曲線積分曲面積分總結(jié)教學(xué)資料

1、曲線積分曲面積分總精品資料僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除 謝謝7第十三章曲線積分與曲面積分定積分和重積分是討論定義在直線段、平面圖形或者空間區(qū)域上函數(shù)的積 分問題但在實(shí)際問題中，這些還不夠用，例如當(dāng)我們研究受力質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn) 動(dòng)時(shí)所作的功以及通過某曲面流體的流量等問題時(shí)，還要用到積分區(qū)域是平面 上或空間中的一條曲線，或者空間中的一張曲面的積分，這就是這一章要講的 曲線積分和曲面積分.第一節(jié) 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)在設(shè)計(jì)曲線構(gòu)件時(shí)，常常要計(jì)算他們的質(zhì)量，如果構(gòu)件的線密度為常量，那.由于構(gòu)件上各點(diǎn)處的粗細(xì)程度么這構(gòu)件的質(zhì)量就等于它的線密度與長度的乘積 設(shè)計(jì)得不完全一樣，

2、因此，可以認(rèn)為這構(gòu)件的線 密度（單位長度的質(zhì)量）是變量,這樣構(gòu)件的質(zhì)量 就不能直接按下面它的線密度與長度的乘積來 計(jì)算.下面考慮如何計(jì)算這構(gòu)件的質(zhì)量.設(shè)想構(gòu)件為一條曲線狀的物體在平面上的曲線方程為y f x， x a,b，其上每一點(diǎn)的密度為 x,y .如圖13-1我們可以將物體分為n段，分點(diǎn)為M 1, M 2,., M n,每一小弧段的長度分別是 和S2,. , Sn 取其中的一小段弧MiiMj來分析在線密度連續(xù)變 化的情況下,只要這一小段足夠小，就可以用這一小段上的任意一點(diǎn)i, i的密度 i, i來近似整個(gè)小段的密度這樣就可以得到這一小段的質(zhì)量近似于i, i Si 將所有這樣的小段質(zhì)量加起來

3、，就得到了此物體的質(zhì)量的近似值即卩nMXi,yi Si i 1用 表示n個(gè)小弧段的最大長度.為了計(jì)算M的精確值,取上式右端之和當(dāng)0時(shí)的極限，從而得到nM lim ( i, i) s.i 1即這個(gè)極限就是該物體的質(zhì)量這種和的極限在研究其它問題時(shí)也會(huì)遇到.上述結(jié)果是經(jīng)過分割、求和、取極限等步驟而得到的一種和數(shù)得極限，這意味 著我們已經(jīng)得到了又一種類型的積分.拋開問題的具體含義，一般的來研究這一 類型的極限，便引入如下定義：定義13.1設(shè)L是xoy面內(nèi)的一條光滑曲線，函數(shù)f x,y在L上有界，用L上 任意插入一點(diǎn)列M1,M2,.,Mn將曲線分為n個(gè)小段.設(shè)第i段的長度為Si (i 1,2,11|,

4、n)，又i, i為第i個(gè)小段上任意取定的一點(diǎn)，作乘積nf i, i S,并作和 f i, i Si，若當(dāng)各小段的長度的最大值趨于零時(shí)，i 1此和式的極限存在，稱此極限為函數(shù) f x, y在曲線L上對弧長的曲線積分，也稱 為第一類曲線積分，記作L f x,yds,即nL f (x, y)dS lim0f ( i, J n ,i 1其中f x,y叫做被積函數(shù)，L稱為積分弧段當(dāng)L是光滑封閉曲線時(shí)，記為f x, y dS.L類似地，對于三元函數(shù)f x, y, z在空間的曲線L上光滑，也可以定義 f x,y,z在曲線L上對弧長的曲線積分L f x, y,zds .這樣，本節(jié)一開始所要求的構(gòu)件質(zhì)量就可表示

5、為M l (x, y)ds由對弧長的曲線積分的定義可以知道，第一類曲線積分具有下面的性質(zhì)：性質(zhì)1 (線性性)若f,g在曲線L上第一類曲線積分存在，是常數(shù),則 f (x, y) g(x, y)在曲線L上第一類曲線積分也存在，且L f x, y g x, y ds L f x, y ds L g x, y ds;性質(zhì)2(對路徑的可加性) 設(shè)曲線L分成兩段L!丄2.如果函數(shù)f在L上的第 一類曲線積分存在，則函數(shù)分別在和L2上的第一類曲線積分也存在.反之，如果函數(shù)f在J和L2上的第一類曲線積分存在，則函數(shù) f在L上的第-類曲線積分也存在.并且下面等式成立L L fds L fds L fds . (J

