黎曼積分和勒貝格積分定義的比較

1、目目 錄錄 1 1 引言引言.1 2 2 積分理論的發(fā)展積分理論的發(fā)展.1 3 3 黎曼積分和勒貝格積分定義的比較黎曼積分和勒貝格積分定義的比較.2 3.1 黎曼黎曼積分積分.2 3.2 勒貝格勒貝格積分積分.3 4 4 黎曼積分與勒貝格積分的關系黎曼積分與勒貝格積分的關系.4 5 5 黎曼積分和勒貝格積分性質的比較黎曼積分和勒貝格積分性質的比較.5 5.1 被積函數(shù)絕對可積性的比較被積函數(shù)絕對可積性的比較.5 5.2 被積函數(shù)的有界性的比較被積函數(shù)的有界性的比較.5 5.3 中值定理中值定理.6 5.4 被積函數(shù)連續(xù)性的比較被積函數(shù)連續(xù)性的比較.7 5.5 收斂條件收斂條件.7 6 6 黎曼

2、積分（廣義）與勒貝格積分區(qū)別及聯(lián)系黎曼積分（廣義）與勒貝格積分區(qū)別及聯(lián)系.9 7 7 勒貝格積分的某些推廣勒貝格積分的某些推廣.10 8 8 結束語結束語.11 參考文獻參考文獻.12 致謝致謝.13 黎曼積分和勒貝格積分的比較 數(shù)學系本數(shù)學系本 10011001 班班 王海榮王海榮 指導老師：張炎彪指導老師：張炎彪 摘 要：本文章我們將從學習過的黎曼積分和勒貝格積分的知識出發(fā)，探討 和歸納出黎曼積分和勒貝格積分兩者之間的區(qū)別與聯(lián)系，通過兩者的定義、被 積函數(shù)的連續(xù)性，有界性、收斂條件、中值定理、絕對可積性以及廣義黎曼積 分和勒貝格積分的比較上，從而說明了勒貝格積分在處理一些黎曼積分難以解 決

3、的問題上時比較的具有優(yōu)勢，同時還指出了勒貝格積分是黎曼積分的重要推 廣，但是卻不是黎曼反常積分的推廣。 關鍵詞：黎曼積分，勒貝格積分，連續(xù)性，有界性。 Riemann integral and the Lebesgue integral Wang Hairong Class1001，Mathematics Department Tutor:Zhang Yanbiao Abstract : In my thesis, based on the knowledge of the Riemann integral and the Lebesgue integral, we want to explo

4、re and summarize the difference and connection between the Riemann integral and the Lebesgue integral. Through the definition of both items, the continuity and boundedness of the integrand, the convergence condition, the intermediate value theorem, absolute Integrability and the comparison of the br

5、oad sense of Riemann integral and the Lebesgue integral, It shows Lebesgue integral has some advantages in the treatment of some difficult problems on Riemann integral, and also pointes out that the Lebesgue integral is an important generalization of Riemann integral, and it is not the promotion of

6、Riemann anomalous integral. Keywords: Riemann integral, Lebesgue integral, continuity, boundedness. 1 引言 黎曼積分和勒貝格積分分別是數(shù)學分析和實變函數(shù)的主要核心內(nèi)容。雖然 萊布尼茨和牛頓兩人發(fā)現(xiàn)了微積分，而且還給出了定積分的相關論述，但是現(xiàn) 在我們所學習的教科書中有關定積分的現(xiàn)代化定義是黎曼積分給出來的。勒貝 格積分是黎曼積分非常重要的推廣，勒貝格積分與黎曼積分的最主要不同在于 前者是對函數(shù)的函數(shù)值的區(qū)域進行定義區(qū)分，而后者是對函數(shù)定義域進行定義 劃分。這兩種積分既有聯(lián)系又有區(qū)別，通過對這兩

7、種積分的對比研究，可以讓 我們加深對積分理論及應用的更多理解。 研究清楚這些問題對我們學習數(shù)學非常重要，所以以下我們將對這些問題 進行一一深入探討與研究。 2 積分理論的發(fā)展 在很早的時候柯西對連續(xù)函數(shù)做出了積分的定義。黎曼在柯西的基礎上對 “基本上”連續(xù)的函數(shù)積分進一步給出了相關定義。很早之前人們運用黎曼積 分來進行計算曲邊形的面積、物體的重心以及物理學上的功和能等方面都是很 方便的。但是隨著深入的認識，人們便開始經(jīng)常地去處理解決一些復雜的函數(shù)。 例如由一列性質優(yōu)良的函數(shù)組成的級數(shù)所定義出來的函數(shù)，和兩個變元的函數(shù) 對一個變元積分后所得到的一元函數(shù)等。在談論它們的可積性、可微性、連續(xù) 性時，

