第1章勾股定理

1、勾股定理本章教材分析本章主要介紹勾股定理及其逆定理，以及這兩個定理的應用， 具體內容如下：探索勾股定理；驗證勾股定理；探索直角三角形的判別條件以及勾股定理及其逆定理在實際中的應用。勾股定理是我國古代數(shù)學的一項偉大成就，是反映自然界基本規(guī)律中的一條重要結論。它對數(shù)學的發(fā)展起著重要作用。它揭示了直角三角形的本條邊之間的數(shù)量關系，為將來解直角三角形提供了有利武器。課本中通過數(shù)格子的辦法， 讓學生經(jīng)歷探索、 發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊間的數(shù)量關系，利用拼圖的方法論證勾股定理的合理性，體會證明方法的多樣性， 通過勾股定理的實際生活中的廣泛應用，讓學生感受到它能夠協(xié)助我們解決很多與線段求值相關的 問題。課本中介紹

2、了古埃及人做直角的方法，通過學生親手制作、 度量，發(fā)現(xiàn)勾股定理的逆定理。逆定理是證明一個角是直角的主要方法之一，也是證明一個三角形是直角三角形的重要依據(jù)，它體現(xiàn)了數(shù)學的重要思想一一數(shù)形結合思想。通過定理“探索一一發(fā)現(xiàn)一一證明”：滲透了數(shù)學的轉化思想。 1。 1探索勾股定理1 經(jīng)歷探索數(shù)格子的方法發(fā)現(xiàn)勾股定理，并利用拼圖的方法論證勾股定理的存有。2 結合具體的情境，理解和掌握“直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方”。3探索和實際操作掌握勾股定理在實際生活中的應用。4體會勾股定理的悠久歷史及重大意義，通過定理的探索、驗證過程，培養(yǎng)學生的數(shù) 學轉化水平、觀察分析水平，進一步滲透數(shù)形結合思想，提

3、升學生解決問題的水平。二、重點難點解析重點是對勾股定理的理解，以及使用勾股定理去解決一些相關的實際問題。難點是勾股定理的探索和驗證過程中，進一步體會數(shù)形結合的思想，學習中應注意加輔助線的方法。三、教學方法啟發(fā)式教學四、教學過程教學過程（第一課時）（一）創(chuàng)設問題的情境，激發(fā)學生的學習熱情：我們知道，任意三角形的三條邊必須滿足定理：三角形的兩邊之和大于第三邊。對于等腰三角形和等邊三角形的邊，除滿足三邊關系定理外，它們還分別存有著兩邊相等和三邊相 等的特殊關系。那么對于直角三角形的邊，除滿足三邊關系定理外，它們之間也存有著特殊 的關系，這就是我們這個節(jié)要研究的問題：勾股定理。介紹章前的圖文 P1：我

4、國是最早了解勾股定理的國家之一介紹商高（三千多年前周期 數(shù)學家）。課本中P2 （圖1 一 2）并回答：1 觀察圖1 一 2，正方形A中有個小方格，即A的面積為個面積單位。正方形B中有個小方格即B的面積為 個面積單位。正方形C中有個小方格，即C的面積為個面積單位。2 你是怎樣得出上面結果的？在學生交流回答的基礎上教師接著發(fā)問。3圖I 一 2中，A、B、C之間的面積之間有什么關系？在學生交流后形成共識老師板書。A + B = C ,接著提出圖1 一 1中A、B、C的關系呢？（二）做一做觀察：課本中 P3 圖 1 一 3，圖 1 一 4 ） 提問：1、圖1 一 3中，A、B、C之間有什么關系？2、圖

5、 1 一 4 中， A 、 B 、 C 之間有什么關系？3、從圖 1 一 l 、1 一 2 、 1 一 3 、 l 一 4 中你發(fā)現(xiàn)了什么？在學生討論、交流形成共識后，老師總結： 以直角三角形兩直角邊為邊的正方形面積和，等于以斜邊為邊的正方形面積。（三）議一議1圖 1 一 1 、 1 一 2、 1 一 3、 1 一 4 中，你能用三角邊的邊長表示正方形的面積嗎？ 2你能發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊長度之間的關系嗎？在同學的交流基礎上，老師板書： 直角三角邊的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。這就是著名的“勾股定理” 。2 2 2 也就是說：如果直角三角形的兩直角邊為a、b,斜邊為c。那么a b c我國古代

