2018年上海市復旦附中高考數(shù)學三模試卷

1、2018 年上海市復旦附中高考數(shù)學三模試卷副標題題號一二三總分得分一、選擇題（本大題共4 小題，共12.0 分）1.在等差數(shù)列 an 的前 n 項和為Sn，若 a2+a4 +a15 的值為常數(shù)，則下列為常數(shù)的是 （）A. SB.S8C.S13D.S1572.矩陣的一種運算=，該運算的幾何意義為平面上的點（xy， ）在矩陣作用下變換成點 （ ax+by，cx+dy），若曲線 x2+4 xy+2y2=1，在矩陣的作用下變換成曲線x2-2y2=1，則 a+b 的值為（）A. -2B. 2C. 2D. -43. 函數(shù) y=f （ x）是 R 上的增函數(shù)，則 a+b 0 是 f （a） +f （ b）

2、f （ -a）+f （ -b）的（）條件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 不充分不必要4.有一容積為 a3cm3 的正方體容器 ABCD -A1B1C1D1 ，在棱 AB、 BB1 和面對角線 BC1的中點各有一小孔E、F 、 G，若此容器可以任意放置，則其可裝水的最大容積是（）A.a3cm3B. a3cm3C. a3cm3D. a3cm3二、填空題（本大題共14 小題，共 42.0分）5.已知集合 M= x|y=lg x ， N= x|y= ，則 MN=_6. 若復數(shù) z 滿足（ 3-4i） z=|4+3 i|，則 z的虛部為 _7.ABCAB Ca b ca=6c=4sin

3、=，則b=_在 中，角、 、 所對的邊分別為、，若，8.如圖所示， 一家面包銷售店根據以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖 若一個月以30 天計算，估計這家面包店一個月內日銷售量不少于150個的天數(shù)為 _第1頁，共 19頁9.現(xiàn)有 5 個女生和 3 個男生隨機站成一排， 則排頭和排尾均為女生的概率是（結果用分數(shù)表示）10. 在極坐標系中，圓 =2sin 的圓心到極軸距離為 _11. 無窮等比數(shù)列 an 的前 n 項和為 Sn，若 a1=2，且 S2015+2S2016=3 S2017，則無窮等比數(shù)列 an 的各項和為 _12. 如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1 中， AB=

4、4，AA1=6若 E，F(xiàn)分別是棱 BB1， CC1 上的點，則三棱錐A-A1EF 的體積是_13. 設直線 2x+3 y+1=0 和圓 x2+y2-2x-3=0 相交于點 A、B，則弦 AB 的垂直平分線方程是_14.在平面直角坐標系xOy 中，拋物線 y2=2px（ p0）的焦點為 F ，雙曲線- =1 （a 0，b 0）的兩條漸近線分別與拋物線交于A、B 兩點（ A，B 異于坐標原點） 若直線 AB 恰好過點 F，則雙曲線的漸近線方程是_15.在邊長為6ABC中，點M滿足，則等于_的等邊 16. 已知函數(shù) f（ x） =2x（ xR），且 f（ x） =g（ x）+h（ x），其中 g（

5、x）為奇函數(shù)， h （ x）為偶函數(shù)若不等式 2a?g（ x）+h（ 2x）0對任意 x1，2恒成立，則實數(shù) a的取值范圍是 _17.已知圓 O： x2+y2 =1， O 為坐標原點，若正方形ABCD 的一邊 AB 為圓 O 的一條弦，則線段 OC 長度的最大值是 _ 18.如圖，在正三棱錐 P-ABC 中， D 為線段 BC 的中點， E 在線段 PD 上， PE= PD，AE=l 為定長，則該棱錐的體積的最大值為 _三、解答題（本大題共5 小題，共60.0 分）19.已知三角形的三個內角A，B，C 所對邊的長分別為a，b，c，設向量=（ c-a，b-a），=（ a+b， c），且 （ 1）

