多自由有阻尼體系的受迫振動(dòng)實(shí)用課件

1、為了說明振型疊加法，先就以下幾個(gè)概念加以說明。 .3.14坐標(biāo)的耦聯(lián)與正則坐標(biāo) 1212 uuuu 通過前面給出的兩質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程知：由于方程組的未知數(shù)（坐標(biāo)） 和是耦聯(lián)的，也就是說必須聯(lián)立求解才能得到 和 的解，這種方程 稱為坐標(biāo)耦聯(lián)。坐標(biāo)耦聯(lián)又可以分為剛度（靜力）耦聯(lián)，以及慣性（加速 度或質(zhì)量）耦聯(lián)。因此，微分方程組耦聯(lián)的數(shù)目越少，方程的解法就越 簡(jiǎn)單。為此，引入廣義坐標(biāo)（獨(dú)立坐標(biāo)）的概念對(duì)微分方程組進(jìn)行耦聯(lián)。 12 , i T jn X qq qqqqu 對(duì)于一個(gè)n自由度體系，如果已知體系的振型，并引入一組新的坐 標(biāo)使新的坐標(biāo) 與原物理坐標(biāo) 之間形成一種線性 變換，即 1 n ii i u

2、XqX q （4.554.55） 1 n ii i uXqX q （4.554.55） 111121211 212122222 1122 1122 jjnn jjnn iiijijnin nnnjnjnnn uq Xq Xq Xq X uq Xq Xq Xq X uq Xq Xq Xq X uq Xq Xq Xq X （4.564.56） iij i uiXji qi 式中， 為質(zhì)點(diǎn)的位移坐標(biāo)，即微分方程組的解；為質(zhì)點(diǎn) 在 振型下的 相對(duì)位移幅值； 為 振型所對(duì)應(yīng)的廣義坐標(biāo)，又稱正則坐標(biāo)或振型坐標(biāo)。 .5由于方程組（4 6）還可以寫成： 1 122 = jjnn uXq X qX qX qX

3、q （4.574.57） T i X M將上式兩端同時(shí)左乘，得 1 122 TTTTT iiiijjinn X MuX MX qX MX qX MX qX MX q （4.584.58） 0. T iii X MX q由于振型關(guān)于質(zhì)量矩陣的正交性，上式右邊只有這一項(xiàng)不為 其他 項(xiàng)均為0，故得： TT iiii X MuX MX q （4.594.59） TT ii i T iii X MuX Mu q t X MXM （）=（4.604.60） i q tu t上式即為廣義坐標(biāo)（）與實(shí)際位移（）之間的關(guān)系。 4.3.2阻尼假設(shè) i j iu juC 對(duì)于粘滯阻尼，假定阻尼力的大小與質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的速

4、度成正比， 而阻尼力的方向與速度相反。在多自由度體系中，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)， 作用在質(zhì)點(diǎn) 上的阻尼力，除了受該點(diǎn)振動(dòng)速度 影響外，還要受到其 他質(zhì)點(diǎn) 振動(dòng)速度 的影響，所以多自由度體系的阻尼矩陣 為： 11121 21222 12 12 n n iiijin nnnn ccc ccc C cccc ccc ij Cji式中，為 質(zhì)點(diǎn)單位速度對(duì)質(zhì)點(diǎn) 所產(chǎn)生的阻尼力。 （4.614.61） 關(guān)于阻尼矩陣卻不滿足正交條件，因此在一般情況下，只能得到關(guān)于振 型坐標(biāo)的一組相互耦聯(lián)的微分方程。為了便于方程組解耦，使振型關(guān)于 阻尼矩陣正交，現(xiàn)介紹以下兩種多自由度體系中的阻尼假設(shè)。 .Rayleigh1阻尼 =C

5、MK （4.624.62） 式中， ， 為比例常數(shù)，這時(shí)，系統(tǒng)的各振型關(guān)于阻尼矩陣正交。即 () TTTT jijijiji X CXXMK XX MXX KX 2 0() ()() jjj ij cmij （4.634.63） j cjj 式中， 為第 階振型的廣義阻尼系數(shù)。從上式可以求出第 階振型的阻尼比 1 2 jj j （4.644.64） 另外，如果已知體系的第一、二階頻率和相應(yīng)的阻尼比，則可以利用下式求 出比例常數(shù) ， 。 2 111 2 222 =2 =2 （4.654.65） 1212212211 2222 2121 - = - 2（）2(） ， （4.664.66） 1 2

6、jj j （4.644.64） 阻尼比 . Caughey2 阻尼 .6 CaugheyRayleighRayleigh Rayleigh Rayleigh 阻尼又稱擴(kuò)展的阻尼。通過對(duì)上述阻尼的簡(jiǎn)介可知： 比例常數(shù) ， 是由第一、二頻率和阻尼比來確定的，而更高階的阻尼比則由 式（4 4）來確定。也就是說，阻尼僅可能在兩個(gè)頻率點(diǎn)上滿足等于 給定的阻尼比，而更高階的阻尼比一般并不和實(shí)測(cè)結(jié)果一致，并且所取得的 振型階數(shù)越高，誤差愈大，這就是阻尼的不足之處。因此，可采用如 下阻尼。 1 11 012 0 () n m m m CMKKMKMMK （4.674.67） 0121n Caughey ij

