高中數(shù)學(xué)《集合》學(xué)案10湘教版必修1

1、集合的運算一 .課標(biāo)解讀1.普通高中數(shù)學(xué)課程中明確指出:“理解兩個集合的并集與交集的含義,會求兩個簡單集合的并集與交集; 理解在給定集合中一個子集的補集的含義,會求給定子集的補集; 能使用 Venn 圖表達(dá)集合的關(guān)系及運算,體會直觀圖示對理解抽象概念的作用.”2.重點 :交集與并集.全集與補集的概念.3.難點 :理解交集與并集的概念.符號之間的區(qū)別與聯(lián)系.二 .要點掃描1. 交集交集定義： 由屬于A 又屬于B 的所有元素構(gòu)成的集合叫A與 B 的交集，記作AB ，表示為AB x | xA 且 xB圖中陰影部分表示集合A 與 B的交集：注意：此定義包含了兩層含義：一層含義為凡是AB 中的元素都是兩

2、集合A 與B 的公共元素；另一層含義是集合 A與與 B 沒有公共元素時，不能說集合B 中的所有公共元素都在 A 與 B 沒有交集，而是AAB 中。另外，當(dāng)兩集合B。A交集的運算性質(zhì)：對于任何兩個集合A與 B，都有ABBA;AAA;AA;如果 AB,則ABA。2.并集并集定義：把給定的兩個集合集，記作 AB ，表示為 ABA 與 B 的所有元素并在一起構(gòu)成的集合叫A 與 B 的并 x | xA 或 xB ， 圖中陰影部分表示集合A 與 B的并集：注意：兩集合的并集，公共元素只能出現(xiàn)一次。xA 或 xB 包含了三種情況: xA但 xB ; xA 但 xB ; xA 且 xB .并集的運算性質(zhì)：對于

3、任何兩個集合A與 B，都有ABB A;AAA;AAA;如果 AB 則AB B。,3.補集補集的定義如果 AU ，由全集 U 中不屬于 A 的所有元素構(gòu)成的集合，叫做A 在 U 中的補集，記作 CU A,表示為 CU A x | x U 且 x A圖中陰影部分表示集合A 在全集 U 中的補集：補集的運算性質(zhì)：對于任何集合A ，都有ACUAU;ACUA;CU (CU A)A。三.知識精講知識點 1 交集、并集、補集的重要結(jié)論(AB)，B)BA ( AA CUA，(AB)CA(BC)(AB)，B)BA ( AACUAU，(AB)CA(BC)A(BC)(AB)(AC)A(BC)(AB)(AC)知識點

4、2 表示交集、并集、補集關(guān)系的常見的幾種韋恩圖四 .典題解悟-基礎(chǔ)在線 -題型一 交集由屬于 A 又屬于 B 的所有元素構(gòu)成的集合叫A 與 B 的交集 .例 1. A= x | x 2( p2) x 1 0, x R ， B x | x 0, x R, A B，求實數(shù) p 的取值范圍。解析：因為 AB，若 A，則方程 x 2( p2) x10 無實數(shù)解，所以( p2)24p 2 4 p0 ， -4p-4.答案 : p-4.題型二 并集把給定的兩個集合A 與 B 的所有元素并在一起構(gòu)成的集合叫A與B的并集.例 2.1,3,2,1,1,3, ，求。AxB xABxx解析：集合中的元素有兩個性質(zhì)，

5、即確定性和互異性， 本例應(yīng)用并集的基本知識及集合中元素互異的特征性質(zhì)排除了 x 1這個解。A1,3, x, B x2 ,1, AB1,3, xx23或 x2x ，若 x 23，則 x3 ；若 x 2x ，則 x0, x1。但 x1時 x 21，這時集合B 的表示與集合元素具有互異性相矛盾，所以 x3 或 x3 或 x0。答案 :x3 或 x3 或 x0 。例 3.已知集合 A x | x 26 x 80,B x | (xa)( x3a) 0,（1）若 AB，請求 a 的取值范圍；（2）若 AB，請求 a 的取值范圍；（3）若 AB x | 3x 4 ，請求 a 的取值范圍。ax3a, a0解析

6、：化簡集合A=x|2x4 仍然成立， 所以 AB 成立，同理 3a=4 也符合題意，雖然要求，當(dāng) a2a3a4解得 a43 故 a 的取值范圍是 4,2 。所以2aa23（2）當(dāng) a0時，顯然 A B成立，即 a (,0) ；或 a0 時，如下圖B或B 位置均使 AB成立。當(dāng) 3a2 或 a4 時也符合題目意，事實上，2A,4A，則A B成立。所以，要求 03a2 或 a4 ，解得 a(0, 2 4,) 。3或 a0時， B x | x 20,顯然A B成立。所以 a0 可取，綜上所述， a 的取值范圍是 (, 2 4,) 。3（ 3）因為 A x | 2x 4,A B x | 3x4 ，如下

