2020版高考數(shù)學一輪復(fù)習 第三章 第一節(jié) 變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計算課件 文

1、第一節(jié)第一節(jié)變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù) 的計算的計算 1.函數(shù)y=f(x)從x1到x2的平均變化率 2.函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù) 3.函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù) 教教 材材 研研 讀讀4.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 5.導(dǎo)數(shù)的運算法則 考點一 導(dǎo)數(shù)的計算 考點二 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 考考 點點 突突 破破 教材研讀 1.函數(shù)函數(shù)y=f(x)從從x1到到x2的平均變化率的平均變化率 函數(shù)y=f(x)從x1到x2的平均變化率為,若x=x2-x1,y= f(x2)-f(x1),則平均變化率可表示為. 21 21 ()( )f xf x xx y x 2.函數(shù)函數(shù)y=f(x)在在x=x0處的導(dǎo)數(shù)

2、處的導(dǎo)數(shù) (1)定義 稱函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率=為函數(shù)y =f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù),記作f(x0)或y,即f(x0)= . (2)幾何意義 函數(shù)f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)的幾何意義是在曲線y=f(x)上點(x0,f(x0) 0 lim x y x 0 lim x 00 ()()f xxf x x 0 |x x 0 lim x y x 0 lim x 00 ()()f xxf x x 處的切線的斜率.相應(yīng)地,切線方程為y-f(x0)=f(x0)(x-x0) . 提醒提醒(1)曲線y=f(x)在點P(x0,y0)處的切線是指P為切點,斜率為k=f(x0) 的切線,是唯

3、一的一條切線. (2)曲線y=f(x)過點P(x0,y0)的切線,是指切線經(jīng)過P,點P可以是切點,也可 以不是切點,而且這樣的直線可能有多條. (3)函數(shù)y=f(x)在某點處的導(dǎo)數(shù)、曲線y=f(x)在某點處切線的斜率和傾斜 角,這三者是可以相互轉(zhuǎn)化的. 3.函數(shù)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù) 稱函數(shù)f(x)=為f(x)的導(dǎo)函數(shù),導(dǎo)函數(shù)有時也記作y. 0 lim x ()( )f xxf x x 4.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 原函數(shù)導(dǎo)函數(shù) f(x)=C(C為常數(shù))f(x)=0 f(x)=x(N*)f(x)=x-1 f(x)=sinxf(x)=cosx f(x)=cosxf(x)

4、=-sinx f(x)=ax(a0,且a1)f(x)=axlna f(x)=exf(x)=ex f(x)=logax(a0,且a1)f(x)= f(x)=lnxf(x)= 1 lnxa 1 x 5.導(dǎo)數(shù)的運算法則 (1)f(x)g(x)=f(x)g(x); (2)f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x); (3)=(g(x)0). ( ) ( ) f x g x 2 ( ) ( )( ) ( ) ( ) fx g xf x g x g x 知識拓展知識拓展 1.奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù),偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù),周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是 周期函數(shù). 2.af(x)+bg(x)=af(x)+bg(

5、x). 3.函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時變化趨勢,其正負號反映 了變化方向,其大小|f(x)|反映了變化快慢,|f(x)|越大,曲線在這點處的切 線越“陡”. 1.判斷正誤(正確的打“”,錯誤的打“”) (1)f(x0)與f(x0)表示的意義相同.( ) (2)f(x0)是導(dǎo)函數(shù)f(x)在x=x0處的函數(shù)值.() (3)曲線的切線不一定與曲線只有一個公共點.() (4)因為(lnx)=,所以=lnx.( ) 1 x 1 x 答案答案(1)(2)(3)(4) 2.下列求導(dǎo)運算正確的是() A.=1+B.(log2x)= C.(3x)=3xlog3eD.(x2cosx)=

6、-2sinx 1 x x 2 1 x 1 ln2x 答案答案B=x+=1-;(3x)=3xln3;(x2cosx)=(x2)cosx+x2(cos x)=2xcosx-x2sinx.故選B. 1 x x 1 x 2 1 x B 3.有一機器人的運動方程為s(t)=t2+(t是時間,s是位移),則該機器人在時 刻t=2時的瞬時速度為() A.B.C.D. 3 t 19 4 17 4 15 4 13 4 答案答案D由題意知,機器人的速度方程為v(t)=s(t)=2t-,故當t=2時, 機器人的瞬時速度為v(2)=22-=. 2 3 t 2 3 2 13 4 D 4.函數(shù)y=f(x),y=g(x)的