8、經(jīng)常遇到極限與積分能否交換順序的相似問題，通常只有在很強的假定 下（一致收斂）才能對這種問題作出確定性的回答。所以，人們在理論和使用 上都急切的想要建立一種新的積分，它既能夠維持黎曼積分在計算和幾何直觀 上具有有效性，又能夠確保極限與積分交換順序等條件上有很大的改良與突破。 這就需要對黎曼積分概念進行改良。把積分學推向進步的是勒貝格，他在 1902 年成功引進一種新的積分勒貝格積分，同時還引入了一門新的數(shù)學分支學 科實變函數(shù)論。 勒貝格理論主要包括勒貝格積分概念、點集的測度和可測函數(shù)，1872 年， 康托提出集合論，引進了點集的概念，間斷點可以看做一個整體進行考察，這 樣子就為間斷點與可積性關

9、系的探究提供了辦法，勒貝格在原來的基礎上推廣 了長度，建立點集測度的概念，與此同時，定義了內(nèi)測度和外測度)(Em ，如果時，我們稱為可測集，并稱內(nèi)測度和外測度的公)(Em)()(EmEm E 共值為點集的測度。勒貝格的測度概念把黎曼可積函數(shù)類變得非常的了然。IE 勒貝格又把可測集上的函數(shù)定義為可測函數(shù)，那么是一有界可測集，是E)(xf 定義在上的實函數(shù)，如果對任一實數(shù)，點集還是勒貝格可Ea)(:axfxE 測集，則)(xf 是上的可測函數(shù)。容易知道，可測函數(shù)不是連續(xù)函數(shù)的簡單推廣，它是在測E 度論基礎上構造出來的，但它能把連續(xù)函數(shù)、可導函數(shù)、單調函數(shù)作為特例加 以概括。能夠證明，區(qū)間上的任意連

10、續(xù)函數(shù)都是可測函數(shù)，狄利克雷函數(shù)則是 不連續(xù)的可測函數(shù)。利用可測函數(shù)，在研究黎曼積分的定義方式后，考慮到由 于間斷點所造成的振幅過大的困難，勒貝格大膽地改變了對黎曼積分作函數(shù)定 義域分割的方法，而采用對函數(shù)值域分割的方法，從而尋求到“縮小”振幅， 消除間斷點困難的簡單、巧妙而富有哲理性的逆向思維方式。并在點集論、測 度論、可測函數(shù)等已有基本概念上創(chuàng)建一種新的積分類型勒貝格積分。徹 底解決了黎曼積分自身局限性所造成的各種困難問題，定義了他自己的積分概 念。這兩種積分既有區(qū)別又有聯(lián)系，通過對這兩種積分的對比研究，能讓我們 加深對積分理論及應用的理解。 3 黎曼積分和勒貝格積分定義的比較 3.13.

11、1 黎曼積分黎曼積分 黎曼積分是為了處理計算平面上封閉曲線圍成圖形的面積問題而產(chǎn)生的,它 是從劃分閉區(qū)間上著手,利用極限想法來進行定義的。ba, 定義 1 設函數(shù)在上有以下定義。隨意給一個劃分：)(xfba,ba,T =，然后在所有小區(qū)間上任意取一點，a n xxx 10 b kk xx, 1k 。nk, 2 , 1 記區(qū)間的長為=，令。作積分和 kk xx, 1k 1 kk xx)(Tlmax, 2 , 1:nk k 為。假設當時，那么積分和的極限是，即 kk n k f )( 1 n 0)(Tl n I ，且數(shù)與劃分無關，也與的取值無關，則稱If k k k Tl n Tl )(limli

12、m 1 0)(0)( IT k 函數(shù)在黎曼可積，是在上的黎曼積分，表示為)(xfba,Iba, 。假設當時，積分和極限不存在，稱函數(shù)在 b )()( a dxxfRI0)(Tl n )(xf ba, 上是不可積。黎曼積分的定義知道：若函數(shù)在上黎曼可積，那么)(xfba, 在上必定有界。換句話說，若函數(shù)在上無界，則在)(xfba,)(xfba,)(xf 上必定不是黎曼可積。ba, 3.23.2 勒貝格勒貝格積分積分 利用與黎曼積分類似的思想，從劃分函數(shù)值域著手利用極限思想來定義勒 貝格積分。 定義 2 設函數(shù)是上的有界可測函數(shù)，。任意給)(xfba,Mxfm)( Mm, 一個劃分。然后考慮集合，