7、式中， ，為n個(gè)待定常數(shù)。利用廣義正交性可以證明阻 尼矩陣滿足正交性，即時(shí)， 1 1 0 ()0 n TTm iiimi m X CXX MMKX （4.684.68） = j i jCc 當(dāng)時(shí)，廣義阻尼矩陣中的主對(duì)角線元素 為 1 2 0 = n e jejj e cm （4.694.69） 從上式可得 1 21 0 1 2 n e jej e （4.704.70） nn將已知的 階自振頻率以及實(shí)測(cè)的 階阻尼比帶入上式，可以得到n個(gè)線性方程，聯(lián)立 求解可得n個(gè)待定常數(shù)，這就使得假設(shè)的各階阻尼比和實(shí)測(cè)結(jié)果完全吻合。 .2例4 23 =0.05 1800098980 02700/,9829419

8、610/, 002700196441 MkNsm KkN m 123 已知3個(gè)自由度體系的前三階振型阻尼比，結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣 分別為試求阻尼矩陣。 2 123 0 =13.445,30.144,46.661 KM 解：利用方程求得結(jié)構(gòu)的三階頻率分別為： ，（1 s） Rayleigh（1）假設(shè)為阻尼 121221 22 21 2211 22 21 .6 - =0.93 - - =0.0023 - 根據(jù)式（4 6），有 2（） 2(） .6故利用式（4 2），可得 392.80225.400 225.40927.30450.80/ 0450.801265.40 CkNs m 4.64)再

9、利用式（得體系的第三振型阻尼比為 3 10.93 =+0.0023*46.661 =0.0636 2 46.661 .2% 可見，由第一陣型和第二振型阻尼比求的第三振型與實(shí)測(cè)值 之間有較大差異（27）. Caughey（2）假設(shè)為阻尼 .7利用式（4 0）可得方程組： .0 = .5.4+.4+.4 .0 = .530.144+30.144+30.144 .0 = .546.661+46.661+46.661 3 012 3 012 3 012 0 5 0（13 45 13 4513 45） 0 5 0（） 0 5 0（） -7 =0.847=0.00284=-4.96 10.6 012 解的

10、，然后根據(jù)式（4 7），有 1 : 386.497198.80135.236 198.801807.952292.371/ 35.236292.371 1054.014 CMMKMK CkNs m 012 代入已知條件，得 4.3.3振型疊加法 .5Rayleigh利用阻尼假設(shè)將方程（4 4）轉(zhuǎn)化為 ( )MuMKuKuP t（） （4.714.71） 1 n ii i uXqX q （4.554.55） ( )MuMKuKuP t（） （4.714.71） ( )MXqMKXqKXqP t（）（4.724.72） ( )MXqMKXqKXqP t（） （4.724.72） T j X兩端左乘

11、 ( ) jjjjjjjj M qMKqK qF t（）（4.734.73） ( )=( ) T jj F tX P t 廣義荷載 j M兩端同除以 22 ( ) T j jjjjj j X P t qqq M （） 2 2 jjj 令 ( ) T j j j X P t P M 2 2 jjjjjjj qqqP （4.744.74） （4.754.75） ( )MuCuKuP t （4.544.54） 由此可見， ( )P t實(shí)際上是n個(gè)獨(dú)立的方程。如果荷載是簡(jiǎn)諧荷載或其他周期 荷載，則每一個(gè)方程均可按單自由度體系的方法求解；如果荷 載為其他一般性荷載，則方程可利用Duhamel積分進(jìn)行求解

12、。 .5 (0)(0)0,.7qqDuhamel 如果方程（4 4）的初始位移與初始速度均為0，即u(0)=u(0)=0, 則可以推得根據(jù)積分方程，（4 5）的解： () 0 1 ( )( )sin() jj t t jjj jj q tPetd M （4.764.76） 2 =1- jjj 式中， .5 .7 如果方程（4 4）的初始位移與初始速度不為0，則應(yīng)將由初始條件 引起的振動(dòng)疊加到式（4 6）中，即有： (0)(0) ( )(0)cossin jjt jj jjjj j qq q teqtt () 0 1 ( )sin() jj t t jj jj Petd M （4.774.77）

13、 (0)(0).6q q 對(duì)于初始條件和，可以式（4 0）求得： (0)(0) (0)=,(0)= TT ii ii ii X MuX Mu qq MM （4.784.78） （4.554.55） 1 n ii i uXqX q 上述求解方法是將運(yùn)動(dòng)方程的解用振型的線性疊加來表示，稱振型疊加法。 振型疊加法思路： 相互耦聯(lián)的微分方程求解n個(gè)相互獨(dú)立的微分方程 .3例4 12 1 2 1 1 .9 1,1 1,-1, ( ) (,0;0, 0) T T Y Y P t Pt t 如圖4 ，已知結(jié)構(gòu)的 兩個(gè)自振圓頻率分別 為、，結(jié)構(gòu)的第 一主振型與第二主振 型分別為、 試求結(jié) 構(gòu)在突加載荷 當(dāng) 當(dāng)

14、作用下的 位移和彎矩。 解：.5（1）利用式（4 5）建立正則坐標(biāo)變換 11 22 11 11 uq uY q uq (2)求廣義質(zhì)量 .5由式（4 2）得 111 222 01 1 12 01 01 112 01 T T m MY MYm m m MY MYm m (3)求廣義荷載 1 111 1 221 ( ) ( )( )1 1( ) 0 ( ) ( )( )11( ) 0 T T P t F TY P tP t P t F TY P tP t (4)求正則坐標(biāo) 4.76由式（），得 111 1 1 0 1 =( )sin() t qPtd M 1 111 2 11110 1 sin()