6、求角 B 的大??；（ 2）求 sin A+sin C 的取值范圍第2頁，共 19頁20.如圖，空間直角坐標系中，四棱錐P-OABC 的底面是邊長為的正方形，且底面在 xOy 平面內，點B 在 y 軸正半軸上，PB平面 OABC，側棱 OP 與底面所成角為45；（ 1）若 N（ x， y， 0）是頂點在原點，且過A、C 兩點的拋物線上的動點，試給出x 與 y 滿足的關系式；（ 2）若 M 是棱 OP 上的一個定點，它到平面OABC 的距離為 a（ 0 a2），寫出M、 N 兩點之間的距離d（x），并求d（ x）的最小值；（ 3）是否存在一個實數(shù) a（ 0 a 2），使得當 d（ x）取得最小值時

7、，異面直線 MN 與 OB 互相垂直？請說明理由；x x21. 已知 kR， a 0 且 a1， b 0 且 b1，函數(shù) f（ x） =a +k?b ；（ 1）設 a 1，ab=1，若 f（ x）是奇函數(shù)，求k 的值；（ 2）設 a 1b 0， k0，判斷函數(shù)f（ x）在 R 上的單調性并加以證明；（ 3）設 a=2， b= ， k 0，函數(shù) f（ x）的圖象是否關于某垂直于x 軸的直線對稱？如果是，求出該對稱軸，如果不是，請說明理由；22.已知 A、B 為橢圓和雙曲線的公共頂點， P、Q 分別為雙曲線和橢圓上不同于A、 B 的動點，且+=（+）（ R， | |1）設AP、 BP、 AQ、 B

8、Q 的斜率分別為k1、k2、 k3、k4（ 1）求證：點 P， Q， O 三點共線；（ 2）求 k1+k2+k3+k4 的值；第3頁，共 19頁（ 3）設 F 1、 F2 分別為雙曲線和橢圓的右焦點，若2222的QF1PF 2，求 k1 +k2 +k3 +k4值23. 已知 Sn 是數(shù)列 an 的前 n 項和，對任意 nN* ，都有（ 1-m） Sn=- man+4 n（ m 0）；（ 1）若 m=4，求證：數(shù)列 是等差數(shù)列，并求此時數(shù)列 an 的通項公式；（ 2）若 m4，求證：數(shù)列 an +?4n 是等比數(shù)列， 并求此時數(shù)列 an 的通項公式；（ 3）設 bn= （ nN* ），若 |bn

9、 | 2，求實數(shù) m 的取值范圍；第4頁，共 19頁答案和解析1.【答案】 C【解析】解：設 等差數(shù)列 a n 的公差為 d，a2+a4+a15=3a1+18d=3a7 為常數(shù)，S=13a7為常數(shù) 13=故選：C利用等差數(shù)列的通 項公式及其性 質即可得出本題考查了等差數(shù)列的通 項公式及其性 質，考查了推理能力與 計算能力，屬于中檔題2.【答案】 B【解析】設 x，y）是曲線 x2+4xy+2y2=1 的點，在矩陣的作用下的點為（x解： （，y），即22，又x-2y=1，2（2，（22（）（2）2（x+ay）x-2 bx+y=11-2b+ 2a-4b xy+ a -2 y =1故，解得：a=2，

10、b=0，a+b=2故選：B設（x，y）是曲線 x2+4xy+2y2=1 的點，在矩陣的作用下的點 為（x，y），得出關于 a，b 的方程組，從而解決問題 本題主要考查幾種特殊的矩 陣變換、曲線與方程等基 礎知識，考查運算求解能力，解答的關鍵是利用待定系數(shù)法求解a，b；屬于基礎題 3.【答案】 C【解析】解：a+b0a-b，b-a，又 y=f （x）在R 上為增函數(shù)，f（a）f（-b），f（b）f（-a），則 f （a）+f （b）f （-a）+f （-b）第5頁，共 19頁反之，若 f （a）+f （b）f （-a）+f （-b）y=f （x）在R 上為增函數(shù)，a+b（-a）+（-b）即 a+

11、b0故 a+b0 是 f （a）+f （b）f （-a）+f （-b）的充要條件故選：C題考查的知識點是充要條件的定 義及函數(shù)的 單調性，由 a+b0 可知，a-b，b-a，又 y=f （x）在R 上為增函數(shù)，故 f （a）f（b），f（b）f（-a），反過來，由增函數(shù)的概念也可推出， a+b（-a）+（-b）；根據充要條件的定義，我們易得到結論判斷充要條件的方法是： 若 p? q 為真命題且 q? p 為假命題，則命題 p 是命題 q 的充分不必要條件； 若 p? q 為假命題且 q? p 為真命題，則命題 p 是命題 q 的必要不充分條件； 若 p? q 為真命題且 q? p 為真命題，則

