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文檔簡介
1、飛機(jī)存儲(chǔ)隔間最優(yōu)化問題摘要本文研究某航空公司空運(yùn)存儲(chǔ)在飛機(jī)存儲(chǔ)隔間的貨物問題,為了充分利用飛機(jī)存儲(chǔ)隔間,來運(yùn)三種重量及體積不同的貨物。為了給航空公司提供一種最優(yōu)方案,本文本著為航空公司設(shè)計(jì)一種最大限度使用飛機(jī)存儲(chǔ)隔間體積的原則,以空運(yùn)三種貨物的年總收入的最大值為目標(biāo)函數(shù)。運(yùn)用線性規(guī)劃的相關(guān)知識(shí),建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,并通過Matlab和Lingo軟件對(duì)模型進(jìn)行求解,遞出了一種符合題目要求的最優(yōu)分配方案。再對(duì)這些最優(yōu)解進(jìn)行分析與討論,確定其為有效最優(yōu)解。并以此作為公司對(duì)三種貨物運(yùn)輸安排方式。關(guān)鍵詞:線性規(guī)劃、Lingo的軟件應(yīng)用、Lagrange乘子法、影子價(jià)格、靈敏度分析一、問題的重述考慮一個(gè)航
2、運(yùn)公司空運(yùn)存儲(chǔ)在飛機(jī)存儲(chǔ)隔間的貨物問題。該公司的空運(yùn)能力是100噸/天,空運(yùn)費(fèi)用是250美元/噸。由于飛機(jī)存儲(chǔ)隔間體積的限制,公司每天只能移動(dòng)50000ft3(1ft=304.8mm)的貨物。表1給出了A、B、C三種貨物運(yùn)輸情況:貨物體積(ft3)重量(噸)ABC550800400304050問題一:基于約束優(yōu)化問題建立數(shù)學(xué)模型,并利用Lagrange乘子技術(shù)解決該問題。使用這種方法確定不同貨物每天應(yīng)各自空運(yùn)多少,才能讓航空公司收入最大化?問題二:計(jì)算每個(gè)約束的影子價(jià)格,并解釋這些結(jié)果的意思。問題三:考慮如下延伸問題:該公司有能力重新配置它的一些老飛機(jī),以增大儲(chǔ)貨區(qū)域體積。每架舊飛機(jī)的改造將花
3、費(fèi)美元,增加2500ft3儲(chǔ)貨區(qū)域。重量限制不改變。假設(shè)飛機(jī)每年飛行250天,舊飛機(jī)剩余使用壽命大約是5年。從經(jīng)濟(jì)角度考慮作此改變是否值得?如果值得,應(yīng)投入多少架舊飛機(jī)?問題四:使用合適的軟件包求解上面線性規(guī)劃問題,驗(yàn)證上面的結(jié)果。二、問題的分析本題研究的是充分利用飛機(jī)存儲(chǔ)隔間來運(yùn)輸不同重量及體積的貨物,從而使得公司的利潤達(dá)到最大值。題目已知各種貨物的體積及重量和相關(guān)約束條件。為了保證每天運(yùn)載的貨物重量體積大致相同,且能保證該方案能保證公司年收入最大。由此必須得出每天的貨物安排方案。在以上假設(shè)的條件下,我們需要建立多變量有約束條件的數(shù)學(xué)函數(shù)模型,達(dá)到利潤最優(yōu)化最大化。三、模型假設(shè)與約定假設(shè)1:
4、飛機(jī)每天最多只能運(yùn)輸50000ft3的貨物。假設(shè)2:飛機(jī)飛機(jī)每天最多只能運(yùn)100t貨物。假設(shè)3:每天都要運(yùn)30噸貨物A。假設(shè)4:每天都要運(yùn)40噸貨物B。假設(shè)5:每天都要運(yùn)50噸貨物C。假設(shè)6:飛機(jī)飛行時(shí)不會(huì)出現(xiàn)故障,保證正常飛行。假設(shè)7:保證每噸貨物的運(yùn)費(fèi)保持不變。假設(shè)8:忽略航空公司飛機(jī)的燃料費(fèi)用及修理維護(hù)費(fèi)用。四、符號(hào)說明及名詞定義符號(hào)意義單位公司利潤美元公司最大利潤美元貨物A的利潤美元貨物B的利潤美元貨物C的利潤美元運(yùn)輸貨物A的噸數(shù)噸(t)運(yùn)輸貨物B的噸數(shù)噸(t)運(yùn)輸貨物C的噸數(shù)噸(t)飛機(jī)倉儲(chǔ)隔間容積立方英尺(ft3)飛機(jī)載重噸(t)五、模型的建立及求解5.1問題一的模型5.1.1問題