15、(1 cos) 22 t P Ptdt mm 1 22 2 2 =(1 cos) 2 P qt m (5)求質(zhì)點(diǎn)位移 根據(jù)坐標(biāo)變換，得 112 ( )1.0( ) 1.0( )u tq tq t 11 12 22 112 (1 cos)(1 cos) 22 PP tt mm 212 ( )1.0( ) 1.0( )u tq tq t 11 12 22 112 (1 cos)(1 cos) 22 PP tt mm (6)求彎矩 ( ) i Q tit設(shè)表示質(zhì)點(diǎn) 在任意時(shí)刻 所受的荷載和慣性力之和，則有 1 111112 1 21212 ( )= -( )-(coscos) 2 ( )= -( )

16、0-(coscos) 2 P Q tP mu tPtt P Q tP mu ttt 12則質(zhì)點(diǎn) 和質(zhì)點(diǎn) 處截面的彎矩為： 121 112 121 212 2( )( )1 ( )(1 cos)(1 cos) 3363 ( )2( )1 ( )(1 cos)(1 cos) 3363 Q tQ tPll M ttt Q tQ tPll Mttt 4.4動(dòng)力特性的實(shí)用計(jì)算方法 4.4.1kerDumley公式 kerDumley 在動(dòng)力分析中對(duì)體系的基頻迅速做出估計(jì)是很重要的，所以， 在此，先介紹估算第一頻率的公式. 以三個(gè)自由度體系為例，按柔度法建立的體系特征方程是 123 2 123 2 123

17、 2 1 1 0 1 mmm mmm mmm 111213 212223 313233 （4.794.79） 2 1 ij 式中，為體系的柔度系數(shù)。它的展開式是關(guān)于的三次代數(shù)方程 32 123 22 11 -(+)0mmm 112233 （4.804.80） 222 123 111 設(shè)方程的三個(gè)根為、 ，則寫成方程的形式如下 222222 123 111111 -=0 （4.814.81） 展開后，有 32 22222 123 11111 -+0 （4.824.82） .8.8比較式（4 2）和式（4 0），有 123 222 123 111 +=+mmm 112233 （4.834.83）

18、22 23 11 由于工程實(shí)際中的高頻部分較基頻高的多，所以，忽略上式左端的 高階頻、后，可以得到關(guān)于體系第一頻率的近似公式。 123 2 1 1 +mmm 112233 （4.844.84） kerkerDumleynDumley它就是給出的基頻計(jì)算公式，對(duì)于 個(gè)自由度體系 公式的一般形式為 2 1 1 1 n iii i m （4.854.85） 2 1 iiiiiiii mm k由于，所以上式又可寫成 22 1 1 11 n i ii （4.864.86） ker ker i Dumley mDumley 1 1 動(dòng)力分析中常常要求在改變體系的質(zhì)量、剛度參數(shù)時(shí)，對(duì)系統(tǒng)的基頻做出 迅速的估

19、算，公式對(duì)此可以方便的計(jì)算。設(shè)原多自由度體系的 基頻為，各質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量的增量為，則按公式質(zhì)量增加后體系 的基頻為 22 1111 11 11 +=+= nnnn iiiiiiiiiiiii iiii mmmmm （） （4.874.87） 4.84ker ker ker ker Dumley Dumley Dumley Dumley 由式（）可知，公式是在左端略去高頻項(xiàng)得到的，因而他給出 的基頻降低于實(shí)際值；另外，體系的高頻與基頻相差越大，公式 給出的結(jié)果也就越精確，反之，體系的高頻與基頻越接近，公式 的誤差也就越大，所以，公式對(duì)于有密集頻譜的肋板、連續(xù)梁和板 等結(jié)構(gòu)的計(jì)算精度較差。 123 .4

20、.1,ker 3 ml mmmDumley例4 對(duì)于圖4 0所示的簡(jiǎn)支梁，如果試用公式 求體系的基頻。 33 2581 =, 38883888 4.84 ll EIEI 113322 解:按圖乘法求得體系的柔度系數(shù)代入 公式（），有 33 2 1 12581 2+ 3888338883 lmllml EIEI 22 9.459.86 ,-4.15% EIEI lmlm 11 解之，得較精確解的誤差為。 12 -4-4 1 .5 .159200,50000, =2.13 10/,5.65 10/, =5.1620000 mN mN m kNm kN mN 1122 1 例4 如圖4 1所示，已知

21、不等高單層廠房 柔度系數(shù)另外，已經(jīng)求 出此廠房的基頻（1 s),如果廠房的質(zhì)量增加了， 試估計(jì)質(zhì)量變化后廠房的基頻。 .8解：按式（4 7），有 -3 222 1 11 111 =+2 2.13 10 5.16 n iii i m 11 1 4.90,.9,-1%ss 解之，得參數(shù)變化后的精確解為4 5估算的誤差為。 .4.2 Rayleigh4 能量法 max max 00 U W 根據(jù)能量守恒定律，如果忽視體系在振動(dòng)過程中的能量散失，例如 不計(jì)阻尼作用，則在任何時(shí)刻，系統(tǒng)的位能與動(dòng)能之和將保持一個(gè) 常數(shù)。由于體系在靜力平衡位置時(shí)的位能為零，因此，此時(shí)體系的 動(dòng)能最大，記為；同理，當(dāng)體系達(dá)到

22、最大位移時(shí)，由于此時(shí)速度 為 ，因而動(dòng)能為 ，所以全部能量均變?yōu)槲荒?，記為。由能量?恒可知。 maxmax =UW（4.884.88） 4.12設(shè)如圖所示的分布質(zhì)量體系中任一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為 ( , )( )sin()y x tY xt （4.894.89） ( , )( )cos()y x tY xt （4.904.90） 振型 由此得體系振動(dòng)時(shí)的動(dòng)能為 2222 00 11 ( )( , )cos ()( )( ) 22 ll Um x yx t dxtm x Yx dx （4.914.91） cos()=1t當(dāng)時(shí)，體系動(dòng)能最大，即 22 max 0 1 =( )( ) 2 l Um x

