高中物理競(jìng)賽習(xí)題：穩(wěn)恒電流

1、高中物理競(jìng)賽穩(wěn)恒電流習(xí)題一、純電阻電路的簡(jiǎn)化和等效1、等勢(shì)縮點(diǎn)法將電路中電勢(shì)相等的點(diǎn)縮為一點(diǎn)，是電路簡(jiǎn)化的途徑之一。至于哪些點(diǎn)的電勢(shì)相等，則需要具體問題具體分析【物理情形 1】在圖 8-4 甲所示的電路中， R1 = R 2 = R 3 = R 4 = R 5= R ，試求 A、B 兩端的等效電阻 RAB ?！灸Ｐ头治觥窟@是一個(gè)基本的等勢(shì)縮點(diǎn)的事例，用到的是物理常識(shí)是：導(dǎo)線是等勢(shì)體，用導(dǎo)線相連的點(diǎn)可以縮為一點(diǎn)。將圖 8-4 甲圖中的 A、D縮為一點(diǎn) A 后，成為圖 8-4 乙圖對(duì)于圖8-4的乙圖，求RAB就容易了。【答案】RAB =3 R。8R3【物理情形 2】在圖 8-5= 3 ，R4 =

2、12 ，R5 =甲所示的電路中， R1 = 1 ，R2 = 410 ，試求 A、B兩端的等效電阻RAB，?！灸Ｐ头治觥窟@就是所謂的橋式電路，這里先介紹簡(jiǎn)單的情形：將 A、B 兩端接入電源，并假設(shè) R5 不存在， C、D兩點(diǎn)的電勢(shì)有什么關(guān)系？學(xué)員判斷 結(jié)論：相等。因此，將 C、 D縮為一點(diǎn) C后，電路等效為圖8-5 乙對(duì)于圖 8-5 的乙圖，求 R 是非常容易的。事實(shí)上，只要滿足R1=R 3ABR 2R 4的關(guān)系，我們把橋式電路稱為 “平衡電橋”。【答案】RAB= 15 。45換成靈敏電相關(guān)介紹英國(guó)物理學(xué)家惠斯登曾將圖 8-5 中的 R流計(jì) G，將 R1 、R2 中的某一個(gè)電阻換成待測(cè)電阻、將

3、R3、R4 換成帶觸頭的電阻絲， 通過調(diào)節(jié)觸頭 P的位置，觀察電流計(jì)示數(shù)為零來測(cè)量帶測(cè)電阻 Rx 的值，這種測(cè)量電阻的方案幾乎沒有系統(tǒng)誤差，歷史上稱之為“惠斯登電橋”。請(qǐng)學(xué)員們參照?qǐng)D 8-6思考惠斯登電橋測(cè)量電阻的原理，并寫出 Rx 的表達(dá)式（觸頭兩端的電阻絲長(zhǎng)度 LAC和 LCB是可以通過設(shè)置好的標(biāo)尺讀出的）。學(xué)員思考、計(jì)算 xL CB0【答案】 R =R 。L AC【物理情形 3】在圖 8-7 甲所示的有限網(wǎng)絡(luò)中，每一小段導(dǎo)體的電阻均為 R ，試求 A、B兩點(diǎn)之間的等效電阻RAB ?！灸Ｐ头治觥吭诒灸Ｐ椭?，我們介紹“對(duì)稱等勢(shì)”的思想。當(dāng)我們將 A、B兩端接入電源，電流從A 流向 B 時(shí)，相