13、MyyymT n 10 ：)(: 1kkk yxfyxE 當，給勒貝格定義小和 及大和，nk,2 , 1 sS k n k k mEys 1 1 n k kkmE yS 1 則會有和，其中。所sSsupinf)(s-0abtS, 2 , 1:max 1 nkyyt kk 以定義函數(shù)在上的勒貝格積分為。)(xfba, b a dxxfLsS)()(supinf 由定義可以知道在有界區(qū)間上的有界可測函數(shù)勒貝格積分總是存在的。比 較黎曼積分的定義 1 和勒貝格積分的定義 2，會使人們覺得，黎曼積分是對區(qū) 間進行劃分來思索的，然而勒貝格積分是從對函數(shù)值域進行劃分來思索的。ba, 但這并不是它們真正區(qū)分

14、的實質。因為我們也可以不需要劃分函數(shù)值域的方法 去定義 L 黎曼積分，以下稱為 3 定義。 定義 3 設是上的非負可測的簡易函數(shù)，它在點集上)(xf n R), 2 , 1(piAi 取值。假如是可測集，那么定)(,)(: 11 jiAARAxAcxfc ji n p i i p i iii E 義 非負可測簡易函數(shù)在上的勒貝格積分為。設)(xfE)()( 1 i E p i i AExcdxxfL ）（ 是上的非負可測函數(shù)，我們定義是上的勒貝格積分，為)(xf n RE )(xfE 是上的非負可測簡易函數(shù) 。若 E Exxfxh E xhdxxhdxxfL)(:)(sup)( )()( ）（

15、 n R ，則稱在上是勒貝格可積的。 dxxfL E )(）（)(xfE 設是上的可測函數(shù)，)(xf n RE 0),(max)(xfxf ，如果積分中最起碼有一個是有限的，則稱0),(max)(xfxf dxxfL E )()( 為在上的勒貝格積分；如果dxxfLdxxfLdxxfL EEE )()()()()( ）（)(xfE 上面式子右邊兩個積分都有限時，則稱在上是勒貝格可積的。)(xfE 從勒貝格積分的定義 3 可以知道，在這沒有對函數(shù)值域作出任何的劃分， 而是從非負可測簡單函數(shù)角度來定義可測函數(shù)的勒貝格積分，固然勒貝格積分 的這兩個定義是相等的。雖然在上黎曼可積的函數(shù)是勒貝格可積的，

16、但反ba, 過來說明就不一定是成立的。所以對區(qū)間作劃分上的區(qū)別只是表面現(xiàn)象，并不 是勒貝格積分定義的本義性質。 4 黎曼積分與勒貝格積分的關系 我們已經(jīng)差不多建立好了勒貝格積分理論，在進一步說明這一理論的其他 內(nèi)容之前，我們可以先揭示它與黎曼積分的關系。它們的關系能用一個公式來 表示，它不但闡明勒貝格積分是黎曼積分的一種推廣，而且為一般有界函數(shù)的 黎曼可積性提供了一個簡單的判別準則。本文將從一維的情形進行探討，在這 里要用到黎曼積分理論的下述結果： 設是定義在上的有界函數(shù)，是對所做的分劃序列：)(xfbaI, n ba, ， bxxxa n k nn n n 10 :, 2 , 1n 1:ma

17、x 1n n i n i n kixx ， ，若令（對每個 以及）， 0lim n n in : )(sup 1 n i n i n i xxxxfM ，則關于的 Darboux 上，下積分下述等式 : )(inf 1 n i n i n i xxxxfm )(xf 成 立： ，。 1 1 - lim)( i n n i k i n i n b a xxMdxxf n n k i i n n i n i n b a xxmdxxf 1 1 - lim 引理 1 設是定義在上的有界函數(shù)，記是在上)(xfbaI,)(x)(xfba, 的 振幅（函數(shù)） ，我們有。左端是在上的勒 dxxfdxxfdx