23、 Yx dx （4.924.92） 僅考慮彎曲變形時(shí)，體系的應(yīng)變能為 22 22 2 22 00 1( , )1( ) =( )sin ()( ) 22 ll y x td y x WEI xdxtEI xdx xdx （4.934.93） 同理，有 2 2 max 2 0 1( ) =( ) 2 l d y x WEI xdx dx （4.944.94） （4.924.92）、（）、（4.944.94） 代入 maxmax =UW （4.884.88） 2 2 2 0 2 2 0 ( ) ( ) = ( )( ) l l d y x EI xdx dx m x Yx dx （4.954.95

24、） ( )(1,2, ) .1.9 ( ) i m xnm in m x 如果體系除了分布質(zhì)量外，還有 個(gè)集中質(zhì)量 （圖4 3），這時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)能除了式（4 1）所表示了分布質(zhì)量 的動(dòng)能外，還應(yīng)包括集中質(zhì)量的動(dòng)能，即 22 0 1 11 ( )( , )+( , ) 22 n l ii i Um x yx t dxm yx t （4.964.96） 那么，此時(shí)體系的最大動(dòng)能則為 2222 max 0 1 11 ( )( )+( ) 22 n l ii i Um x Yx dxmYx （4.974.97） .9這樣，式（4 5）將改為： 2 2 0 22 0 1 ( )( ) = ( )( )(

25、 ) l n l ii i EI x Yxdx m x Yx dxmYx （4.984.98） ( ) ( )( ) RayleighRayleigh m x g Y x 法僅用來計(jì)算基本頻率，因此，為了求第一頻率， 建議：可以用作用于體系上的自重荷載在振動(dòng)方向上產(chǎn)生的靜 位移當(dāng)做第一陣型注意：如果考慮水平振動(dòng)，則重力應(yīng)沿水平 方向作用，這樣它的做功可表示為： 0 1 ( )( ) 2 l Wm x gY x dx （4.994.99） 4.98因此，對(duì)于既有分布質(zhì)量又有集中質(zhì)量的結(jié)構(gòu)體系，式（）改寫： 0 2 1 22 0 1 ( )( )+( ) = ( )( )( ) n l ii i

26、n l ii i m x gY x dxm gY x m x Yx dxmYx （4.1004.100） ( )q x當(dāng)然，也可以取結(jié)構(gòu)在某一靜荷載作用下所產(chǎn)生的彈性曲線 作為振型曲線的近似表達(dá)式，這樣，上式又可改寫為： 2 0 22 0 1 ( ) ( ) = ( )( )( ) l n l ii i q x Y x dx m x Yx dxmYx （4.1014.101） .6EIm例4 試用能量法求等截面簡(jiǎn)支梁（為常數(shù)，分布質(zhì)量為 ）的第 一頻率。 解： ( )Y x（1）假設(shè)等截面簡(jiǎn)支梁的一階振型曲線為一拋物線 2 4 ( )=() ax Y xlx l 0(0)=0( )=0 xYx

27、lY l當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，可見此拋物線滿足邊界條件， 又有 2 22 8d Ya dxl 4.98由式（）得 2 2 23 2 0 2 0 22 2 0 2 0 8 ( )( ) 64 = 815 4 ( )( ) () l l l l a EIdx EI x Yxdx EIall ma l ax m x Yx dx mlxdx l 2 10.95 = EI lm 所以， (2)( ),qY x取均布荷載 作用下的繞度曲線為振型曲線則 433 ( )(3) 24 q Y xxl xlx EI 2 2 2 5 0 2 22 4339 0 (1212 ) 12024 = 31 (3) 2424630

28、l l q EIxlxdx q lEIEI qq mxl xlxdxml EIEI 4.98由式（）得 故有 2 9.87 = EI lm (3)設(shè)形狀函數(shù)為正旋曲線，即 ( )sin x Y xa l 2 9.8696 4.98 EI lm 代入式（），同理可得 2 =9.8696 EI m l 由此可見，由于正弦曲線是第一主振型的精確解，因此由求得的頻率 （）是第一頻率的精確解。另外，所選的前兩種曲線， 因?yàn)榇蟛糠只蛉繚M足邊界條件，因此所得結(jié)果誤差較小，但均比精確 值大，這時(shí)能量法的一個(gè)特點(diǎn)，因?yàn)榧俣ǖ那€并非真實(shí)的振型曲線， 即相當(dāng)于給結(jié)構(gòu)增加了某些多余約束，從而增大了體系的剛度，因此

29、所 得的頻率將偏大。 4.4.3 Ritz法 用能量法求體系的第一頻率，精確度取決于假設(shè)振型的精確程度， 并且只能求得振動(dòng)基頻的上限（比真實(shí)值大）。 RitzRayleighRitzHamilton 為了求出高階頻率的近似值，以及使最低頻率更接近于精確解， 發(fā)展了的能量法。法是建立在變分原理基礎(chǔ) 上的，是將變分問題轉(zhuǎn)換為求多個(gè)變量函數(shù)的極值問題。 Hamilton UWW 原理是分析動(dòng)力學(xué)的一個(gè)變分原理，它提供了從一切可 能發(fā)生的、滿足約束條件的運(yùn)動(dòng)中判斷真正的實(shí)際發(fā)生的運(yùn)動(dòng)的準(zhǔn) 則，對(duì)于實(shí)際發(fā)生的運(yùn)動(dòng)，彈性體系的動(dòng)能 、勢(shì)能和虛功必 須滿足 22 11 ()0 tt tt WU dtWdt

