利用導數證明不等式的常見題型

1、利用導數證明不等式的常見題型及解題技巧 技巧精髓 1、利用導數研究函數的單調性 ，再由單調性來證明不等式是函數、導數、不等式綜合屮的一個難點 也是近幾年高考的熱點。 2、解題技巧是構造輔助函數，把不等式的證明轉化為利用導數研究函數的單調性或求最值，從而證得 不等式，而如何根據不等式的結構特征構造一個可導函數是用導數證明不等式的關鍵。 一、利用題目所給函數證明 例】已知函數f (x) =ln(x* 1)-X,求證：當x*-1時，恒有 分析：本題是雙邊不等式，其右邊直接從已知函數證明，左邊構造函數 1 g(x) = ln(x-1)1,從其導數入手即可證明。 x十1 1X 綠色通道】f(x)1 =

2、X+1X+1/ 當 T： : : xn： 0 時,f(x) 0,即 f (x)在 x (T,0)Jt為增函數 當x0時，f(x)： : : 0,即f(x)在x ()/：)上為減函數 故函數f(x)的單調遞增區(qū)間為(-1,0),單調遞減區(qū)間(0, 于是函數f(x)在r：)上的最大值為f(x) ，因此,當X-1時, f (x) _f (0) =0 ,即 ln(x 1) -x_01) _x (右面得證), 現(xiàn)證左面，令g(x)二In(x1) x+11 則 gp x+1 (x + 1) X 2 (X1) 當 x (-1,O)0t,g(x) : : 0;當 x (0,：:)時,g (x)0 , 即g(x

3、)在(JO)上為減函數，在X- (0, V)上為增函數, 故函數g(x)在(-!,：:)上的最小值為g(x)min二g(0) =0 , 當 x -1 時，g(x) - g(0) =0 ,即 ln(x 1) In(x 1)_11 ，綜上可知， 當1時,有X11乞In(x1)乞 x 1X 警示啟迪】如果f (a)是函數f(x)在區(qū)間上的最大(小)值，則有f(x)込f (a)(或f(x)亠f(a), 那么要證不等式，只要求函數的最大值不超過0就可得證. 2、直接作差構造函數證明 例2】已知函數f(x2x2lnx求證：在區(qū)間(1, :)上，函數f(x)的圖象在函數g(x)= 2 彖的下方； 分析：函數

4、f (x)的圖象在函數g(x)的圖象的下方二不等式f(X): : : g(x)問題， 1 2 2 3 1 2?3 即一 xlnxx，只需證明在區(qū)間(1, 二)上，恒有一 xlnxx成立，設232 3 1 F(x)二 g(x) - f (x), x(1,二)，考慮到 F(1)0 6 要證不等式轉化變?yōu)椋寒攛時，F(xiàn)(x) .F(1),這只要證明：g(x)在區(qū)間(1, ：:)是增函數即可。 綠色通道】設F (x)二g (x)f (x),即 F(x) =2x3J 3 x2 一 1 nx, 2 則 F (x) =2xH)(2xx1) X 2 X 2 X (x- 1)(2xx 1) 當 x 1 時，F(xiàn) (

5、x)= X 1 從而F(x)在(1,:)上為增函數，二 F(x) F(1) 0 6 當 x 1 時 g(x) - f(x) 0,即 f(x) v g(x), 23 故在區(qū)間(1,-：:)上，函數f(x)的圖象在函數g(x) x3的圖象的下方。 3 警示啟迪】本題首先根據題意構造出一個函數(可以移項，使右邊為零，將移項后的左式設為函數), 并利用導數判斷所設函數的單調性，再根據函數單調性的定義，證明要證的不等式。讀者也可 以設F (x) = f (x) - g (x)做一做，深刻體會其中的思想方法。 3、換元后作差構造函數證明 1 1 1 例31 (2007年，山東卷)證明：對任意的正整數n,不

