2020_2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章平面向量2.2.1向量加法運(yùn)算及其幾何意義課件新人教A版必修4

1、2.2平面向量的線性運(yùn)算 2.2.1向量加法運(yùn)算及其幾何意義 必備知識(shí)必備知識(shí)自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí) 1.1.向量加法的定義及其運(yùn)算法則向量加法的定義及其運(yùn)算法則 導(dǎo)思導(dǎo)思 (1)(1)兩個(gè)向量相加有哪些運(yùn)算法則兩個(gè)向量相加有哪些運(yùn)算法則? ? (2)(2)當(dāng)兩非零向量當(dāng)兩非零向量a, ,b共線時(shí)共線時(shí), ,向量加法的平行四邊形法則向量加法的平行四邊形法則 還能用嗎還能用嗎? ?三角形法則呢三角形法則呢? ? 定義定義求求_的運(yùn)算的運(yùn)算, ,叫做向量的加法叫做向量的加法 法則法則 三角三角 形法形法 則則 前提前提已知非零向量已知非零向量a, ,b, ,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A A 作法作

2、法作作 = =a, =, =b, ,再作向量再作向量 結(jié)論結(jié)論 向量向量 叫做叫做a與與b的和的和, ,記作記作a+ +b, ,即即a+ +b= = _=_=_ 圖形圖形 兩個(gè)向量和兩個(gè)向量和 AB BC AC AC ABBC AC 法則法則 平行平行 四邊四邊 形法形法 則則 前提前提 已知不共線的兩個(gè)向量已知不共線的兩個(gè)向量a, ,b, ,在平面內(nèi)任取一在平面內(nèi)任取一 點(diǎn)點(diǎn)O O 作法作法 以同一點(diǎn)以同一點(diǎn)O O為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量a, ,b為鄰邊為鄰邊 作作 OACBOACB 結(jié)論結(jié)論對(duì)角線對(duì)角線_就是就是a與與b的和的和 圖形圖形 規(guī)定規(guī)定零向量與任一向量零向量與任

3、一向量a的和都有的和都有a+ +0= =_ OC 0+ +a 【思考思考】 (1)(1)向量求和的三角形法則中向量求和的三角形法則中“非零非零”二字去掉可以嗎二字去掉可以嗎? ?為什么為什么? ? 提示提示: :不可以不可以. .對(duì)于零向量與任一向量對(duì)于零向量與任一向量a, ,規(guī)定規(guī)定0+ +a= =a+ +0= =a, ,不需要應(yīng)用三角形法則不需要應(yīng)用三角形法則. . (2)(2)向量求和的平行四邊形法則中向量求和的平行四邊形法則中“不共線不共線”是否多余是否多余, ,去掉可以嗎去掉可以嗎? ? 提示提示: :不能不能, ,因?yàn)槿绻麅蓚€(gè)向量共線因?yàn)槿绻麅蓚€(gè)向量共線, ,就無(wú)法以它們?yōu)猷忂呑鞒?/p>

4、平行四邊形就無(wú)法以它們?yōu)猷忂呑鞒銎叫兴倪呅? ,也不也不 會(huì)產(chǎn)生和向量會(huì)產(chǎn)生和向量. . 2.2.向量加法的運(yùn)算律向量加法的運(yùn)算律 交換律交換律結(jié)合律結(jié)合律 a+ +b= =b+ +a( (a+ +b)+)+c= =a+(+(b+ +c) ) 【思考思考】 ( (a+ +b)+()+(c+ +d)=()=(a+ +d)+()+(b+ +c) )成立嗎成立嗎? ? 提示提示: :成立成立, ,向量的加法滿足交換律和結(jié)合律向量的加法滿足交換律和結(jié)合律, ,因此在進(jìn)行多個(gè)向量的加法運(yùn)算因此在進(jìn)行多個(gè)向量的加法運(yùn)算 時(shí)時(shí), ,可以按照任意的次序和任意的組合去進(jìn)行可以按照任意的次序和任意的組合去進(jìn)行.