7、圖集合 B 若要符合題意，位置顯然為a3 ，此時， B x | 3x9 ，所以， a3為所求。答案 : 4,2;3 (,2 4, );3 a3題型三 補集如果 A U ，由全集 U 中不屬于 A 的所有元素構(gòu)成的集合，叫做A在U 中的補集 .例 4.已知全集2A=5, 求 a 的值。U=2， 3，a +2a-3,A=2,|a+7|, CU解析 :由已知 U=2， 3， a2+2a-3, CUA=5, 得 a2+2a-3=5 ，解得 a=-4 或 a=2若 a=-4 ， |a+7|=3 ，滿足條件；若 a=2， |a+7|=9 ，與題意不符，舍去。所以 a=-4 。答案 :a= -4例 5.設(shè)全

8、集 U=R, 集合 A= x| x2- x- 60, B= x|x|= y+2, y A , 求 CUB, A (CUB),A (CU B),CU (A B), ( CUA) (CUB).解析 :A=x |-2x 3, 0| x|=y+2 5. B= x|-5 x0 或 0 x5CUB= x | x -5 或 x =0 或 x 5 ,A (CUB)= x|x -5 或 -2x3 或 x 5, A (CUB)= 0 ,CU(A B)=( C A) (C B)= x | x -5 或 x 5.UU答案 :略.-拓展一步 -1.有限集合中元素的個數(shù)在研究集合時，常遇到有關(guān)集合中元素的個數(shù)問題，我們便

9、把有限集合A 中元素的個數(shù)記作 n( A) ，如 A 2,4,6 ，則 n( A) =3.下面看一個例題：A a, b, c, B a, c, d, e, AB a, c, AB a, b, c, d, e觀察它們的元素個數(shù)間的關(guān)系，n( A)3, n( B)4, n( AB)2, n( AB)5發(fā)現(xiàn) :一般地，對于任意兩個有限集合A，B ，有 n( AB)n( A)n( B)n( AB) ；這就是著名的容斥原理；對于任意三個有限集合A，B，C，有n( ABC )n( A)n( B)n(C )n( AB)n( AC )n(BC )n( ABC )注意： n()0例 6.導(dǎo)游的有天鵝旅行社有 1

10、5 人組成了國際導(dǎo)游組，其中能用英語導(dǎo)游的有 11 人，能用日語 8 人，若每人至少會這兩種外語之一， 求既能用英語又能用日語的導(dǎo)游有多少位？解析：設(shè)A=能使用英語的導(dǎo)游，B=能使用日語的導(dǎo)游 ，AB 國際導(dǎo)游組成員 ，AB 既能用英語又能用日語的導(dǎo)游由 n( AB)n( A)n( B)n(AB) ，則15=11+8n( AB),則n( AB) =4。答案：既能用英語又能用日語的導(dǎo)游有4 位。2.德摩根律利用維恩圖觀察CU (AB) 與 (CUA)(CU B) 的關(guān)系通過觀察發(fā)現(xiàn)：(CUA)(CU B)與 CU (AB) 是相同的，即(CUA)(CU B) = CU (AB)同樣的道理可以發(fā)現(xiàn)

11、：CU( AB) = (CU A)(CU B)這便是著名的德摩根律，它可以敘述為：A, B交集的補集等于A, B的補集之并；A, B并集的補集等于A, B的補集之交。例 7. 已知集合 A=(x ， y)|ax+y=1 ， B=(x ， y)|x+ay=1 ， C=(x ， y)|x 2+y 2=1 ，問： (1)當(dāng) a 取何值時， (A B) C 為含有兩個元素的集合？(2)當(dāng) a 取何值時， (A B) C 為含有三個元素的集合？解析： (A B) C=(A C) (B C)。A C與 BC 分別為的解集。解之得：0， 1），（2a,1a2（）的解為（1 a 21a 2 ）（）的解為（1，

12、 0），（1a2,2a）1a21a 2(1) 使 (A B) C 恰有兩個元素的情況只有兩種可能：解得 a=0 或 a=1。（2）使 (A B) C恰有三個元素的情況是：2a1a 21 a 21a 2解得 a12 。答案 : (1) a=0或 a=1;（2） a1 2 。-錯解點擊 -例 8. 15.集合 A= x| x2- 3x+2=0 , B= x|x2- ax+a+1=0 , C= x| x2- mx+2=0 , 若 A B=A,A C= C, 求 a, m 的值 .錯解 :此為易錯題目 .正解 : m=3 或 m (-22 ,22 ).分析 :當(dāng) a-1=1, 即 a =2 時 , B