6、 L2 表示 L)L-1 L2L1L2對于三元函數(shù)也有類似的性質(zhì)，這里不再一一列出.二、第一類曲線積分的計(jì)算定理13.1設(shè)有光滑曲線.xL:y即(t),(t)連續(xù).若函數(shù)f (x, y)在L上連續(xù)，則它在L上的第一類曲線積分存在，且/ 2 2l f x, y ds f t , t . t t dt證明 如前面定義一樣，對L依次插入Mi,M2,.,Mni，并設(shè)Mo (),()，Mn (),()注意到to ti川 tn .記小弧段Mi 1Mi的長度為s，那么Si：dt, i 1,2,川 n.由、円)的連續(xù)性與微分中值定理，有Si: dt,(ti ! i ti).ti 1所以，當(dāng) Xi ( i),y

7、i ( i)時(shí)，nnf(Xi,yJ s f ( ( i), ( i)2( i 2) ti,i 1i 1這里 ti1 i, i ti.設(shè)n f( ( i),( i)L 2( i)2(2( i)2( i) tii 1則有nnf(Xi,yi) Sif( ( i), ().2( i)2( i) ti .i 1i 1令t max 1, t2,川，tn,要證明的是limo0.因?yàn)閺?fù)合函數(shù)f( (t),(t)關(guān)于t連續(xù)，所以在閉區(qū)間,上有界，即存在M，對一切t ,有|f( (t),(t) | M.再由. 2(t)荀在,上連續(xù)，所以它在,上一致連續(xù).即當(dāng)任給0，必存在 0,當(dāng)t 時(shí)有n _2( i)- _2(

8、 i)Y51 .從而n| MtiM ().i 1所以再從定積分定義得nlim0f( ( i),( i)2( i)2( i) tii 1f( (t), (t). dt.nn所以當(dāng) f(Xi,yJ Sif( ( i), () ti 兩邊取極限i 1i 1后，即得所要證的結(jié)果特別地，如果平面上的光滑曲線的方程為y y(x), a X b,b 2L f x, y ds a f x, y x J1y x dx .例13.1計(jì)算曲線積分L, yds，其中L是拋物線y x2上的點(diǎn)A 0,0與點(diǎn)B 1,1之間的一段弧.解：積分曲線由方程給出，所以y x2, x 0,1l . yds0x ,1 4x dx11

9、2 11 4x2 =5.5 1 .120 12n on例13.2計(jì)算積分；| xy ds，其中L為圓周:x asi n t, y a cost, 0t 2 .解：由于L為圓周：xa sin t, ya cost,0 t 2，所以22 2 nx y dsasint 22C 2222a cost. a cos t a ( si nt) dtLo22n .a dt2 a2n對于三元函數(shù)的對弧長的曲線積分，可以類似地計(jì)算例如：若曲線L由參數(shù)方程x xt,y yt,z z t ， t確定，則有ds ,x2 t y2 t z2 t dt，從而fx,y,zds f x t , y t , z t . x2

10、t y2 tz2 t dt .L例13.3 計(jì)算曲線積分x2y2 z2 ds，其中是螺旋線x a cost,y asint, z kt上相應(yīng)于t從0到2的一段弧.2 2 2 ,x y z ds2 2 a cost 022 22.2 .a sin tkt .a sin ta costk dt解：由上面的結(jié)論有精品資料k2t2 .a2 k2dt3 a2 E 小例14.4計(jì)算l x2ds,其中L為球面x2y2 z2 a2被平面x y z 0所截得的圓周.解：由對稱性可知x2dsy2dsz2ds,LLL所以2 1“ 2 22、.2 a23x ds -,(x yz )dsdsaL3L3 L3習(xí)題13.1

