高中數(shù)學(xué)題型全面歸納曲線與方程45改

1、第四節(jié)曲線與方程考綱解讀了解方程的曲線與曲線的方程的對應(yīng)關(guān)系，理解曲線與方程的概念命題趨勢探究從內(nèi)容上看， 求曲線的方程是解析幾何的基本問題之一，是高考中的一個熱點和重點，在歷年高考中出現(xiàn)的頻率較高，一般與平面向量結(jié)合。從形式上看，以解答題為主，難度中檔。從能力要求上看，高考中注重考查學(xué)生的邏輯思維，運算，分析和解決問題的能力，而軌跡方程這一熱點，恰好能很好的反映學(xué)生在這些能力方面的掌握程度。預(yù)測 2019 年高考中，求曲線方程的題目若出現(xiàn)在主觀題中，則綜合性比較強，屬于較南題：若出現(xiàn)在客觀題中，則通常可以利用圓錐曲線的定義解題，為容易題。軌跡問題是每年必考內(nèi)容之一，求解方程比較有規(guī)律，難度以

2、中等偏難為主。知識點精講一、曲線的方程和方程的曲線在直角坐標系中，如果是某曲線C （看作適合某種條件的點的集合或軌跡）上的點與一個二元方程fx, y0 的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：（ 1） 曲線上的點的坐標都是這個方程的解（完備性）（ 2） 以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點（純粹性）那么， 這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫方程的曲線。事實上，曲線可以看作一個點集C ，以一個二元方程的解作為坐標的點也組成一個點集 F ，上訴定義中條件 (1)CFC F條件 (2)FC二、直接法求動點的軌跡方程利用直接法求動點的軌跡方程的步驟如下：（1）建系 -建立適當(dāng)?shù)淖鴺讼担?）設(shè)點 -設(shè)軌跡上的任一點

3、 P x, y（3）列式 -列出有限制關(guān)系的幾何等式（4）代換 -將軌跡所滿足的條件用含x, y 的代數(shù)式表示，如選用距離和斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為x, y 的方程式化簡（ 5） 證明（一般省略） - 證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程（對某些特殊值應(yīng)另外補充檢驗） 。簡記為：建設(shè)現(xiàn)代化，補充說明。注：若求動點的軌跡，則不但要求出動點的軌跡方程，還要說明軌跡是什么曲線。題型歸納及思路提示題型146求動點的軌跡方程思路提示：動點的運動軌跡所給出的條件千差萬別，因此求軌跡的方法也多種多樣，但應(yīng)理解，所求動點的軌跡方程其實質(zhì)即為其上動點的橫縱坐標x, y 所滿足的等量關(guān)系式，通常的方法有直譯法，定義

4、法，相關(guān)點法（代入法），參數(shù)法。一、直譯法如果動點滿足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量關(guān)系且這些幾何簡單明了且易于表達，那么只需把這些關(guān)系“翻譯”成含x, y 的等式，就可得到曲線的軌跡方程，由于這種求軌跡方程的過程不需要其他步驟，也不需要特殊的技巧，所以被稱為直譯法。例 10.30 在平面直角坐標系xOy 中，點 B 與點 A 1,1 關(guān)于原點 O 對稱， P 是動點， 且直線 AP 與 BP 的斜率之積等于1P 的軌跡方程。，求動點3變式 1已知動圓過定點A 4,0 ，且在 y 軸上截得的弦MN的長為 8，求動圓圓心的軌跡C的方程變式 2在平面直角坐標系xOy 中，已知點 A 0, 1

5、, B 點在直線 y3上， M 點滿足MB OA, MA ABMB BA ， M 點的軌跡為曲線 C ，求 C 的方程。2變式 3 （ 2017 課標 II ，理）設(shè)O 為坐標原點，動點M 在橢圓 C： xy21上，過 M 作2x 軸的垂線，垂足為N，點 P 滿足 NP2 NM ，求點 P 的軌跡方程；二、定義法若動點的軌跡符合某一已知曲線（圓，橢圓，雙曲線，拋物線）的定義，則可根據(jù)定義直接求出方程中的待定系數(shù)，故稱待定系數(shù)法。例 10.31M2,0 和 N 2,0 是平面上的兩點， 動點 P 滿足 PMPN6 ，求點 P 的軌跡方程 .設(shè)圓 C 與兩圓 x24, x24, 重點 一個內(nèi)切，