4、對(duì) A、B 連線對(duì)稱的點(diǎn)電流流動(dòng)的情形必然是完全相同的，即：在圖8-7 乙圖中標(biāo)號(hào)為 1的點(diǎn)電勢(shì)彼此相等，標(biāo)號(hào)為2 的點(diǎn)電勢(shì)彼此相等 。將它們縮點(diǎn)后，1 點(diǎn)和 B點(diǎn)之間的等效電路如圖8-7 丙所示。不難求出， R =5R，而R =2R ?！敬鸢浮?R =5R 。1B14AB1BAB72、 Y 型變換【物理情形】在圖8-5 甲所示的電路中，將 R1 換成 2 的電阻，其它條件不變，再求A、B 兩端的等效電阻RAB ?！灸Ｐ头治觥看藭r(shí)的電橋已經(jīng)不再“平衡”，故不能采取等勢(shì)縮點(diǎn)法簡(jiǎn)化電路。 這里可以將電路的左邊或右邊看成型電路，然后進(jìn)行 Y型變換，具體操作如圖8-8 所示。根據(jù)前面介紹的定式，有R

5、=R1R3=2 3=2Rb=R1R5=2 10=aR1 R3 R523105R1 R3 R523104 3Rc =R3R5=310= 2R1 R3 R523 10再求 RAB就容易了?！敬鸢浮?RAB =618 。1453、電流注入法【物理情形】對(duì)圖 8-9 所示無限網(wǎng)絡(luò)，求 A、B兩點(diǎn)間的電阻RAB ?！灸Ｐ头治觥匡@然，等勢(shì)縮點(diǎn)和Y型變換均不適用這種網(wǎng)絡(luò)的計(jì)算。這里介紹“電流注入法”的應(yīng)用。應(yīng)用電流注入法的依據(jù)是：對(duì)于任何一個(gè)等效電阻 R，歐姆定律都是適用的，而且，對(duì)于每一段導(dǎo)體，歐姆定律也是適用的。現(xiàn)在，當(dāng)我們將無窮遠(yuǎn)接地， A點(diǎn)接電源正極， 從 A點(diǎn)注入電流 I 時(shí)，AB小段導(dǎo)體的電流必

6、為I/3；當(dāng)我們將無窮遠(yuǎn)接地， B 點(diǎn)接電源負(fù)極，從 B 點(diǎn)抽出電流 I 時(shí)，AB小段導(dǎo)體的電流必為I/3；那么，當(dāng)上面“注入”和“抽出”的過程同時(shí)進(jìn)行時(shí)，AB 小段導(dǎo)體的電流必為 2I/3。最后，分別對(duì)導(dǎo)體和整個(gè)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用歐姆定律，即不難求出RAB ?！敬鸢浮縍AB= 2R 。3相關(guān)介紹事實(shí)上，電流注入法是一個(gè)解復(fù)雜電路的基本工具，而不是僅僅可以適用于無限網(wǎng)絡(luò)。下面介紹用電流注入法解圖 8-8 中橋式電路（不平衡）的RAB。從 A端注入電流 I ，并設(shè)流過 R1 和 R2 的電流分別為 I 1 和 I 2 ，則根據(jù)基爾霍夫第一定律，其它三個(gè)電阻的電流可以表示為如圖8-10所示。然后對(duì)左邊回路用

7、基爾霍夫第二定律，有IR+(I1- I2)R -(I -I )R3= 01151即 2I1 + 10(I1-I2) -3(I-I1)=0整理后得15I1-10I 2=3I對(duì)左邊回路用基爾霍夫第二定律，有IR-(I-I )R4- (I1- I)R= 022225即4I 2 - 12(I-I 2)- 10(I1-I 2)=0整理后得-5I1+13I2=6I解兩式，得 I 1 =99 I，I2=21 I14529很顯然 UA- I1R - IR = UB12 2即UAB=2 99I+421I=618 I14529145最后對(duì)整塊電路用歐姆定律，有RAB= UAB =618 。I1454、添加等效法【

