(新課標)高考數(shù)學大一輪復習選考部分題組78理選修4

1、題組層級快練 ( 七十八 )1設(shè) a， b， c 是互不相等的正數(shù)，則下列不等式中不恒成立的是()22211A (a 3)2a 6a 11B a a2 aa1C |a b| a b2D. a 3 a 1 a 2 a答案C解析(a 3) 2 (2a 2 6a 11) a2 2b 時，恒成立，當ab 時，不恒成立；由不等式22恒成立，知 D項中的不等式恒成立故選C.1， b1，若 ax by 2， 2a b 8，則 1 1的 x y最大值為 ()A 2B 3C 4D log 23答案B解析xy 2ab2，由 ab得 xlog 2， ylog1111 x y loga2 logb2 log 2a l

2、og 2b log 2(ab) 又 a1， b1， 8 2ab2 2ab，即ab8，當且僅當2a b，即a 2， b 4 時取等號11所以 x y log 2(ab) log 28 3.11故( ) max 3.xy3 (2016 湖北八校第二次聯(lián)考) 若2x 3y 5z 29，則函數(shù)u2x 13y 4 5z 6的最大值為 ()A.5B215C230D.30答案C解析由柯西不等式得u2 (2x 13y 45z 6) 2(1 2x 113y 415z 6) 2 (1 2 12 12)(2x 1 3y4 5z 6)1 / 7 3(2x 3y 5z 11) 3(29 11) 120，u 2 30，故

3、選 C.4已知 x， y 均為正數(shù)，且xy 2，則 x 4xy 4y 的最大值是 ()A8B9C 10D 11答案C解析x 4xy 4y (x 2y) 2 (1 2 22)(x) 2 (y) 2 5(x y) 52 10. x 4 xy 4y10.當且僅當1y 2x.即 y 4x(x0) 時等號成立y 4x，2解 x y2， 得 x 5符合 x0， x4xy 4y 的最大值為10，故應(yīng)選 C.5已知 a ， b ， m， n均為正數(shù)，且a b 1， mn 2，則 (am bn)(bm an) 的最小值為_答案2解析222222222(am bn)(bm an) abm (a b )mn abn

4、 ab(m n ) 2(a b ) 2abmn 2(ab2) 4ab2(a 2 b2) 2(a 2 2abb2 ) 2(a b) 2 2( 當且僅當 m n2時等號成立 ) 6(2016 滄州七校聯(lián)考) 若 log xy 2，則 x y 的最小值為 _32答案32解析由 log1xy 2，得 y x2.1xx13 xx1而 x y x 32 x222x22x23 1 33 2，當且僅當x 13332322即 x 2時取等號所以x y 的最小值為.4x227若 a， b， c R ，且 a b c 1，則ab c的最大值為 _答案3解析方法一： (abc)2 a b c 2ab 2bc 2ca

5、a b c (a b) (b c) (c a) 3.當且僅當a b c 時取等號成立方法二：柯西不等式：(ab c) 2(1 a1b 1c) 2 (1 2 12 12)(a b c) 3.2 / 78(2016 湖北名校聯(lián)盟) 若 x2 y2 1，則 x 2y 的最大值為 _答案5解析方法一： ( 柯西不等式法)5 15 (x 2 y2 )(1 2 22) (x 2y)2，5 x 2y 5 ，因此 x 2y的最大值為5.方法二： ( 幾何法 ) 令 zx 2y，則直線 x 2y z 0與圓 x2 y2 1 有公共點，圓心到直|z| 1? |z| 5，解得 5 x2y5，因此 x2y 的最大值為

6、5.線的距離 d12 22方法三： ( 三角換元法 ) 設(shè) x sin ， y cos ，則 x 2y sin 2cos5sin ( ) ，其中tan 2，且 (0 ， 2) ，由于 1 sin ( ) 1，因此5 5sin ( ) 5，即 x 2y 的最大值為5.9函數(shù) yx 15x的最大值等于 _答案2 2解析y2 (x 1) (5 x) 2（ x1）（ 5x） 4 2 （ x 1）（ 5 x） 4 (x 1)(5 x) 8，當且僅當 x1 5 x，即 x 3 時取“” y22. 即原函數(shù)的最大值為 22.113310若 a0， b0，且 a b ab，則 a b的最小值為 _答案4 21

7、1111解析a0， b0，且 a bab，由基本不等式得ab a b 2ab，即 ab2，當且僅當 a b2時取等號， a3 b3 2 （ab） 32 23 4 2.ax by2a2x b2y11(2016 江蘇南通 ) 已知 x0， y0， a R， bR. 求證： (x y )x y.答案略證明因為 x0， y0，所以 x y0.ax by2a2x b2y2222所以要證 (x y )x y，即證 (ax by) (x y)(ax b y) ，即證 xy(a 2abb2) 0，即證 (a b) 2 0，而 (a b) 2 0 顯然成立故 ( ax by) 2a2x b2y.x yx y12

