立體幾何中的向量方法

1、第五講 立體幾何中的向量方法【考綱要求】1. 理解直線的方向向量與平面的法向量。2. 能用向量語言表述直線與直線，直線與平面，平面與平面的垂直、平行關(guān)系。3. 能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理）4. 能用向量方法解決值線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問題，了解向量方法在研究立體 幾何問題中的應(yīng)用。【知識(shí)清單】1. 向量表示空間的點(diǎn)、直線、平面點(diǎn)：在空間中，我們?nèi)∫欢c(diǎn) O作為基點(diǎn)，那么空間中任意一點(diǎn)P的位置就可以用向量 Op來表示，我們把向量OOP稱為點(diǎn)P的位置向量.直線： 直線的方向向量：和這條直線平行或共線的非零向量. 對于直線l上的任一點(diǎn)P,存

2、在實(shí)數(shù)t，使得Ap tAB，此方程稱為直線的向量參數(shù)方程.平面： 空間中平面的位置可以由內(nèi)兩個(gè)不共線向量確定.對于平面上的任一點(diǎn)P,a,b是平面 內(nèi)兩個(gè)不共線向量，則存在有序?qū)崝?shù)對（x,y）,使得0P xa yb . 空間中平面的位置還可以用垂直于平面的直線的方向向量表示空間中平面的位置.，則稱這個(gè)向量n垂直于平面，記 平面的法向量： 如果表示向量n的有向線段所在直線垂直于平面 作n丄，那么向量n叫做平面 的法向量. 有關(guān)問題： 如果a,b都是平面的法向量，貝U a,b的關(guān)系則 n與a的關(guān)系是 向量n是平面 的法向量，向量 a是與平面 平行或在平面內(nèi), 一個(gè)平面的法向量是唯一的嗎？平面的法向量

3、可以是零向量嗎？向量表示平行、垂直關(guān)系：設(shè)直線l,m的方向向量分別為 a,b，平面的法向量分別為u,v，則 I / m a / ba kb I / /u / vu kv.2.求出空間線段的長度:用空間向量表示空間線段，然后利用公式6內(nèi)部資料，請勿外傳3. 空間二面角或異面直線夾角，都可以轉(zhuǎn)化為利用公式cos（a, b4. 點(diǎn)到平面的距離的求法r uuu r（1）如圖A ,空間一點(diǎn)P到平面 的距離為d,已知平面的一個(gè)法向量為n,且AP與n不共線，能否用LuurAP與n表示d ?分析：過P作PO丄于O,uuu uur連結(jié) OA,則 d=| PO |=| PA I cos APO.UULTr PO

4、丄,nULUr PO / n .uuu r- cos/ APO =|cos PA, n |uurULU rUUUr rULU rulu r|P A| | n| |cos PA,n | PA n|!Uu=_-|n|n|(2)設(shè)A ,空間一點(diǎn)P到平面 的距離為d,平面的一個(gè)法向量為n，則ULU r,|PA?n|d = ur|n|【典例精講】例1已知兩點(diǎn)A 1, 2,3,B 2,1, 3，求直線AB與坐標(biāo)平面YOZ的交點(diǎn)變式：已知三點(diǎn) A 1,2,3,B 2,1,2 , P 1,1,2 ,點(diǎn)Q在OP上運(yùn)動(dòng)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))ULU ULU，求當(dāng)QA ? QB取得最小值- d=| PA|Cos PA,n

5、|=時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo).小結(jié)：解決有關(guān)三點(diǎn)共線問題直接利用直線的參數(shù)方程即可.則這兩個(gè)例2用向量方法證明兩個(gè)平面平行的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行,平面平行.變式：在空間直角坐標(biāo)系中，已知A 3,0,0 ,B 0,4,0 ,C 0,0,2，試求平面ABC的一個(gè)法向量.小結(jié)：1.平面的法向量與平面內(nèi)的任意向量都垂直2. 求平面的法向量步驟：設(shè)平面的法向量為 n (x,y,z)；找出(求出)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量的坐標(biāo)； 根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于 X, y, z的方程組;解方程組，取其中的一個(gè)解，即得法向量.例3如圖，一個(gè)結(jié)晶體的形狀為平行六面體，其中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長

6、都相等， 且它們彼此的夾角都是60那么以這個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的晶體的對角線的長與棱長有什么關(guān)系？變式1 :上題中平行六面體的對角線 BDi的長與棱長有什么關(guān)系?變式2:如果一個(gè)平行六面體的各條棱長都相等，并且以某一頂點(diǎn)為端點(diǎn)的各棱間的夾角都等于 由這個(gè)平行六面體的對角線的長可以確定棱長嗎？,那么例4如圖，甲站在水庫底面上的點(diǎn)A處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn) B處.從A，B到直線I （庫底與水壩的交線）的距離AC, BD分別為a,b，CD的長為c，AB的長為d .求庫底與水壩所成二面角的余弦值.變式：如圖，60于AB,已知AB的二面角的棱上有 A, B兩點(diǎn)，直線AC, BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且

7、都垂直4, AC 6,BD 8,求 CD 的長.例5已知正方形 到平面EFG的距離.ABCD的邊長為4, E、F分別是 AB、AD的中點(diǎn)，GC丄平面 ABCD，且GC= 2，求點(diǎn)B變式：如圖，ABCD是矩形，PD 平面ABCD , PD DC a , AD Qa , M、N分別是 AD、PB的中點(diǎn)，求點(diǎn)A到平面MNC的距離.C小結(jié)：求點(diǎn)到平面的距離的步驟： 建立空間直角坐標(biāo)系，寫出平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量的坐標(biāo)；求平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo);找出平面外的點(diǎn)與平面內(nèi)任意一點(diǎn)連接向量的坐標(biāo)；代入公式求出距離.【家庭作業(yè)】1.設(shè) a 2, 1, 2 ,b6, 3, 6分別是直線Ii,l2的方向向量，則直線Il,l2的位置關(guān)系是2.設(shè) u 2,2,5 ,v6, 4,4分別是平面的法向量，則平面的位置關(guān)系是3. 下列說法正確的是（A. 平面的法向量是唯一確定的B. 一條直線的方向向量是唯一確定的C. 平面法向量和直線的方向向量urD. 若m是直線I的方向向量，ULLL4. 已知 AB 1,0,定不是零向量LrI/ ，貝y m/A. 1,2,1uLur1 ,AC0,3, 1，能做平面 ABC的法向量的是（C. 1,0,0D. 2,1,35.若M、N分別是棱長為1 余弦為（）A.過2的正方體ABCDABCD的棱 AB,BB的中點(diǎn)，那么直線AM ,CN所成的角的B.邁10D.16.正方體 ABC