7A版1992考研數(shù)三真題及解析

1、7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 1992 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題 、填空題 (本題共 5 小題,每小題 3 分, 滿分 15 分,把答案填在題中橫線上 .) (1) 設(shè)商品的需求函數(shù)為 Q 100 5P,其中 Q, P分別表示為需求量和價(jià)格 ,如果商 品需求彈性的絕對值大于 1,則商品價(jià)格的取值范圍是 (x 2n) 的收斂域?yàn)?. n 1 n4n 1 2 y (3)交換積分次序 0dy y f(x,y)dx . 0y (4)設(shè) A為m階方陣,B為n階方陣,且 A a, B b,C (2)級(jí)數(shù) 0A B0 (5)將C,C, E, E,I , N , S等七個(gè)字母隨機(jī)地排成一行,那么 ,恰好

2、排成英文單詞 ,則 C SCIENCE 的概率為 二、選擇題 (本題共 5 小題,每小題 3 分 ,滿分 15 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中 只有一項(xiàng)是符合題目要求的 ,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi) .) x2 x (1)設(shè)F(x)a f (t)dt ,其中 f (x)為連續(xù)函數(shù),則lximaF(x)等于() x a a x a (A) a2 (B) a2 f(a) (C)0(D) 不存在 (2) 當(dāng) x 0 時(shí),下面四個(gè)無窮小量中 ,哪一個(gè)是比其他三個(gè)更高階的無窮小量 ?() (A) x2 (B)1 cosx (C) 1 x2 1(D) x tanx (3) 設(shè) A為 m n矩陣,齊次線

3、性方程組 Ax 0僅有零解的充分條件是 () (A) A的列向量線性無關(guān) (B) A 的列向量線性相關(guān) (C) A的行向量線性無關(guān) (D) A的行向量線性相關(guān) (4) 設(shè)當(dāng)事件 A與B同時(shí)發(fā)生時(shí) ,事件C必發(fā)生,則() (A) P(C) P(A) P(B) 1(B) P(C) P(A) P(B) 1 (C) P(C ) P(AB ) (D) P(C) P(A B) 1n (5) 設(shè)n個(gè)隨機(jī)變量 X1,X2, , Xn獨(dú)立同分布 ,D(X1)2,X 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 Xi, ni1 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 1n S7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 1 (Xi X)2,則() n 1i 1 (A) S是 的

4、無偏估計(jì)量 (B) S是 的最大似然估計(jì)量 (C)S是 的相合估計(jì)量 (即一致估計(jì)量 )(D) S 與 X 相互獨(dú)立 f (x) 在 x 1 處是否連續(xù) ? 若不連 三、 (本題滿分 5 分)ln cos(x 1) , x 1, 設(shè)函數(shù) f (x) 1 sin 2 x 問函數(shù) 續(xù) ,修改函數(shù)在 x 1處的定1義, 使之連x續(xù) 1. . 四、( 本題滿分 5 分) 計(jì)算 I arccot ex x dx. e 五、( 本題滿分 5 分) 2z 設(shè) z sin( xy ) (x, x),求 z ,其中 (u,v) 有二階偏導(dǎo)數(shù) . y x y 六、( 本題滿分 5 分) x 求連續(xù)函數(shù) f (x)

5、 ,使它滿足 f(x) 20 f(t)dt x2. 七、( 本題滿分 6 分) 求證:當(dāng) x 1時(shí), arctan x arccos 2x 1x 八、( 本題滿分 9 分) 設(shè)曲線方程 y e x(x 0). (1)把曲線 y e x , x軸, y軸和直線 x ( 0) 所圍成平面圖形繞 x軸旋轉(zhuǎn) 周,得一旋轉(zhuǎn)體,求此旋轉(zhuǎn)體體積 V( ) ;求滿足V (a) 1lim V( )的a. (2) 在此曲線上找一點(diǎn) ,使過該點(diǎn)的切線與兩個(gè)坐標(biāo)軸所夾平面圖形的面積最 大 ,并求出該面積 . 九、( 本題滿分 7 分) 設(shè)矩陣 A與 B相似,其中 200 1 0 0 A 2 x 2 ,B 020 3