18、x b a a b I )()( - )(xI 貝 格積分。 證明 因為在上是有界的，所以是上的有界函數(shù)，所以)(xfba,)(xba, 。對于之前所述說的分劃序列，作下列函數(shù)列有baL, n ， 的分點，是 n n i i n n i x xxxM x n , 0 ,1 , 2 , 1, 2 , 1nki n ， , 2 , 1:,的分點是nxbaxE n 顯然且有。我們記各是上 0Em E baxxx n n ,),()(lim BA,baxf,)(在 的上確界、下確界，存在一切，有，所以根據(jù)控制收斂定理x BAx n )( （控 制函數(shù)是常數(shù)函數(shù)）可以得到。從另一方面看，因為 dx xd

19、xx IIn n )(lim 1 1 i n n i k i n i n i I xxmMdxx n n 1 1 1 1 i n n i k i n i i n n i k i n i xxmxxM nn 得到。 dxxdxx InI n lim dxxfdxxf b a b a - 定理 1 函數(shù)黎曼可積的充分必要條件是函數(shù)不連續(xù)點的一切要成一零測集。 5 黎曼積分和勒貝格積分性質的比較 5.15.1 被積函數(shù)絕對可積性的比較被積函數(shù)絕對可積性的比較 我們都知道如果在上是可積的，那么在上也是可積的，這fba,fba, 就 說明了對于勒貝格積分來說，在上可積與在上可積是相互等的，fba,fba

20、, 但是對于黎曼積分來說，這個性質反而不成立。 例 1 ，顯然，在上不是黎曼可積；但是 是無理數(shù)， 是有理數(shù)；， x x xf 1- 1 )(xf 1 , 0 ，在上黎曼可積。1)(xf)(xf 1 , 0 5.25.2 被積函數(shù)的有界性的比較被積函數(shù)的有界性的比較 由定理 1 我們知道函數(shù)黎曼可積的充分必要條件是函數(shù)不連續(xù)點的全體要 成一零測集，函數(shù)連續(xù)點的全體所構成的集合也一定是稠密集，簡略說明，黎 曼積分理論是針對連續(xù)函數(shù)或“基本上”連續(xù)的函數(shù)而建立，同時說明可積函 數(shù)必定是有界的。 定理 2 如果函數(shù)黎曼可積，那么必定有界。 ff 設在可測集上是可測的，這時我們可定義0)(xf q R

21、E ，稱在上的勒貝格積分。其中dxxfdxxf EnEn )(lim)()(xfE 。: ),(, 21 nxxxxxKEnKE qnnn 令，則，容易得0),(max)(,0),(max)(xfxfxfxf )()()(xfxfxf 出，如果在上是可測的，那么與在上也是可測，反之亦然。)(xfE)(xf )(xf 而且對于測度有限的可測集上的可積函數(shù)來說，總是有)(xf 。dxxfdxxfdxxf EEE )()()( 定義 4 設在可測集上是可測的，假如在上述定義下的)(xf q RE 和不同時為時，那么我們稱在上積分是確定的，dxxf E )( dxxf E )( )(xfE 并且定義是

22、在上的勒貝格積分，要是dxxfdxxfdxxf EEE )()()( )(xfE 此 積分有限，我們稱在上勒貝格可積。)(xfE 定理 3 設為可測集上的有界函數(shù)，那么在上)(xf q RE )(mE)(xfE 勒貝格可積的充分必要條件是在上是可測的。)(xfE 由此我們知道勒貝格積分與黎曼積分相比較下有著明顯的優(yōu)點，它將可積 函數(shù)類擴大成一般可測函數(shù)，而不僅僅是限于有界函數(shù)。 5.35.3 中值定理中值定理 在黎曼積分中，有以下中值定理： 定理 4（第一中值定理）設在上連續(xù)，則存在，使得fba,ba, 。 b a abfdxxf)()( 定理 5（第二中值定理）設在上可積，fba, （i)如

23、果函數(shù)在上遞減，且，則存在，使得gba,0)(xgba, 。 b aa dxxfagdxxgxf )()()()( （ii）如果函數(shù)在上遞增，且，則存在，使得gba,0)(xgba, 。 b a b dxxfbgdxxgxf )()()()( 推論 2 設函數(shù)在上可積，如果為單調函數(shù)，則存在，使fba,gba, 得 。 b aa b dxxfbgdxxfagdxxgxf )()()()()()( 在勒貝格積分中，我們知道了從非負可測函數(shù)積分的幾何意義到一般可測 函數(shù)積分的幾何意義。 定理 6 （非負可測函數(shù)積分的幾何意義）設是可測集上的非)(xf n RE 負 函數(shù)，那么當在上可測時，有。)(

