大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)公式全集

1、大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)公式全集一、隨機(jī)事件和概率1、隨機(jī)事件及其概率運(yùn)算律名稱表達(dá)式交換律A B B A AB BA結(jié)合律(A B) C A (B C) A B C (AB)C A(BC) ABC分配律A(B C) AB AC A (BC) (A B)(A C)德摩根律A B AB AB A B2、概率的定義及其計(jì)算公式名稱公式表達(dá)式求逆公式P( A) 1 P( A)加法公式P(A B) P(A) P(B) P(AB)條件概率公式P(B A) P(AB)P(A)乘法公式P(AB) P(A)P(B A) P(AB) P(B)P(AB)全概率公式nP(B)P(Ai)P(B Ai)i1貝葉斯公式（逆概

2、率公式）P(Aj)P(B Aj)P(Aj B)j jP(Aj)P(BAi )i1伯努利概型公式Pn(k) Cnk pk (1 p)n k,k 0,1, n兩件事件相互獨(dú)立相應(yīng)公式P(AB) P( A) P(B) ； P(BA) P(B)；P(BA) P(BA)； P(BA) P(BA) 1；P(B A) P(B A) 1、隨機(jī)變量及其分布1、分布函數(shù)性質(zhì)P(X b) F(b) P(a X b) F(b) F(a)2、離散型隨機(jī)變量分布名稱分布律01 分布 B(1, p)P(X k) pk(1 p)1 k , k 0,1二項(xiàng)分布 B(n, p)P(X k) Cnk pk(1 p)n k, k 0

3、,1, ,n泊松分布 P( )kP(X k) e , k 0,1,2, k!幾何分布 G(p)P(X k) (1 p)k 1 p, k 0,1,2,超幾何分布 H(N,M,n)C k Cn kP(X k) CMCN M ,k l,l 1, ,min( n, M ) CnN3、連續(xù)型隨機(jī)變量分布名稱密度函數(shù)分布函數(shù)均勻分布 U (a,b)f (x)1, a x b ba0, 其他F(x)0, x a x a,a x b ba1,x b指數(shù)分布 E( )e x, x 0 f(x)0, 其他F(x)0, x 01 e x, x 0正態(tài)分布 N( , 2)(x )21 2 2f (x) e 2 x2(

4、t )21 x 2F(x) e 2 2 dt2標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 N(0,1)x21(x) e 2 x2(t )21 x 2 2 F(x) e 2 dt2三、多維隨機(jī)變量及其分布1、離散型二維隨機(jī)變量邊緣分布pi P(X xi )P(X xi,Y y j)pijjjp j P(Y yj) P(X xi,Y yj )piji2、離散型二維隨機(jī)變量條件分布pi jP(X xi Y yj) P(X xi,Y yj) pij ,i 1,2 i j P(Y yj )PjP(X xi,Y y j ) pijpjiP(Y yj X xi) P(XP(Xxi,Yxi)yj) pPiij ,j 1,23、連續(xù)型二維隨

5、機(jī)變量 ( X ,Y )的聯(lián)合分布函數(shù) F(x, y)xyf (u,v)dvdu4、連續(xù)型二維隨機(jī)變量邊緣分布函數(shù)與邊緣密度函數(shù)邊緣分布函數(shù)： F X (x)xf (u,v)dvdu邊緣密度函數(shù)： fX (x) f(x,v)dvyf ( u, v) dudvfY ( y)f (u, y)duFY (y)5、二維隨機(jī)變量的條件分布fYX(y x)f(x,y)y f X (x) yfXY(xy) f(x,y), xfY(y)四、隨機(jī)變量的數(shù)字特征1、數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量：E(X)xk pkk1連續(xù)型隨機(jī)變量： E(X) xf (x)dx2、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)(1) E(C) C,C為常數(shù)EE(X)

6、E(X)E(CX) CE(X)(2) E(X Y) E(X) E(Y) E(aX b) aE(X) b E(C1X1 CnXn ) C1E(X1) CnE(Xn)(3) 若 XY相互獨(dú)立則： E(XY) E(X)E(Y)(4) E(XY)2 E2(X)E2(Y)3、方差： D(X) E(X 2) E2(X)4、方差的性質(zhì)(1) D(C) 0 DD(X) 0 D(aX b) a2D(X )D(X) E(X C)2(2) D(X Y) D(X) D(Y) 2Cov(X,Y) 若 XY相互獨(dú)立則： D(X Y) D(X) D(Y)5、協(xié)方差： Cov(X,Y) E(X,Y) E(X)E(Y) 若 X

7、Y相互獨(dú)立則： Cov( X ,Y) 06、相關(guān)系數(shù)： XY (X,Y) Cov(X,Y)若 XY相互獨(dú)立則： XY 0即 XY不相關(guān)D(X ) D(Y)7、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)(1) Cov(X,X) D(X) Cov(X,Y) Cov(Y, X )(2) Cov( X1 X 2,Y) Cov(X1,Y) Cov(X 2,Y) Cov(aX c,bY d) abCov(X,Y)8、常見數(shù)學(xué)分布的期望和方差分布數(shù)學(xué)期望方差0-1 分布 B(1, p)pp(1 p)二行分布 B(n,p)npnp(1 p)泊松分布 P( )幾何分布 G(p)1 p1p2 p超幾何分布 H(N,M ,n)M nN

