高中數(shù)學(xué)-直線與圓的位置關(guān)系

1、直線與圓的位置關(guān)系直線的方程斜截式斜率 ky=kx+b不包括垂直于 x 軸的直線縱截距 b點斜式點 P 1(x 1 ,y 1 )y y1 =k（ xx1 ）不包括垂直于 x 軸的直線斜率 k兩點式點 P1(x1,y)yy1x不包括坐標(biāo)軸和平行于坐標(biāo)軸的直線1x1和 P 2 (x 2 ,y 2 )y2y1x2x1截距式橫截距 a線xy1不包括坐標(biāo)軸， 平行于坐標(biāo)軸和過原點的直ab縱坐標(biāo) b一般式Ax+By+C=0A、 B 不同時為 0圓的方程標(biāo)準(zhǔn)式： ( xa)2( yb) 2r 2 ，其中 r 為圓的半徑，(a, b) 為圓心一般式： x2y 2DxEyF0（D2E 24F0 ） . 其中圓心

2、為D ,E ，22半徑為 1D2E24F2， xar cos參數(shù)方程 :xr cos(是參數(shù)） .消去 可得普通方程yr sinybr sin典型例題例 1.已知一個圓和y 軸相切，在直線 yx 上截得的弦長為2 7 ，且圓心在直線x3 y0上，求圓的方程。練習(xí)：求過點A 1,2 和 B 1,10 且與直線 x2y10 相切的圓的方程。練習(xí)：已知圓C 和 y 軸相切，圓心在直線x3y0 上，且被直線yx 截得的弦長為27，求圓 C 的方程。點與圓的位置關(guān)系：已知點 M222 r 0 ，x0 , y0 及圓 C：x-ay br（ 1）點 M 在圓 C外（ 2）點 M 在圓 C內(nèi)（ 3）點 M 在

3、圓 C上CMrx2yb22 ；a0r0CMrx2yb22 ；0ar0CMrx02y0b22ar圓的切線(1) 切線：過圓x2y2R2 上 一點 P( x0 , y0 ) 圓 的切線 方程 是： xx0yy0R2 ，過圓( xa) 2( yb)2R2上一點P( x0 , y0 )圓的切線方程是：( x a)( x0 a) ( y a)( y0 a) R2 ，一般地， 如何求圓的切線方程？ （抓住圓心到直線的距離等于半徑） ；從 圓外一點引圓的切線一定有兩條 ，可先設(shè)切線方程，再根據(jù)相切的條件，運用幾何方法（抓住圓心到直線的距離等于半徑）來求；過兩切點的直線（即“切點弦”）方程的求法：先求出以已知

4、圓的圓心和這點為直徑端點的圓，該圓與已知圓的公共弦就 是 過 兩 切 點 的 直 線 方 程 ； 切 線 長 ： 過 圓 x2y2Dx Ey F 0（ ( x a) 2( y b) 2R2） 外 一 點 P( x0 , y0 )所引圓的切線的長為x02y02Dx0 Ey0F （( x0a)2( y0 b) 2R2 ）；例 2.已知圓的方程為x2y2r 2，P(x0. y0 ) 是圓外一點，經(jīng)過P 點作圓的切線兩切線，切點分別為A,B, 求直線 AB 的方程。練習(xí)： 寫出過圓 x 2y210 上的一點 M(2,6) 的切線方程練習(xí)： 設(shè) A 為圓 (x 1)2y21上動點， PA 是圓的切線，且

5、 |PA|=1，則 P 點的軌跡方程為-直線與圓的位置關(guān)系：直線 l : Ax ByC0 和圓 C：x2b2r0 有相交、相離、相切。ayr 2可從代數(shù)和幾何兩個方面來判斷：（ 1）代數(shù)方法（判斷直線與圓方程聯(lián)立所得方程組的解的情況）：0相交；0相離；0相切；d ，則（ 2）幾何方法（比較圓心到直線的距離與半徑的大小）：設(shè)圓心到直線的距離為d r相交； dr相離； dr相切。 提醒 ：判斷直線與圓的位置關(guān)系一般用幾何方法較簡捷例 3. 已知直線方程為xy m 0圓方程為 ( x1)2y21則當(dāng) m 為何值時，直線與圓（1）相切 (2) 相離（ 3）相交例 4. 已知 C：(x-1) 2+(y-