12、命題 p 是命題 q 的充要條件； 若 p? q 為假命題且 q? p 為假命題，則命題 p 是命題 q 的即不充分也不必要條件 判斷命題 p 與命題 q 所表示的范 圍，再根據“誰大誰必要，誰小誰充分 ”的原則，判斷命題 p 與命題 q 的關系4.【答案】 C【解析】解：如圖，以E，B1，G 三點組成的平面去截正方體，截去一個三棱錐，其底面為積a =為h=a，EBB1，面 S=，高截去一個三棱 錐體積為 V=S?h=，當 E，B1，G 三點在同一水平面 時，F(xiàn)點在水平面之上， E，F(xiàn)，G 三點都不漏水其可裝水最大容 積cm3故選：C根據正方體的幾何特征， 選取過 E，B1，G 三點的平面去截

13、正方體，根據棱 錐的體積公式，易求出切下的小三棱錐的體積 進， 而求出剩下的即容器可裝水第6頁，共 19頁的容積，則答案可求本題考查的知識點是棱錐的體積，其中根據正方體的幾何特征確定出選取過E，B1，G 三點的平面去截正方體 時，該容器可裝水的容 積最大是解答本 題的關鍵，是中檔題5.【答案】 x|0 x 1【解析】解：由M 中 y=lgx ，得到 x0，即M=x|x 0 ，由 N 中 y=，得到1-x20，解得：-1x1，即 N=x|- 1x1，則 MN=x|0 x1，故答案為：x|0 x1求出 M 與 N 中 x 的范圍分別確定出兩集合，求出兩集合的交集即可此題考查了交集及其運算，熟 練掌

14、握交集的定 義是解本題的關鍵6.【答案】【解析】解：|4+3i|=由（3-4i）z=|4+3i|，得（3-4i）z=5，即 z=z 的虛部為故答案為： 首先求出 |4+3i|，代入后直接利用復數(shù)的除法運算求解本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考 查了復數(shù)的基本概念，是基 礎題7.【答案】 6【解析】解：sin=，a=6，c=4，2=1-2 （2，cosB=1-2sin）=由余弦定理b2 2 2，可得：=6=a +c -2accosBb=故答案為：6第7頁，共 19頁由已知利用二倍角公式可求cosB 的值，進而根據余弦定理即可 計算得解本題主要考查了二倍角公式，余弦定理在解三角形中的綜合應用，屬

15、于基礎題8.【答案】 9【解析】解：根據頻率分布直方 圖，得：日銷售量不少于 150 個的頻率為（0.004+0.002）50=0.3，則估計這家面包店一個月內日 銷售量不少于 150 個的天數(shù) 為：300.3=9故答案為：9根據頻率分布直方 圖，求出對應的頻率與頻數(shù)即可本題考查了頻率分布直方 圖的應用問題，也考查了頻率=的應用問題，是基礎題 目9.【答案】【解析】現(xiàn)5 個女生和 3 個男生隨機站成一排，解： 有基本事件 總數(shù) n=A ，排頭和排尾均 為女生包含的基本事件個數(shù)m=，排頭和排尾均 為女生的概率 p=故答案為：基本事件總頭為女生包含的基本事件個數(shù)m=，由數(shù) n=A ，排 和排尾均此

16、能求出排頭和排尾均 為女生的概率本題考查概率的求法，考查排列組合、古典概型等基礎知識查，考 運算求解查函數(shù)與方程思想，是基礎題能力，考10.【答案】 1【解析】第8頁，共 19頁解：圓的極坐標方程為 =2sin則它表示過極坐標原點，（2，）點的，以2 為直徑的圓故圓心落在（1，）點在極坐標系中，圓 =2sin 的圓心到極軸距離為：1故答案為：1由已知中 圓的極坐標方程為 =2sin，我們分別取 =0，= ，并由此可以確定出圓的一條直徑兩端點的坐 標，進而代入中點坐 標公式，即可得到答案本題考查的知識點是簡單曲線的極坐標方程，其中根據已知 圓的極坐標方程確定圓直徑及直徑兩端點的坐 標是解答本 題