6、1 1 00y (1)求x和 y的值. 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 (2)求可逆矩陣 P,使得P 求隨機(jī)變量 X 的密度 fX(x);(2)求概率 PX Y 1 . AP B. 十、 ( 本題滿分 6 分) (1)求 的值 ;(2)證明 B 0. 已知三階矩陣 B 0,且 B的每一個(gè)列向量都是以下方程組的解 x1 2x2 2x3 0, 2x1 x2 x3 0, 3x1 x2 x3 0. 十一、 (本題滿分 6 分 ) A0 設(shè) A、B 分別為 m、n 階正定矩陣 ,試判定分塊矩陣 C是否是正定矩 0B 陣. 十二、 (本題滿分 7 分 ) 假設(shè)測量的隨機(jī)誤差 X N(0,107A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 )

7、,試求100次獨(dú)立重復(fù)測量中 ,至少有三次 測量誤差的絕對值大于 19.6 的概率 ,并利用泊松分布求出 的近似值 (要求小 數(shù)點(diǎn)后取兩位有效數(shù)字 ). 附表 1234567 e 0.3680.1350.0500.0180.0070.0020.001 十三、 (本題滿分 5 分) 一臺(tái)設(shè)備由三大部分構(gòu)成 , 在設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)中各部件需要調(diào)整的概率相應(yīng)為 0.10,0.20 和0.30.假設(shè)各部件的狀態(tài)相互獨(dú)立 ,以X 表示同時(shí)需要調(diào)整的部件數(shù) 試求 X 的數(shù)學(xué)期望 EX 和方差 DX . 十四、 (本題滿分 4 分 ) 設(shè)二維隨機(jī)變量 (X,Y) 的概率密度為 ey f (x,y) 0, 0 x y

8、, 其他, 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 1992 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題解析 、填空題 (本題共 5 小題,每小題 3 分, 滿分 15 分.) (1) 【答案】 (10,20 【解析】根據(jù) Q(P) 100 5P 0 ,得價(jià)格 P 20 ,又由 Q 100 P5得 Q (P) 5, 按照經(jīng)濟(jì)學(xué)需求彈性的定義 ,有 P Q (P) 5P P 5P 100 5P 5P 100 5P Q(P) 100 5P 1,解得 P 10. 所以商品價(jià)格的取值范圍是 (10,20 . (2)【答案】 (0,4) 解析】因題設(shè)的冪級(jí)數(shù)是缺項(xiàng)冪級(jí)數(shù) ,故可直接用比值判別法討論其收斂性 首先當(dāng) x 2 0

9、即x 2時(shí)級(jí)數(shù)收斂 . 當(dāng) x 2時(shí),后項(xiàng)比前項(xiàng)取絕對值求極限有 (x 2)2(n 1) n1 n4n (x 2)2n 22 (x 2)2 lim n (x 2)2 , 4 n n 1 4 x 2 2 0 x 2或2 x 4時(shí)級(jí)數(shù)絕對收斂 . lim n (n 1)4 當(dāng) (x 2)1,即當(dāng) 0 4 11 又當(dāng)x 0和x 4時(shí)得正項(xiàng)級(jí)數(shù)1 ,由p級(jí)數(shù)： 1p 當(dāng) p 1時(shí)收斂；當(dāng)p 1時(shí) n 1 nn 1n 發(fā)散. 1 所以正項(xiàng)級(jí)數(shù)1 是發(fā)散的. n1n 綜合可得級(jí)數(shù)的收斂域是 (0,4) . 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 注：本題也可作換元 (x 2)2 t 后,按如下通常求收

10、斂半徑的辦法討論冪級(jí)數(shù) tn t n 的收斂性 . n 1 n4 【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】收斂半徑的求法： 如果 lim an1 的相鄰兩項(xiàng)的系數(shù) ,則這冪級(jí)數(shù)的 n 收1斂, 半 徑 0, an ,其中an, an 1是冪級(jí)數(shù)anxn n0 0, x2 1 (3)【答案】 0dx 0 20,2 x 2 解析】這是 0 f (x,y)dy 1 dx 0f ( x, y)dy 個(gè)二重積分的累次積分,改換積分次序時(shí) ,先表成：原式 f(x,y)dxdy. 由 累 次 積 分 的 內(nèi) 外 層 積 分 限 確 定 積 分 區(qū) 域 D ： D D ( x,y) 0 y 1, y x 2 y2 , 即 D 中最低點(diǎn)

