張?jiān)?學(xué)生版 3

1、樂博思【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 掌握直線、射線、線段、角這些基本圖形的概念、性質(zhì)、表示方法和畫法2掌握角度的互換；會利用角平分線的意義進(jìn)行有關(guān)表示或計(jì)算；掌握角的和、差、倍、分關(guān)系，并會進(jìn)行有關(guān)計(jì)算【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、線段、射線、直線1.直線，射線與線段的區(qū)別與聯(lián)系2.基本性質(zhì)(1)直線的性質(zhì): 確定一條直線 (2)線段的性質(zhì):兩點(diǎn)之間， 最短要點(diǎn)詮釋：本知識點(diǎn)可用來解釋很多生活中的現(xiàn)象. 如：要在墻上固定一個木條，只要兩個釘子就可以了，因?yàn)槿绻涯緱l看作一條直線，那么兩點(diǎn)可確定一條直線.連接兩點(diǎn)間的線段的長度，叫做兩點(diǎn)的 .3.畫一條線段等于已知線段（1）度量法：可用直尺先量出線段的長度,

2、再畫一條等于這個長度的線段.（2）用尺規(guī)作圖法：用圓規(guī)在射線ac上截取ab=，如下圖：4.線段的比較與運(yùn)算（1）線段的比較： 比較兩條線段的長短，常用兩種方法，一種是度量法；一種是疊合法.（2）線段的和與差：如下圖，有ab+bc=ac，或ac=a+b；ad=ab-bd。（3）線段的中點(diǎn)：把一條線段分成兩條相等線段的點(diǎn)，叫做線段的中點(diǎn)如下圖，有：要點(diǎn)詮釋：線段中點(diǎn)的等價表述：如上圖，點(diǎn)m在線段ab上，且有，則點(diǎn)m為線段ab的中點(diǎn).除線段的中點(diǎn)（即二等分點(diǎn)）外，類似的還有線段的三等分點(diǎn)、四等分點(diǎn)等.如下圖，點(diǎn)m,n,p均為線段ab的四等分點(diǎn).【典型例題】類型一、線段、射線、直線1.下列判斷錯誤的有

3、( ) 延長射線oa；直線比射線長，射線比線段長；如果線段papb，則點(diǎn)p是線段ab的中點(diǎn)；連接兩點(diǎn)間的線段，叫做兩點(diǎn)間的距離 a0個 b2個 c3個 d4個舉一反三：【變式】平面上有五條直線，則這五條直線最多有_交點(diǎn)，最少有_個交點(diǎn)【變式1】下列說法正確的有 ( )射線與其反向延長線成一條直線；直線a、b相交于點(diǎn)m；兩直線相交于兩個交點(diǎn)；直線a與直線b相交于點(diǎn)ma3個 b2個 c1個 d4個【變式2】下列說法中，正確的個數(shù)有( )已知線段a，b且a-bc，則c的值不是正的就是負(fù)的；已知平面內(nèi)的任意三點(diǎn)a，b，c則ab+bcac；延長ab到c，使bcab，則ac2ab；直線上的順次三點(diǎn)d、e、

4、f，則de+efdf a1個 b2個 c3個 d4個類型三、個（條）數(shù)或長度的計(jì)算3. 根據(jù)題意，完成下列填空如圖所示，與是同一平面內(nèi)的兩條相交直線，它們有1個交點(diǎn)，如果在這個平面內(nèi)，再畫第3條直線，那么這3條直線最多有_個交點(diǎn)；如果在這個平面內(nèi)再畫第4條直線，那么這4條直線最多可有_個交點(diǎn)由此我們可以猜想：在同一平面內(nèi)，6條直線最多可有_個交點(diǎn)，n(n為大于1的整數(shù))條直線最多可有_個交點(diǎn)(用含有n的代數(shù)式表示)舉一反三：【變式1】平面上有個點(diǎn)，最多可以確定 條直線. 【變式2】一條直線有個點(diǎn)，最多可以確定 條線段， 條射線.【高清課堂：直線、射線、線段397363 拓展 1（4）】【變式3