5、. 【基礎(chǔ)小測(cè)基礎(chǔ)小測(cè)】 1.1.辨析記憶辨析記憶( (對(duì)的打?qū)Φ拇颉啊? ,錯(cuò)的打錯(cuò)的打“”)”) (1) =0.(1) =0. ( () ) (2) (2) ( () ) (3)(3)a+(+(b+ +c)=)=c+(+(a+ +b).).( () ) ABBA AB BD DCAC. 提示提示: :(1)(1). .由向量加法的三角形法則知由向量加法的三角形法則知, =0., =0. (2). (2). (3).(3).由向量加法的交換律、結(jié)合律知由向量加法的交換律、結(jié)合律知, ,a+(+(b+ +c)=()=(a+ +b)+)+c= =c+(+(a+ +b).). ABBA AB BD

6、 DC AD DC AC. 2.2.如圖如圖,D,E,F,D,E,F分別為分別為ABCABC的邊的邊AB,BC,CAAB,BC,CA的中點(diǎn)的中點(diǎn), , 則則( () ) A.AD BE CF B.BD CF DF C.AD CE CF D.BD BE FC 0 0 0 0 【解析解析】選選A.A.因?yàn)橐驗(yàn)镈,E,FD,E,F分別為分別為ABCABC的邊的邊AB,BC,CAAB,BC,CA的中點(diǎn)的中點(diǎn), , 所以所以 BE DFCF FA. ， AD DF FA AD BE CF. 又因?yàn)?， 所以 0 0 3.(3.(教材二次開(kāi)發(fā)教材二次開(kāi)發(fā): :例題改編例題改編) )若若a表示表示“向東走向

7、東走8 8 km”,km”,b表示表示“向北走向北走8 km”,8 km”, 則則| |a+ +b|=_,|=_,a+ +b的方向是的方向是_._. 【解析解析】如圖所示如圖所示, ,作作 = =a, =, =b, , 則則a+b= + = .= + = .所以所以| |a+b|=| |= =8 ( km),|=| |= =8 ( km),因?yàn)橐驗(yàn)锳OB=45AOB=45, , 所以所以a+ +b的方向是東北方向的方向是東北方向. . 答案答案: :8 km8 km東北方向東北方向 OA AB OA AB OB OB 22 88 2 2 關(guān)鍵能力關(guān)鍵能力合作學(xué)習(xí)合作學(xué)習(xí) 類型一向量的加法法則類

8、型一向量的加法法則( (數(shù)學(xué)抽象、直觀想象數(shù)學(xué)抽象、直觀想象) ) 角度角度1 1利用加法法則作出向量的和利用加法法則作出向量的和 【典例典例】(1)(1)如圖如圖, ,利用向量加法的三角形法則作出利用向量加法的三角形法則作出a+ +b; ; (2)(2)如圖如圖, ,利用向量加法的平行四邊形法則作出利用向量加法的平行四邊形法則作出a+ +b. . 【思路導(dǎo)引思路導(dǎo)引】 (1)(1)利用相等向量與向量加法的三角形法則求解利用相等向量與向量加法的三角形法則求解. . (2)(2)利用向量加法的三角形法則、平行四邊形法則作圖利用向量加法的三角形法則、平行四邊形法則作圖. . 【解析解析】(1)(1

9、)如圖如圖所示所示, ,設(shè)設(shè) = =a, , 因?yàn)橐驗(yàn)閍與與b有公共點(diǎn)有公共點(diǎn)A,A,故過(guò)故過(guò)A A點(diǎn)作點(diǎn)作 = =b, ,連接連接OB,OB,則則 即為即為a+ +b. . (2)(2)如圖如圖, ,設(shè)設(shè) = =a, ,過(guò)過(guò)O O點(diǎn)作點(diǎn)作 = =b, ,則以則以O(shè)A,OBOA,OB為鄰邊作為鄰邊作 OACB,OACB,連接連接OC,OC, 則則 = + = + =a+ +b. . AB OB OA OA OB OC OA OB 【變式探究變式探究】 如圖如圖, ,已知三個(gè)向量已知三個(gè)向量a, ,b, ,c, ,試用三角形法則和平行四邊形法則分別作向量試用三角形法則和平行四邊形法則分別作向量a