11、的縱坐標(biāo) y 0 ,最高點(diǎn)的縱坐標(biāo) y 1,D 的左邊界的方程是 x y ,即 y x2的右支, D 的右邊界的方程是 x 2 y 即 x2 y2 2 的右半圓 , y D O 12 x 從而畫出 D 的圖形如圖中的陰影部分 ,從圖形可見 D D1 D2,且 D1 (x,y) 0 x 1,0 y x2, 1 2 y2D2 (1x, y) x12 x 2,0 所以 0dy y f (x,y)dx 0dx 0 f (x,y)dy 1 (4)【答案】 ( 1)mnab x2x . f (x, y)dy. 0A B0 相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】兩種特殊的拉普拉斯展開式：設(shè) A是m階矩陣,B 是n階矩陣,則 解析】由

12、拉普拉斯展開式 , C mn mn ( 1) A B ( 1) ab. AO A* O A * A mn A B 1 mn A B *B OB B * B O 1 (5) 【答案】 1 1260 【解析】按古典概型求出基本事件總數(shù)和有利的基本事件即可 設(shè)所求概率為 P( A) ,易見,這是一個(gè)古典型概率的計(jì)算問題 ,將給出的七個(gè)字 母任意排成一行 ,其全部的等可能排法為 7!種,即基本事件總數(shù)為 n 7! ,而有利于 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 事件 A 的樣本點(diǎn)數(shù)為 2! 2! ,即有利事件的基本事件數(shù)為4,根據(jù)古典概型公式 2! 2! P(A) 7! 1260 、選擇題 (

13、本題共 5 小題,每小題 3 分, 滿分 15 分.) (1)【答案】 (B) 解析】方法 1: lxima F (x)為“ 00 ”型的極限未定式 ,又分子分母在點(diǎn) 0處導(dǎo)數(shù) 都存在 ,所以可應(yīng)用洛必達(dá)法則 . x2 x lim F(x) lim x a x ax a 2 f(t)dt a2 lim a x a x f (t)dt 2 x a a2f (x) 2 lim a f (a). x a 1 故應(yīng)選 (B). 方法 2:特殊值法 . 取 f(x) 2,則lim F(x) lim xa x2 x2 2dt 2a2 . x a x a a 顯然(A),(C),(D) 均不正確 ,故選(B

14、). 相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】對積分上限的函數(shù)的求導(dǎo)公式： 若 F(t)(tt) (t) f ( x)dx , (t), (t)均一階可導(dǎo) ,則 F (t) (t) f (t) (t) f (t) . (2)【答案】 (D) 解析】 1 2 2 1 2 由 于 x 0 時(shí) , 1 cosx x 2 , 1 x2 1 x 2 , 故 22 x2 ,1 cosx, 1 x2 1是同階無窮小 ,可見應(yīng)選 (D). (3)【答案】 (A) 解析】齊次方程組 Ax 0只有零解 r(A) n. 由于r(A) A的行秩 A的列秩,現(xiàn)A是m n矩陣,r(A) n,即 A的列向量線 性無關(guān) .故應(yīng)選(A). 【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】

15、對齊次線性方程組 Ax 0,有定理如下 : 對矩陣 A按列分塊,有 A1, 2, , n ,則 Ax 0的向量形式為 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 x1 1 x2 2xn n 0. 那么,Ax 0有非零解1, 2, , n線性相關(guān) r 1, 2, , n n r A n. (4)【答案】 (B) 【解析】依題意：由“當(dāng)事件 A與B同時(shí)發(fā)生時(shí) ,事件C必發(fā)生”得出 AB C, 故 P(AB) P(C) ；由概率的廣義加法公式 P(A B) P(A) P(B) P(AB) 推出 P(AB) P(A) P(B) P(A B) ；又由概率的性質(zhì) P(A B) 1 ,我們得出 P(C) P