6、稱直角三角形的較短的直角邊為勾， 較長的直角邊為股， 斜邊為弦， 這就是勾 股定理的由來。3分別以 5厘米和 12 厘米為直角邊作出一個直角三角形, 并測量斜邊的長度 （學生測 量后回答斜邊為 13）請大家想一想（ 2）中的規(guī)律對這個三角形仍然成立嗎？（回答是肯定 的：成立。）4練習： P5 2 題這里的 29 英寸（ 74 厘米）的申視機,指的是屏幕的長嗎？指的屏幕 的寬嗎？那它指的是什么呢？（四）鞏固練習精選練習,掌握應用： 勾股定理的應用是本節(jié)教學的重點, 一定要讓學生熟練地掌握在直角三角形中已知兩邊 求第三邊的方法,為此,可設計下列三組具有梯度性的練習：練習 1（ 填空題 ）已知在 R

7、t ABC中，/ C=90o 若 a=3, b=4,則 c=; 若 a=40, b=9,則 c=; 若 a=6, c=10，則 b=; 若 c=25, b=15,則 a=。練習 2（ 填空題 ）已知在 Rt ABC中，/ C=90, AB=1（X 若/ A=30,貝U BC=, AC=; 若/ A=45,貝U BC=, AC=o練習 3已知等邊三角形ABC的邊長是6cm。求：（1）高AD的長； ABC的面積SABCA第二課時（一）創(chuàng)設問題情境，激發(fā)學生學習熱情，導入課題 我們已經(jīng)通過數(shù)格子的方法發(fā)現(xiàn)了直角三角形三邊的關系， 的意義，還需要加以論證，下面就是今天所要研究的內容, 角形，并把它剪下

8、來，用這四個直角三角形拼一拼、擺一擺,究竟是幾個實例，是否具有普遍 下邊請大家畫四個全等的直角三 看看能否得到一個含有以斜邊C為邊長的正方形，并與同學們交流。在同學操作的過程中，教師展示投影1 （書中P7圖17）接著提問：大正方形的面積可表示為什么？同學們回答有兩種可能:(1)(a b)21ab 4(2)2在同學交流形成共識后教師把這兩種表示大正方形面積的式子用等號連接起來。2 1 2(a b)2 ab 4 c22請同學們對上式實行化簡，得到：2 2 2 2,2 2a 2ab b 2ab c 即 a b c這就能夠從理論上說明了勾股定理存有。 請同學們回去用別的拼圖方法說明勾股定理。（二）講解

9、例題例1、飛機在空中水平飛行，某一時刻剛好飛到一個男孩頭頂正上方 秒，飛機距離這個男孩頭頂5000米，飛機每時飛行多少千米？分析：根據(jù)題意，能夠先畫出符合題意的圖形。如右圖，圖中 AC = 4000米，AB=5000 米欲求飛機每時飛行多少千米， 即圖中的CB的長，因為 ABC的斜邊 AB =5000 勾股定理得出，這里一定要注意單位的換算。4000米處，過了 20米,就要知道AC= 4000ABC 的/ C= 90,秒時間里飛行的路程，米，這樣BC就能夠通過20解：由勾股定理得BC 2 AB $ AC 29（千米即BC=3千米飛機20秒飛行3千米.那么它I小時飛行的距離為:360032054