13、= 1 ;當(dāng) a-1=2, 即 a=3 時 , B= 1,2 . a 的值為 2 或 3.再考慮條件 :CA,則集合 C 有三種情況 :當(dāng) C=A 時 , m=3;當(dāng) C 為單元素集合時, 即方程 x2- mx+ 2=0 有等根 .由 =m2-8=0,得 m= 22 .但當(dāng) m= 22 時 , C=2 或 -2 不合條件 CA. 故 m= 22 舍去 .當(dāng) C=時 , 方程 x2 - mx+ 2=0 無實根 ,=m 2-8 0, -22 m22 . 綜上 m=3 或 m (-22 ,22 ).五 .課本習(xí)題解析六 .同步自測-雙基訓(xùn)練 -1. 設(shè)集合 M= x|x 0,N=x|x2-2x-30

14、,則集合 M N=()x2A、 x|0 x1B、 x|0 x2C、 x|0 x 1D、 x|0x 22.設(shè)全集 U=N,集合 A=x|x=2n,n N ,B=x|x=4n,nN則（）A、 U=A BB、 U=CAC BC、 U=ACBD、 U=CA BUU3.設(shè) M=2,a22且 M N=2,3則 a 的值是 ()-3a+5,5,N=1,a-6a+10,3,A、1或 2B、2或 4C、 2D、 14.設(shè)集合 M x | xZ， N n | n1Z，則MN()22A 、B、 MC、ZD 、05. 設(shè)全集 U（ U）和集合 M ，N，P 且 M=C UN，N= C UP，則 M 與 P 的關(guān)系是

15、-（）A 、M=CUPB、 M=PC、 MPD 、 MP6.已知 A=(x, y)|x+y=3, B=(x,y)|x y=1 ，則 A B=（）A2, 1B x=2,y=1C (2,1)D(2,1)7.若集合 A1,2,3 ，則滿足 ABA 的集合 B 的個數(shù)是（）A 1B 2C 7D 8已知集合M y | y x21, x R , N x | y32，則 MN（）8.xA. (2,1), (2,1)B 1,3C 0,3D 9.設(shè) A 、 B、 I 均為非空集合，且滿足ABI ，則下列各式中錯誤的是（）A. (CIA)BIB (CI A)(CI B)IC A(CI B)D (CI A)(CIB

16、)CI B10.已知集合 U、P、Q 滿足 U = PQ = 0,1,2,3,4, P Q = 1,3, 則 ( CU PCU Q)(P Q) = ()A 0,1,3B 1,2,4C 0,2,4D 1,3,411 U=R,集合 A=x|x 2, 則 CUA=_;1x12設(shè)全集 U=x|x 10， xN ，集合 P= 能被 2 或 3 整除的自然數(shù) ，用列舉法表示集合 CUP 為 。13知集合 Ax, yyx, xR ， Bx, yy 2 x, xR ，則 AB =;-綜合提高 -2,1, 且 AB=1,3,x, 滿足這些條件的x 的值有 ().14.集合 A=1,3,x,B=xA. 一個B.

17、兩個C.三個D. 四個15.設(shè)全集為 U ，非空集P,Q 滿足 PQ ，則下列集合中一定是空集的是（）(A)CU PCU Q（B）CU PQ(C)CU PQ(D) PCU Q16.設(shè)集合 Ax x1 , Bx xp ，要使 AB，則 p 應(yīng)滿足的條件是 （）(A)p1（ B） p 1(C)p1(D)p117.已知集合Ay yx 21 , By yx1，則 AB （）(A)0,1,2（ B） 0,1 , 1,2(C)x x1(D) R18.已知全集 U=(x,y)|x,yR ,集合 A=(x,y)|y31 ,x2集合 B=(x,y)|y-3=x-2,那么 (CUA)T =()A.B.2,3C.(

18、2,3)D.(x,y)|y-3x-219. 已知集合 A=x|x10 ,B=x|x a ，若 A B=B, 則 a 的取值范圍是（）x2(A) a 1(B)a 2(C)a -2(D) a-220.已知 AB3， (CUA)(CU B)xN x9 且 x 3，CU AB4,6,8 ， AC U B1,5 ，則 A=, CUAB21.已知全集 UR ，Ax 2x 2 , Bx x1 ,Cx 0x4則ABC， (CU A)C.22已知全集 U=2， 4，1-a ， A=-1 ， CUA=2， a2-a+2, 則實數(shù) a=23，若，求實數(shù)的值24 50 名學(xué)生參加體能和智能測驗，已知體能優(yōu)秀的有40