16、(AB) P(A) P(B) P(A B) P(A) P(B) 1, 因此應(yīng)選 (B). (5)【答案】 (C) 【解析】根據(jù)簡單隨機(jī)樣本的性質(zhì) ,可以將 X1,X2, , Xn視為取自方差為 2的 某總體 X 的簡單隨機(jī)樣本 ,X 與 S2 是樣本均值與樣本方差 . 由于樣本方差 S2 是總體方差的無偏估計(jì)量 ,因此 ES2 2,ES,否則若 22 2 2 ES ,則( ES)22,DS ES2 (ES)2 0.故不能選 (A). 對于正態(tài)總體 ,S與 X 相互獨(dú)立 ,由于總體 X 的分布未知 ,不能選 (D).同樣因總 體分布未知 ,也不能選(B).綜上分析,應(yīng)選(C).進(jìn)一步分析 ,由于

17、樣本方差 S2是 2的 一致估計(jì)量 ,其連續(xù)函數(shù) SS2 一定也是 的一致估計(jì)量 . 三、( 本題滿分 5 分) 【解析】函數(shù) f(x)在x x0處連續(xù),則要求 lim f(x) f(x0). x x0 方法 1:利用洛必達(dá)法則求極限 lixm1 f (x) ,因?yàn)閘xim1 f (x)為“ 0 ”型的極限未定式 , 又分子分母在點(diǎn) 0處導(dǎo)數(shù)都存在 ,所以連續(xù)應(yīng)si用n(x兩次1)洛必達(dá)法則 ,有 ln cos(x 1) cos(x 1) 2 tan(x 1) lim f(x) lim lim lim x 1 x 1 x x 1 x x 1 x 1 sin cos cos 2 2 2 2 7A

18、 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 2 lxim1 2 cos (x 1) 2 x2 ( sin ) 而 f (1) 1,故 lxim1 f 2(x) 21,所以 f (x) 在 x 1 處不連續(xù) . 若令 f (1)42 ,則函數(shù) f (x)在 x 1處連續(xù). 1 方法 2:利用變量代換與等價(jià)無窮小代換 ,x 0時(shí),cosx 112x2；ln(1 x) x. 求極限 lixm1 f(x),令 x 1 t,則有 lxim1 f(x) lixm1 lim cost2 1 l1imsi t 0 1 2 2 t 0 ln cos(x 1) ln cost lim lim t 0 t t 0 4

19、ln1 (cost 1) 2 2t2 1 cos . 2 1 cos t 2 t 以下同方法 1. 2 4 8 四、( 本題滿分 5 分) 解析】用分部積分法 : Iarccot exde x e x arccot e e x arccot ex(1 2x e 1 e2x )dx e x arccot ex x 1ln(1 e2x) C ,其中C為任意常數(shù) . 2 注：分部積分法的關(guān)鍵是要選好誰先進(jìn)入積分號(hào)的問題,如果選擇不當(dāng)可能引起 更繁雜的計(jì)算 ,最后甚至算不出結(jié)果來 .在做題的時(shí)候應(yīng)該好好總結(jié) ,積累經(jīng)驗(yàn) . 【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】分部積分公式：假定 u u(x) 與v v(x) 均具有連續(xù)的導(dǎo)

20、函數(shù) ,則 uv dx uv uvdx, 或者 udv uv vdu. 五、( 本題滿分 5 分) 【解析】這是帶抽象函數(shù)記號(hào)的復(fù)合函數(shù)的二階混合偏導(dǎo)數(shù),重要的是要分清函 數(shù)是如何復(fù)合的 . 由于混合偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)條件下與求導(dǎo)次序無關(guān) ,所以本題可以先求 z ,再求 1 由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法 ,首先求 zx ,由題設(shè) zx y cos(xy ) 1 1 2 , y 再對 y求偏導(dǎo)數(shù) ,即得 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 11 zxy cos(xy) xy sin( xy) ( 1)y( 2)y2 y x 1 22 x y yy y cos(xy) xysin( xy) 12 y 1 2

21、2 y y2 2. xx1 cos( xy) xy sin( xy) 2 12 3 22 2 yyy 【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：如果函數(shù) u (x,y),v (x,y) 都在點(diǎn) (x,y)具有對 x及對 y 的偏導(dǎo)數(shù) ,函數(shù) z f (u,v)在對應(yīng)點(diǎn) (u,v) 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,則 復(fù)合函數(shù) z f( (x,y), (x,y)在點(diǎn)(x, y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在 ,且有 f1 u f2 x f1 u f2 y u y v y 六、 ( 本題滿分 5 分) y 解析】兩端對 x求導(dǎo),得f (x) 2f(x) 2x.記P(x) 2,Q(x) 2x,有通解 P(x)dx P(x)dx 2x