17、的關鍵11.【答案】【解析】解：設公比為 q，a1=2，且S2015+2S2016=3S2017，當 q=1 時，20152+22016232，2017q1，+=，1-q2015+2-q2017=3-3q2017，即 3q2-2q-1=0解得 q=-，或q=1（舍去）無窮等比數(shù)列 an 的各項和 Sn=n=1-（-），n當 n+時，1- （-） ，故無窮等比數(shù)列 a n 的各項和為，故答案為：先分類討論，當q=1時則q1，根據 S2015+2S2016=3S2017，解得q=-，不成立，第9頁，共 19頁再根據等比數(shù)列的求和公式和極限的思想即可求出本題考查了等比數(shù)列的求和公式和，極限思想，屬于

18、中檔題12.【答案】 8【解析】解：取BC 中點 D，連結 AD ，則 AD BC，平面 ABC 平面 BCC1B1，平面 ABC 平面BCC1B1=BC，AD ? 平面 ABC ，AD 平面 BCC1B1ABC 是等邊三角形，AB=4 ，AD=2AA 1平面 BCC1B1，E，F(xiàn) 是 BB 1，CC1 的中點，V A-BCFE =V=8，V=V-2V A-BCFE =-2 =8故答案為：8用三棱柱的體 積減去三棱 錐 A 1-EFC1B1 和三棱錐 A-BCFE 的體積本題考查了棱柱的 結構特征，棱錐的體積計算，屬于基礎題13.【答案】 3x-2y-3=0【解析】聯(lián)13x22解： 立得：解得

19、：-14x-26=0，同理解得 13y +18y-7=0因為點 A 和點B 的中點 M 的坐標為（x=，y=），利用根與系數(shù)的關系可得：M （，-）；又因為直線 AB ：2x+3y+1=0 的斜率為-，根據兩直線垂直斜率乘 積等于 -1 可知垂直平分 線的斜率為；所以弦 AB 的垂直平分 線方程為 y+=（x-），化簡得 3x-2y-3=0故答案為 3x-2y-3=0聯(lián)立直線與圓的解析式得到交點A 和 B 的坐標，然后利用中點坐標公式求出第10 頁，共 19頁中點坐標，根據兩直線垂直斜率乘 積等于 -1，由直線 AB 的斜率得到中垂 線的斜率，即可得到中垂 線的解析式考查學生掌握兩直 線垂直時

20、的斜率乘 積為 -1，會求線段中點的坐 標，根據條件能寫出直 線的一般方程，以及掌握直 線與圓的方程的 綜合應用14.【答案】 y=2x【解析】線y2（ ）的焦點為F（ ，），解：拋物=2px p 00雙曲線-漸線方程為y= x，=1（a0，b0）的 近代入拋物線的方程，可得 A （，），B（，-），由 A ，B，F(xiàn) 三點共線，可得：= ，即有b=2a，則雙曲線的漸近線方程為 y=2x故答案為：y=2x求得拋物 線的焦點，雙曲線的漸近線方程，代入拋物線的方程可得 A ，B，再由 A ，B，F(xiàn) 共線，可得=，即有 b=2a，進而得到雙曲 線的漸近線方程本題考查拋物線的焦點坐 標，雙曲線的方程和性

21、 質，主要是漸近線方程的運用和求法，考查運算能力，屬于中檔 題 15.【答案】 24【解析】解：，=則=24故答案為：24由，可得=，代入到=第11 頁，共 19頁=，可求本試題考查了向量的數(shù)量 積的基本運算考查了基本知 識的綜合運用能力16.【答案】 a-【解析】解：h（x）為定義在 R 上的偶函數(shù)， g（x ）為定義在 R 上的奇函數(shù)g（-x ）=-g（x），h（-x）=h（x）又 由 h（x）+g（x）=2x，h（-x）+g（-x ）=h（x）-g（x ）=2-x，h（x）=，g（x）=不等式 2ag（x）+h（2x）0在 1，2上恒成立，化簡為 a0，x1，2x-x1 x 2-2 0令