10、+ +b+ +c. . 【解析解析】利用三角形法則作利用三角形法則作a+ +b+ +c, ,如圖如圖所示所示, ,作作 = =a, ,以以A A為起點(diǎn)為起點(diǎn), ,作作 = =b, , 再以再以B B為起點(diǎn)為起點(diǎn), ,作作 = =c, ,則則 = =a+ +b+ +c. . 利用平行四邊形法則作利用平行四邊形法則作a+ +b+ +c, ,如圖如圖所示所示, ,作作 = =a, =, =b, =, =c, ,以以 為為 鄰邊作鄰邊作 OADB,OADB,則則 = =a+ +b, ,再以再以 為鄰邊作為鄰邊作 ODEC,ODEC,則則 = =a+ +b+ +c. . OA OB OC OA OB ,

11、 OD OD OC ,OEODOC OA AB BC OCOBBCOAABBC 角度角度2 2利用加法法則求向量的和利用加法法則求向量的和 【典例典例】如圖如圖, ,在在ABCABC中中,D,E,D,E分別是分別是AB,ACAB,AC上的點(diǎn)上的點(diǎn),F,F為線段為線段DEDE延長(zhǎng)線上一延長(zhǎng)線上一 點(diǎn)點(diǎn),DEBC,ABCF,DEBC,ABCF,連接連接CD,CD,那么那么( (在橫線上只填上一個(gè)向量在橫線上只填上一個(gè)向量):): =_; =_; =_. =_. AB DF AD FC 【思路導(dǎo)引思路導(dǎo)引】利用向量加法的三角形法則、平行四邊形法則表示圖中的向量利用向量加法的三角形法則、平行四邊形法則

12、表示圖中的向量, , 求出結(jié)果即可求出結(jié)果即可. . 【解析解析】如題圖如題圖, ,由已知得四邊形由已知得四邊形DFCBDFCB為平行四邊形為平行四邊形, , 由向量加法的運(yùn)算法則可知由向量加法的運(yùn)算法則可知: : 答案答案: : AB DF AB BC AC. AD FC AD DB AB. AC AB 【解題策略解題策略】 1.1.向量求和的注意點(diǎn)向量求和的注意點(diǎn). . (1)(1)三角形法則對(duì)于兩個(gè)向量共線時(shí)也適用三角形法則對(duì)于兩個(gè)向量共線時(shí)也適用. . (2)(2)兩個(gè)向量的和向量仍是一個(gè)向量?jī)蓚€(gè)向量的和向量仍是一個(gè)向量. . (3)(3)平行四邊形法則對(duì)于兩個(gè)向量共線時(shí)不適用平行四邊

13、形法則對(duì)于兩個(gè)向量共線時(shí)不適用. . 2.2.利用三角形法則時(shí)利用三角形法則時(shí), ,要注意兩向量要注意兩向量“首尾順次相連首尾順次相連”, ,其和向量為其和向量為“起點(diǎn)指向起點(diǎn)指向 終點(diǎn)終點(diǎn)”的向量的向量; ;利用平行四邊形法則要注意兩向量利用平行四邊形法則要注意兩向量“共起點(diǎn)共起點(diǎn)”, ,其和向量為共起其和向量為共起 點(diǎn)的點(diǎn)的“對(duì)角線對(duì)角線”向量向量. . 【題組訓(xùn)練題組訓(xùn)練】 1.1.化簡(jiǎn)化簡(jiǎn) 的結(jié)果等于的結(jié)果等于( () ) A.A.0 B. C. D. B. C. D. 【解析解析】選選A. =A. =0. . OP PQ QSSO OQ SP SQ OP PQ QSSO 2.2.在矩

14、形在矩形ABCDABCD中中,| |=4,| |=2,| |=4,| |=2,則向量則向量 的長(zhǎng)度等于的長(zhǎng)度等于( () ) A.2 A.2 B.4 B.4 C.12C.12D.6D.6 【解析解析】選選B.B.因?yàn)橐驗(yàn)?+ = ,+ = ,所以所以 + + + + 的長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度為 的模的的模的2 2倍倍, , 即即4 .4 . AB BC AB AD AC 55 AB AD AC AB AD AC AC 5 【拓展延伸拓展延伸】 向量求和的多邊形法則向量求和的多邊形法則 (1)(1)已知已知n n個(gè)向量個(gè)向量, ,依次首尾相接依次首尾相接, ,則由起始向量的起點(diǎn)指向則由起始向量的起點(diǎn)指向

