高等數(shù)學(xué)牛頓—萊布尼茨公式（經(jīng)典實(shí)用）

1、1 1 . . 變上限的定積分變上限的定積分 6.3牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式 2. 2. 牛頓牛頓萊布尼茨公式公萊布尼茨公式公 式式 1. 1. 變上限的定積分變上限的定積分 如果如果 x 是區(qū)間是區(qū)間 a, b 上任意一點(diǎn)，定積分上任意一點(diǎn)，定積分 x a ttfd)( 表示曲線表示曲線 y = f (x) 在部分區(qū)間在部分區(qū)間 a, x 上曲邊梯形上曲邊梯形 AaxC 的面積，的面積，如圖中陰影部分所示的面積如圖中陰影部分所示的面積. 當(dāng)當(dāng) x 在在 區(qū)間區(qū)間 a, b 上變化時(shí)上變化時(shí), 陰影部分的曲邊梯形面陰影部分的曲邊梯形面 積也隨之變化，積也隨之變化， 所以變所以變 上限定

2、積分上限定積分 x a ttfd)( y x y = f (x) axbO AC B 是上限變量是上限變量 x 的函數(shù)的函數(shù).記作記作 即即 F(x) x a ttfd)( x a ttfxd)()(則 )(x 變上限的積分變上限的積分有下列重要性質(zhì)有下列重要性質(zhì): : 定理定理1 若函數(shù)若函數(shù) f (x) 在區(qū)間在區(qū)間 a, b 上連續(xù)上連續(xù)， 則變上限定積分則變上限定積分 在區(qū)間在區(qū)間 a, b 上可導(dǎo)上可導(dǎo)，并且它的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)，并且它的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)， 即即 x a ttfxd)()( x a ttfxd)()( )()(xfx )(d)(xfttf dx d x a 或 積分上

3、限函數(shù)求導(dǎo)定理積分上限函數(shù)求導(dǎo)定理 ,)(上連續(xù)在閉區(qū)間如果baxf x a ttfxd)()(則 定理2 (原函數(shù)存在定理） a b )(xfy O x y x )(x .,)(上的一個(gè)原函數(shù)在是baxf 例例 1 (1) 2 1 ( )e d , x t xt 已知求求 (x). 解解 22 1 ( )e de . x tx xt (2) (2) 求求 2 41 1 1 x d dt dx t 解解 2 2 42481 112 () 11 ()1 x dx dtx dx txx 變上限的積分求導(dǎo)：變上限的積分求導(dǎo)： b xu ttf x )( d)( d d )2( )( d)( d d

4、) 1 ( xu a ttf x )()(xuxuf )( )( 2 1 d)( d d ) 3( xu xu ttf x )()()()( 2211 xuxufxuxuf )()(xuxuf 例 見書 定理定理 如果函數(shù)如果函數(shù) f (x) 在區(qū)間在區(qū)間 a, b 上連續(xù)上連續(xù)， F(x) 是是 f (x) 在區(qū)間在區(qū)間 a, b 上任一原函數(shù)上任一原函數(shù)， ).()(d)(aFbFxxf b a 那么那么 為了今后使用該公式方便起見，把為了今后使用該公式方便起見，把 上上 式右端的式右端的 ,)()()( b a xFaFbF記作記作 這樣這樣 上面公式就寫成如下形式：上面公式就寫成如下形

5、式： .( )( )( )( ) b b a a f xxF xF bF a d “NewtonLeibniz“NewtonLeibniz公式公式” 2. 2. 牛頓牛頓萊布尼茨公式公萊布尼茨公式公 式式 例例 3 計(jì)算下列定積分計(jì)算下列定積分. 解解 ;d 1 1 )1( 1 0 2 x x 3 0 (2)sind .x x x x d 1 1 )1( 1 0 2 1 0 arctanx ; 4 0arctan1arctan 3 0 (2)sindx x 3 0 cosx cos( cos0) 3 11 1 22 例例4. 計(jì)算 . 1 1 2 dx x 例例6. 計(jì)算正弦曲線軸所圍成上與在xxy, 0sin 的面積 . y ox xysin 例例5. 計(jì)算.|2| 3 1 dxx 例 見書 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) , )()(, ,)(xfxFbaCxf且設(shè)則有 1. 微積分基本公式 xxf b a d)( 積分中值定理 )(abF)()(aFbF 微分中值定理 )(abf 牛頓 萊布