8、物理情形】在圖8-11 甲所示無限網(wǎng)絡(luò)中，每個(gè)電阻的阻值均為 R ，試求 A、B兩點(diǎn)間的電阻RAB 。【模型分析】解這類問題，我們要用到一種數(shù)學(xué)思想，那就是：無窮大和有限數(shù)的和仍為無窮大。在此模型中，我們可以將“并聯(lián)一個(gè) R再串聯(lián)一個(gè) R”作為電路的一級(jí)，總電路是這樣無窮級(jí)的疊加。在圖 8-11 乙圖中，虛線部分右邊可以看成原有無限網(wǎng)絡(luò)，當(dāng)它添加一級(jí)后，仍為無限網(wǎng)絡(luò)，即RABR+R=RAB解這個(gè)方程就得出了RAB的值?！敬鸢浮?R =15R 。AB2學(xué)員思考本題是否可以用“電流注入法”求解？解說可以，在 A 端注入電流 I 后，設(shè)第一級(jí)的并聯(lián)電阻分流為I 1 ，則結(jié)合基爾霍夫第一定律和應(yīng)有的比

9、例關(guān)系，可以得出相應(yīng)的電流值如圖8-12 所示對(duì)圖中的中間回路，應(yīng)用基爾霍夫第二定律，有(I - I )R+(I- I1)I1R- I R=01I1解得I1=51 I2很顯然 UA - IR- I 1R=UB即 UAB= IR +5 1IR= 1 5IR22最后， RAB =UAB =1 5R。I2【綜合應(yīng)用】在圖8-13 甲所示的三維無限網(wǎng)絡(luò)中，每?jī)蓚€(gè)節(jié)點(diǎn)之間的導(dǎo)體電阻均為R ，試求 A、B兩點(diǎn)間的等效電阻RAB ?！窘庹f】當(dāng)A、B 兩端接入電源時(shí)，根據(jù)“對(duì)稱等勢(shì)”的思想可知， C、 D、E 各點(diǎn)的電勢(shì)是彼此相等的，電勢(shì)相等的點(diǎn)可以縮為一點(diǎn)，它們之間的電阻也可以看成不存在。這里取后一中思想，

10、將 CD 間的導(dǎo)體、 DE間的導(dǎo)體 取走后，電路可以等效為圖 8-13 乙所示的二維無限網(wǎng)絡(luò)。對(duì)于這個(gè)二維無限網(wǎng)絡(luò)，不難求出R= 3 21 R顯然，RAB=3R2RR【答案】 R =2R 。3AB21二、含源電路的簡(jiǎn)化和計(jì)算1、戴維南定理的應(yīng)用【物理情形】在如圖8-14 甲所示電路中，電源 = 1.4V，內(nèi)阻不計(jì)， R1= R 4 = 2 ，R2= R 3= R 5= 1 ，試用戴維南定理解流過電阻 R5 的電流?！灸Ｐ头治觥坑么骶S南定理的目的是將電源系統(tǒng)或與電源相關(guān)聯(lián)的部分電路等效為一個(gè)電源，然后方便直接應(yīng)用閉合電路歐姆定律。此電路中的電源只有一個(gè)， 我們可以援用后一種思路， 將除 R5 之

11、外的電阻均看成“與電源相關(guān)聯(lián)的”部分，于是將電路做“拓?fù)洹弊儞Q，成圖 8-14 乙圖。這時(shí)候， P、Q兩點(diǎn)可看成“新電源”的兩極，設(shè)新電源的電動(dòng)勢(shì)為 ，內(nèi)阻為 r ，則r = R1R2 + R 3R4 =4 3為 P、Q 開路時(shí)的電壓。開路時(shí)， R 的電流 I和 R的電流 I31133= （R117相等，I1=IR2) (R 3R 4 )2 =15 A ，令“老電源”的負(fù)極接地，則 U=IR =7V，U=IR =14V ，所以 = UQP=7VP1 215Q3 41515最后電路演化成圖8-14 丙時(shí)， R 的電流就好求了。5【答案】 R5 上電流大小為0.20A ，方向（在甲圖中）向上。2、

