簡單的線性規(guī)劃問題含答案

1、簡單的線性規(guī)劃問題學習目標 1.了解線性規(guī)劃的意義以及約束條件、目標函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念.2.了解線性規(guī)劃問題的圖解法，并能應用它解決一些簡單的實際問題知識點一 線性規(guī)劃中的基本概念名稱意義約束條件關于變量 x，y 的一次不等式 (組 )線性約束條件關于 x，y 的一次不等式 (組)目標函數(shù)欲求最大值或最小值的關于變量 x， y 的函數(shù)解析式線性目標函數(shù)關于變量 x，y 的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解 (x， y)可行域由所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標函數(shù)的最大值或最小值問題知識點二 線性規(guī)劃問題1

2、目標函數(shù)的最值線性目標函數(shù) zaxby (b 0)對應的斜截式直線方程是 y ax z，在 y軸上的截距是 z，當 z變化時，方程表b b b 示一組互相平行的直線當 b0，截距最大時， z 取得最大值，截距最小時， z取得最小值；當 b0 時，要使 zyax 取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則a2；當 a 0）取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個，則a 的值為 （）x3，A3B3C 1D1二、填空題x2，7若 x，y 滿足約束條件 y2，則 z x 2y 的取值范圍是 xy 2，8已知 1xy4 且 2 xy 3，則 z 2x 3y 的取值范圍是 （答案用區(qū)間表示 ）0 x 2，9已知平面直角坐標系 xOy

3、上的區(qū)域 D由不等式組 y2，給定若 M（x，y）為D 上的動點，點 A的坐x 2y標為 （ 2， 1）， 則 zOM OA的最大值為 10滿足 |x|y|2的點（x，y）中整點 （橫縱坐標都是整數(shù) ）有個xy20，11設實數(shù) x，y 滿足不等式組 2xy50， 則 z|x 2y4|的最大值為 xy40，三、解答題x 4y 3，12已知 x， y滿足約束條件 3x 5y 25 ， 目標函數(shù) z 2x y，求 z 的最大值和最小值x1，xy110，13設不等式組 3xy30， 表示的平面區(qū)域為 D .若指數(shù)函數(shù) yax的圖象上存在區(qū)域 D 上的點，求 a 的 5x3y90取值范圍14某家具廠有方

4、木料 90 m3，五合板 600 m2，準備加工成書桌和書櫥出售 已知生產(chǎn)每張書桌需要方木料0.1 m3，五合板 2 m2，生產(chǎn)每個書櫥需要方木料 0.2 m3，五合板 1 m2，出售一張方桌可獲利潤 80 元，出售一個書櫥可獲 利潤 120 元（1）如果只安排生產(chǎn)書桌，可獲利潤多少？（2）如果只安排生產(chǎn)書櫥，可獲利潤多少？（3）怎樣安排生產(chǎn)可使所得利潤最大？當堂檢測答案1 答案 B解析 如圖， 當 y2x經(jīng)過且只經(jīng)過 xy30 和 xm的交點時， m取到最大值，此時，即 (m,2m)在直線 xy30 上， 則 m 1.2 答案 C解析 該不等式組表示的平面區(qū)域為如圖所示的陰影部分11 9由于

5、 x，y N*，計算區(qū)域內(nèi)與 121， 92 最近的點為 (5,4)，故當 x5，y4 時，z 取得最大值為 90.13 答案 12解析實數(shù) x，y 滿足的可行域如圖中陰影部分所示，則z 的最小值為原點到直線 AB 的距離的平方，故 zmin 12 212.課時精練答案、選擇題1 答案 A解析 畫出可行域，如圖所示，解得 A( 2,2)，設 z2x y，把 z2xy 變形為 y2xz， 則直線經(jīng)過點 A 時 z取得最小值； 所以 zmin2( 2)2 6，故選 A. 2 答案 D解析 作出可行域，如圖所示x y40，x 2，聯(lián)立 解得x 3y40，y 2.當目標函數(shù) z3x y移到(2,2)時