6、另一個外變式 15y25y2切，求 C 的圓心軌跡L 的方程。變式 2已知動圓 P 與定圓 C :x2 2y 21外切，又與定直線 l : x1 相切，那么動圓圓心 P 的軌跡方程是變式 3已知平面內(nèi)一動點P 到點 F 1,0的距離與點P 到 y 軸的距離的差等于1，求動點 P 的軌跡 C 的方程。例 10.32 如圖10-15 所示， F1 , F2x2y2為橢圓143的左，右焦點，A 為橢圓上任因點，過焦點F2向F1 AF2的外角平分線作垂線，垂足為D ，并延長F2D 交F1 A于點B，則點D 的軌跡方程是，點B 的軌跡方程是變式 1已知 F1, F2是雙曲線的左， 右焦點， Q 是雙曲線

7、上任一點 （不是頂點） ，從焦點 F1 引FQF2 的平分線的垂線，垂足為P ，則動點的軌跡方程所在的曲線是（）1A直線B圓C橢圓D雙曲線變式 2已知點 P 為雙曲線又支上異于頂點的任一點，連接 PF1 , PF2，作PF1F2 的內(nèi)切圓，其圓心為 O ，則動圓圓心 O 的軌跡所在的曲線是（）A直線B圓C橢圓D雙曲線變式 3如圖 10-16 所示，在正方體ABCDA1 B1C1D1 中， P 是側(cè)面 BCC1 B1 內(nèi)一動點，若 P 到直線 BC 與到直線 C1D1 的距離相等，則動點P 的軌跡所在的曲線是（）A直線B圓C雙曲線D拋物線三、相關(guān)點法（代入法）有些問題中，所求軌跡上點Mx, y的

8、幾何條件是與另一個已知方程的曲線上點Mx , y相關(guān)聯(lián)的，這時要通過建立這兩點之間關(guān)系，并用x, y表示x , y，再x , y將代入已知曲線方程，即得x, y關(guān)系式。例 10.33已知 A 為橢圓 x2y21 上的點，點 B 坐標為2,1 ，有 AP2PB 求點P的2516軌跡方程。變式 1 如圖 10-17所示，設(shè) P 是圓 x2y225 上的動點，點D 是 P 在 x 軸上的射影，M 為 PD 上一點，且MD4 PD ，當(dāng) P 在圓上運動時，求點M 的軌跡 C的方程 .5變式 2 如圖 10-18 所示，已知 M , N 是橢圓 x2y 21上兩動點， 且直線 OM 與 ON42的斜率之

9、積為1OM 2ON ，問：是否存在（其中 O 為坐標原點），若點 P 滿足 OP2兩個定點 F1 , F2，使得 PF1PF2 為定植？若存在，求F1 , F2 的坐標：若不存在，說明理由。變式 3如圖 10 19 所示， 拋物線 C1 : x24y,C2 : x22 py p 0 ，點 M x0 , y0 在拋物線 C2 上，過 M 作 C1 的切線，切線為A,B （ M 為原點 O 時， A,B重合于 O ），當(dāng)x0 12 時，切線 MA 的斜率為1。（1）求 P 的值2（2）當(dāng) M 在 C2 上運動時，求線段AB 中點 N 的軌跡方程。四、參數(shù)法有時不容易得出動點應(yīng)滿足的幾何條件，也無明

