利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍

1、利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍 課型：專題復(fù)習(xí)課 復(fù)習(xí)重點(diǎn) ：利用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)，求參數(shù)的取值范圍 基礎(chǔ)知識(shí) ：導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)的極值和最值的求法、函數(shù)單調(diào)性的充要條 件的應(yīng)用 復(fù)習(xí)難點(diǎn) ：解題方法靈活變通 一 已知函數(shù)單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍 類型 1參數(shù)放在函數(shù)表達(dá)式上 例設(shè)函數(shù) f (x) 2x3 3(a 1)x2 6ax 8其中 a R (1)若f(x)在x 3處得極值,求常數(shù) a的值. (2)若f(x)在( ,0)上為增函數(shù) ,求a的取值范圍 略解：()由 f (3) 0解得a 3.經(jīng)檢驗(yàn)知 a 3時(shí),x 3為f (x)的極值點(diǎn) () 方法 ： f (x) 6x2 6(a 1)x 6a

2、 6(x a)(x 1) 當(dāng)a 1時(shí),f (x)在( ,1),(a, )上遞增,符合條件. 當(dāng)a 1時(shí),f (x) 6(x 1)2 0恒成立, f (x)在( , )上遞增. 當(dāng)a 1時(shí),f (x)在( ,a),(1, )上遞增,要保證f(x)在( ,0)上遞增,則0 a 1 綜上所述.a 0時(shí), f (x)在( ,0)上遞增. 方法： 因?yàn)?f (x)在( ,0)上遞增 所以f (x) 0在x ( ,0)上恒成立 即x(x 1) a(x 1)在 x ( ,0)上恒成立 x 0, x xa 從而 a 0 10 方法 保證 f (x) 6x2 6(a 1)x 6a在 ( ,0上最小值大于或等于零

3、 a1 a1 0 故有 2 0或 2 0 f (0) 0 可解得 a 0 解題方法總結(jié)：求 f ( x)后，若能因式分解則先因式分解，討論 f(x)=0 兩根的大小 判斷函數(shù) f(x) 的單調(diào)性，若不能因式分解可利用函數(shù)單調(diào)性的充要條件轉(zhuǎn)化為恒成 立問題. 基礎(chǔ)訓(xùn)練： 1.設(shè)函數(shù) f (x) 2x3 3(a 1)x2 1,其中 a 1 (1).求 f (x)的單調(diào)區(qū)間 ; (2).討論f (x)的極值 . 類型 2參數(shù)放在區(qū)間邊界上 例已知函數(shù) f (x) ax3 bx2 cx d在x 0處取得極值 ,曲線y f(x) 過原點(diǎn)和點(diǎn) (-1,2),若曲線 y f (x)在點(diǎn)P處的切線與直線 y

4、2x的夾角為 45 且切線的傾斜角為 鈍角. (1) 求 f(x) 的表達(dá)式 (2) 若 f ( x)在區(qū)間2m-1,m+1上遞增,求m 的取值范圍 . 略解 (1) f (x) x3 3x2 (2)f (x) 3x2 6x 3x(x 2)可知f (x)在( , 2),(0, )上遞增,在( 2,0)上遞減 從而只要保證 2m 1,m 1是 ( , 2)或(0, )的一個(gè)子區(qū)間 m 1 2 2m 1 0 所以 或 m 1 2m 1 m 1 2m 1 1 解得 m ( , 3 1,2 2 總結(jié) :先判斷函數(shù)的單調(diào)性 ,再保證問題中的區(qū)間是函數(shù)單調(diào)遞增 (遞減)區(qū)間的一個(gè)子 區(qū)間即可. 基礎(chǔ)訓(xùn)練：

5、 2.已知函數(shù) f(x) x3 3x2 7,若f (x)在a,a 1上單調(diào)遞增 ,求a的取值范圍 . 二已知不等式在某區(qū)間上恒成立，求參數(shù)的取值范圍 類型參數(shù)放在不等式上 2 例 3.已知 f (x) x3 ax2 bx c在x2 與x 1時(shí)都取得極值 3 (1) 求、的值及函數(shù) f (x) 的單調(diào)區(qū)間 (2) 若對(duì) x 1,2, 不等式 f (x) c 恒成立，求的取值范圍 1 略解： (1)a,b 2 2 2 2 2 2 22 3 (2).f (x) 3x2 x 2,由3x2 x 2 0得x或x 1且f( ) c, f(1) c 3 3 27 2 1 f( 1) c, f (2) 2 c,