15、末尾向量的終點(diǎn)的向量即為這末尾向量的終點(diǎn)的向量即為這n n個(gè)向量的和個(gè)向量的和, ,這稱為向量求這稱為向量求 和的多邊形法則和的多邊形法則. .即即 (2)(2)首尾順次相接的若干向量求和首尾順次相接的若干向量求和, ,若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形, ,則它們的和為則它們的和為0. . 011223n 2n 1n 1n0n A AA AA AAAAAA A . 【拓展訓(xùn)練拓展訓(xùn)練】 若四邊形若四邊形ABCDABCD為菱形為菱形, ,則下列等式中成立的是則下列等式中成立的是( () ) A. A. B. B. C. D. C. D. 【解析解析】選選A.A.因?yàn)樗倪呅我驗(yàn)樗倪呅蜛BCDA

16、BCD為菱形為菱形, , 所以所以 , , , , . , . ABBCAC ABACBC ACBABD ACADDC ABBCAC ABACBC ACBABD ACADDC 類型二向量加法運(yùn)算律的應(yīng)用類型二向量加法運(yùn)算律的應(yīng)用( (數(shù)學(xué)抽象、直觀想象數(shù)學(xué)抽象、直觀想象) ) 【典例典例】1.1.向量向量 化簡(jiǎn)后等于化簡(jiǎn)后等于( () ) A. B. C. D. A. B. C. D. 2.2.化簡(jiǎn)化簡(jiǎn):(1) :(1) (2)(2) ABMBBOBCOM CB AB AC AM (MA BN) (AC CB). AB (BD CA) DC. 【思路導(dǎo)引思路導(dǎo)引】利用向量加法運(yùn)算律化簡(jiǎn)利用向量

17、加法運(yùn)算律化簡(jiǎn). . 【解析解析】1.1.選選C. C. 2.(1) 2.(1) (2)(2) (AB MB) (BO BC) OM (AB BC) (BO OM MB) ACAC. 0 (MA BN) (AC CB) (MA AC) (CB BN) MC CN MN. AB (BD CA) DC AB BD DC CA. 0 【解題策略解題策略】 向量加法運(yùn)算律的意義和應(yīng)用原則向量加法運(yùn)算律的意義和應(yīng)用原則 (1)(1)意義意義: : 向量加法的運(yùn)算律為向量加法提供了變形的依據(jù)向量加法的運(yùn)算律為向量加法提供了變形的依據(jù), ,實(shí)現(xiàn)恰當(dāng)利用向量加法法則實(shí)現(xiàn)恰當(dāng)利用向量加法法則 運(yùn)算的目的運(yùn)算的目

18、的. . 實(shí)際上實(shí)際上, ,由于向量的加法滿足交換律和結(jié)合律由于向量的加法滿足交換律和結(jié)合律, ,故多個(gè)向量的加法運(yùn)算可以按照故多個(gè)向量的加法運(yùn)算可以按照 任意的次序、任意的組合來(lái)進(jìn)行任意的次序、任意的組合來(lái)進(jìn)行. . (2)(2)應(yīng)用原則應(yīng)用原則: : 利用代數(shù)方法通過(guò)向量加法的交換律利用代數(shù)方法通過(guò)向量加法的交換律, ,使各向量使各向量“首尾相接首尾相接”, ,通過(guò)向量加法的通過(guò)向量加法的 結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序. . 【跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練】 1.1.在平行四邊形在平行四邊形ABCDABCD中中( (如圖如圖),),對(duì)角線對(duì)角線AC,BDAC,BD交于點(diǎn)交于點(diǎn)O,O