6、， z 3x y有最大值 4.3 答案 D解析 作出可行域，如圖所示，y1的幾何意義是點 (x，y)與點(0,1)連線 l的斜率，當直線 l過 B(1,0)時kl最小，最小為 1.又直線 l不能與直線 xy0平行，kl0)取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個，則將 l 向右上方平移后與直線 x y 5 重合，故 a1，選 D.二、填空題7 答案 2,6解析 如圖，作出可行域，作直線 l：x2y 0，將 l 向右上方平移，過點 A(2,0)時，有最小值 2，過點 B(2,2)時，有最大值 6，故 z 的取值范圍為 2,6 8 答案 3,8解析 作出不等式組 1 x y 4 ， 表示的可行域，如圖中陰影部分

7、所示2xy3在可行域內(nèi)平移直線 2x 3y 0，當直線經(jīng)過 xy2與 xy4 的交點 A(3,1)時，目標函數(shù)有最小值 zmin23313； 當直線經(jīng)過 xy1與 xy3的交點 B(1， 2)時，目標函數(shù)有最大值 zmax21328.所以 z3,8 9 答案 4解析 由線性約束條件0 x 2，y2，畫出可行域如圖中陰影部分所示，目標函數(shù)z OMOA 2xy，將其化為 y 2xz，結x 2y合圖形可知，目標函數(shù)的圖象過點 ( 2， 2)時， z最大，將點 ( 2，2)代入 z 2xy，得 z 的最大值為 4.10 答案 13 解析 |x| |y|2 可化為 作出可行域為如圖正方形內(nèi)部 (包括邊界

8、 )， 容易得到整點個數(shù)為 13 個11答案 21解析 作出可行域 (如圖)，即 ABC所圍區(qū)域 (包括邊界 )，其頂點為 A(1,3)，B(7,9)，C(3,1)方法一 可行域內(nèi)的點都在直線 x2y40 上方，x2y40，則目標函數(shù)等價于 zx 2y4，易得當直線 zx2y4 在點 B(7,9)處，目標函數(shù)取得最大值 zmax21.|x2y4|方法二 z|x 2y 4|5 5，令 P(x， y)為可行域內(nèi)一動點，定直線 x2y40，則 z 5d，其中 d 為 P(x，y)到直線 x2y40 的距離由圖可知，區(qū)域內(nèi)的點 B 與直線的距離最大，故 d 的最大值為|729 4| 21 5 5.故目

9、標函數(shù)zmax三、解答題12解 z2x y可化為 y2xz，z的幾何意義是直線在 y 軸上的截距的相反數(shù)，故當 z取得最大值和最小值時，應是直線在 y 軸上分別取得最小和最大截距的時候作一組與l0： 2xy0 平行的直線系 l，經(jīng)上下平移，可得：當 l 移動到 l1，即經(jīng)過點 A(5,2)時， zmax 25 28.當 l 移動到 l2，即過點 C(1,4.4) 時，zmin 2 1 4.4 2.4.13 解 先畫出可行域，如圖所示， y ax 必須過圖中陰影部分或其邊界 A(2,9)，9a2，a3.a1，1 a3.14 解 由題意可畫表格如下：方木料 (m3)五合板 (m2)利潤(元)書桌

10、(張 )0.1280書櫥 (個 )0.21120(1)設只生產(chǎn)書桌 x 張，可獲得利潤 z元，0.1x90，x900，2x600，則 ? x300， ? 0 x 300.z80x，x0x0所以當 x300 時，zmax8030024 000(元)，即如果只安排生產(chǎn)書桌，最多可生產(chǎn)300張書桌，獲得利潤 24 000 元(2)設只生產(chǎn)書櫥 y 個，可獲得利潤 z元，0.2y90， y 450，1y 600，則 ? y 600， ? 0 y 450.z 120 y，y0y0所以當 y450 時， zmax 120 450 54 000(元)， 即如果只安排生產(chǎn)書櫥，最多可生產(chǎn) 450個書櫥，獲得利潤 54 000 元(3) 設生產(chǎn)書桌 x 張，書櫥 y 個，利潤總額為 z 元，2xy 600， x0， y0.0.1x0.2y90，x2y 900，2xy600，則x0，y0 z80x 120y.在平面直角坐標系內(nèi)作出上面不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域(如圖 )作直線 l：80x120y0，即直線 l：2x 3