30、（4.1024.102） 0WHamilton 對(duì)于周期性的（積分上下限可取一個(gè)周期，即0與2）、無阻尼 結(jié)構(gòu)體系自由振動(dòng)問題，上式中虛功為 ，原理可表述為： 在所有的可能運(yùn)動(dòng)狀態(tài)中，精確解使 ()=WU dt 2 0 駐值 （4.1034.103） 4.92.9將式（）及式（4 4）代入上式，由于時(shí)間的積分范圍取一個(gè) 周期，故有， 2 2 2 =( )( )( ) 2 EI Yxdxm x Yx dx 1 駐值 2 （4.1044.104） ( )Y x設(shè)為假定的振型曲線，將它按振型分解 1122 1 ( )( )( )( )( ) n nnii i Y xa y xa yxa yxa y

31、x （4.1054.105） 1122 1 ( )( )( )( )( ) n nnii i Y xa y xa yxa yxa y x （4.1054.105） ( ) .1 Y xna式中，是滿足位移邊界條件的 個(gè)獨(dú)立位移函數(shù)， 是待定參數(shù)。 將上式代入（4 04），有 2 1122 =( )( )( ) nn EI a y xa yxa yxdx 1 2 2 2 1122 0 -( )( )( )( ) 2 l nn m xa y xa yxa yxdx 2 ,1,1 =( )( )( )( )( ) nn jiijjiij j ij i a aEIy x yx dxa am x y x

32、 yx dx 1 2 令 00 ( )( ),( )( )( ) ll ijijijij kEIy x yx dx mm x y x yx dx （4.1074.107） （4.1064.106） 得 2 11 =() nn ijijij ij km a a 1 2 0,(1, ), i in a 應(yīng)用駐值條件有 2 1 ()0,(1, ) n ijijj j km ain （4.1084.108） 寫成矩陣形式為 2 KMa()= 0（4.1094.109） .1矩陣中的各項(xiàng)按式（4 06）取值。根據(jù)克萊姆法則，若方程有非0解， 其行列式應(yīng)為0，即 2 =0KM （4.1104.110） 2

33、 nn由于上式是關(guān)于的 次代數(shù)方程，故可求出最初 個(gè)自振頻率的近似值。 4.7 .1Ritz例利用法求等截面懸臂梁的自振頻率（圖4 4） 解： 設(shè)近似振型為 22 12 ( )11 xxx Y xaa lll .1 ijij km利用式（4 06）求得常數(shù)與如下： 33 33 42 530 , 24 30105 EIEImlml ll KM EIEImlml ll 22 33 22 33 42 - 530 =0 24 - 30105 EImlEIml ll EImlEIml ll 2 242232 0.794-97212000()0m lEImlEI l 即 方程的根為 1 44 2 44 =

34、3.55(3.516) =34.81(22.035) EIEI mlml EIEI mlml 精確值為； 精確值為 故頻率方程為 2 為了改善的計(jì)算精度，可采用以下四個(gè)函數(shù)： 11223344 ( )( )( )( )( )Y xa y xa yxa yxa yx 22 123 2 4 ( )= 1-( )1-( )0.51- ( )0.750.251- xxxxxx y xyxyx llllll xxxx yx llll 2 其中， ， 12 44 2=3.516=22.159 EIEI mlml 同理，求得結(jié)構(gòu)的前 階頻率分別為， 可見，如要得到更精確的值更好在假設(shè)振型的級(jí)數(shù)中取更多一些項(xiàng)

35、。 4.4.4矩陣迭代法 Stodola矩陣迭代法又稱法或冪法，它是采用逐步逼近的計(jì)算方法來確定 結(jié)構(gòu)的頻率和振型，它適用于求出結(jié)構(gòu)的前幾階振型和頻率。 對(duì)于多自由度體系其自由振動(dòng)方程可表示為 2 KXMX （4.1114.111） 1 2 1 K 上式兩端同時(shí)左乘 1 2 1 XK MX （4.1124.112） 1 2 1 =K M 令，上式為 XX （4.1134.113） 0 X現(xiàn)假定是第一振型的第一次近似解，并進(jìn)行了歸一化處理（即其中某 一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，通常為第一個(gè)或第n個(gè)的振幅為1），代入上式左邊，并令 10 XX （4.1144.114） 0 X如果是第一振型的真實(shí)解，則必有 10 X

36、X （4.1154.115） 如果不滿足上式，再令 01 =XX （4.1164.116） 重復(fù)此迭代過程，直到相鄰兩次的迭代結(jié)果相近。 X X 在此必須指出：由于振型列向量所表達(dá)的物理含義是質(zhì)點(diǎn)之間的相對(duì)位 移，不是絕對(duì)值而是相對(duì)值，所以，在進(jìn)行每次迭代之前，都應(yīng)將振 型做歸一化處理，這樣才能便于迭代前后兩個(gè)振型之間的比較，并 更有效的求出真值。 5 .8 25500014.469.030 025400,9.0317.268.2310/ 0056008.238.23 MK Mt KkN m 例4 某三個(gè)自由度體系，其質(zhì)量矩陣和剛度矩陣 分別為 試用矩陣迭代法解結(jié)構(gòu)的一階頻率和振型。 解：因?yàn)?/p>

37、 -15 0.18420.18420.1842 0.18420.29490.294910/ 0.18420.29490.4164 KkN m -15 469.6133467.7716103.1308 =469.6133749.0562165.146310 469.6133749.0562233.1900 K M 所以 0 1 1 1,.1 T X設(shè)代入式（4 14），有 152 469.6133467.7716103.130811.0405 469.6133749.0562165.14631011.383810 469.6133749.0562233.190011.4519 X 1 (1) 0