10、顯的相關(guān)點，但卻較容易發(fā)現(xiàn)（或經(jīng)分析可發(fā)現(xiàn)）該動點常常受到另一個變量（角度，斜率，比值，解距或時間等）的制約，即動點坐標x, y中的x, y分別隨另一變量的變化而變化，我們稱這個變量為參數(shù)，由此建立軌跡的參數(shù)方程，這種方法叫參數(shù)法（或設(shè)參消參法），如果需要得到軌跡的普通方程，只要消去參數(shù)即可， 在選擇參數(shù)時， 選用的參變量可以具有某種物理或幾何性質(zhì)，如時間， 速度，距離，角度，有向線段的數(shù)量，直線的斜率及點的橫縱坐標等，也可以沒有具體的意義，還要特別注意選定的參變量的取值范圍對動點坐標取值范圍的影響。例 10.34 設(shè)橢圓方程為x2y21，過點 M 1,0 的直線 l 交橢圓于點 A, B ，

11、點 O 是坐標4原點，點 P 滿足 OP1OAOB，求動點 P 的軌跡方程。22變 式1已 知過點D2,0的直 線 l 與 橢 圓 xy 21交 于 不 同 的兩 點 A, B ， 若2OPOAOB， 求點 P 的軌跡方程。變式 2（ 2016 高考新課標3 理數(shù)）已知拋物線C ： y 22 x 的焦點為 F ，平行于 x 軸的兩條直線l1,l2分別交C于A, B兩點，交 C 的準線于P Q兩點若PQF的面積是ABF，的面積的兩倍，求AB 中點的軌跡方程 .最有效訓(xùn)練題45（限時 45 分鐘）1 已知定點 Px , y0不在直線 l : fx, y0 上，則方程 f x, yf x , y00

12、 表示00一條（）A過點 P 且垂直于 l 的直線B過點 P 且平行于 l 的直線C不過點 P 但垂直于 l 的直線D不過點 P 但平行于 l 的直線2過點 P x, y的直線分別與 x 軸和 y 軸的正半軸交于A, B ，點 Q 與點 P 關(guān)于 y軸對稱，O 為坐標原點，若BP2PA 且 OQ AB1，則點 Q 的軌跡方程是（）A3x23 y21 x 0, y 0B3x23 y21 x 0, y 03 x223 x22C3y21 x 0, y 0D3y21 x 0, y 0223動點 A 在圓 x2y21上移動時，它與定點B 3,0連線的中點的軌跡方程是（）A2y24B2y21x 3x 32

13、321C4 y21Dxy22 x 3224已知橢圓 x2y21 ab 0，M 為橢圓上一動點， F1 為橢圓的左焦點， 則線段 MF1a2b2的中點 P 的軌跡是（）A圓B橢圓C線段D一段拋物線5線段 AB 的長度是10，它的兩個端點分別在x 軸， y 軸上滑動，則AB 中點 P 的軌跡方程是（ ）Ax2y25 Bx2y225Cx2y2100Dx2y 2506如圖 10-21 所示，已知點 M3,0 , N 3,0 ,B 1,0，動圓 C 與直線 MN 切于點 B ，過 M , N 與圓 C 相切的兩直線相交于點P ，則 P 點的軌跡方程為（）2Ax2 y x 1 82Cx2 yx182Bx2

14、yx18Dx2 y 2x 1107（ 2017 黑龍江哈師大附中三模） 已知圓 C : x2y225，過點 M2,3 作直線交圓 C 于A, B 兩點，分別過 A, B 兩點作圓的切線，當(dāng)兩條切線相交于點N 時，則點 N 的軌跡方程為_ aa8在 ABC中， A 為動點， B、 C 為定點， B 2， 0，C 2，0( a0) ，且滿足條件 sin C1sin B 2sin A，則動點 A 的軌跡方程是 _9過定點 A a,b任作互相垂直的兩直線l1 與 l 2 ，且 l1 與 x 軸交于 M 點， l 2 與 y 軸交于 N點，則線段 MN 中點 P 的軌跡方程為x2y2 10 已知 P是橢圓 a2 b21 上的任意一點， F1、F2 是它的兩個焦點， O為坐標原點， OQPF1PF2，則動點 Q的軌跡方程是 _11（ 2016 高考新課標 1 卷）（本小題滿分12 分）設(shè)圓 x2y 22x 15 0 的圓心為 A,直線 l 過點 B（ 1,0）且與 x 軸不重合 ,l 交圓