5、一模型的分析根據(jù)數(shù)據(jù)分析,需要根據(jù)線性規(guī)劃的知識(shí)建立利潤最大的數(shù)學(xué)模型,使航空公司運(yùn)載貨物的利潤實(shí)現(xiàn)最大化。5.1.2問題一模型的建立5.1.2.1目標(biāo)函數(shù)的建立由以上分析,得到運(yùn)載貨物的利潤最大化的規(guī)劃模型,則有目標(biāo)函數(shù)為:根據(jù)利潤計(jì)算方法及所給數(shù)據(jù),目標(biāo)函數(shù)中各項(xiàng)表示為:5.1.2.2約束條件的建立由題知,要求每天貨物安排達(dá)到最大利潤。則在飛機(jī)存儲(chǔ)隔間體積的限制下,有:且航空公司的運(yùn)載能力有限,有:再則,每天運(yùn)載三種貨物同樣有重量上限,有:則約束條件可表示為:簡化為:5.1.3問題一模型的求解5.1.3.1問題一模型求解方法Lagrange乘子法這是一個(gè)帶有多個(gè)約束條件的多變量最優(yōu)化問題,
6、可以使用Lagrange乘子法求解。第1步:確定目標(biāo)函數(shù)的可行域S目標(biāo)函數(shù)的可行域S(見圖1)為:圖1 目標(biāo)函數(shù)的可行域圖第2步:作拉格朗日函數(shù):第3步:求其對(duì)的偏導(dǎo)數(shù),并使之為零,得到:求解得:5.1.4問題一模型結(jié)果的分析由結(jié)果可以得到當(dāng)運(yùn)輸航空公司每天運(yùn)輸貨物30噸、貨物7.5噸、貨物50,每年得到的利潤最大美元。即公司應(yīng)按照以上的為30噸,為16.875噸,為50噸的運(yùn)輸安排運(yùn)輸貨物。5.2問題二模型5.2.1問題二模型的分析在其它條件不變的情況下,單位資源變化所引起的目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值的變化,這是基于線性規(guī)劃中的合理利用有限資源以求得最好的經(jīng)濟(jì)效果的規(guī)劃問題。即本題要求A、B、C種貨物
7、每增運(yùn)1噸時(shí),利潤的增加量。5.2.2問題二模型的建立同問題一的模型相同,即為:5.2.3問題二模型的求解:將應(yīng)用程序輸入到Lingo軟件中,得到的部分結(jié)果為:ROWSLACK OR SURPLUSDUAL PRICES2) 0. 0.3)12. 0.4) 0.173.5)32. 0.6) 0.194.NO.ITERATIONS=1最優(yōu)解下資源增加1“單位”時(shí)“效益”的增量:飛機(jī)運(yùn)載空間每增加1立方英尺時(shí),利潤增加0.美元,飛機(jī)運(yùn)載能力的增加對(duì)利潤不影響,A種貨物每增運(yùn)1噸時(shí),利潤增加173.美元。B種貨物的增運(yùn)對(duì)利潤不影響。C種貨物每增運(yùn)1噸時(shí),利潤增加194.美元。5.2.4問題二模型結(jié)果
8、的分析:5.2.4.1靈敏度分析(以下為部分輸出結(jié)果)RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:OBJ COEFFICIENT RANGESVARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOEFINCREASEDECREASEX1250.00000INFINITY173.X2250.00000568.250.X3250.00000INFINITY194.最優(yōu)解不變時(shí)目標(biāo)函數(shù)系數(shù)允許的變化范圍(約束條件不變):的系數(shù)變化范圍(173.61,250)的系數(shù)變化范圍(0,818.2)的系數(shù)變化范圍(55.6,250)RIGHTHAND SIDE
9、 RANGESROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLERHSINCREASEDECREASE250000.22500.13500.3 100. INFINITY 12.4 30. 18. 30.5 40. INFINITY 32.6 50. 16. 50.飛機(jī)的運(yùn)輸貨物體積最多增加立方英尺,A貨物最多每增運(yùn)18噸。C貨物最多每增運(yùn)16噸。5.3問題三模型5.3.1問題三模型的分析由問題二可以得出以下結(jié)論:每增加1立方英尺,利潤就增加0.;當(dāng)增加2000立方英尺時(shí)每天增加利潤20000.=277.778美元;每架飛機(jī)增加的利潤277.782505=美元。改造一架飛機(jī)的凈利潤=-=