38、1 (1) 0.7170.953 1.000 T X XX 振型歸一化，有。因此此時(shí) ，所以要進(jìn)行第二次迭代。 0 0.7170.953 1.000 4.114 T X第二次迭代時(shí)，令，再代 入式（），有 152 469.6133467.7716103.13080.7170.8855 469.6133749.0562165.1463100.9531.215610 469.6133749.0562233.19001.0001.2837 X 1 (2) 1 (3) 11 (2)(3) 0.68980.94701.000 0.68700.94621.000 T T X X XX 歸一化后，有，重復(fù)以

39、上過程， 進(jìn)行第三次迭代，有，結(jié)果已 十分接近（）。所以一階振型的近似解為 1 0.68700.94621.000 T X .1故按式（4 12），有 5 0.6870469.6133467.7716103.13080.6870 0.9462 = 469.6133749.0562165.1463100.9462 1.000469.6133749.0562233.19001.000 2 1 注意到上式為3個(gè)獨(dú)立的方程，可按其中任一式求解，如按第3個(gè)方程， 則有 5 1.0= 469.6133 0.6870+749.0562 0.9462+233.190 110 2 1 故得 1=8.89 /ra

40、d s 1 (2) .1X 下面證明用迭代法求出的頻率和振型就是體系第一頻率及相應(yīng)的振型 由式（4 14）可知：經(jīng)過兩次迭代后，振型向量（下標(biāo)表示迭代次 數(shù)）為 1100 (2)(1) =XXXX 2 （）= k同理，通過 次迭代后 1100 ( ) = kk k XXX （）= 0 i XX由于所假定的可表示為體系真實(shí)振型向量的線性組合 0 1122 = nn XXXX ii Xi式中，為常數(shù)，為體系的第 階振型。 2 1 (,) iiii i XX ii 所以，根據(jù)表示第 階振型有 0 1122 = nn XXXX 111222 = nnn XXX 同理可得 0 111222 = kkkk

41、 nnn XXXX 1 k 上式兩端同除以，有 02 1122 111 1 = kk kn nn k XXXX 1212 1 00 0 nn k i k 因?yàn)?，即，也就?說：當(dāng) 充分大時(shí)，所以有 10 ( )111 kk k XXX 0 1 11 k k kXX 可見，經(jīng)過 次迭代后，與第一振型的精確解僅差常 數(shù)項(xiàng)，而每次迭代后所作的歸一化處理又可以消除常數(shù) 項(xiàng)的影響，故多次迭代后 1 ( )1k XX 1 12 =0 =0 i 振型迭代法不僅可以求解體系的基頻和一階振型，也能用來 確定高階頻率和相應(yīng)的振型。但是要做到這一點(diǎn)，必須對(duì)假 定的迭代向量做適當(dāng)?shù)奶幚?，即為了確定第二振型，必須在 假

42、定的迭代向量中消除第一振型的影響；在確定第三振型時(shí)， 則消除第一和第二振型的影響，以此類推。按照這一規(guī)律， 如果迭代前，令，迭代的最終結(jié)果將收斂于第二振型；令 ，將收斂于第三振型，以此類推。所以用迭代法求體 系第 階頻率或振型的具體方法如下： T ii XXM將振型向量的線性組合兩邊左乘，并利用振型的 正交性，有 0 11 =+ TTTT iiiiinin X MXX MXX MXX MX = T iii X MX 故有 0 = T i i T ii X MX X MX 0 1 r jjj j r XX 為了在假設(shè)的振型中消除前面的 階振型分量，可取初始迭代 向量為，將代入，則有 0 000

43、11 = T rr j jjjr T jj jj XMX XXXXS X XMX 1 = T r j rj T j jj XM SEX XMX 式中，為清型矩陣。 .1.1 .1 rr r S 在實(shí)際迭代過程中，為了避免振型中可能含有的前 階振型分量, 要求每次都要用清型后的矩陣來前乘。也就是說，用矩陣迭代法 求體系的第一頻率時(shí)可按式（4 13）（4 16）的過程進(jìn)行；而高 階頻率時(shí)，則用代替式（4 13）中的 ，然后進(jìn)行矩陣迭 代即可。 .9.8例4 求例4 的第二振型與頻率。 解： 11 ,XM K 由于已知，故有 11 2550000.6870 = 0.68700.94621.00002

44、54000.9462 005601.000 T X MX =4037.60 11 0.6870255000 = 0.94620.68700.94621.000025400 1.00000560 T X X M 3 1.20351.65110.3847 = 1.65762.27400.529910 1.75192.40330.5600 3 1 11.20351.65110.3847 11.65762.27400.529910 /4037.60 11.75192.40330.5600 S 0.70190.40890.0953 0.41050.43680.1312 0.43390.59520.861

45、3 5 11 469.6133467.7716103.1308 469.6133749.0562165.146310 469.6133749.0562233.1900 S 0.70190.40890.0953 0.41050.43680.1312 0.43390.59520.8613 3 0.92840.49120.1731 0.49540.36830.008110 0.79070.03680.5780 0 2 1 = 1.001.00-1.004.8X 設(shè)二階振型的初始近似值為，再按例的 矩陣迭代法進(jìn)行迭代，其中 取 。 2 2 0.980.491.00,27.20/ T Xrad s 結(jié)果