7、導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示,則y=f(x),y=g(x)的圖象可 能是() D 答案答案D由y=f(x)的圖象知y=f(x)在(0,+)上單調(diào)遞減,所以函數(shù)y =f(x)的切線的斜率在(0,+)上也單調(diào)遞減,故排除A、C.又由圖象知y= f(x)與y=g(x)的圖象在x=x0處相交,所以y=f(x)與y=g(x)的圖象在x=x0處的 切線的斜率相同,故排除B. 5.若f(x)=xex,則f(1)=. 答案答案2e 解析解析f(x)=ex+xex,f(1)=2e. 6.曲線y=1-在點(-1,-1)處的切線方程為. 2 2x 答案答案2x-y+1=0 解析解析y=,y|x=-1=2.故所求切線方程為2

8、x-y+1=0. 2 2 (2)x 導(dǎo)數(shù)的計算導(dǎo)數(shù)的計算 考點突破 典例典例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù). (1)y=x2sinx; (2)y=lnx+; (3)y=xsincos. 1 x 2 2 x 2 2 x 解析解析(1)y=(x2)sinx+x2(sinx) =2xsinx+x2cosx. (2)y= =(lnx)+ =-. (3)y=xsincos 1 ln x x 1 x 1 x 2 1 x 2 2 x 2 2 x =xsin(4x+) =-xsin4x, y=-sin4x-x4cos4x =-sin4x-2xcos4x. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 方法技巧方法技巧 1.求導(dǎo)

9、數(shù)的總原則:先化簡函數(shù)的解析式,再求導(dǎo). 2.具體方法: (1)遇到連乘的形式,先展開化為多項式形式,再求導(dǎo);(2)遇到根式形式, 先化為分數(shù)指數(shù)冪,再求導(dǎo);(3)遇到復(fù)雜的分式,先將分式化簡,再求導(dǎo); (4)遇到三角函數(shù)形式,先利用三角恒等變換對函數(shù)變形,再求導(dǎo);(5)遇到 復(fù)合函數(shù),先確定復(fù)合關(guān)系,由外向內(nèi)逐層求導(dǎo),必要時可換元. 提醒提醒對解析式中含有導(dǎo)數(shù)值的函數(shù),即解析式類似f(x)=f(x0)g(x)+h (x)(x0為常數(shù))的函數(shù),解決這類問題的關(guān)鍵是明確f(x0)是常數(shù),其導(dǎo)數(shù)值 為0.因此先求導(dǎo)數(shù)f(x),令x=x0,即可得到f(x0)的值,進而得到函數(shù)解析 式,求得所求導(dǎo)數(shù)值

10、. 1-1f(x)=x(2018+lnx),若f(x0)=2019,則x0等于() A.e2B.1C.ln2D.e 答案答案Bf(x)=2018+lnx+x=2019+lnx,故由f(x0)=2019,得2019+ln x0=2019,則lnx0=0,解得x0=1. 1 x B 1-2若函數(shù)f(x)=ax4+bx2+c滿足f(1)=2,則f(-1)=. 答案答案-2 解析解析f(x)=4ax3+2bx, f(x)為奇函數(shù),又f(1)=2,f(-1)=-2. 1-3已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x),且滿足f(x)=2xf(1)+lnx,則f(1)= . 答案答案-1 解析解析f(x)=2xf(

11、1)+lnx, f(x)=2f(1)+, f(1)=2f(1)+1, 即f(1)=-1. 1 x 導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義 命題方向一求切線方程命題方向一求切線方程 典例典例2(1)(2018課標全國,6,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)為奇 函數(shù),則曲線y=f(x)在點(0,0)處的切線方程為() A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x (2)已知函數(shù)f(x)=xlnx,若直線l過點(0,-1),并且與曲線y=f(x)相切,則直線l 的方程為. 答案答案(1)D(2)x-y-1=0 解析解析(1)本題主要考查函數(shù)的奇偶性及導(dǎo)數(shù)的幾何意義. f(x)=

12、x3+(a-1)x2+ax為奇函數(shù),a-1=0,得a=1, f(x)=x3+x,f(x)=3x2+1,f(0)=1,則曲線y=f(x)在點(0,0)處的切線方 程為y=x,故選D. (2)因為點(0,-1)不在曲線f(x)=xlnx上, 所以設(shè)切點為(x0,y0). 又因為f(x)=1+lnx,所以 000 000 ln, 1(1ln), yxx yx x 解得 所以切點為(1,0),所以f(1)=1+ln1=1. 所以直線l的方程為y=x-1, 即x-y-1=0. 0 0 1, 0. x y 命題方向二求切點坐標命題方向二求切點坐標 典例典例3函數(shù)f(x)=xlnx在點P(x0,f(x0)處