5、】一個平面內(nèi)有三條直線，會出現(xiàn)幾個交點(diǎn)? 4. 已知線段ab14cm，在直線ab上有一點(diǎn)c，且bc4cm，m是線段ac的中點(diǎn)，求線段am的長舉一反三：【變式】（2014秋溫州期末）已知點(diǎn)b在直線ac上，線段ab=8cm，ac=18cm，p、q分別是線段ab、ac的中點(diǎn)，則線段pq= 類型四、路程最短問題5.（2015春嵊州市期末）某公司員工分別在a、b、c三個住宅區(qū)，a區(qū)有30人，b區(qū)有30人，c區(qū)有10人，三個區(qū)在同一條直線上，如圖所示，該公司的接送車打算在此間只設(shè)一個停靠點(diǎn)，為使所有員工步行到?？奎c(diǎn)的路程之和最小，那么?？奎c(diǎn)的位置應(yīng)設(shè)在（）aa區(qū)bb區(qū)cc區(qū)da、b兩區(qū)之間舉一反三：【變式

6、】如圖，從a到b最短的路線是（）.aa-g-e-b ba-c-e-b ca-d-g-e-b da-f-e-b 要點(diǎn)二、角度制及其換算角的度量單位是度、分、秒，把一個周角平均分成360等份，每一份就是1的角，1的為1分，記作“1”，1的為1秒，記作“1”這種以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制 1周角360，1平角180，160，160要點(diǎn)詮釋：在進(jìn)行有關(guān)度分秒的計(jì)算時，要按級進(jìn)行，即分別按度、分、秒計(jì)算，不夠減，不夠除的要借位，從高一位借的單位要化為低位的單位后再進(jìn)行運(yùn)算，在相乘或相加時，當(dāng)?shù)臀坏脭?shù)大于60時要向高一位進(jìn)位要點(diǎn)三、角的比較與運(yùn)算1.角的比較角的大小比較與線段的大小比較相類

7、似，方法有兩種方法1：度量比較法先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大小方法2：疊合比較法把其中的一個角移到另一個角上作比較如比較aob和aob的大?。?如下圖，由圖（1）可得aobaob；由圖(2)可得aobaob；由圖(3)可得aobaob2.角的和、差運(yùn)算如圖所示，aob是1與2的和，記作：aob1+2；1是aob與2的差，記作：1aob-2要點(diǎn)詮釋：(1)用量角器量角和畫角的一般步驟：對中(角的頂點(diǎn)與量角器的中心對齊)；重合(一邊與刻度尺上的零度線重合)；讀數(shù)(讀出另一邊所在線的度數(shù)) (2) 利用三角板除了可以做出30、45、60、90外，根據(jù)角的和、差關(guān)系，還可以畫出15，75，

8、105，120，135，150，165的角3.角平分線從一個角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線如圖所示，oc是aob的角平分線，aob2aoc2boc，aocboc =aob要點(diǎn)詮釋：由角平分線的概念產(chǎn)生的合情推理其思維框架與線段中點(diǎn)的思維框架一樣要點(diǎn)四、方位角在航行和測繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角例如，圖中射線oa的方向是北偏東60；射線ob的方向是南偏西30這里的“北偏東60”和“南偏西30”表示方向的角，就叫做方位角要點(diǎn)詮釋：（1）正東，正西，正南，正北4個方向不需要用角度來表示（2）方位角必須以正北和正南方向作為“基準(zhǔn)”，“北偏東60”一般不說成“東

9、偏北30” （3）在同一問題中觀察點(diǎn)可能不止一個，在不同的觀測點(diǎn)都要畫出表示方向的“十字線”，確定其觀察點(diǎn)的正東、正西、正南、正北的方向（4）圖中的點(diǎn)o是觀測點(diǎn)，所有方向線(射線)都必須以o為端點(diǎn)要點(diǎn)五、鐘表上有關(guān)夾角問題鐘表中共有12個大格，把周角12等分、每個大格對應(yīng)30的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6，時針每小時轉(zhuǎn)30，時針1分鐘轉(zhuǎn)0.5，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計(jì)算問題【典型例題】類型一、角的概念1. 利用一副三角板上的角，能畫出多少個小于180的角，試一一畫出來【思路點(diǎn)撥】首先發(fā)現(xiàn)一副三角板上有30，45，60，90這樣4個不相等的角，利用這些角進(jìn)行一次和差，可得小于180的所有