46、有 4.4.5子空間迭代法 子空間迭代法也稱平行迭代法。 Ritz實(shí)質(zhì)就是對(duì)一組試驗(yàn)向量反復(fù)的使用法和矩陣迭代法。 矩陣迭代法每次只能求出矩陣的一個(gè)特征值和特征向量。子空 間迭代法一次可求矩陣的前幾個(gè)最大的特征值及特征向量。 12 12 12 () n p p XXX p pn npYYYRitz XXX 原理： 矩陣X 的原n個(gè)線性無關(guān)的特征向量（振型）， ， 構(gòu)成一個(gè)n維向量空間，先任取個(gè)線性無關(guān)的向量形成 的 維子空間 ， ， ，然后，反復(fù)使用法和矩陣迭代 法，使p個(gè)試驗(yàn)向量的低階振型分量不斷的相對(duì)放大，最總都向 低階特征向量， ，所形成的子空間靠攏。 121p ii p YYYX Y

47、注意： 如果只對(duì) 維子空間向量進(jìn)行迭代而不進(jìn)行正交化處理，則 ， ， ，最終都收斂于一階振型，所以，迭代過程中必須 對(duì)其做質(zhì)量矩陣M的正交化處理，使 逼近X。 12p ppnp XXXnp 0 子空間迭代具體過程： 若要求X的前 個(gè)特征值及其相應(yīng)的特征向量（），先取 個(gè) 線性無關(guān)的向量， ，構(gòu)成的初始矩陣，并令此初 始矩陣為 0 12 = p XXX 0 ， ， 1 =K M 用矩陣左乘上式，有 （4.1174.117） 1 = 0 （4.1184.118） 1 對(duì)進(jìn)行正交化處理，使其各列向量迭代后分別趨于不同階的振 型，而不是都趨于第一振型，為此，令 1 =Z1（4.1194.119） 12

48、 = p ZZZZZ 式中， 為待定系數(shù)矩陣，可表示為， ,，利用廣義 質(zhì)量和廣義剛度矩陣 1111 1111 () () T T Mm Kk （4.1204.120） pp將原問題簡(jiǎn)化為階的特征值問題，因此有 11 KM 2 （-）Z=0（4.1214.121） 111 12 , p pnp ZZZp 由于，因此，可求的 階自振頻率和對(duì)應(yīng)的待定系數(shù)向量的 第一次近似值， ，由此可求的體系 階振型的第一 次近似值為 1 =Z1 2 222 12 , p Ritz ZZZ p 1 同理，再用 左乘后得到，再利用法求得待定系數(shù)向量 的第二次近似值， ，重復(fù)上述迭代過程，計(jì)算結(jié) 果將收斂于體系的前

49、階振型和頻率。 123 4.101,1,mmmk例已知樓層側(cè)移剛度均為利用子空間迭 代法求前兩階振型。 1 210100111 121010=122 011001123 KMK M 解：，則 取前兩階振型的初始近似值為 01 2.250.75 0.50.751 = 4.00.5 10.5-0.75 5.0-0.25 T 00 ，利用 1 0.451 = 0.800.67 1.00-0.33 歸一化后，有，求解廣義質(zhì)量矩陣和廣義剛度 矩陣 1111 1.83360.6501 () 0.6501 1.5556 T Mm 1111 0.3650.133 () 0.1332.111 T Kk 11 .

50、4-4.2842+0.7528=0 KM 2 42 若（-）Z=0有非零解，則有 2 436 12 121 212 =0.197=1.555 0.0002; =-0.351 ZZ ZZ 22 解得： ， 對(duì)于，有： 對(duì)于，有： 1 1.000.351 0.00021.00 Z 故有 11 0.44980.8421 = 0.79990.3859 1.00.6843 Z 1 因此，第一近似的一、二階振型為 , 0.44981.0 = 0.79990.4583 1.00.8126 1 歸一化后 有 2 2 0.44551 0.8020.4513 1.000.8072 1 1 再對(duì)左乘算子 得 作廣義

51、質(zhì)量振型和廣義剛度矩陣的第二近似為 222 222 1.84170.0002 () 0.00021.8553 0.36470.0007 () 0.00072.8849 T T Mm Kk 22 RitzKM 2 再次歸結(jié)為特征值問題。若（-）Z=0有非零解， 則有 3.4169-5.9897+1.0521=0 42 12 121 212 2 =0.198=1.5549 0.0606; =-0.0002 1.000.0002 0.06061.00 ZZ ZZ Z 22 解得 ， 對(duì)于，有： 對(duì)于，有： 故有 22 0.38491.0 = 0.774650.45146 1.048920.807 Z

52、 2 因此，第二次近似的一、二階振型為 12 , 0.36691.0 = 0.73850.4514 1.00.8069 =0.198=1.5549 2 22 歸一化后 有 由第二輪迭代得到的，與真實(shí)解差別 已經(jīng)很小了。 4.5動(dòng)力反應(yīng)數(shù)值分析方法 ( )P t DuhamelFourier DuhamelFourier 對(duì)結(jié)構(gòu)體系，當(dāng)外載為解析函數(shù)時(shí)，采用時(shí)域分析方 法中的積分法或頻域分析法中的變換方法等， 一般都可以得到體系動(dòng)力反應(yīng)的解。但這兩種方法均是基于 疊加原理，要求結(jié)構(gòu)體系是線彈性的，而且當(dāng)載荷沒有解析 表示式（如地震荷載）或解析式太復(fù)雜時(shí)，疊加原理將不再 適用，也就是說，積分、變換

53、或振型疊加法 此時(shí)失效，因此只能采用數(shù)值分析方法。 目前最常用最有效的數(shù)值方法就是時(shí)域內(nèi)的逐步積分法，或稱 直接積分法、時(shí)程分析法，該方法是通過直接求解振動(dòng)方程來 確定結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)的方法。 Newmark Wilson 分段解析法 中心差分法 平均加速度法 逐步積分法 線性加速度法 法 法 NewmarkWilson 顯式方法：在每一步內(nèi)計(jì)算新的反應(yīng)值僅僅依賴于前面步驟已經(jīng) 獲得的量。 中心差分法等 隱式方法：在每一步長給出新值的表達(dá)式中包含了與本步有關(guān)的 一個(gè)或多個(gè)值，所以，必須假定所需要的試驗(yàn)值，然 后反復(fù)迭代才能求出下一步的初始值。 法、法 1 1 0 (), N N t t Et 收斂