22、 t=2-x-2x，整理得：a= t=（則可知 y=（t+）在單調）， 由遞增當 t=-時，因此，實數(shù) a 的取值范圍是 a故答案為 a-先根據函數(shù)奇偶性定 義，解出奇函數(shù) f （x）和偶函數(shù)g（x）的表達式，將這個表達式不等式 af（x）+g（2x）0，通過變形可得 a=） ，通過換元，討論出右邊在 x（0，1的最大值，可以得出實數(shù) a 的取值范圍 本題以指數(shù)型函數(shù) 為載體，考查了函數(shù)求表達式以及不等式恒成立等知識點，第12 頁，共 19頁合理地利用函數(shù)的基本性質，再結合換元法和基本不等式的技巧，是解決本題的關鍵17.【答案】+1【解析】解：如圖，設正方形邊長為 a，OBA= ，則cos =

23、，0，）在 OBC 中，a2+1-2acos（ +）=OC2，OC2=（2cos ）22+1+2?2cos ?sin =4cos+1+2sin2 =2cos2 +2sin2 +3=2 sin（2+ ）+3，0，），2+ ， ），2+ =時，OC2 的最大值為 2+3線長度的最大值是+1 段OC故答案為：+1設正方形邊長為 a，OBA= ，從而在OBC 中，計算 OC 的長，利用三角函數(shù)，可求 OC 的最大值本題考查直線與圓的位置關系，考查三角函數(shù)的化 簡，解題的關鍵是構建 OC關于 的三角函數(shù)，屬于中檔 題18.【答案】【解析】解：如圖，設正三棱錐 P-ABC 的底面邊長為 a，則該三棱錐的高

24、為 h=，該棱錐的體積 V=第13 頁，共 19頁=該棱錐的體積的最大值為故答案為：設正三棱錐 P-ABC 的底面邊長為 a，則該三棱錐的高為 h=，求出底面積，代入三棱錐體積公式，然后利用基本不等式求最 值本題考查棱錐體積最值的求法，考查數(shù)形結合的解題思想方法，訓練了利用基本不等式求最 值，屬難題19.【答案】 解：（ 1） 向量=（ c-a， b-a），=（ a+b，c），且 c（ c-a） =（ a+b）（ b-a），222c -ac=b -a ，cosB= ，B= （ 2） A+B+C=， A+C= ，sinA+sin C=sinA+sin（-A）=sin A+cosA+ sinA=s

25、in（ A+ ），0 A，A+ ， sin（ A+ ）1， sinA+sinC【解析】（1）利用兩向量平行的性質以及兩向量的左 邊可求得 a，b 和 c 的關系式，代入余弦定理中求得cosB 的值，進而求得 B（2）根據（1）中B，可知A+C=，進而可把 sinC 轉化成 sin（-A ），展開后，利用兩角和公式化 簡，利用 A 的范圍來確定 sinA+sinC 的范圍第14 頁，共 19頁本題主要考查了余弦定理的 應用，兩角和公式的化 簡求值考查了學生分析問題的能力和基本運算的能力20.【答案】解：（ 1）由四棱錐 P-OABC 的底面是邊長為的正方形， 則 A（ 1，1，0），x 與 y

26、滿足的關系式： y=x2；（ 2）設 M（0， a， a）， N（x， x2， 0），則 d（ x）=，當 a（ 0， 0.5 ， d（ x） min =a，當 a（ 0.5， 2）， d（ x） min=；（ 3）當 a（ 0， 0.5，異面直線 MN 與 OB 成 45角，不符；a（ 0.5，2），當 d（ x）取得最小值時， x=， y=（） 2，當異面直線 MN 與 OB 垂直時， yM=yN，即（）2=a，解得： a=【解析】（1）根據題意，求得 A 點坐標，代入拋物線方程，即可求得 x 與 y 的關系式；（2）設 M 和 N 點坐標，根據兩點之間的距離公式，利用二次函數(shù)的性 質，即