8、M M N m n (1 )N N N 1均勻分布 U(a,b)ab2(b a)212正態(tài)分布 N( , 2)2指數(shù)分布 E( )112五、大數(shù)定律和中心極限定理1、切比雪夫不等式若 E(X) ,D(X) 2 ,對(duì)于任意 0有P X E(X) D(2X)或 P X E(X) 1 D(2X)nn2、大數(shù)定律：若 X1 Xn相互獨(dú)立且 n 時(shí)， 1 Xi D 1 E(Xi) ni 1 ni 1(1) 若 X1 X n相互獨(dú)立， E(Xi)i,D(Xi) i2 且1 n1 ni2 M 則： 1Xi P 1 E(Xi),(n )ni1ni 1n(2) 若X1 X n相互獨(dú)立同分布，且 E(Xi) i則

9、當(dāng)n 時(shí)： 1 Xi P ni13、中心極限定理(1) 獨(dú)立同分布的中心極限定理：均值為 ，方差為 2 0 的獨(dú)立同分布時(shí)，當(dāng)n 充分大時(shí)有：nXk nYnk 1 N(0,1)n(2) 拉普拉斯定理：隨機(jī)變量 n(n 1,2 ) B(n, p)則對(duì)任意 x 有：n npxlim Pnnp(1p) xt2x1e 2 dt (x)2nnX k n(3) 近似計(jì)算： P(a n Xk b) P(a n k 1 b n ) (b n ) (a n ) k 1 n n n n n六、數(shù)理統(tǒng)計(jì)1、總體和樣本總體 X的分布函數(shù) F(x)樣本 (X1,X2 X n)的聯(lián)合分布為 F(x1,x2 xn)F(xk

10、)2、統(tǒng)計(jì)量n n n 2(1) 樣本平均值： X 1 Xi (2) 樣本方差： S2 1 (Xi X)2 1 (Xi2 nX 2)ni1 n 1i 1 n 1i1nn(3) 樣本標(biāo)準(zhǔn)差： S 1 (Xi X)2 (4) 樣本 k階原點(diǎn)距： Ak 1 Xik,k 1,2n 1i1 i ni 11n(5) 樣本 k 階中心距： Bk Mk 1 (Xi X)k ,k 2,3ni1(6) 次序統(tǒng)計(jì)量：設(shè)樣本 (X1,X2 X n )的觀察值 (x1,x2 xn)，將 x1,x2 xn按照由小到大的次 序重新排列，得到 x(1) x(2)x(n) ，記取值為 x(i )的樣本分量為 X(i) ，則稱

11、X(1) X(2)X(n)為 樣 本 (X1,X2 Xn) 的 次 序統(tǒng) 計(jì)量 。 X(1) mi nX(1,X2 Xn) 為最 小次 序統(tǒng)計(jì) 量 ； X(n) m a xX1(,X2 Xn) 為最大次序統(tǒng)計(jì)量。3、三大抽樣分布(1) 2 分布：設(shè)隨機(jī)變量 X1,X2 Xn 相互獨(dú)立，且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 N (0,1) ，則隨機(jī)變 量 2 X12 X22 X n2所服從的分布稱為自由度為 n的 2分布，記為 2 2(n) 性質(zhì)： E 2(n) n,D 2(n) 2n設(shè) X 2(m),Y 2(n)且相互獨(dú)立，則 X Y 2(m n)(2) t分布：設(shè)隨機(jī)變量 X N(0,1),Y 2(n)，且

12、 X與 Y獨(dú)立，則隨機(jī)變量：XYn所服從的分布稱為自由度的 n的t分布，記為 T t(n)n 1 (x )2性質(zhì)： Et(n) 0, D t(n) n ,(n 2) lim t(n) N ( 0,1) 1 e 2 2n 2 n 2(3) F分布：設(shè)隨機(jī)變量 U 2(n1),V 2 (n2) ，且U與V獨(dú)立，則隨機(jī)變量 F(n1,n2) U n1所 V n2服從的分布稱為自由度 (n1,n2) 的 F 分布，記為 F F(n1,n2)性質(zhì)：設(shè) X F(m,n)，則 1 F(n,m)X七、參數(shù)估計(jì)1、參數(shù)估計(jì)(1) 定義：用 (X1,X2, Xn) 估計(jì)總體參數(shù) ，稱 (X1,X2, Xn)為 的估計(jì)量，相應(yīng)的 (X1,X2, Xn) 為總體 的估計(jì)值。(2) 當(dāng)總體是正態(tài)分布時(shí)，未知參數(shù)的矩估計(jì)值 =未知參數(shù)的最大似然估計(jì)值2、點(diǎn)估計(jì)中的矩估計(jì)法： (總體矩 =樣本矩)n離散型樣本均值： X E(X) 1 Xi 連續(xù)型樣本均值： X E(X) xf (x, )dx ni1n離散型參數(shù)： E(X 2) 1 Xi2 n i1 i3、點(diǎn)估計(jì)中的最大似然估計(jì)最大似然估計(jì)法： X1,X2, Xn取自X的樣本，設(shè) Xf(x, )或