22、 2x 2x 1 f (x) e ( Q(x)e dx C) e 2x ( 2xe2xdx C) Ce 2x x 2 其中C為任意常數(shù) . 1e 2x x 1 22 1 由原方程易見 f(0) 0,代入求得參數(shù) C 1 .從而所求函數(shù) f (x) 2 【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】一階線性非齊次方程 y P(x)y Q(x) 的通解為 dx C ,其中 C 為任意常數(shù) . P(x)dx y e Q(x)e 七、( 本題滿分 6 分) 【解析】 方法 1：令 f (x) arctan x 1 arccos 2x2,則 2 1 x2 4 f (x) 1 2 2 (12 x2)(1 x22)2 0(x 1). 1

23、x2 2 (x2 1)(1 x2)2 因?yàn)?f ( x)在1, )連續(xù),所以 f (x)在1, )上為常數(shù),因?yàn)槌?shù)的導(dǎo)數(shù)恒為 0. 1 2x 故 f (x) f (1) 0,即 arctan x arccos 2 . 2 1 x2 4 1x 方法 2：令 f (x) arctan x 1 arccos 2x2,則 f (x)在1,x 上連續(xù),在(1,x)內(nèi)可 2 1 x2 4 導(dǎo),由拉格朗日中值定理知 ,至少存在一點(diǎn)(1, x) ,使得 f (x) f (1) f ( )(x 1). 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 ,得 f (x) 1 2 2 (12 x )

24、(1 x2 )2 0(x 1), 1 x2 2 (x2 1)(1 x2 )2 1 2x 所以 f (x) f (1).由 f (1) 0可得,當(dāng) x 1時(shí),arctan x arccos 2 2 1 x2 相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 : 如 果 u g(x) 在 點(diǎn) x 可 導(dǎo) , 而 y f (x) 在 點(diǎn) u g(x) 可 導(dǎo) , 則 復(fù) 合 函 數(shù) y f g(x) 在點(diǎn) x 可導(dǎo),且其導(dǎo)數(shù)為 dy f (u) g (x)或dy dy du . dx dx du dx 八、( 本題滿分 9 分) V( ),并求出極限 lim V( ). 解析】對于問題 (1),先利用定積分求旋轉(zhuǎn)體的公

25、式求 問題 (2)是導(dǎo)數(shù)在求最值中的應(yīng)用 ,首先建立目標(biāo)函數(shù) ,即面積函數(shù) ,然后求最大值 . (1)將曲線表成 y 是x的函數(shù),套用旋轉(zhuǎn)體體積公式 2 2x 2 2a V( )0 y2dx0e 2xdx 2 (1 e 2 ),V(a) 2(1 e 2a), lim V( ) lim 2 (1 e2 ) 2 . 由題設(shè)知 (1 e 2a),得a 1ln 2. 2 4 2 (2)過曲線上已知點(diǎn) (x0, y0 )的切線方程為 y y0 k(x x0 ) ,其中當(dāng) y (x0 )存在時(shí), k y(x0). 設(shè)切點(diǎn)為 (a,e a) ,則切線方程為 y e a e a(x a) . 令x 0,得 y

26、 e a(1 a),令 y 0,得 x 1 a. 由三角形面積計(jì)算公式 ,有切線與兩個(gè)坐標(biāo)軸夾的面積為 S 1(1 a)2e a . 2 因 S (1 a)e a 1(1 a)2e a 1(1 a2)e a,令 S 0,得a1 1,a21(舍去). 22 由于當(dāng) a 1時(shí),S 0；當(dāng)a 1時(shí),S 0.故當(dāng)a 1時(shí),面積 S有極大值,此問題中即 為最大值 . 故所求切點(diǎn)是 (1,e 1) ,最大面積為 S 1 22 e1 2e 1. 2 【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】由連續(xù)曲線 y f(x)、直線 x a,x b及 x軸所圍成的曲邊梯形 b2 10 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積為： V a f 2(x)d

