shù)原理LlUI圓2 （1）將2名教師，4名學生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動, 每個小組由1名教師和2名學生組成，不同的安排方案共有 種.（2）將A, B, C, D, E, F六個字母排成一排，且A, B均在C的同側(cè)，則不同的排法共有種.（用數(shù)字作答）總結反思利用分步乘法計數(shù)原理解決問題時應注意:（1）要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的，以元素（或位置）為主體的計數(shù)問題，通常先滿足特殊元素（或位置）

7、，再考慮其他元素（或位置）；（2）對完成每一步的不同方法種數(shù)要根據(jù)條件準確確定.園式題（1）某節(jié)目制作組選取了 6戶家庭到4個村莊體驗農(nóng)村生活，要求將6戶家庭分成4組，其中2組各有2戶家庭，另外2組各有1戶家庭，則不同的分配方案的種數(shù)是 （）C. 720 D. 1080（2）用5種不同的顏色為如圖 9-55-3所示的廣告牌著色，要求在四個不同區(qū)域 中相鄰的區(qū)域不用同一種顏色，則不同的著色方法種數(shù)為（）A. 320 B. 240C. 180 D. 135O探究點三兩個計數(shù)原理的綜合Hb (1)設集合 A =(X1, X2, X3, X4, X5)|xi 1 , 0, 1, i = 1 , 2,

8、3, 4, 5，那么集 合A中滿足條件K |X1|+ |X2汁X3| + |X4|+ |X5|W 3”的元素個數(shù)為()B. 90C. 120D. 130C. 48 種D .47種誤區(qū)警示21.分類與分步不當致誤(2)用紅、使得任意相鄰同的顏色，則符合條件的所有涂法共有黃、藍三種顏色去涂圖中標號為1, 2,，9的9個小正方形(如圖9-55-4),(有公共邊)的小正方形所涂顏色都不相同，且標號為1 , 5, 9的小正方形涂相種.12345e7fl9圖 9-55-4總結反思(1)分類加法計數(shù)原理中，完成一件事的方法屬于其中一類并且只屬于其中 一類.(2)分步乘法計數(shù)原理中，各個步驟相互依存，只有完成

9、每一步，整件事才算完成.圜式題設集合最小的元素大于集合(3)若綜合利用兩個計數(shù)原理，一般先分類再分步.I = 1 , 2, 3, 4, 5，選擇集合I的兩個非空子集A和B，若集合B中A中最大的元素，則不同的選擇方法共有()A. 50 種49種學科能力自主閱讀型【典例】若從1 , 2, 3,，9這9個整數(shù)中取4個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有（C. 18 種 D . 19 種B . 63 種C. 65 種D . 66 種解析 D先找出I和為偶數(shù)的各種情況，I再利用分類加法計數(shù)原理求解滿足題設的取法可分為三類：一是4個都是奇數(shù)，在奇數(shù) 1 , 3, 5, 7, 9中，任意取4個，有C54= 5（種）;二是2個奇數(shù)2個偶數(shù)，在5個奇數(shù)中任取2個，再在偶數(shù)2,4,6,8中任取2個，有C52 - C4J 60 （種廠| ;三是4個都是偶數(shù)，取法有 1種所以滿足條件的取法共有5+60+ 1 = 66（種）.處對和為偶數(shù)的情況把握不準；處對兩個奇數(shù)和兩個偶數(shù)相加和為偶數(shù)計數(shù) 時，是分步還是分類區(qū)分不清，錯把分步看成分類，而誤用加法公式【跟蹤練習】（1）2015唐山二模一種團體競技比賽的