54、性，即當(dāng)積分步長時(shí)，數(shù)值 解是否收斂于精確解。 穩(wěn)定性，當(dāng)計(jì)算總步長增大時(shí)，數(shù)值解 評(píng)價(jià)逐步積分的優(yōu)劣標(biāo)準(zhǔn) 是否遠(yuǎn)離精確值。 計(jì)算精度，即截?cái)嗾`差與時(shí)間步長的關(guān) 系，如果誤差 則稱為該方法具有N階精度。 下面以單自由度體系為例，簡(jiǎn)單介紹其中的幾種方法。 .5.14 中心差分法 t處，單質(zhì)點(diǎn)的震在時(shí)刻動(dòng)方程為 ( )( )( )( )mu tcu tku tP t（4.1224.122） 1iii fb iii tt tt tuu 如果采用等時(shí)間步長（=- ）,則速度在時(shí)刻 處得向前差分和向后差分分別為 11 =,= fb iiii ii uuuu uu tt 所以其中心差分為 11 22 fb

55、 iiii i uuuu u t 同理，可得其加速度的中心差分近似為 11 2 2 iii i uuu u t （4.1234.123） （4.1244.124） （4.1254.125） .1.1.1將式（4 24）和式（4 25）代入式（4 22）有 1111 2 2 + 2 iiiii ii uuuuu mckuP tt 111 1 iiii i tuut u 如果已知 時(shí)刻，以前的位移，則時(shí)刻的 位移可由下式求解： 11 222 2 22 iiii mcmcm uPk uu ttttt 1 .1.1 , , i t m c kP 而時(shí)刻的速度和加速度則可由式（4 24）和式（4 25）

56、 求得。上式即為單自由度體系的中心差分法計(jì)算公式。 對(duì)于多自由度體系，只需將參數(shù)和 改寫成矩陣或 向量的形式即可 （4.1264.126） （4.1274.127） 00 (0),(0)uuuu對(duì)于初始條件為的單質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方程，中心 差分法的具體迭代步驟為： 0000 1 (),uPcuku m 1）計(jì)算基本數(shù)據(jù)和初始條件 2 1000 2 t uutuu 1 2).1 ii tt 根據(jù) 及以前時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)，利用式（4 27）計(jì)算時(shí)刻的 1i u 位移。 3）重復(fù)上述計(jì)算步驟可得體系在整個(gè)時(shí)間段的動(dòng)力反應(yīng)。 11 ,tTT 以上的計(jì)算公式具有2階精度，其穩(wěn)定條件為 為體系的最小自振周期。雖然中心差

57、分法是有條件穩(wěn)定的， 但由于其為顯式積分，具有計(jì)算效率高的優(yōu)點(diǎn)，在很多情況 下得到廣泛應(yīng)用。 .5.24 平均常加速度法 1 ( )+( +) 4.15, iiiii t tu ttt tu tt 考慮一單自由度體系，假定在 內(nèi)質(zhì)點(diǎn)加速度為常數(shù)，它 等于質(zhì)點(diǎn)在 時(shí)刻的加速度和=時(shí)刻的加速度 的平均值 圖（a）即有 +1 ( )+ () (+)= 2 ii ii u tu t u ttt ， （4.1284.128） 1 .1 it t ttt 故質(zhì)點(diǎn)的速度在時(shí)段內(nèi)呈線性變化圖4 5（b），并 且在時(shí)刻的速度為 1 ( )() ()= ( )+ ()= ( )+ 2 ii iiiii u tu

58、t u ttu tu tttt u tt ， （4.1294.129） .1t位移在時(shí)段按拋物線變化圖4 5（c），并且在時(shí)段 末的加速度為 21 ( )() ()= ( )+ ( )+ 4 ii iii u tu t u ttu tu ttt （4.1304.130） .1tt對(duì)于式（4 22）的單質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程，在時(shí)刻處，則 有 ()( )()()mu ttc u tku ttP tt （4.1314.131） .1.2式（4 31）與式（4 2）相減，可以得到增量形式表示的 振動(dòng)方程為 ( )( )( )( )m u tc u tk u tP t （4.1324.132） 其中 ( )=

59、()- ( ) ( )= ()- ( ) ( )= ()- ( ) ( )= ()- ( ) u tu tt u t u tu tt u t u tu tt u t P tP tt P t （4.1334.133） .1將速度按式（4 29）改寫成增量形式 1 1 ( )() = ()- ( )= 2 ()( )21 ( )( )( ) 222 ii iii ii iii u tu t u u ttu tt u tu t u tttu ttu tt （4.1344.134） 同理，位移增量形式為 22 11 = ( )( )+( ) 24 iii u u ttu ttu tt （4.1354.

60、135） .1由式（4 32）得 ( )=-( )( ) ckP u tu tu t mmm （4.1364.136） .1由式（4 33）求得加速度增量 2 44 ( )=( )-( )2 ( ) ii k u tu tu tu t tt （4.1374.137） .1并回代入式（4 34），有 2 =-2uuu t （4.1384.138） .1.1.1將式（4 37）和式（4 38）代入式（4 32），得 ( )( ) ii K u tP t （4.1394.139） 式中 2 24 =K kcm tt （4.1404.140） 4 ( )( )( )2 ( )2( ) iiiii k