27、x. 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 九、( 本題滿分 7 分) 【解析】因?yàn)?A B ,故可用相似矩陣的性質(zhì)建立方程組來求解參數(shù)x和 y的值. 若 P 1AP,則 是 A 的特征向量 .求可逆矩陣 P 就是求 A 的特征向量 . (1)因?yàn)?A B ,故其特征多項(xiàng)式相同 ,即 E A E B,即 ( 2) 2 (x 1) (x 2) ( 1)( 2)( y). 由于是 的多項(xiàng)式 ,由 的任意性 , 令0,得 2(x 2) 2y.令 1,得 3 ( 2) 2(1 y) . 由上兩式解出 y2 02與0 x 0. 10 (2) 由(1) 知 2 0 2 因?yàn)锽恰好3 是1對角1陣 0

28、 2 0 . ,所0以馬0上可2得出矩陣 A的特征值,矩陣 A的特征值是 23 2 3 1 當(dāng) 1 1時(shí),由 ( E A)x 0, 2 00 12 1 2 T (0, 2,1)T . 0 0 1 22 3 1 1 T 向量 2 (0,1,1)T . 00 當(dāng) 3 2 時(shí),由 ( 2E A)x 0, 2 2 2 得到屬于特征值2的特征向量 33 (1,10, 13)T . 0013 ) 2 1 0 ,有 P 1AP B. 1 1 1 得到屬于特征值 1的特征向量 4 當(dāng) 2 2時(shí),由(2E A)x 0, 2 得到屬于特征值 2 的特征 那么令 P ( 1, 2, 3 十、 ( 本題滿分 6 分)

29、 0 01 00 .0 100 0 1 2 , 000 0 1, 0 111 010 000 解析】對于條件 AB 0應(yīng)當(dāng)有兩個(gè)思路： 一是 B 的列向量是齊次方程組 Ax 0 的解；另一個(gè)是秩的信息即 r(A) r(B) n .要有這兩種思考問題的意識(shí) . (1)方法 1：令 A 2 1,對 3 階矩陣 A,由 AB 0,B 0 知必有 A 0,否則 13 111 11 A可逆,從而B A1(AB) A 10 0,這與B 0矛盾.故 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 1 2 2 A 2 1 3 1 1 用行列式的等價(jià)變換 ,將第三列加到第二列上 1 02 21 3 01 0, ,再

30、按第二列展開 ,有 5( 1) 0. 解出 1. 方法 2：因?yàn)?B 0,故 B 中至少有一個(gè)非零列向量 .依題意 ,所給齊次方程組 Ax 0 有非零解 ,得系數(shù)矩陣的列向量組線性1相關(guān)2 ,于2是 A 2 10, 以下同方法 (2)反證法：對于 AB 0,若 B 0,則 B 可逆,那么 A AB B 1 0B 1 0 .與已知條 件 A 0 矛盾.故假設(shè)不成立 , B 0. 【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】對齊次線性方程組 Ax 0,有定理如下 : 對矩陣 A 按列分塊 ,有 A1, 2, , n ,則 Ax 0的向量形式為 x1 1 x2 2xn n 0. 那么,Ax 0有非零解1, 2, , n 線性相關(guān)

31、 r 1, 2, , n n r A n. 對矩陣 B 按列分塊 ,記 B ( 1, 2, 3),那么 AB A( 1, 2, 3) (A 1,A 2,A 3) (0,0,0) . 因而 A i 0 i (1,2,3) ,即 i 是 Ax 0 的解. 十一、 (本題滿分 6 分 ) 【解析】在證明一個(gè)矩陣是正定矩陣時(shí) ,不要忘記驗(yàn)證該矩陣是對稱的 方法 1：定義法 . T A0 T AT0 A0 T C 0B 0 BT 0B C ,即C 是對稱矩陣 . 設(shè) m n 維列向量 因?yàn)?A、B 均為正定矩陣 ,由正定矩陣的性質(zhì) ,故 AT A,BT B,那么 12 ZT (XT ,YT ),其中 X