10、0（千米/時）答：飛機每小時飛行 540千米。（三）練習：隨堂練習 P10 1，數(shù)學理解P11 2題 第三課時（一）在經(jīng)歷了數(shù)格子與拼圖之后，同學們對于勾股定理已清晰的理解了，并且也有了一些應用的水平。在我們幾何學中補（即拼）與割是常用的作圖方法。那么對于“割”在直 角三角形的勾股定理中又如何體現(xiàn)呢？（二）操作：把最小與最大的兩個正方形分別繞著直角三角形的直角形與斜邊對折， 可 得到圖 111，以勾為邊的正方形假定為“朱方” ，以股為邊的正方形假定為“青方” ，用移222 動的方法能夠將朱、青二方并成弦方。依據(jù)它們的面積關系有： a b c 。這就是我國 歷史上有名的魏晉時期的劉徽的“青朱出入

11、圖” 。上面的方法是幾何學中典型的割補作圖法的割法作圖， 它只須移動幾塊圖形就直觀地證 明了勾股定理，真是“無字證明” ，偉大的證明。（三）練習：隨堂練習： P15 1 題四、布置作業(yè)：P7目1, 2題；P15問題解決1題五、歸納小結本節(jié)課經(jīng)歷了數(shù)格子、 拼圖、 與割補的方法對勾股定理多方面的學習， 使學習在理解的 基礎上得到應用。1。2 能得到直角三角形嗎一、學習目標定位1 通過實際作圖得到直角三角形的判別條件 （即勾股定理的逆定理） ，弄清定理的條件 和結論，并能與勾股定理相區(qū)別。2能夠使用勾股定理逆定理，判斷一個三角形是否是直角三角形，并能實行簡單的應 用。3理解勾股數(shù)的含義，探索常用勾

12、股數(shù)的規(guī)律。4學習本節(jié)知識，要仔細觀察圖形，親自做一做，驗證三角形的三邊長a、 b、 c 是否滿足條件 a2 b2 c2 。學習中要注意利用數(shù)形結合的方法來協(xié)助理解問題、解決問題， 并即時使用所學的方法來嘗試解決一些相關的實際問題。二、重點難點解析重點是通過作圖得到直角三角形的差別條件 （即勾股定理的逆定理） 和探索勾股數(shù)的規(guī) 律，難點是如何確定三角形三邊中的最大邊，以及利用 a2 b2 c2 。三、教學方法 啟發(fā)式教學四、教學過程 第一課時（一）引入 1 復習勾股定理。 2復習直角三角形的相關概念（定義、角、邊）。 3提出問題：從角中我們能夠判別三角形是否為直角三角形，那么從邊上又將如何判

13、別？（二）總結，得出勾股定理的逆定理。1 通過使用SSS的作圖方式得到符合 a2 b2 c2的三邊能構成一個直角三角形。2總結得出勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長 a、b、c滿足a2 b2 c2，那么這個三角形是直角三角形。并把滿足a2 b2 c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。4.練習：P18 1（三）例題講解1. P18例 12. 練習：P19 （隨堂練習）2, P20 2五、小結本節(jié)通過作圖得到了勾股定理的逆定理，并總結了勾股數(shù)。 1。3 螞蟻怎樣走最近一、學習目標定位1.明確解決路線最短問題，應轉化為“在同一平面內，兩點之間線段最短”，也就是將原來的曲面或多面展成一個平面去解決，培養(yǎng)學生

14、將空間問題轉化為平面問題去解決的水 平。2構造直角三角形，使用勾股定理求線段的長。二、重點難點解析重點：勾股定理的應用是現(xiàn)實生活中的“線路最短”問題，重點是將曲面或多面轉化為 平面，并注意立方體的展開圖的不同方法。難點：利用數(shù)學中的建模思想構造直角三角形，利用勾股定理及逆定理， 解決實際問題。三、教學過程1創(chuàng)設問題情境，弓I入新課前幾節(jié)課我們學習了勾股定理，你還記得它有什么作用嗎？例如：欲登12米高的建筑物，為安全需要，需使梯子底端離建筑物5米，至少需多長的梯子？根據(jù)題意，（如圖）AC是建筑物，則 AC=12米，BC=5米，AB是梯子的長度。所以在 Rt ABC 中，AB 2=AC2+BC2=