19、人，智能優(yōu)秀的有31 人，兩項都不優(yōu)秀的有4 人問這種測驗都優(yōu)秀的有幾人？25某班共有 27 人參加數(shù)學(xué)、 物理、化學(xué)興趣小組， 其中參加數(shù)學(xué)興趣小組的有21 人，參加化學(xué)興趣小組的有10 人，參加物理興趣小組的有17 人，同時參加數(shù)學(xué)、物理興趣小組的有 12 人，參加數(shù)學(xué)、化學(xué)興趣小組的有6 人，三個興趣小組都參加的有2 人。問同時參加化學(xué)、物理興趣小組的有幾人？七 .相關(guān)鏈接公理化集合論的建立集合論提出伊始，曾遭到許多數(shù)學(xué)家的激烈反對，康托爾本人一度成為這一激烈論爭的犧牲品 .在猛烈的攻擊下與過度的用腦思考中，他得了精神分裂癥，幾次陷于精神崩潰.然而集合論前后經(jīng)歷二十余年，最終獲得了世界公

20、認(rèn).到二十世紀(jì)初集合論已得到數(shù)學(xué)家們的贊同.數(shù)學(xué)家們?yōu)橐磺袛?shù)學(xué)成果都可建立在集合論基礎(chǔ)上的前景而陶醉了.他們樂觀地認(rèn)為從算術(shù)公理系統(tǒng)出發(fā)，借助集合論的概念，便可以建造起整個數(shù)學(xué)的大廈.在 1900 年第二次國際數(shù)學(xué)大會上，著名數(shù)學(xué)家龐加萊就曾興高采烈地宣布“ 數(shù)學(xué)已被算術(shù)化了.今天，我們可以說絕對的嚴(yán)格已經(jīng)達(dá)到了.”然而這種自得的情緒并沒能持續(xù)多久.不久，集合論是有漏洞的消息迅速傳遍了數(shù)學(xué)界.這就是 1902 年羅素得出的羅素悖論.羅素構(gòu)造了一個所有不屬于自身（即不包含自身作為元素）的集合R.現(xiàn)在問 R 是否屬于 R？如果 R 屬于 R，則 R 滿足 R 的定義，因此 R 不應(yīng)屬于自身，即R

21、不屬于 R；另一方面，如果R不屬于 R，則 R不滿足 R 的定義， 因此 R 應(yīng)屬于自身， 即 R 屬于 R.這樣，不論何種情況都存在著矛盾.這一僅涉及集合與屬于兩個最基本概念的悖論如此簡單明了以致根本留不下為集合論漏洞辯解的余地 .絕對嚴(yán)密的數(shù)學(xué)陷入了自相矛盾之中.這就是數(shù)學(xué)史上的第三次數(shù)學(xué)危機(jī).危機(jī)產(chǎn)生后，眾多數(shù)學(xué)家投入到解決危機(jī)的工作中去.1908 年，策梅羅提出公理化集合論，后經(jīng)改進(jìn)形成無矛盾的集合論公理系統(tǒng)，簡稱 ZF 公理系統(tǒng) .原本直觀的集合概念被建立在嚴(yán)格的公理基礎(chǔ)之上，從而避免了悖論的出現(xiàn).這就是集合論發(fā)展的第二個階段：公理化集合論 .與此相對應(yīng)，在 1908 年以前由康托爾

22、創(chuàng)立的集合論被稱為樸素集合論 .公理化集合論是對樸素集合論的嚴(yán)格處理 .它保留了樸素集合論的有價值的成果并消除了其可能存在的悖論，因而較圓滿地解決了第三次數(shù)學(xué)危機(jī) .公理化集合論的建立，標(biāo)志著著名數(shù)學(xué)家希耳伯特所表述的一種激情的勝利，他大聲疾呼：沒有人能把我們從康托爾為我們創(chuàng)造的樂園中趕出去.從康托爾提出集合論至今，時間已經(jīng)過去了一百多年，在這一段時間里，數(shù)學(xué)又發(fā)生了極其巨大的變化，包括對上述經(jīng)典集合論作出進(jìn)一步發(fā)展的模糊集合論的出現(xiàn)等等.而這一切都是與康托爾的開拓性工作分不開的 .因而當(dāng)現(xiàn)在回頭去看康托爾的貢獻(xiàn)時，我們?nèi)匀豢梢砸卯?dāng)時著名數(shù)學(xué)家對他的集合論的評價作為我們的總結(jié).它是對無限最深刻的洞察， 它是數(shù)學(xué)天才的最優(yōu)秀作品，是人類純智力活動的最高成就之一 .超限算術(shù)是數(shù)學(xué)思想的最驚人的產(chǎn)物，在純粹理性的范疇中人類活動的最美的表現(xiàn)之一.這個成就可能是這個時代所能夸耀的最偉大的工作.康托爾的無窮集合論是過去兩千五百年中對數(shù)