32、T (x1,x2, ,xm),YT (y1,y2, , yn), 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 若Z 0,則X,Y不同時(shí)為 0,不妨設(shè) X 0,因?yàn)?A是正定矩陣,所以X T AX 0. 又因?yàn)?B是正定矩陣 ,故對任意的 n維向量 Y,恒有YTAY 0.于是 ZTCZ (XT ,YT ) A 0 X XTAX YT AY 0, 0BY 即 ZTCZ 是正定二次型 ,因此 C 是正定矩陣 . 方法 2 ：用正定的充分必要條件是特征值大于 0,這是證明正定時(shí)很常用的一種方 法. 因?yàn)?A、 B均為正定矩陣 ,由正定矩陣的性質(zhì) ,故AT A,BT B, A 0 TAT 0A 0 那么

33、CTA0TC ,即C是對稱矩陣 . 0 B0 BT0 B 設(shè) A的特征值是 1, 2, , m, B的特征值是 1, 2, , n.由 A,B均正定,知 i 0, j 0 (i 1,2, ,m, j 1,2, , n) .因?yàn)?Em A 0 E C mEm A En B 0En B m n 1 m 1 m , 于是,矩陣 C的特征值為 1, 2, , m, 1, 2, , n. 因?yàn)镃的特征值全大于 0,所以矩陣 C正定. 十二、 (本題滿分 7 分 ) 【解析】設(shè)事件 A “每次測量中測量誤差的絕對值大于 19.6 ”,因?yàn)?X N(0, 102 ,)即 EX 0,DX 2 102 .根據(jù)正

34、態(tài)分布的性質(zhì)則有： p P(A) P X 19.6 P X 19.6 |X 0| 19.6 0 P 10 10 |X| P |X | 1.96 10 1 P 1.96 X 1.96 1 (1.96) ( 1.96) 10 1 (1.96) (1 (1.96) 2 2 (1.96) 2(1 (1.96) 0.05. 13 設(shè)Y 為 100 次獨(dú)立重復(fù)測量中事件 A 出現(xiàn)的次數(shù),則Y 服從參數(shù)為 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 n 100, p 0.05 的 二 項(xiàng) 分 布 . 根 據(jù) 二 項(xiàng) 分 布 的 定 義,P Y k Cnk pk(1 p)n k(k 0,1,2 ) ,則至少有

35、三次測量誤差的絕對值大于 19.6 的概率 為： PY 3 1 PY 3 1 PY 0 PY 1 PY 2 1 C10000.050(1 0.05)100 C11000.051(1 0.05)100 1 C12000.052(1 0.05)100 2 1 0.95100 100 0.9599 0.05 100 99 0.9598 0.052 . 2 根據(jù)泊松定理 ,對于成功率為 p的 n重伯努利試驗(yàn) ,只要獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù) n充分大,而p相當(dāng)小(一般要求 n 100,p 0.1),則其成功次數(shù)可以認(rèn)為近似服從 參數(shù)為的泊松分布 ,具體應(yīng)用模式為若 Y B(n,p),則當(dāng)n充分大, p相當(dāng)小時(shí)

36、當(dāng) Y 近 似 服 從 參 數(shù) 為np 的 泊 松 分 布 , 即 P Y k Cnkpk(1 p)n k (np) e np(k 0,1,2 ). k! 設(shè)Y為 100 次獨(dú)立重復(fù)測量中事件 A出現(xiàn)的次數(shù),則Y服從參數(shù)為 n 100, p 0.05 的二項(xiàng)分布 .故 0 1e 0! 1! 552 1 e 5(1 5 ) 0.87. 2 十三、 (本題滿分 5 分) PY 3 1 PY 3 1 PY 0 PY 1 PY 2 ( )0 ( )1e ( )2 e 1 e e 2e 2! 2 解析】令隨機(jī)變量 1, 第i個(gè)部件需調(diào)整 ， Xi i 1,2,3 . i 0, 第 i個(gè)部件不需調(diào)整 ， 14 依題意 X1,X2,X3相互獨(dú)立 ,且 X1, X 2 , X 3分別服從參數(shù)為 0.1,0.2,0.3 的0 1分布, 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 X1 0 1 p 0.9 0.1 7A 版優(yōu)質(zhì)實(shí)用文檔 獨(dú)立,所以 (1) PX 0 P X1 X2 X3 0 PX1 0,X2 0,X3 0 P X 1 P X1 X2 X 3 1 PX1 0PX2 0PPX X1 3 1,0X2 00.9,