24、xfE E fEmGdxxf),()( 推論 3 設是上可積函數(shù)，則。)(xf n RE ),(),()( fEmGfEmGdxxf E 5.45.4 被積函數(shù)連續(xù)性的比較被積函數(shù)連續(xù)性的比較 如果是定義在上的有界函數(shù)，那么在上是黎曼可積的)(xfba,)(xfba, 充分條件是在上的不連續(xù)點集是零測度集。)(xfba, 定理 7 定義在有限區(qū)間上的函數(shù)若是黎曼可積，那么勒貝格可積，并ba, 且積分值是相等的，即。 b a b a dxxfLdxxfR)()()()( 這表明了在上黎曼可積與勒貝格積分是相等的，反過來證明勒貝格可)(xfba, 積的函數(shù)未必黎曼可積。 例 2在上的函數(shù)，不是黎曼

25、可積的，卻是勒貝格 IQx IQxx xf 101 10 3 ， ；， 1 , 0 可積的。那是因為除了點外，閉區(qū)間上的其余點都是屬于間斷點，那1x 1 , 0 么它在一正測度集上是間斷的，所以它不是黎曼可積的，但是因為是有界)(xf 可測，所以說這個函數(shù)是勒貝格可積的。 5.5 收斂條件收斂條件 在黎曼積分的意義下，函數(shù)列只有滿足一致收斂的條件，才能夠保證極限 與積分的交換順序，但是這一條件過分強了。如，) 10()(xxxf n n ，, 2 , 1n 當時，收斂但是非一致收斂于，然而此時仍然有n)(xfn ；10, 0 1, 1 )( x x xf 。dxxfRdxxfR n n n n

26、 )(lim)(0)()(lim 1 0 1 0 這就說明，黎曼積分收斂定理中的一致收斂只是積分運算與極限運算交換 的充分條件，而不是必要條件。 在勒貝格意義下，不是一致收斂也能保證積分與極限運算的交換的。 定理 8 （勒貝格控制收斂定理）設 （1）是可測集上的可測函數(shù)列；)(xfnE （2），并且在上可積；eaxFxfn)()(xE, 2 , 1n)(xFEL （3）（依測度收斂）)()(xfxfn 則在上可積，并且。)(xFEL EE n n dxxfdxxf)()(lim 通過定理 6，7，8 能對黎曼積分收斂定理作出了一些適當?shù)母倪M，改進后 的定理是： 定理 9 設和在上可積且)(),

27、 2 , 1)(xfnxfn、)(xFba,R （1）處處收斂于；)(xfn)(xf （2）)()(xFxfn 那么有。 b a b a n n dxxfRdxxfR)()()()(lim 下面我們重新來考察前面所提到的函數(shù)列，和, 2 , 1),10()(nxxxf n n 極限函數(shù)，顯然和滿足定理 9 的條件，因此，雖然 ；10, 0 1, 1 )( x x xf)(xfn)(xf 不一致收斂于，但是由定理 9 可知必定有)(xfn)(xf 。 1 0 1 0 1 0 )()()(lim)()()(limdxxfRdxxfRdxxfR n n n n 由此得知，定理 9 的確比原來的黎曼積

28、分收斂定理要優(yōu)越，但是還要注意， 定理 9 要求在上必定要一致有界的（因可積必有界） ，這顯然使)(xfnba,)(xF 得積分號下取極限這一重要運算手段受到了非常大的限制與影響，不僅僅如此， 定理 9 中關于極限函數(shù)可積性的假設也是不能丟掉的。)(xf 例 3 將中全體有理數(shù)列出：作函數(shù)列 1 , 0 21,r r 。 ，其他 ；， 0 2 , 11 21 nrrrx xf n n 顯然對每個自然數(shù)是上黎曼可積的函數(shù)，并且積分值都是零，)(,xfn n 1 , 0 所以。 中的無理數(shù)為， 中的有理數(shù)；為， 1 , 00 1 , 01 lim x x xfxfn n 容易知道極限函數(shù)是狄利克雷