11、1. 計(jì)算半徑為R、中心角為2的圓弧L對于它的對稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I(設(shè)線密度1).2. 計(jì)算曲線積分 (x2 y2 z2)ds，其中 為螺旋線x a cost，y a si nt， z kt上相應(yīng)于t從0到2的一段弧.3. 計(jì)算 yexdS,其中 C 為曲線 x ln(1 t2), y 2arctgt t 3 由 t 0 到 t 1C間的一段弧.2 24. 求，xydS,其中L是橢圓周 篤 占1位于第一象限中的那部分。La b5. 計(jì)算X2 y2dS，其中L為曲線x2 y22y.16. 求LxdS，其中L為雙曲線xy 1從點(diǎn)(？,2)到點(diǎn)(1,1)的一段弧。7. 計(jì)算L(x y)ds其中L為連接

12、(1,0)及(0,1)兩點(diǎn)的直線段.8. 計(jì)算i|Ai e x2 y2ds其中L為圓周x2 y2 a2,直線y x及x軸在第一象限內(nèi)所扇形的整個(gè)邊界.僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除 謝謝119.計(jì)算 x2yzds其中為折線ABCD,這里A、B、C(0,0,0)、(0,0,2)、(1,0,2)、(1,3,2)。10.計(jì)算 L (x2 y2)ds,其中L 為曲線 x a(cost tsi nt).(0 t 2 ).11.設(shè)L為雙紐線(x222y )a2(x2y2),計(jì)算積分I12.設(shè)L為橢圓2仝1,其周長為3a ,求 L (2xy 3x2D依次為點(diǎn)y a(sin t t cost)|y|d

13、s.4y2)ds.參考答案1.R3(sincos2 (3a22k2)二丄 ln216 2,ab(a2 ab4.-3(a b)b2)05. 4sin dsin d6. 172 2t21dt1ln47.8.ea 29.210. 2a3(1 22)11. 2a2(2,2)12. 12a精品資料第二節(jié) 對坐標(biāo)的曲線積分一、對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)在實(shí)際中還碰到另一種類型的曲線積分問題例如一質(zhì)點(diǎn)在空間中沿著一條光滑曲線L:x x t ,y y t ,z z t運(yùn)動(dòng)，當(dāng)t a時(shí)，對應(yīng)曲線上的一個(gè)端點(diǎn)A，當(dāng)t b時(shí)，對應(yīng)曲線的另一個(gè)端點(diǎn)B，在外力b-F x,y,z Px,y,zi Qx, y,zj Rx

14、,y,zk的作用下質(zhì)點(diǎn)從A移動(dòng)到B，現(xiàn)在求力F所作的功.由物理學(xué)的知識(shí)知道：若力與位移都是常量，則有W F s .現(xiàn)在的是一個(gè)變量，位移s也是變量.為了求這個(gè)力所作的功我們可以將曲線分為若干段，即插入n個(gè)分點(diǎn)M。 A,Mi,M 2,.,MnB這些點(diǎn)對應(yīng)的t分別是a to,t1,.,tn b .在每一小段弧MMi上，可以認(rèn)為位移就是 MMi，在小 弧段MMi上任意一點(diǎn)i, i, i的力F i, i, i來近似質(zhì)點(diǎn)在這一小弧段上移 動(dòng)所受到的力.于是當(dāng)質(zhì)點(diǎn)從 Mi 1移到Mi時(shí)，力F所作的功近似為F i, i, i Mi 1Mi，將力在每一小段上所作的功相加，就得到了在力F的作用下質(zhì)點(diǎn)從A移動(dòng)到B

15、所作的功的一個(gè)近似值.即n _ WF i, i , i M i 1M ii 11-9-注意 F x, y, z P x,y,z,Q x,y,z,Rx, y,z，而 M i 1M i 人，yi,乙，所以n _W F i, i, i M i 1M ii 1nP i , i , i xi Q i , i , i yi R i , i , i zi .i 1再對上面的式子在所有小弧段的長度的最大值趨于零時(shí)取極限，若此極限存在，則它就是變力F所作的功即nW 1叫 P i , i , i xi Q i , i , i yi R i , i , i z -U i 1從上面的分析可以看出，這個(gè)極限和前面講的定

16、積分、重積分、第一類曲線 積分有很多的相似之處，它們都是一個(gè)乘積和式的極限這種類型的和式極限 就是下面所要討論的第二類曲線積分定義13.2 （對坐標(biāo)的曲線積分或第二類曲線積分）設(shè)L是空間中的一條有 向光滑的曲線，兩個(gè)端點(diǎn)分別為 A和B . P x, y,z ,Q x, y, z , R x, y, z為定義在曲 線L上的函數(shù)在L內(nèi)依次插入點(diǎn)MM2,Mni，并令Mo（Xo,y,z。）A, Mn（Xn,yn,Zn） B .并且這些點(diǎn)是從A到B排列的.這樣就將曲線L分為n個(gè)小的 弧段 Mi iM i （i1,2,卅,n）.設(shè)Xi xXi i， y y % i，z NZj i 記各弧段長為s, max