6、2)2=2， P(2,-1)，過 P 作 C 的切線，切點為A、B。求切線直線PA、 PB的方程練習(xí)： 若直線 (1a) x y 10 與圓 x2y22x0相切，則 a 的值為（d）A. 1 或-1B. 2,或 -2C. 1D. -1練習(xí)： 已知過 A(1,0), B(0,2)的直線與圓 (x1)2( ya)21相切，則 a=?練習(xí)： 已知圓 C 與直線 x y0 及 x y 4 0 都相切，圓心在直線 x y 0 上，則圓 C 的方程為弦長求法l2（1）幾何法： 弦心距 d，圓半徑 r ，弦長 l，則 d 2r 2 或者 AB2r 2d 2 .2（ 2）解析法：用韋達(dá)定理，弦長公式. 直線

7、ykxb 與圓 ( x a)2( yb)2r 2相交兩點 A,B. AB1 k 2 xA xB(1+k2 ) ( xAxB )24xA xB例 5.已知直線 l : ykx 1 ，圓 C： ( x 1)2( y1)29 .(1) 試證明：不論 k 為何實數(shù)，直線 l 和圓 C總有兩個交點；(2) 當(dāng) k 取何值時，直線 l 被圓 C截得的弦長最短，并求出最短弦的長。練習(xí)： 已知圓 C： x2y22x 4 y 30 和直線 l ： xy 1 0 ，則圓 C 到直線 l 的距離為 2 的點共有（）A、1個B、 2 個C、3個D、4個例 6. 已知直線 l : ykx2 和曲線 C: y2x2 有兩

8、個交點 , 求實數(shù) k 的取值范圍 .練習(xí)： 圓 x2y28 內(nèi)有一點 P( 1,2) ， AB 為經(jīng)過點 P 且傾斜角為的弦。3（1）當(dāng)時，求弦AB 的長；（ 2）當(dāng)弦 AB 被點 P 平分時求直線AB 的方程。4練習(xí)： 已知直線 ymx與圓 x2y28x6 y210 交于 P, Q 兩點， O 為坐標(biāo)原點，求OP OQ 的值。課后練習(xí) :1設(shè) m0，則直線2( xy)1 m0 與圓 x2y2m 的位置關(guān)系為A 相切B相交C相切或相離D相交或相切3(0, a)，其斜率為1,且與圓x2y22,設(shè)直線過點相切 則 a 的值為A 2B 2C2 2D 44“ ab ”是“直線 yx2 與圓 (xa)

9、2( yb) 22 相切”的A 充分而不必要條件B 必要而不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件5. 若直線 2axby20(a0, b0) 始終平分圓 x 2y22x4y10的周長 , 則11的最小值為abA 1B 1C 4D4428在坐標(biāo)平面內(nèi)，與點A（ 1， 2）距離為1，且與點 B（ 3， 1）距離為2 的直線共有A1 條B2 條C3 條D4 條9若圓（ x3） 2（ y+5）2 r2 上有且只有兩個點到直線4x 3y=2 的距離等于1，則半徑r 的范圍是A. （4， 6）B. 4，6）C.（ 4，6D.4，6（二）填空題：11設(shè) P 為圓 x2y 21 上的動點，則點P 到直線 3x4 y100 的距離的最小值為_ .已知圓 C : (x5) 2y 2r 2(r0)和直線 l : 3xy5 0.若圓C與直線l沒有公共12點，則 r 的取值范圍是.13設(shè)直線 axy30 與圓 (x1)2( y2)24 相交于 A 、 B 兩點，且弦 AB的長為23，則 a_14過點（