12、基爾霍夫定律的應(yīng)用基爾霍夫定律的內(nèi)容已經(jīng)介紹，而且在（不含源）部分電路中已經(jīng)做過了應(yīng)用。 但是在比較復(fù)雜的電路中， 基爾霍夫第一定律和第二定律的獨(dú)立方程究竟有幾個(gè)？這里需要補(bǔ)充一個(gè)法則，那就是基爾霍夫第一定律的獨(dú)立方程個(gè)數(shù)為節(jié)點(diǎn)總數(shù)減一；基爾霍夫第二定律的獨(dú)立方程個(gè)數(shù)則為獨(dú)立回路的個(gè)數(shù)。而且，獨(dú)立回路的個(gè)數(shù)m應(yīng)該這樣計(jì)算m = p - n + 1其中 p 為支路數(shù)目（不同電流值的數(shù)目） ，n 為節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)。譬如，在圖 8-15 所示的三個(gè)電路中， m應(yīng)該這樣計(jì)算甲圖， p = 3，n = 2，m = 3-2+1=2乙圖， p = 6，n = 4，m = 6-4+1=3丙圖， p = 8，n =

13、5，m = 8-5+1=4以上的數(shù)目也就是三個(gè)電路中基爾霍夫第二定律的獨(dú)立方程個(gè)數(shù)。思考啟發(fā)：學(xué)員觀察上面三個(gè)電路中 m的結(jié)論和電路的外部特征，能得到什么結(jié)果？學(xué)員： m事實(shí)上就是“不重疊”的回路個(gè)數(shù)！ （可在丙圖的基礎(chǔ)上添加一支路驗(yàn)證 ）【物理情形 1】在圖 8-16 所示的電路中， 1 = 32V ， 2 = 24V ，兩電源的內(nèi)阻均不計(jì)，R1 = 5 ， R2 = 6 ， R3 = 54 ，求各支路的電流?！灸Ｐ头治觥窟@是一個(gè)基爾霍夫定律的基本應(yīng)用，第一定律的方程個(gè)數(shù)為n- 1 =2 ，第二方程的個(gè)數(shù)為p - n + 1 = 2由第一定律，有I 3=I 1+I 2由第二定律，左回路有1-

14、 2 = I 1R1-I2R2左回路有2 = I 2R2 + I3R3代入數(shù)字后，從這三個(gè)方程不難解出I1= 1.0A，I2 =-0.5A ，I3= 0.5A這里 I 2 的負(fù)號(hào)表明實(shí)際電流方向和假定方向相反?！敬鸢浮縍1 的電流大小為1.0A，方向向上，R2 的電流大小為 0.5A，方向向下， R3 的電流大小為 0.5A，方向向下。【物理情形 2】用基爾霍夫定律解圖8-14 甲所示電路中 R5 的電流（所有已知條件不變）?！灸Ｐ头治觥看穗娐穚 = 6 ，n = 4 ，故基爾霍夫第一定律方程個(gè)數(shù)為3 ，第二定律方程個(gè)數(shù)為3 。為了方便，將獨(dú)立回路編號(hào)為、和，電流只設(shè)了三個(gè)未知量 I 1 、I

15、 2 和 I 3 ，其它三個(gè)電流則直接用三個(gè)第一定律方程表達(dá)出來，見圖 8-17 。這樣，我們只要解三個(gè)基爾霍夫第二定律方程就可以了。對(duì)回路，有 I 2R1+ I1R5 - I 3R3=0即2I 2+1I1-1I3= 0對(duì)回路，有 (I 2 - I1)R2-(I 1+ I3)R4- I 1R5=0即 1(I2- I1)- 2(I1+ I)-1I1= 03對(duì)回路，有 = I3R3 + (I1+I 3)R4即1.4=1I3+2(I1 + I3 )解式不難得出 I 1 =- 0.2A。（I2 = 0.4A，I3 = 0.6A ）【答案】略?！疚锢砬樾?3】求解圖 8-18所示電路中流過 30 電阻的

