實(shí)驗(yàn)五種群數(shù)量的狀態(tài)轉(zhuǎn)移——微分方程

1、課程 名稱數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目名稱實(shí)驗(yàn)五種群數(shù)量的狀態(tài)轉(zhuǎn)移微分方程實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目類型驗(yàn)證演示綜合設(shè)計(jì)其/、他指導(dǎo)教師成績(jī)實(shí)驗(yàn)?zāi)康? 歸納和學(xué)習(xí)求解常微分方程（組）的基本原理和方法；2 掌握解析、數(shù)值解法，并學(xué)會(huì)用圖形觀察解的形態(tài)和進(jìn)行解的定性分析；3 熟悉MATLAB件關(guān)于微分方程求解的各種命令；4 通過范例學(xué)習(xí)建立微分方程方面的數(shù)學(xué)模型以及求解全過程；基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)一、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1 微分方程及方程組的解析求解法；2 微分方程及方程組的數(shù)值求解法歐拉、歐拉改進(jìn)算法；3直接使用MATLAB令對(duì)微分方程（組）進(jìn)行求解（包括解析解、數(shù)值解）；4.利用圖形對(duì)解的特征作定性分析；5建立微分方程方面的數(shù)學(xué)模型，并了解建立數(shù)

2、學(xué)模型的全過程。二、 實(shí)驗(yàn)過程（一般應(yīng)包括實(shí)驗(yàn)原理或問題分析，算法設(shè)計(jì)、程序、計(jì)算、圖表等，實(shí) 驗(yàn)結(jié)果及分析）1.求微分方程的解析解，并畫出它們的圖形，y = y + 2 x, y（0） = 1, 0x1；實(shí)驗(yàn)原理：y=dsolve（eqn1,eqn2,c1 ,x ）問題分析：y -Dy程序：y=dsolve( Dy=y+2*x , x)00.10.20.30.40.50.60.70.80.91x實(shí)驗(yàn)結(jié)果：y =-2*x-2+exp(x)*C1y1 =-2*x-2+3*exp(x)實(shí)驗(yàn)分析：由圖表知結(jié)果正確。2用向前歐拉公式和改進(jìn)的歐拉公式求方程y = y - 2 x/y, y(0) = 1

3、(0 x 1,h = 0.1)的數(shù)值解，要求編寫程序，并比較兩種方法的計(jì)算結(jié)果，說明了什么問題？實(shí)驗(yàn)原理：1)向前歐拉公式：(y = f (x, y) y (Xn+1)? y(Xn) + h f(Xn, y(Xn)(迭代式)yn+1 ? yn + h f (Xn, yn)( 近似式)特點(diǎn)：f (X,y )取值于區(qū)間Xn, Xn+1的左端點(diǎn)2) 向后歐拉公式y(tǒng)n+1 ? y n + h f (Xn +1 , y n +1)特點(diǎn)：f (X,y )取值于區(qū)間Xn, Xn+1的右端點(diǎn). 非線性方程，稱隱式公式。問題分析：用不同的方法來求解。用向前歐拉公式時(shí)，用Xn代替，用向后歐拉公式，用x(n+1).

4、 程序：x1(1)=0;y1(1)=1;y2(1)=1;for k=1:10x1(k+1)=x1(k)+0.1;y1(k+1)=y1(k)+0.1*(y1(k)-2*x1(k)/y1(k);y2(k+1)=y2(k)+0.1*(y2(k+1)-2*x1(k+1)/y2(k+1);endx1,y1,y2,x=0:0.1:1;y=sqrt(2*x+1)100115090.2 1.58030.5.70780，78480.80.91y2 =1.00001.08111.14481.19281.22731.25011.26351.26941.26981.26621.2604y =1.00001.09541

5、.18321.26491.34161.41421.48321.54921.61251.67331.7321分析：向前歐拉公式較接近真實(shí)結(jié)果，向后歐拉公式差距較大應(yīng)用實(shí)驗(yàn)（或綜合實(shí)驗(yàn)）一、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容鹽水的混合問題一個(gè)圓柱形的容器，內(nèi)裝350升的均勻混合的鹽水溶液。如果純水以每秒14升的速度從容器頂部流入，同時(shí)，容器內(nèi)的混合的鹽水以每秒10.5升的速度從容器底部流出。開始020040060080010001200含鹽量隨時(shí)間而降低。五、附錄(程序等)y=zeros(1,1001);v=350;y(1)=7; dt=.1;for i=2:1001v=350+14*dt-10.5*dt;y(i)=y(i-1)-y(i-1)/v*10.5*dt;endplot(1:1001,y)總結(jié)與體會(huì) 通過該實(shí)驗(yàn)的學(xué)習(xí)，掌握微分方程（組）求解方法（解析法、歐拉法