29、函數(shù)，它不是黎曼可積的，那就沒有辦)(xF 法去討論積分號下取極限的問題。 另一方面，從定理 8 得出，在勒貝格積分理論中，沒有要求函數(shù)列一定要 一致有界，只要有一個控制函數(shù)就行；也沒有要求必須處處收斂于，)(xfn)(xF 只 要能夠依測度收斂就行，也不用假設極限函數(shù)的可積性，這是因為)(xfn)(xF 定理 8 本身就可以保證極限函數(shù)一定是可積的。例如，對定理 9 中的和)(xfn ，)(xf 必定有。 1 , 01 , 0 )()()()(limdxxfLdxxfL n n 通過以上幾點可以知道，黎曼積分相對于勒貝格積分有著明顯的局限性。 6 黎曼積分（廣義）與勒貝格積分區(qū)別及聯(lián)系 勒貝

30、格可積函數(shù)的范圍要比黎曼積分廣，這主要體現(xiàn)在勒貝格積分包含了 黎曼積分，勒貝格積分與極限的交換容易達成主要表現(xiàn)在：積分與極限的交換 問題在勒貝格積分范圍內(nèi)比黎曼積分范圍內(nèi)更為完美的解決，主要體現(xiàn)在控制 收斂的定理上。對于正常的黎曼積分和勒貝格積分有如下的關系：定義在有限 區(qū)間上的函數(shù)，如果黎曼積分可積，那么勒貝格積分可積，并且積分值是相等 的，但是相對于廣義積分來說，卻不一定是這樣。 定理 10 設是上幾乎處處連續(xù)的函數(shù)，并且對任意的，)(xfba,0 )(xf 在上是有界的，且在上是不變號的，則ba,)(xfba, 。 ba b a AdxxfLAdxxfR , )()( 注：上述定理說明了

31、不變號的函數(shù)廣義黎曼積分和勒貝格積分的關系，那 么對上變號的函數(shù)結論是不成立的。由此我們知道廣義黎曼積分是推ba,)(xf 不出勒貝格積分的，反之若存在，那么也存在。 ba dxxfL , )( b a dxxfR)( 上面我們考慮的是有界區(qū)域上的無界函數(shù)，下面我們將考慮無限區(qū)域情形。 定理 11 若在上連續(xù)并且是黎曼可積的，則有)(xf，- 。 dxxfLdxxfR)()( - 證明： 因為在上連續(xù)并且黎曼可積，由定義可知，對任意)(xf，- 的 閉區(qū)間，在上是黎曼可積的，且有ba,)(xfba, dxxfLdxxfL b a b a )()(lim 并有限，所以，對每個，令，1n xXxf

32、xf nnn,- )()(,nnx 則是可測函數(shù)列，且，根據(jù)單調收1: )(nxfn xfxfn n )(lim,x 斂 定理可知。所以，在上勒貝格可 - )(limdxxfLdxxfL n nn )(xf，- 積，并且，再由勒貝格控制收斂定理知 )( , xfxXxf nn ,x dxxfRdxxfRdxxfLdxxXxfLdxxfL n n n nn nn n n n )()(lim)(lim)(lim)( , - 則。 dxxfLdxxfR)()( - 定理 12 設是上的非負函數(shù)，并且是廣義黎曼可積，那么)(xf, aE 在上勒貝格可積，且。)(xf, a aa dxxfRdxxfL)

33、()( 證明 因為在上是廣義黎曼可積，且是非負連續(xù)函數(shù)，則對任意自)(xfE 然數(shù)，在上黎曼可積，則由閉區(qū)間上兩個積分的關系可得n)(xfnaEn, ，所以，因此 n a n a dxxfRdxxfL)()( n a n ann dxxfRdxxfL)(lim)(lim 。 aa dxxfRdxxfL)()( 7 勒貝格積分的某些推廣 我們知道，勒貝格的積分運算不能夠完全的解決由函數(shù)的有限導數(shù)去求其 原函數(shù)的問題，下面我們一起看看勒貝格積分的一些推廣，它們能夠完全的去 解決這個問題。 首先 Henstock 把積分的定義稍微的修改，將變成，就能得 R)(x 到 Henstock 積分，對于的精細分法定義如下：)(x 定義 5 在上給出正值函數(shù)，要求在上的分法是精ba,0)(xba,T)(x 細的，是指的有序分點與結點，對每一個Tbxxxa n 10n , 21 ，都有。), 2 , 1(nii iiiiiii xx , 1 定義 6 設定義于，若存在常數(shù)，則具有下列關系：對，)(xfba,I0 有，對任何精細分法，其分點為,結點為 0 x xbxxxa n 10 ，都有。 n , 21 i iii Ixxf 1 那么稱在上是 Henstock 意義下可積的，并且稱在上的)(xfba,)(xfba, 積分，記作。 H IdxxfH