17、 s.在小弧段M i iM i上任意取一點(diǎn)i, i,i，若i i nn1im0P i, i, i Xi存在，則稱之為函數(shù)P x, y, z在有向曲線L上對坐標(biāo)x的曲0 i i線積分（或稱第二類曲線積分）.記為Px,y,zdx .即LnP X, y, z dx = li叫 P i, i, i Xi .Li i類似地，有nP X, y, z dy = lim。 Q i, i, i yi ;Li inP X, y, z dz = lim0 R i, i, i 乙.Li i分別稱為函數(shù)在有向曲線L上對坐標(biāo)y和對坐標(biāo)z的曲線積分這些積分統(tǒng)稱 為第二類曲線積分.若L為封閉有向曲線，則記為i | P x,y

18、,z dx、 P x,y,z dy或L Li L P x, y, z dz .由對坐標(biāo)的曲線積分的定義可以知道，第二類曲線積分具有下面的性質(zhì):1. Px,y,zdx Qx,y,zdy R x, y,z dz Px,y,zdx Qx,y,zdy Rx, y,zdz;LLLL2(線性性)：若兩個(gè)向量值函數(shù) l Fi(x,y,z)dx Qj(x,y,z)dy R(x,y,z)dz(i 1,2,|,k)存在,則GP dxi 1CiQi dyi 1GLPdxi 1LQidyLRdz ,僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝ii其中Ci(i 1,2,|,k)為常數(shù).3(路徑可加性)：設(shè)定向分段光滑曲線

19、L分成了兩段L1和L2，它們與L 的取向相同(記L L1 L2)，貝U向量函數(shù)f(x,y,z)在L上的第二類曲線積 分的存在性等價(jià)于f (x, y,z)在L1和L2上的第二類曲線積分的存在性.且有f x, y, z dx f x, y,z dx f x, y, z dx ;L1 L2L1L24(方向性)：如用L表示與L方向相反的曲線.則有f x, y, z dx f x,y,z dx .LL二、對坐標(biāo)的曲線積分(第二類曲線積分)的計(jì)算x x t設(shè)L的參數(shù)方程為y y t ,t ,，起點(diǎn)為A x , y ,z ，終z z t點(diǎn)為B x ,y , z，函數(shù)xt ,yt ,zt都具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).在曲線

20、弧上插入若干個(gè)點(diǎn)Mo,M2,Mn，相應(yīng)于t的取值分別是to,t1,t2,tn，tiMjXi,yi,Zj ， 人 xtixti 1 x t dt，而 ti ti ti 1，于是由積分ti 1中值定理有Xix i ti .此時(shí)取i, i, i分別為x( i), y( i), z( i)，則精品資料nP x, y, z dx lim P x i , y i , z it,L0 i 1Pxt,yt,zt xtdt類似地可以求lQ x, y,z dy和L R x, y, z dz .最后得到P x,y,z dx Q x, y, z dy R x, y,z dzP x t ,y t ,z t x tQ x

21、 t ,y t ,z t y t Rz t dt在這里的積分的上限下限分別對應(yīng)的是終點(diǎn)和起點(diǎn).求曲線積分的一般步驟是：1. 將x, y,z用各自的參數(shù)方程代替；2. 將曲線的終點(diǎn)和起點(diǎn)所對應(yīng)的參數(shù)的值作為定積分的上下限；3. 將曲線積分化為定積分，計(jì)算定積分，即得曲線積分的值.特別地，當(dāng)L是平面xoy上的光滑曲線時(shí)，設(shè)曲線方程為 y y x，起點(diǎn)和 終點(diǎn)對應(yīng)的x的值分別是a,b，則有bP x, y dx Q x, y dy P x, y x Q x, y y x dx .aL例13.5計(jì)算曲線積分Lxydx，其中L為拋物線y x2從點(diǎn)A 1,1到點(diǎn)B 1,1的一段弧，如右圖.解：將要計(jì)算的積分