8、(2014 江蘇 ) 已知 x0，y0，證明： (1 x y2)(1 x2y) 9xy.答案略證明23232因為 x0， y0，所以 1 x y 3xy20 ，1 x y3 x2y0. 故 (1 xy )(123xy2 33x2y 9xy.xy) 33 / 713(2015 新課標全國) 設(shè) a， b， c， d 均為正數(shù)，且a b cd，證明：(1) 若 abcd，則 a b c d；(2) a b c d是|a b|cd 得( a b) 2( c d) 2.因此a bcd.(2) 若 |a b|c d| ，則 (a b) 2(c d) 2，即 (a b) 2 4abcd.由(1) 得 a

9、b c d.若a bcd，則 (a b) 2(cd) 2，即a b 2abc d2cd.2222因為 a b c d，所以 abcd. 于是 (a b) (a b) 4abcd是 |a b|0， b0，且 a b a b. 證明：(1)a b2；(2)a 2 a2 與 b2 b0， b0，得 ab 1.由基本不等式及ab 1，有ab2 ab 2，即ab2，當且僅當a b 1 時等號成立假設(shè) a2a2 與 b2 b2 同時成立，則由 a2 a0 得 0a1；同理， 0b1，從而ab1，這與 ab 1 矛盾故 a2a2 與 b2b2 不可能同時成立15(2015 陜西 ) 已知關(guān)于 x 的不等式

10、|x a|b 的解集為 x|2x4(1) 求實數(shù) a， b 的值；(2) 求 at 12 bt 的最大值答案(1)a 3， b 1(2)4解析(1) 由 |x a|b ，得 b axb a， b a 2，則解得 a 3， b 1.b a4，(2) 3t 12t4 / 7 3 4 t t （3） 2 12 （4 t ） 2（t ） 2 2 4 t t 4，4 tt，即 t 1 時等號成立，當且僅當3 1故( 3t 12 t) 4.max1函數(shù) y 3x 1 45 x的最大值為 ()A 10B 15C 18D 20答案 A解析根據(jù)柯西不等式，得y2(3x1 45 x) 2 (3 242)(x 1)

11、 2 (5 x) 2 254. y 10，選 A.2 設(shè) x ， y ， z R， 2x 2y z 8 0 ，則 (x 1)2 (y 2)2 (z 3)2的最小值為_答案9解析由柯西不等式得 (x 1) 2 (y 2)2 (z 3) 2(2 2 22 12) (2x 2 2y 4 z3) 2 ，又 2x 2y z 8，故 (x 1) 2 (y 2) 2 (z 3) 2 9.3若實數(shù) a ， b ， c ， d滿足 a b c d 3 ， a2 2b2 3c2 6d2 5 ，則 a 的最大值為_答案21112222解析由柯西不等式可得( 2 3 6)(2b 3c 6d ) (b c d)，所以由

12、條件可得(5a2) (3 a) 2，解得 1a2， a 的最大值是 2.4若 2x 3y 4z11，則 x2y2z2 的最小值為 _答案12129解析由柯西不等式，得(x2222222222 y z )(2 3 4 ) (2x 3y 4z) ，所以x y z（2x 3y4z） 2 121xyz223344222 32 42 29 ，當且僅當23 4，即 x 29， y29， z 29時等號成立，所以x22121y z的最小值為.295 / 7115已知 x， y R，且 |x y| 6， |x y| 4. 求證： |x5y|1.證明 因為 |x 5y| |3(xy) 2(x y)|.由絕對值不

13、等式的性質(zhì)，得|x 5y| |3(x y) 2(x y)|3|x y| 2|x y| 3 1 612 4 1.即|x 5y| 1.6已知函數(shù)f(x)m |x 2| ， m R，且 f(x 2) 0 的解集為 1， 1 (1) 求 m的值；111(2) 若 a， b， c R ，且 a 2b 3c m，求證： a 2b3c9.解析(1) 因為 f(x 2) m|x| ，所以 f(x 2) 0等價于 |x| m.由|x| m有解，得 m0，且其解集為 x| mxm又 f(x 2) 0 的解集為 1， 1 ，故 m 1.111(2) 證明：由 (1) 知 a 2b 3c 1，又 a，b， c R，由柯西不等式，得111a 2b 3c (a 2b 3c)(a 2b 3c)( a 1 2b 1 3c 1) 29.a2b3c7已知函數(shù)