15、122+52=132 ; AB=13 米。所以至少需13米長的梯子。2講授新課：、螞蟻怎么走最近c31BBA出示問題：有一個圓柱，它的高等于12厘米，底面半徑等于 3厘米.在圓行柱的底面A點有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點相對的B點處的食物，需要爬行的的最短路程是多少？ （n的值取3）.(1) 同學們可自己做一個圓柱，嘗試從A點到B點沿圓柱的側面畫出幾條路線，你覺 得哪條路線最短呢？(小組討論)(2) 如圖，將圓柱側面剪展開開成一個長方形，從A點到B點的最短路線是什么？你畫對了嗎？(3) 螞蟻從A點出發(fā)，想吃到B點上的食物，它沿圓柱側面爬行的最短路程是多少? (學生分組討論，公布結果)AA

16、將圓我們知道，圓柱的側面展開圖是一長方形。好了，現(xiàn)在咱們就用剪刀沿母線 柱的側面展開(如下圖)。我們不難發(fā)現(xiàn)，剛才幾位同學的走法:(1) A t A B ;(2)A t BB;(3)A t d t b ；(4)A B。哪條路線是最短呢？你畫對了嗎？第(4)條路線最短。因為“兩點之間的連線中線段最短”。、做一做：教材14頁。李叔叔隨身只帶卷尺檢測 AD , BC是否與底邊AB垂直，也 就是要檢測 / DAB=90 ，/ CBA=90 。連結 BD或AC ,也就是要檢測 DAB和厶CBA 是否為直角三角形。很顯然，這是一個需用勾股定理的逆定理來解決的實際問題。3. 練習：P23隨堂練習14. 試一

17、試(課本P15)五、小結這節(jié)課我們利用勾股定理和它的逆定理解決了生活中的幾個實際問題。我們從中能夠發(fā)現(xiàn)用數(shù)學知識解決這些實際問題，更為重要的是將它們轉化成數(shù)學模型。本章內容小結本章教材的知識點主要有勾股定理和勾股定理的逆定理及其應用一、構建知識網(wǎng)絡三邊的關系 一勾股定理 一歷史、應用直角三角形直角三角形的判定 一勾股逆定理 一應用二、復習指導在使用勾股定理時一定要有三角形為直角三角形這個前提；在判定一個三角形是否為直角三角形時不能只從某兩條邊的平方和是否等于第三邊的平方來實行判斷，我們的建議是找出所有的情形再判斷(當然成立的情形只有一種可能)。另外通過圖形展開求最近距離體現(xiàn)了勾股定理的使用。注

18、意展開方式是否唯一。從全國各地近幾年中考試題來看，對于勾股定理及其逆定理的考查，從題型上來看有 選擇題、填空題等客觀題，也有證明題、計算題、解答題，近兩年涉及本章內容還出現(xiàn)了閱 讀題、探索題、分類討論等新題型，特別是和工農業(yè)生產以及實際生活緊密相連的創(chuàng)新應用 題，目的是考查使用數(shù)學知識解決實際問題以及創(chuàng)新水平，今后在中考試題中， 這部分內容 多與其他知識一起綜合出現(xiàn)。三、典型例題1. 如圖，在 Rt ABC 中，/ ACB=90 , CD丄 AB 于點 D, ABC 的周長是 24, BC : AC=3 : 4，求AB和CD的長。分析：設 BC= 3x, AC= 4x，則 AB2 AC2 BC2 9x2 16x2 25x2故 AB 5x , 3x 4x 5 x 24, x 22. 勾股數(shù): (1)(3, 4, 5) (6, 8, 10) (5, 12, 13)(9, 12, 15)(8, 15,17)(10,24,26)(16, 30,34)(20,48,52)(11, 60,61)2 2 2 2 2 2(2)( 3n,4n,5n ) ( m n , 2mn, m n )( n 1 , 2n, n 1 )22( 2n 2n,2n 1,2n 2n 1 )3. 觀察下面的表格所給出的三個數(shù)a, b,c,a b c ,(1) 試找出它們的共同點,并說明你的結論；(