10、美元。5.3.2問題三模型的建立同問題一的模型相同,即為:5.3.3問題三模型的求解輸出部分結(jié)果為:LP OPTIMUM FOUND AT STEP3OBJECTIUE FUNCTION VALUE1)22152.78VARIABLEVALUEREDUCED COST X1 30. 0. X2 8. 0. X3 50. 0.所以由于對(duì)結(jié)果的檢驗(yàn)航空運(yùn)輸公司應(yīng)該值得改裝,應(yīng)該改裝1架飛機(jī)。5.4問題四的解決(見附錄)六、模型檢驗(yàn)在對(duì)模型進(jìn)行穩(wěn)定性分析的時(shí)候,我們常用靈敏度分析來研究原始數(shù)據(jù)不準(zhǔn)確或發(fā)生變化時(shí)最優(yōu)解的穩(wěn)定性。在研究問題二的模型時(shí),進(jìn)行了靈敏度分析,得到了以下結(jié)論:最優(yōu)解不變時(shí)目標(biāo)函
11、數(shù)系數(shù)允許的變化范圍(約束條件不變)的系數(shù)變化范圍(173.61,250)的系數(shù)變化范圍(0,818.2)的系數(shù)變化范圍(55.6,250)、三個(gè)變量的系數(shù)在約束條件不變下可在一定范圍內(nèi)變化。顯然,若改變某一參數(shù),目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解變化不大。七、模型的改進(jìn)與推廣在解決如何安排空運(yùn)貨物使公司利潤最大化的問題上,我們采用的是線性規(guī)劃的方法。線性規(guī)劃的理論和方法都比較成熟,如果一個(gè)問題的限制條件可以寫出某些決策變量的線性方程組或線性不等式組,那我們就可以應(yīng)用LINGO軟件將該線性規(guī)劃方程解出來得到最優(yōu)解。對(duì)于模型二,通過靈敏性分析發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的改變對(duì)于最優(yōu)的結(jié)果沒有太大的影響。但是我們的模型還是存在一些缺
12、點(diǎn),比如我們認(rèn)定運(yùn)輸每種貨物的難易程度是一樣的,不會(huì)增加其成本。以上建立的模型,在解決最優(yōu)化問題上方便簡單快捷,不僅適用于貨物的運(yùn)輸問題上,也適用于鋼管的下料問題,投資的收益和風(fēng)險(xiǎn),奶產(chǎn)品的生產(chǎn)與銷售等一系列問題等。編程運(yùn)用LINGO軟件,節(jié)約計(jì)算時(shí)間。八、參考文獻(xiàn)1 全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽 優(yōu)秀論文匯編。中國物價(jià)出版社,20022 宋兆基,徐流美等。MATLAB6.5在科學(xué)計(jì)算中的應(yīng)用。清華大學(xué)出版社,20053 耿素云.集合論與圖論(理算數(shù)學(xué)二分冊(cè))M.北京:北京大學(xué)出版社,1997.4 趙可培.運(yùn)籌學(xué)M.上海:上海財(cái)經(jīng)大學(xué)出版社,2000.九、附錄附錄一:(詳述問題四)用MATLAB軟件包來處理模型一:程序如下:編寫M文件xxgh1.m如下:c=-250 -250 -250;A=550 800 400;1 1 1;1 0 0;0 1 0;0 0 1;b=50000;100;30;40;50Aeq=;beq=;vlb=0 0 0vub=;x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)maxZ=-fval運(yùn)行結(jié)果:Untitledb = 50000 100 30 40 50vlb = 0 0 0Optimization terminated.x = 30.0000 16.8750 50.0000f
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