19、,則則 =_. =_. =_. =_. =_. =_. =_. =_. ADAB CDACDO ABADCD ACBADA 【解析解析】 答案答案: : 0 ADABAC ， CDACDOCOACAO. ABADCDACCDAD. ACBADADAACBADCBAABBA. 0 AC AO AD 2.2.化簡(jiǎn)化簡(jiǎn):(1) (2) :(1) (2) 【解析解析】(1) (1) (2)(2) BC AB. DB CD BC. BC AB AB BC AC. DB CD BC BC CD DB (BC CD) DB BD DB. 0 類型三向量加法的應(yīng)用類型三向量加法的應(yīng)用( (數(shù)學(xué)建模、邏輯推理數(shù)

20、學(xué)建模、邏輯推理) ) 角度角度1 1幾何應(yīng)用幾何應(yīng)用 【典例典例】用向量方法證明對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形用向量方法證明對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形. . 【思路導(dǎo)引思路導(dǎo)引】將互相平分利用向量表達(dá)將互相平分利用向量表達(dá), ,以此為條件推證使四邊形為平行四邊以此為條件推證使四邊形為平行四邊 形的向量等式成立形的向量等式成立. . 【證明證明】如圖如圖, ,設(shè)四邊形設(shè)四邊形ABCDABCD的對(duì)角線的對(duì)角線AC,BDAC,BD相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)O, ,O, , .AC .AC與與BDBD互相平分互相平分, , , , , , , 因此因此ABCDABCD且且AB=DC,AB=DC,即

21、四邊形即四邊形ABCDABCD是平行四邊形是平行四邊形. . ABAOOB DCDOOC AOOC OBDO ABDC 【變式探究變式探究】 若將本例改為若將本例改為: : 四邊形四邊形ABCDABCD中中, , ,且且| |=| |,| |=| |, 試求證四邊形試求證四邊形ABCDABCD為矩形為矩形. . ABDC BCBA BCAB 【證明證明】因?yàn)樗倪呅我驗(yàn)樗倪呅蜛BCDABCD中中, , , , 所以四邊形所以四邊形ABCDABCD為平行四邊形為平行四邊形, ,如圖如圖 所以所以 , , ,因?yàn)橐驗(yàn)閨 |=| |,| |=| |, 所以所以| |=| |,| |=| |,即平行四邊

22、形對(duì)角線相等即平行四邊形對(duì)角線相等, ,故四邊形故四邊形ABCDABCD為矩形為矩形. . ABDC BCBABD BCABABBCAC BCBA BCAB BD AC 角度角度2 2實(shí)際應(yīng)用實(shí)際應(yīng)用 【典例典例】一架執(zhí)行任務(wù)的飛機(jī)從一架執(zhí)行任務(wù)的飛機(jī)從A A地按北偏西地按北偏西3030的方向飛行的方向飛行300 km300 km后到達(dá)后到達(dá)B B地地, , 然后向然后向C C地飛行地飛行, ,已知已知C C地在地在A A地北偏東地北偏東6060的方向處的方向處, ,且且A,CA,C兩地相距兩地相距300 km,300 km,求求 飛機(jī)從飛機(jī)從B B地到地到C C地飛行的方向及地飛行的方向及B

23、,CB,C間的距離間的距離. . 【思路導(dǎo)引思路導(dǎo)引】根據(jù)題意畫出圖形根據(jù)題意畫出圖形, ,利用向量加法的三角形法則利用向量加法的三角形法則, ,用用 表示表示 出出 , ,進(jìn)而求解問(wèn)題進(jìn)而求解問(wèn)題. . BA AC ， BC 【解析解析】如圖所示如圖所示, , = + ,BAC=90 = + ,BAC=90,| |=| |=300 km,| |=| |=300 km, 所以所以| |=300 km.| |=300 km. 由題可知由題可知ABC=45ABC=45, ,且且A A地在地在B B地的南偏東地的南偏東3030的方向處的方向處, ,可知可知C C地在地在B B地的南偏地的南偏 東東7

24、575的方向處的方向處. .故飛機(jī)從故飛機(jī)從B B地向地向C C地飛行的方向是南偏東地飛行的方向是南偏東7575, ,且且B,CB,C兩地間的兩地間的 距離為距離為300 km.300 km. BC BA AC AB AC BC 2 2 【解題策略解題策略】利用向量的加法解決實(shí)際應(yīng)用題的三個(gè)步驟利用向量的加法解決實(shí)際應(yīng)用題的三個(gè)步驟 【題組訓(xùn)練題組訓(xùn)練】 1.1.在在 ABCDABCD中中,| |=3,| |=4,| |=3,| |=4,則則: : (1)| |_7(1)| |_7(填填“”“”“”“”或或“”);); (2)(2)若若| |=5,| |=5,則此四邊形為則此四邊形為_(kāi)._.