27、可求得 d（x）最小值；（3）由（2）可知：當a（0.5，2），當d（x值時，求得 x=，由異面）取得最小直線 MN 與 OB 垂直時，yM =yN ，代入即可求得a 的值本題考查拋物線的方程，異面直線所成的角，點兩點之 間的距離公式及二次函數(shù)的性 質，考查轉化思想，屬于中檔題21.【答案】 解：（1b=fxx-x-xx，）由已知，）=a +k a，則 f（ -x） =a+k a，于是 （?若 f（ x）是奇函數(shù)，則f（ -x） =-f（ x），即a-xxx+k a-x），+k a =-（a?所以（ k+1）（ ax+a-x） =0 對任意實數(shù)x 恒成立，所以k=-1（ 2）因為 a 1， 0

28、 b 1，所以函數(shù) y=ax 是增函數(shù)， y=bx 減函數(shù)，由 k0知， y=ax+k?bx 是增函數(shù)，所以函數(shù) f（ x）在 R 是增函數(shù)證明如下：設 x1、 x2R 且 x1 x2，則 f（ x2） -f（ x1） =+k-k=（-）+k（-），因為 a 1， 0 b1， x1 x2， k0，所以-0， k（-） 0，所以 f（ x2） -f（ x1） 0，所以函數(shù)f （ x）在 R 是增函數(shù)第15 頁，共 19頁x -x（ 3） f（ x） =2 +k?2 ，若函數(shù) f（ x）的圖象是軸對稱圖形，且對稱軸是直線 x=m，則函數(shù) f（ x+m）是偶函數(shù)，即對任意實數(shù) x， f（ m-x）

29、=f（ m+x），2m-x+k?2-（m-x） =2m+x+k?2-（ m+ x） ，化簡得（ 2x-2-x）（ 2m-k?2-m） =0，因為上式對任意 xR 成立，所以 2m-k?2-m=0，m= log 2k=log 4k，所以，函數(shù)f（ x）的圖象是軸對稱圖形，其對稱軸是直線x=log 4k【解析】（1）根據已知條件，將b=代入函數(shù)表達式，得 f （x ）=ax+k?a-x，再利用奇函數(shù)定義，用比較系數(shù)的方法，求出 k 的值，（2）因為 a1，0 b 1，根據指數(shù)函數(shù)單調性的定理，可得函數(shù) y=ax 是增函數(shù)，y=bx 減函數(shù)，再根據函數(shù) 單調性的運算法 則，得出函數(shù) f（x）=ax+

30、k?bxR 上的是增函數(shù)，最后用函數(shù) 單調性的定義加以證明；（3）根據函數(shù) f（x）=2x+k?2-x 的圖象是軸對稱圖形且對稱軸是直線 x=m，則函數(shù) f（x+m）是偶函數(shù)，即得到即對任意實數(shù) x ，f（m-x ）=f（m+x），代入表達式，采用比較系數(shù)法，可得 2m-k?2-m=0，最終求出本題是一道函數(shù)綜合題查了函數(shù)的單調性與奇偶性和函數(shù)圖象的對，著重考稱性，解題時 要注意有關定 義和結論 的正確理解與準確 應 用屬于難題 22.和雙曲線的公共頂【答案】 證明：（ 1） A、B 為橢圓點，P、Q 分別為雙曲線和橢圓上不同于A、B 的動點，且+=（+）（ R，| |1）=，點 P，Q，O

31、三點共線解：（ 2）設 P（x1 ，y1 ）， Q（ x2， y2），則=，同理，得：，=， x1 =x2， y1=y2，第16 頁，共 19頁，k1+k2+k3+k4=（） =0 （ 3） =， ，2=，又=1，又 PF 1QF 2， |OF 1|= |OF2|，2=， =?=，2（ k1+k2 ） =4?=4 ?=4，同理（ k3+k4） 2=4，k1?k2 =?=，且 -=1，x12-a2=?y12，k1k2=同理 k3k4 =-，222222k1 +k2 +k3 +k4 =（ k1+k2） +（ k3+k4） -2（ k1?k2+k3 ?k4） =4+4-0=8 （1）由 +=（ +）（R，| |1）得到 =證明點，由此能P，Q，O 三點共線2）設 P（x1，y），Q（x，y），求出k1+k2=，（122，由 =，能出 k1+k2+k3+k4 的值（3）由= ，推導出2，再由 PF1QF2，得到（k1+k2）=4，k22222的值）+k2 +k3 +k4（3+k 4=4，由此能求出 k1第17 頁，共 19頁本