22、化為對x的定積分，即以x為積分變量,曲線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)對應(yīng)的x的值分別是1和將曲線積分中的y J圖x；代3僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除 謝謝23替，所以LxydxX X2 dx 寸X21沿逆時(shí)針方b2例13.6計(jì)算曲線積分xdy ydx，其中L為橢圓 令la向.解：橢圓的參數(shù)方程為x a cost, y bsint,0 t 2，所以可以將曲線積分 化為對參數(shù)t的積分，起點(diǎn)和終點(diǎn)所對應(yīng)的t的值分別為0和2 ， x,y分別 用參數(shù)方程代替，由此得到xdy ydxLbsintd acost2a costd bsint02ab 1dt 2 ab0注意，這個(gè)積分剛好是橢圓面積的兩倍.例13-4

23、圖例13-5圖例13.7計(jì)算曲線積分Lxdy ydx 其中L分別是下面的曲線段.(1)拋物線y23 1 03y dy y |。1將積分化為對x的定積分，起點(diǎn)和終點(diǎn)對應(yīng)的y的值分別是0和1， y用x代替，得到x上從點(diǎn)0 0,0到點(diǎn)A 1,1的一段??；直線yx上從點(diǎn)O 0,0到點(diǎn)A 1,1的一段??；從點(diǎn)O0,0到沿x軸點(diǎn)B 1,0，再由B 1,0豎直向上至A 1,1 .解：(1)將積分化為對y的定積分，起點(diǎn)和終點(diǎn)對應(yīng)的y的值分別是0和1 , x用y2代替，得到1 2 2L xdy ydx 0 y dy yd yl xdy ydx1xdxoi2xdx0xd x2 .1x Io(3)曲線可以分為兩段，

24、其中一段的曲線方程為y 0,另一段的曲線方程為x 1，所以l xdy ydxOBxdyoXdydx oa xdy ydx1Odx o 1dy yd 1從上面的例子可以看出，盡管積分的路徑不同，但是積分的值仍然有可能相同.例13.8計(jì)算L y2dx,其中L為(1)半徑為a、圓心為原點(diǎn)、按逆時(shí)針方向繞行 的上半圓周；(2)從點(diǎn)A(a,0)沿x軸到點(diǎn)B( a,0)的直線段.解(1)因?yàn)閤 acosL:， 02 .y asi n那么2 2 2l y dx o a sin ( asin )d3 24 3a o (1 cos )d (cos ) a .積分路徑為L: y 0, x從a變到a ,因此2 ay

25、 dx 0dx 0.La從這個(gè)例子可以看出：被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但路徑不同積分 結(jié)果不同.兩類曲線積分的聯(lián)系設(shè)有向光滑曲線段L的參數(shù)方程為xf t , y g t ，t ,，起點(diǎn)和終所對應(yīng)的分別是A和B，且f 2t g 2t0 ,函數(shù)P x, y ,Q x, y在曲線段L上連續(xù)，則對坐標(biāo)的曲線積分l P x, y dx Q x, y dybaPf t,gb(P f t ,g t ft Q f t , g t g t )dtat d f t Q f t , g t d g t又有向曲線的切向量為T f t,g t，它的方向余弦為cosf tg t.f 2 tg 2 t. f 2tg

26、2 t注意到ds2 t g 2 t dt，所以由對弧長的曲線積分公式，得到l P x, y cos Q x, y cos dsbP f t ,g t ft Q f t , g t g t dt a由此得到兩類曲線積分之間的聯(lián)系:l P x, y dx Q x, y dy l P x, y cos Q x, y cos ds .類似地，可以得到兩類空間曲線積分之間的聯(lián)系:L P x, y,z dx Qx,y,zdy R x, y, z dzl P x, y cos Q x, y cos R x, y, z cos ds這種聯(lián)系還可以用向量表示:A dr A Tds.L其中A P,Q,R，T co

27、s ,cos ,cos 為在曲線上點(diǎn) x, y,z處的單位切向量，dr dx,dy, dz稱為有向曲線元.習(xí)題13.21. 求Ixy2dy x2ydx.其中曲線C為圓周x2 y2 a2,積分方向?yàn)轫槙r(shí)L針方向,a 0.2. 求 x(z y)dx y(x z)dy z(y x)dz,其中 L 是由球面 x2 y2 z2 R2L與平面x 0, y 0, z 0(x 0,y0,z 0)的交線AB ,BC和CA組成.3. 求I l (x2 sin2 y)dx yfx y .其中曲線L由折線AOB及曲線G : x sin y( y 2 )兩段組成，起點(diǎn)為A(1,0),其中O (0,0),B (0,)4.