16、電流?！灸Ｐ头治觥炕鶢柣舴虻谝欢煞匠? 個(gè)，已在圖中體現(xiàn)基爾霍夫第二定律方程3 個(gè)，分別為對(duì)回路，有 100 = (I2-I1) + I 102對(duì)回路，有 40 = I210 + I 130 - I 310對(duì)回路，有 100 = I310 + (I1 + I3)10解式不難得出 I 1 = 1.0A。（I 2 = 5.5A，I3=4.5A ）【答案】大小為1.0A，方向向左。小結(jié)解含源電路我們引進(jìn)了戴維南定理和基爾霍夫定律兩個(gè)工具。原則上，對(duì)任何一個(gè)問題，兩種方法都可以用。但是，當(dāng)我們面臨的只是求某一條支路的電流， 則用戴維南定理較好， 如果要求求出多個(gè)（或所有）支路的電流，則用基爾霍夫定律

17、較好。而且我們還必須看到，隨著獨(dú)立回路個(gè)數(shù)的增多， 基爾霍夫第二定律的方程隨之增多，解題的麻煩程度隨之增大。三、液體導(dǎo)電及其它【物理情形】已知法拉第恒量F=9.65 104C/mol ，金的摩爾質(zhì)量為0.1972kg/mol，金的化合價(jià)為3 ，要想在電解池中析出1g 金，需要通過多少電量？金是在電解池的正極板還是在負(fù)極板析出？【解說】法拉第電解定律（綜合形式）的按部就班應(yīng)用，即Q =mFn，代入相關(guān)數(shù)據(jù)（其中m = 1.0 10- 3kg ，nM= 3 ）即可?！敬鸢浮啃枰?.47 103C 電量，金在負(fù)極板析出。【相關(guān)應(yīng)用】在圖8-19 所示的裝置中，如果在 120 分鐘內(nèi)淀積 3.0 10

18、22 個(gè)銀原子，銀的化合價(jià)為 1 。在電流表中顯示的示數(shù)是多少？若將阿弗伽德羅常數(shù)視為已知量，試求法拉第恒量?！窘庹f】第一問根據(jù)電流定義即可求得；第二問 F=QM=3.010221.61019 M【答案】 0.667A；mn3.01022M6.0210239.63 104C/mol 。四、問題補(bǔ)遺歐姆表圖 8-20 展示了歐姆表的基本原理圖（未包括換檔電路） ，虛線方框內(nèi)是歐姆表的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，它包含表頭 G、直流電源（常用干電池）及電阻 R 。當(dāng)被測(cè)電阻 Rx 接入電路時(shí)，表頭G電流I =R grRR x可以看出，對(duì)給定的歐姆表， I 與 Rx 有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，所以由表頭指針的位置可以知道Rx

19、 的大小。為了讀數(shù)方便，事先在刻度盤上直接標(biāo)出歐姆值?？疾?I （Rx）函數(shù)，不難得出歐姆表的刻度特點(diǎn)有三：大值在左邊、小值在右邊；不均勻，小值區(qū)域稀疏、大值區(qū)域密集；沒有明確的量程，最右邊為零，最左邊為 。歐姆表雖然沒有明確的量程，并不以為著測(cè)量任何電阻都是準(zhǔn)確的，因?yàn)榇笾祬^(qū)域的刻度線太密，難以讀出準(zhǔn)確讀數(shù)。這里就有一個(gè)檔位選擇問題。歐姆表上備有“1”、“ 10”、“ 100”、“ 1k”不同檔位，它們的意義是： 表盤的讀數(shù)乘以這個(gè)倍數(shù)就是最后的測(cè)量結(jié)果。比如，一個(gè)待測(cè)電阻阻值越20k，選擇“ 10”檔，指針將指在 2k 附近（密集區(qū)），不準(zhǔn)，選擇“ 1k”檔，指針將指在 20 附近（稀疏區(qū)），讀數(shù)就準(zhǔn)確了。不同的檔位是因?yàn)闅W姆表的中值電阻可以選擇造成的。當(dāng) Rx =（Rg+ r + R ）時(shí)，表頭電流I =1 I g ，指針指在表盤的幾何中心，故2稱此時(shí)的Rx即（ Rg + r + R ）為中值電阻，它就是表盤正中刻度的那個(gè)數(shù)字乘以