13、的切線與直線x+y=0垂直,則切點 P的坐標為. 答案答案(1,0) 解析解析f(x)=xlnx,f(x)=lnx+1,由題意得f(x0)(-1)=-1,即f(x0)=1,ln x0+1=1,lnx0=0,x0=1, f(x0)=0,即P(1,0). 命題方向三求參數(shù)的值命題方向三求參數(shù)的值 典例典例4(2019河北唐山質(zhì)檢)已知直線y=kx+1與曲線y=x3+ax+b相切于 點A(1,3),則b的值為() A.3B.-3C.5D.-5 答案答案A 解析解析由題意知,3=k+1,k=2,又(x3+ax+b)|x=1=(3x2+a)|x=1=3+a,3+a=2, a=-1,3=1-1+b,即b=

14、3. 命題方向四兩曲線的公切線命題方向四兩曲線的公切線 典例典例5已知曲線f(x)=x3+ax+在x=0處的切線與曲線g(x)=-lnx相切,求a 的值. 1 4 解析解析由f(x)=x3+ax+得, f(0)=,f(x)=3x2+a,則f(0)=a, 曲線y=f(x)在x=0處的切線方程為y-=ax. 設(shè)直線y-=ax與曲線g(x)=-lnx相切于點(x0,-lnx0),又g(x)=-, 1 4 1 4 1 4 1 4 1 x 00 0 1 ln, 4 1 , xax a x 將代入得lnx0=, x0=,a=-=-. 3 4 3 4 e 3 4 1 e 3 4 e 命題方向五導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的圖

15、象命題方向五導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的圖象 典例典例6(1)已知函數(shù)y=f(x)的圖象是下列四個圖象之一,且其導(dǎo)函數(shù)y= f(x)的圖象如圖所示,則該函數(shù)的圖象是() B (2)已知y=f(x)是可導(dǎo)函數(shù),如圖,直線y=kx+2是曲線y=f(x)在x=3處的切線, 令g(x)=xf(x),g(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù),則g(3)=. 答案答案(1)B(2)0 解析解析(1)由y=f(x)的圖象是先上升后下降可知,函數(shù)y=f(x)圖象的切線 的斜率先增大后減小,故選B. (2)由題圖可知曲線y=f(x)在x=3處切線的斜率等于-,f(3)=-. g(x)=xf(x), g(x)=f(x)+xf(x), g(3)

16、=f(3)+3f(3), 又由題圖可知f(3)=1, 1 3 1 3 g(3)=1+3=0. 1 3 規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié) 導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用及求解思路 (1)求切線方程時,注意區(qū)分曲線在某點處的切線和曲線過某點的切線, 曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0)處的切線方程是y-f(x0)=f(x0)(x-x0);求過某點的 切線方程,需先設(shè)出切點坐標,再依據(jù)已知點在切線上求解. (2)已知切線方程(或斜率)求切點的一般思路是先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),然后讓 導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率,從而求出切點的橫坐標,將橫坐標代入函數(shù)解析 式求出切點的縱坐標. (3)已知切線方程(或斜率)求參數(shù)值的關(guān)鍵就是列出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等

17、于切 線斜率的方程. (4)函數(shù)圖象在某一點處的切線斜率的變化情況反映函數(shù)圖象在相應(yīng)點 處的變化情況,由切線的傾斜程度可以判斷出函數(shù)圖象升降得快慢. (5)求兩條曲線的公切線的方法: 利用其中一條曲線在某點處的切線與另一條曲線相切,列出關(guān)系式求 解. 利用公切線得出關(guān)系式. 設(shè)公切線l在y=f(x)上的切點P1(x1,y1),在y=g(x)上的切點P2(x2,y2),則f(x1)= g(x2)=. 12 12 ( )()f xg x xx 2-1(2019河北唐山五校聯(lián)考)曲線y=在點(0,-1)處的切線與兩坐標 軸圍成的封閉圖形的面積為() A.B.C.D.1 1 1 x x 1 8 1 4 1 2 答案答案B易得y=,所以y|x=0=2,所以曲線在點(0,-1)處的切線方程 為y+1=2x,即y=2x-1,與兩坐標軸的交點坐標分別為(0,-1),所以與 兩坐標軸圍成的三角形的面積S=|-1|=,故選B. 2 2 (1)x 1 ,0 2 1 2 1 2 1 4 B 2-2(2019安徽合肥質(zhì)量檢測)已知直線2x-y+1=0與曲線y=aex+x相切 (其中e為自然對數(shù)的底