28、 求l (x2 y2)dy .其中L是由直線x 1, y 1, x 3及y 5構(gòu)成的正向矩 形回路.5. 求x2 y2)dx (x2 y2)dy.其中L為曲線y 1 |1 x |上對應(yīng)于x從0到2的一段.6試將f(|x|,|y|)dy表示成定積分.其中L是以A(1,2),B(1, 1)及C(2,0)為 頂點(diǎn)的三角形的正向.A7. 求丨dx dy ydz.其中L為有向閉曲線ABCA,這里代B,C依次為點(diǎn)UL(1,0,0) ,(0,1,0) ,(0,0,1).8. 一力場由沿橫軸正方向的常力 F所構(gòu)成.試求當(dāng)一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)沿圓周x2y2 R2按逆時(shí)針方向移過位于第一象限的那一段弧時(shí)場力所作的功.

29、9. 一力場中的力的大小與作用點(diǎn)到z軸的距離成正比，方向垂直向著該軸. 試求當(dāng)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)沿圓周x cost, y 1,z sint由點(diǎn)M(1,1,0)依正向 移動(dòng)到點(diǎn)N(0,1,1)時(shí),力場所作的功.10. 求 Lxdx ydy (x y 1)d乙 L 是從點(diǎn) A(1,1,1)到點(diǎn) B(2,3,4)的一段直線.參考答案1. a422. 2R33. 534. 325. 40 f(i, y)dy02y1 f (y 2, y)dy 0 f(2 |,y)dy306. 2f(i,y)dy17.2 8. |F|R10. 13第三節(jié) Green公式及曲線積分與路徑的無關(guān)性一 Green公式本節(jié)將建立對坐

30、標(biāo)的曲線積分與二重積分之間的聯(lián)系即要建立起平面區(qū)域D上的二重積分與D的邊界曲線L上的第二類曲線積分之間的聯(lián)系.我們知道閉區(qū)域有兩種，一種是單連通的，一種是多連通的若區(qū)域D中的任意一條封閉曲線的內(nèi)部的所有的點(diǎn)都屬于 D，則D是單連通的，否則是多連通的如圖13-6是單連通的，圖 13-7是多連通的例如區(qū)域 D x, y | x2 y2 1是單連通的，而區(qū)域D x, y | 0 x2 y2 1是多連通的通俗的說，多連通區(qū)域就是有“洞”的區(qū)域.對于區(qū)域的邊界曲線，我們規(guī)定它的正方向如下：當(dāng)觀察者沿著曲線移動(dòng)時(shí)，區(qū)域D總是在他的左邊由此定義可以知道，當(dāng)區(qū)域D是單連通區(qū)域時(shí)，其邊界曲線的正方向時(shí)逆時(shí)針方向

31、當(dāng) D是多連通時(shí)，如其邊界曲線為L,則其外面的曲線的方向是逆時(shí)針的，內(nèi)部的曲線的方向是順時(shí)針的如圖.圖 13-6圖 13-7定理13.2 （Green公式） 若有界閉區(qū)域 D2的邊界由分段光滑的曲線L所圍成,函數(shù)Pd P x, y dx Q x, y dy , y LL取正向.證明：（1）.坐標(biāo)軸的直線與x型，又是y其中設(shè)區(qū)域D是有界單連通的閉區(qū)域，平行于D的邊界的交點(diǎn)不多于兩個(gè)，即型的區(qū)域不妨設(shè)D既是D x, y |ax b, 1 x yx圖 13-8或 D （x,y）|1（y） x 2（y）,cd，則dxdyD xddyc2y2xy x2（y）,y Q1（y）,y dycbeQ（x, y）

32、dycAEQ（x,y）dycbeQ（x, y）dyI, Q（x,y）dyVLEAcQ（x,y）dyP x,y ,Q x, y在區(qū)域D中具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則同理可證-dPyx, y dx P）dxdyPdx QdyyL（2）.若平行于坐標(biāo)軸的直線與D的邊界的交點(diǎn)多于兩個(gè)，可以引入輔助曲線將區(qū)域劃分為 有限個(gè)區(qū)域使得每個(gè)部分符合（1）中所討論的形式如圖13-9所示.將D分成三個(gè)既是 X -型區(qū)域又是 Y -型區(qū)域D1,D2,D3圖 13-9精品資料dGP)dxdy yDi D2 D3(衛(wèi)xP)dxdy yDiP)dxdy yD2)dxdy y )dxdyD3PdxQdyPdx2Qdy PdxQd