6、所以f(x)在 1,2上的最大值為 f(2) 2 c 從而 c2 2 c，解得 c 1或c 2 2 3.已知函數(shù) f (x) x3 x 2 總結(jié) :區(qū)間給定情況下 ,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在給定區(qū)間上的最值 . 基礎(chǔ)訓(xùn)練： 2x 5,若對(duì)任意 x 1,2都有 f(x) m則實(shí)數(shù) m的取值范圍是 類型 2參數(shù)放在區(qū)間上 例已知三次函數(shù) f (x) ax3 5x2 cx d 圖象上點(diǎn) (1,8)處的切線經(jīng)過點(diǎn) (3,0),并且 f(x) 在 x=3 處有極值 . ) 求 f (x) 的解析式 . ) 當(dāng)x (0,m)時(shí), f ( x) 0恒成立,求實(shí)數(shù) m的取值范圍. 分析 :(1) f (x) x3 5x

7、2 3x 9 2 (2).f (x) 3x2 10 x 3 (3x 1)(x 3) 由f(x) 0得x1 1,x2 3當(dāng)x (0,1)時(shí)f(x) 0, f(x)單調(diào)遞增 ，所以f(x) f (0) 9 33 1 當(dāng)x (1,3)時(shí)f(x) 0, f ( x)單調(diào)遞減 ,所以f(x) f(3) 0 3 所以當(dāng) m 3時(shí)f (x) 0在(0, m)內(nèi)不恒成立 ，當(dāng)且僅當(dāng) m (0,3時(shí)f (x) 0在(0, m)內(nèi)恒成立 所以 m的取值范圍為 (0,3 基礎(chǔ)訓(xùn)練： 4.若不等式 x4 4x3 2 a對(duì)任意實(shí)數(shù) x都成立 ，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是 . 三知函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況，求參數(shù)的取值范圍 例 5

8、.已知函數(shù) f (x) ax3 bx2 3x在x 1,x 1處取得極值 (1) 求函數(shù) f (x) 的解析式 . (2) 若過點(diǎn) A(1,m)(m 2)可作曲線 y= f (x)的三條切線,求實(shí)數(shù) m的取值范圍 . 略解(1)求得 f (x) x3 3x (2)設(shè)切點(diǎn)為 M(x0,x03 3x0),因?yàn)閒 (x) 3x2 3 所以切線方程為 y m (3x02 3)(x 1),又切線過點(diǎn) M 所以 x03 3x0 m (3x02 3)(x0 1) 即2x30 3x02 m 3 0 因?yàn)檫^點(diǎn) A可作曲線的三條切線 , 所以關(guān)于 x0的方程 有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根 設(shè)g(x0 ) 2x30 3x02

9、m 3則g(x0) 6x02 6x0 由g (x0) 0得x0 0或 x0 1 所以 g(x0)在( ,0), (1, )上單調(diào)遞增 ,在(0,1)上單調(diào)遞減 ,故函數(shù) g(x0)的極值點(diǎn)為 x0 0,x0 1 所以關(guān)于 x0的方程 有三個(gè)不同實(shí)根的充要 條件是 g(0) 0解得 3 m 2 0 g(1) 0 所求的實(shí)數(shù) m的取值范圍是 ( 3, 2) 總結(jié):從函數(shù)的極值符號(hào)及單調(diào)性來保證函數(shù)圖象與 x 軸交點(diǎn)個(gè)數(shù) . 基礎(chǔ)訓(xùn)練： 5.設(shè) a為實(shí)數(shù) ,函數(shù) f (x) x3 x2 x a (1)求f ( x)的極值 (2)當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時(shí) ,曲線y f ( x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn) 四.

10、開放型的問題，求參數(shù)的取值范圍。 例已知 f(x) x2 c,且 f f(x) f (x2 1)。 (1)設(shè)g(x) f f (x) ，求 g(x)的解析式。 (2)設(shè) (x) g(x) f (x) ，試問：是否存在R，使 (x) 在( , 1)上是單調(diào) 遞減函數(shù)，且在( 1,0 )上是單調(diào)遞增函數(shù)；若存在，求出的值；若不存在，說 明理由。 分析：(1)易求 c=1,g(x) x4 2x2 2 (2) (x) g(x) f (x)x4 (2 )x2 (2 ) ， (x) 2x2x2 (2 ) 由題意 (x) 在( , 1)上是單調(diào)遞減函數(shù)，且在( 1,0 )上是單調(diào)遞增函數(shù)知， ( 1) 0 是極小值，由 ( 1) 0 得 4 當(dāng)4，x ( 1,0)時(shí)， (x) 0, (x) 是