2021_2022版高中數(shù)學第二章數(shù)列2.5.2等比數(shù)列習題課素養(yǎng)評價檢測含解析新人教A版必修520210317275

1、等比數(shù)列習題課 (20分鐘35分)1.數(shù)列an為等比數(shù)列,若a1=1,a7=8a4,數(shù)列的前n項和為Sn,則S5=()A.B.C.7D.31【解析】選A.由題意,q6=8q3,解得q=2,所以an=a1qn-1=2n-1,因為數(shù)列的前n項和為Sn,所以S5=1+=.2.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中,=2a16,則數(shù)列l(wèi)og2an的前7項和等于()A.7B.8C.27D.28【解析】選A.由題意,得a10=2q6,所以a1q3=2,即a4=2,所以T7=log2a1+log2a2+log2a7=log2(a1a2a7)=log2=7.3.已知數(shù)列an是公比q不為1的等比數(shù)列,Sn為其前n項和,

2、滿足a2=2,且16a1,9a4,2a7成等差數(shù)列,則S3=()A.5B.6C.7D.9【解析】選C.數(shù)列an是公比q不為1的等比數(shù)列,滿足a2=2,且16a1,9a4,2a7成等差數(shù)列,可得a1q=2,18a4=16a1+2a7,即9a1q3=8a1+a1q6,解得q=2,a1=1,則S3=7.4.若數(shù)列an滿足:a1=1,an+1=2Sn,則a4+a5+a6=.【解析】根據(jù)題意,數(shù)列an滿足:an+1=2Sn,即Sn+1-Sn=2Sn,則有Sn+1=3Sn,又由S1=a1=1,則數(shù)列Sn為首項為1,公比為3的等比數(shù)列,則Sn=13n-1=3n-1,則a4+a5+a6=S6-S3=35-32

3、=234.答案:234【補償訓練】 記等差數(shù)列an的前n項和為Sn,bn為等比數(shù)列,已知S5=10,且b10=a2+a4,則b5b15=.【解析】設等差數(shù)列an的公差為d,等比數(shù)列bn的公比為q,由S5=10,且b10=a2+a4,可得5a1+10d=10,b10=2a1+4d,即有b10=4,b5b15=16.答案:165.設Sn為數(shù)列an的前n項和,Sn=2an-1(nN*),則S1+S2+S100=.【解析】設Sn為數(shù)列an的前n項和,Sn=2an-1(nN*),當n=1時解得a1=1,當n2時Sn-1=2an-1-1,-得an=2an-2an-1,即=2(常數(shù)),所以數(shù)列an是以1為首

4、項,2為公比的等比數(shù)列.則an=2n-1(首項符合通項).故Sn=22n-1-1=2n-1,所以S1+S2+S100=(21+22+2100)-100=-100=2101-102.答案:2101-1026.(2020新高考全國卷)已知公比大于1的等比數(shù)列an滿足a2+a4=20,a3=8.(1)求an的通項公式;(2)記bm為an在區(qū)間(0,m(mN*)中的項的個數(shù),求數(shù)列bm的前100項和S100.【解析】(1)設an的公比為q.由題設得a1q+a1q3=20,a1q2=8.解得q=(舍去),或q=2,a1=2.所以an的通項公式為an=2n.(2)由題設及(1)知b1=0,且當2nm0,所

5、以a3=-4舍去,故a3=4.5.數(shù)列an的前n項和為Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n1),則an等于()A.34nB.34n+1C.D.【解析】選C.當n1時an+1=3Sn,則an+2=3Sn+1,所以an+2-an+1=3Sn+1-3Sn=3an+1,即an+2=4an+1,所以該數(shù)列從第2項開始是以4為公比的等比數(shù)列.又a2=3S1=3a1=3.所以an= 二、填空題(每小題5分,共15分)6.已知Sn是數(shù)列an的前n項和,Sn=2-2an+1,若a2=,則S5=.【解析】Sn是數(shù)列an的前n項和,Sn=2-2an+1,當n2時,Sn-1=2-2an,兩式相減得an=-2an+1

6、+2an,所以an+1=an,又a1=2-2a2=1,a2=,所以an是以1為首項,為公比的等比數(shù)列,則S5=.答案:7.等比數(shù)列an的前n項和為Sn,且4a1,2a2,a3成等差數(shù)列,若a1=1,則S4=.【解析】設等比數(shù)列an的公比為q,因為4a1,2a2,a3成等差數(shù)列,所以4a2=4a1+a3,所以4q=4+q2,即q2-4q+4=0,解得q=2,所以S4=15.答案:158.數(shù)列an滿足a1+a2+a3+an=5+2n(nN*),則a5=.【解析】根據(jù)題意,若a1+a2+a3+an=5+2n,則a1+a2+a3+an-1=5+2(n-1),-可得:an=2(n2),則an=2n+1(

7、n2),則a5=26=64.答案:64三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,且S3=9,a1,a3,a7成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)若數(shù)列an是遞增數(shù)列,數(shù)列bn滿足bn=,Tn是數(shù)列anbn的前n項和,求Tn.【解析】(1)等差數(shù)列an的公差設為d,S3=9,a1,a3,a7成等比數(shù)列,可得3a1+3d=9,=a1a7,即(a1+2d)2=a1(a1+6d),解得a1=3,d=0或a1=2,d=1,則an=3或an=n+1.(2)因為數(shù)列an是遞增數(shù)列,所以d0,即an=n+1,bn=2n+1,從而anbn=(n+1)2n+1,Tn=22

8、2+323+424+(n+1)2n+1,2Tn=223+324+425+(n+1)2n+2,-得-Tn=8+23+24+2n+1-(n+1)2n+2=8+-(n+1)2n+2=-n2n+2,所以Tn=n2n+2.10.已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足Sn=3an-2,數(shù)列nan的前n項和為Tn,求滿足Tn100的最小的n值.【解析】根據(jù)題意,數(shù)列an滿足Sn=3an-2,當n2時,有Sn-1=3an-1-2,-可得:an=3an-3an-1,可得2an=3an-1,當n=1時,有S1=a1=3a1-2,解得a1=1,則數(shù)列an是以a1=1為首項,公比為的等比數(shù)列,則an=,數(shù)列nan的前n項和為

9、Tn,則Tn=1+2+3+n,則Tn=+2+3+n,-可得-Tn=1+-n=-2-n,變形可得Tn=4+(2n-4),若Tn100,則4+(2n-4)100,即(2n-4)96,經驗證可知n7.故滿足Tn100的最小的n值為7.1.已知數(shù)列an的通項公式是an=f,其中f(x)=sin(x+)的部分圖象如圖所示,Sn為數(shù)列an的前n項和,則S2 019的值為()A.-1B.0C.D.1【解析】選B.由圖象可得=-=,即T=,=2,再將代入y=sin(2x+),可得+=2k+,kZ,即有=2k+,kZ,可令k=0,可得=,即f(x)=sin,an=f=sin,為最小正周期為6的數(shù)列,由a1=,a2=0,a3=-,a4=-,a5=0,a6=,可得一個周期的和為0,則S2 019=336S6+(a1+a2+a3)=0+0=0.2.已知遞減的等比數(shù)列an各項均為正數(shù),滿足a1a2a3=8,a1+1,a2+1,a3構成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)令bn=nan,求數(shù)列bn的前n項和Sn.【解析】(1)由等比數(shù)列性質可知a1 a2 a3 = = 8,所以a2=2,a1a3=4.由a1+1,a2+1,a3構成等差數(shù)列,可知a1+1+a3=2(a2+1