33、yPdxQdy（ Li,L2, L3對D來說是正方向若區(qū)域D不止有一條閉曲線所圍成，如圖13-10.這時(shí)可適當(dāng)添加直線段AB,CE，則D的邊界曲線由CAB,L2, BA,AFC ,CE, L3, EC及CGA構(gòu)成這樣就把區(qū)域轉(zhuǎn)化為（2）的情形來處理.由可知圖13-10(衛(wèi)厶dxdyd x yABl_2BA AFC CEL3 EC CGA(Pdx Qdy)a a n（學(xué) A |jL1）（Pdx Qdy）fjPdx Qdy1丄2丄3對D來說為正方向）Green公式的實(shí)質(zhì)：溝通了沿閉曲線的積分與二重積分之間的聯(lián)系 化某些曲線積分或二重積分的計(jì)算.從而可應(yīng)用它來簡為了便于記憶，Green公式也可寫成下

34、面形式y(tǒng) dxdyQPdx QdyLF面介紹一個(gè) Green公式的簡單應(yīng)用.設(shè)P（x, y） y,Q x, y x，則有格林公式，有l(wèi) xdy ydx1所以區(qū)域D的面積為Axdy ydx，其中L是區(qū)域D的邊界曲線.A若取P 0,Q x,也有D的面積Axdy.L若取P y,Q 0,也有D的面積A ydx.僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝33例13.9計(jì)算星形線xacos3t,y bsin3t所圍成的圖形的面積.解：所成的面積為1 0S xdy2123a23ydx3232acos t 3a sin tcost asin t ( 3acos tsin t)dt2 sin2tcos2tdt0

35、從上面的例子可以看到，有時(shí)用公式1S xdy ydx計(jì)算面積相當(dāng)容易.F面利用Green公式計(jì)算一個(gè)對坐標(biāo)的曲線積分.例13.10計(jì)算L3x y dy2y dx，其中L是曲線x 19，方向是逆時(shí)針方向.解：L是區(qū)域D429的邊界，所以有Green公式有L 3xy dy xy dxD3x y x2d 2-x y d y3 218對于不是封閉曲線的曲線，也可以考慮用上面的例子中的曲線是封閉曲線，式，不過這時(shí)要先將加一段曲線使得原來的曲線封閉.看下面的例子.例13.11計(jì)算曲線積分l x2ydx2 xy2 dy，其中L是半圓周x2Green 公1 , x 0上從點(diǎn)A0, 1到B 0,1的曲線.解：為

36、了能利用Green公式，連接 代B ,得到封閉曲線L BA .所以所以LEX2x2ydx2BA2xydy2xD/2d/2116y2 d0 r2rdrxy2 dy112dyx2ydx 2Lxy2 dy=x2 ydxL BA2 xy2 dy _ x2 ydx2 xy2 dy=4.4例13.12 計(jì)算曲線積分ydx xdy，其中l(wèi)是一x y條不經(jīng)過原點(diǎn)的光滑閉曲線，方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向.yx、，、 、解：令P x, y 2 ,Q x, y 2，注意到x yx yP2y2 xQy2 x2 2 yx設(shè)L所圍的區(qū)域?yàn)镈，若0,0D，則ydx xdy1 2 2QPd0 .L x yDxy若0,0 D，貝U函數(shù)P

37、 x, y ,Q x, y在點(diǎn)0,0不可微，所以不能直接用 Green公式，取0,0I，順時(shí)針方向）P x, y , Qx,yoli x2 y2所以的一個(gè)充分小的鄰域D （其邊界為，使得在區(qū)域ydx xdyydx xdyI2 2x y.ydx xdy2 2l x yydx xdy| x2 y22 r sin td r cost0rsintd r cost二 2 r例13.13計(jì)算拋物線（x y）2ax（a 0）與x軸所圍成的圖形的面積.解ONA為直線y 0,曲線AMO由函數(shù)y , ax x, x 0, a表示，如圖13-12.因此1A xdy ydx1212ONA Xdyam。xdyydxyd