10、角【答案與解析】解：除了可以畫30，45，60，90外，還可畫15，75，105，120，135，150，165的七個度數(shù)的角，畫法如圖所示【總結(jié)升華】利用一副三角板共可以畫出11個度數(shù)的角，分別是：30，45，60，90，15，75，105，120，135，150，165舉一反三：【變式】（2015春成武縣期末）下列說法中，正確的是（）a兩條射線組成的圖形叫做角b有公共端點(diǎn)的兩條線段組成的圖形叫做角c角可以看做是由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形d角可以看做是由一條線段繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形類型二、角度制的換算2. 計(jì)算下列各題： (1)1524912+20.18； (2)82-3

11、64215；(3)3536479； (4)41373舉一反三：【變式】計(jì)算： (1)234536+661424；(2)180-982430；類型三、角的比較與運(yùn)算3. 如圖所示表示兩塊三角板 (1)用疊合法比較1，2的大?。?(2)量出圖中各角的度數(shù)，并把圖中的6個角從小到大排列，然后用“”或“”連接舉一反三：【變式】如圖，aob的平分線om,on為moa內(nèi)的一條射線，og為aob外的一條射線.某同學(xué)經(jīng)過認(rèn)真分析，得到一個關(guān)系式是mon（bonaon），你認(rèn)為這個同學(xué)得到的關(guān)系式正確嗎？若正確，請把得到這個結(jié)論的過程寫出來. 4.（2016春龍口市期中）如圖，aob=90，aoc=30，且om

12、平分boc，on平分aoc，（1）求mon的度數(shù)；（2）若aob=其他條件不變，求mon的度數(shù)；（3）若aoc=（為銳角）其他條件不變，求mon的度數(shù)；（4）從上面結(jié)果中看出有什么規(guī)律？舉一反三：【變式】如圖，已知o是直線ac上一點(diǎn)，od平分aob，oe在boc內(nèi)，且boeeoc，doe70，求eoc的度數(shù).類型四、方位角5.（2015浦東新區(qū)三模）已知小島a位于基地o的東南方向，貨船b位于基地o的北偏東50方向，那么aob的度數(shù)等于 類型五、鐘表上有關(guān)夾角問題6. 在7時到7時10分之間的什么時刻，時針與分針成一條直線?舉一反三：【變式】某人下午6點(diǎn)多外出購物，表上的時針和分針的夾角恰為11

13、0，下午7點(diǎn)前回家時，發(fā)現(xiàn)表上的時針和分針的夾角又是110，試算出此人外出用了多長時間?要點(diǎn)三、多邊形和圓的初步認(rèn)識1.多邊形及正多邊形：多邊形是由一些不在同一條直線上的線段依次首尾相連組成的封閉平面圖形其中，各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形如下圖：要點(diǎn)詮釋：（1）n邊形有n個頂點(diǎn)、n條邊，對角線的條數(shù)為（2）多邊形按邊數(shù)的不同可分為三角形、四邊形、五邊形、六邊形等2. 圓及扇形：（1）圓：如圖，在一個平面內(nèi)，線段oa繞它固定的一個端點(diǎn)o旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點(diǎn)a所形成的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn)o叫做圓心，線段oa叫做半徑. 以點(diǎn)o為圓心的圓，記作“o”，讀作“圓o”要點(diǎn)詮釋：圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小.（2）扇形：由一條弧ab和經(jīng)過這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑oa，ob所組成的圖形叫做扇形.如下圖：要點(diǎn)詮釋：扇形oab的面積公式：；扇形oab的弧長公式：.類型三、利用數(shù)學(xué)思想方法解決有關(guān)線段或角的計(jì)算1.方程的思想方法5. 如圖所示，b、c是線段ad上的兩點(diǎn)，且，ac35cm，bd44cm，求線段ad的長2.分類的思想方法 6. 同一直線上有a、b、c、d四點(diǎn)，已知addb，accb，且cd4cm，求ab的長【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)題意畫出圖形，再從圖上直觀的看出各線段的關(guān)系及大小類型四、多邊形和圓7.（1）操作與證明：如圖所示，o是邊長為a的正方形a