6、等式In(- 1)都成立. n n n 1 分析：本題是山東卷的第(II)問，從所證結構出發(fā)，只需令x,則問題轉化為：當x0時，恒 n 2332 有l(wèi)n(x 1) xx成立，現(xiàn)構造函數h(x)=xx Tn(x 1),求導即可達到證明。 綠色通道 1 令 h(x) = x3 -X2 ln(x 1), 則 h (x)二 3x2 3x3 (x-1)2 在 x+ix, (0/：)上恒正, 所以函數h(x)在(0,：:)上單調遞增，二x(0,：)時，恒有h(x)h(0)=0, 即 X-X2ln(x-1).0,1 n(x1).x2-x3 1i11 對任意正整數n,取x(0 T:),則有l(wèi)n(1)23 nn

7、 n n 警示啟迪】我們知道，當F(x)在a,b上單調遞增,則xa時，有F(x)F(a).如果f(a)二(a),要證明 當xa時，f(x) r(x),那么，只要令F(x)二f(x) :(x),就可以利用F(x)的單調增性來推導.也就是說，在 F(x)可導的前提下，只要證明F(x) .0即可. 4、從條件特征入手構造函數證明 例4】若函數yf(x)在R上可導且滿足不等式xf(x) f(x)恒成立，且常數a, b滿足ab,求 證：.af (a) b f(b) 綠色通道】由已知x f (x) + f (x) o 構造函數F(x)二xf(x), 則F(x)工x f (x) + f (x) 0,從而F(

8、x)在R上為增函數。 ab/.F(a) F(b)B卩 a f(a)b f (b) 警示啟迪】由條件移項后xf (x)f (x),容易想到是一個積的導數,從而可以構造函數F(x)二xf(x), 求導即可完成證明。若題目屮的條件改為xf (x) f (x),則移項后xf (x) -f (x),要想到是一個商的導數 的分子，平時解題多注意總結。 思維挑戰(zhàn)】 1、(2007 年,安徽卷)設 a_o, f (x) = x -1 -1n2 x 2a In x 求證：當x 1時，恒有x In 2 x - 2a In x T, 2、(2007年，安徽卷)已知定義在正實數集上的函數 15 f (x)22ax,g

9、(x) = 3a2lnxb,M中 a,且 b = ? 3 - 3a?ln a, 求證:f (x) g(x) x 1 +X 3、已知函數f(x)=ln(1 x),求證：對任意的正數a、b, b 恒有 In a Tn b _ 1 一一. a 4、 （2007年，陜西卷）f（X）是定義在+ S）上的非負可導函數，且滿足Xf（X）- f（X）0,對 任意正數a、b,若ab,則必有（） (0 af (a) f (b) (D) bf (b) wf (a) 答案咨詢】 1、提示：f(x)亠如上，當x1, a_0時，不難證明如 XXx f (x)0,即f(x)在(0/：)內單調遞增，故當x1時， 2 f (x

10、)f(1)=0,當 x 1 時，恒有 x In x-2al nx 1 1 2 2 2、提示：設 F (x) = g(x) - f (x) x 2ax -3a In x - b 貝ij F (x) = x 2a 2 (x a)(x 3a) X (x 0) a 0, 故F(x)在(0, a)為減函數，在(a/：)上為增函數，于是函數F(x)在(0,=)上的最小值 是 F(a)二 f (a) -g(a) = 0 ,故當 x 0 時,有 f(x) g(x) _ 0 ,即 f(x) g(x) 3、提示：函數f(x)的定義域為(-1,=), 1 X f (x)2 = 2(1 X)(1 X) 當1 : x： 0 時,f (x) v 0 ,即 f (x)在 x (-1,0)為減函數 當x0時，f(x)0,即f(x)在x, (0/：)上為增函數 因此在x=O0寸，f(x)取得極小值f(0) =0,而且是最小值 X 1 于是 f (x)_f(O)=O,從而 ln(1 x) ,即