38、x1 0 a2 ax(2、ox1)dxAMO Xdyydx(ax x) dx曲線積分與路徑的無關(guān)性由上節(jié)例13.12可知起點(diǎn)與終點(diǎn)相同，盡管積分的路徑不同，但是積分的值仍然有可能 相同而由例13.13可知起點(diǎn)與終點(diǎn)相同，若沿的路徑不同，則其積分值也不同.本部分將討 論曲線在什么條件下，它的值與所沿的路徑無關(guān).下面先給出積分與路徑無關(guān)的定義.定義13.3設(shè)D為平面區(qū)域，P(x, y),Q(x,y)為D上的連續(xù)函數(shù).如果對于D內(nèi)以A, B兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的逐段光滑曲線L，積分值Pdx Qdy只與 代B兩點(diǎn)有關(guān)，而同從A到B的路徑L無關(guān),就稱曲線積分 l Pdx Qdy與路徑無關(guān) 否則稱為與路徑有關(guān)

39、.由Green公式可以得到下面的定理。定理13.3設(shè)函數(shù)P x, y ,Q x,y在單連通區(qū)域上有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則下面的四個(gè)條件是等價(jià)的:(1)在區(qū)域D的任意逐段光滑的封閉曲線L上，有Pdx Qdy 0 ；L 在區(qū)域D中的連接A, B的曲線段I上的曲線積分 Pdx Qdy與從A到B的路徑l無關(guān)，僅與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)。(3) P x, y dx Q x, y dy是某個(gè)函數(shù)的全微分。p Q(4) 在區(qū)域D中有成立。y y證明(1)(2):設(shè)A, B為D內(nèi)任意兩點(diǎn)，圖 13-13L!,L2是D中從A到B的任意兩條路徑，則C L ( L2)就是D內(nèi)的一條閉曲線.如圖13-13所示.因此0 Pdx Qd

40、yPdx QdyCJJPdx Qdy Pdx Qdy,L1L2于是Pdx Qdy Pdx QdyL1L2因此曲線積分與路徑無關(guān)(2)(3)設(shè)A(xo, yo) D為一定點(diǎn)，B(x, y)為D內(nèi)任意一點(diǎn).由可知，曲線積分Pdx Qdy與路徑選擇無關(guān)，所以當(dāng)B(x, y)在D內(nèi)變動(dòng)時(shí)，其積分值是點(diǎn) B(x, y)的函 AB數(shù)，記(x,y)U (x, y)Pdx Qdy(xo,yo)圖 13-14取x充分性，使(x x, y) D ,則函數(shù)U對于x的偏增量U (x X, y) U (x, y)ACPdx Qdy ab Pdx Qdy.因?yàn)樵贒內(nèi)對于曲線積分與路徑無關(guān)所以ac Pdx Qdy ABPd

41、xQdy BCPdxQdy.由于直線段BC平行于x軸,所以BC :xt,tx,x x,y (常數(shù)),因而dy 0且U U(x x,y) U (x, y)BcpdxQdyx xP(t,y)dt.x對上式右端應(yīng)用積分中值定理，得U P(xx,y),1.再因P在D上的連續(xù)性，推得u Ulimx x 0x00%x, y)P(x, y).同理可證U Q(x, y).于是有 yduPdx Qdy .(3)(4)設(shè)存在函數(shù)U使得dU Ux(x, y)dxy(x, y)dy Pdx Qdy,故 P(x, y) Ux(x, y), Q(x,y) U y(x, y).因此P2UQ 2U因?yàn)镻,Q在區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，所以2 22U 2Ux y y x從而在D內(nèi)每一點(diǎn)處都有PQy x(1)設(shè)L為D中任一按段光滑閉曲線，記L所圍成的區(qū)域?yàn)?由于D為單連通區(qū)域，所以區(qū)域含在D內(nèi).應(yīng)用Green公式及在D內(nèi)恒有i L Pdx QdyQP dxdy 0.證畢.x y上面的證明還給出了當(dāng)曲線積分與路徑無關(guān)時(shí)，Pdx Qdy在D的原函數(shù)的構(gòu)造方法即下面的例13.14例13.14設(shè)P x, y dx Q x, y dy是某個(gè)區(qū)域D的函數(shù)的全微分，即-求此函數(shù). y y解：設(shè)L是區(qū)域D中的從點(diǎn)Axo,y。到點(diǎn)B x, y的光滑曲線段由于P Qy y由前面的定理可知，曲線積分C x, yo ，則P x,