25、【解析解析】(1)(1)三角形兩邊之和大于第三邊三角形兩邊之和大于第三邊. . (2)(2)由由| | |2 2+| |+| |2 2=| |=| |2 2, ,可知可知ABCABC為直角三角形為直角三角形, ,則此四邊形為矩形則此四邊形為矩形. . 答案答案: :(1)(1)(2)(2)矩形矩形 AB AC BC AC AB BC AC 2.2.輪船從輪船從A A港沿北偏東港沿北偏東6060方向行駛了方向行駛了40 km40 km到達(dá)到達(dá)B B處處, ,再由再由B B處沿正北方向行駛處沿正北方向行駛 40 km40 km到達(dá)到達(dá)C C處處, ,求此時(shí)輪船與求此時(shí)輪船與A A港的相對(duì)位置港的相

26、對(duì)位置. . 【解析解析】如圖所示如圖所示. . 設(shè)設(shè) 、 分別是輪船的兩次位移分別是輪船的兩次位移, , 則則 表示最終位移表示最終位移, ,且且 = + .= + . 在在RtRtABDABD中中,| |=20 km,| |=20 km.,| |=20 km,| |=20 km. 在在RtRtACDACD中中,| |=40 ,| |=40 km,CADkm,CAD=60=60. . 即此時(shí)輪船位于即此時(shí)輪船位于A A港的北偏東港的北偏東3030方向上方向上, ,且距離且距離A A港港40 km40 km處處. . AB BC AC AC AB BC DB AD 3 AC 3 3 1.1.下

27、列命題中正確的個(gè)數(shù)為下列命題中正確的個(gè)數(shù)為( () ) (1)(1)如果非零向量如果非零向量a與與b的方向相同或相反的方向相同或相反, ,那么那么( (a+ +b)a; ; (2)(2)在平行四邊形在平行四邊形ABCDABCD中中, ,必有必有 = ;= ; (3)(3)若若 = ,= ,則則A,B,C,DA,B,C,D為平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)為平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn); ; (4)(4)若若a, ,b均為非零向量均為非零向量, ,則則| |a+ +b|a|+|+|b|.|. A.0A.0B.1B.1C.2 C.2 D.3D.3 課堂檢測(cè)課堂檢測(cè)素養(yǎng)達(dá)標(biāo)素養(yǎng)達(dá)標(biāo) BC AD BC AD 【解析解析】

28、選選D.(1)D.(1)正確正確;(2);(2)在平行四邊形在平行四邊形ABCDABCD中中,BCAD,BCAD,且且BC=AD,BC=AD,所以所以 = ,= ,正確正確;(3)A,B,C,D;(3)A,B,C,D可能共線可能共線, ,所以錯(cuò)誤所以錯(cuò)誤;(4);(4)為向量的三角不等式為向量的三角不等式, ,所以正確所以正確. . BC AD 2. (2. (教材二次開(kāi)發(fā)教材二次開(kāi)發(fā): :練習(xí)改編練習(xí)改編) )如圖如圖, ,四邊形四邊形ABCDABCD是梯形是梯形,ADBC,ADBC,則則 =(=() ) 【解析解析】選選B. B. OA BC AB A.CD B.OC C.DA D.CO OA BC AB OA AB BC OB BC OC. 3.(20203.(2020襄陽(yáng)高一檢測(cè)襄陽(yáng)高一檢測(cè)) )已知已知ABCABC的三個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,CA,B,C及平面內(nèi)一點(diǎn)及平面內(nèi)一點(diǎn)P P滿足滿足 則下列結(jié)論中正確的是則下列結(jié)論中正確的是( ()