第九章控制網(wǎng)平差分析

1、第九章第九章 控制網(wǎng)平差控制網(wǎng)平差 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 本章講述條件平差與參數(shù)平差的原理及基本數(shù) 學(xué)模型，兩種方法計(jì)算結(jié)果是完全相同的。還介紹了 高程網(wǎng)條件平差，三角網(wǎng)條件平差，附合導(dǎo)線條件平 差。高程網(wǎng)參數(shù)平差，三角網(wǎng)參數(shù)平差，并給出了算 例。 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 1條件平差與參數(shù)平差原理 2條件差的步驟及相應(yīng)數(shù)學(xué)模型； 3能分別采用條件平差與參數(shù)平差解決高程控制網(wǎng)，平面控制網(wǎng)平差。 知識(shí)點(diǎn)及學(xué)習(xí)要求 難點(diǎn)在本章學(xué)習(xí)過程中， 伴隨有大量的公式推導(dǎo)與應(yīng)用。 特別是控制網(wǎng)條件方程與誤差方程列立， 法方程解算為本章的突破點(diǎn)。 返回本章首頁(yè) 第九章控制網(wǎng)平

2、差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 9.1 9.1 條件平差數(shù)學(xué)模型和公式條件平差數(shù)學(xué)模型和公式 設(shè)某一平差問題中有個(gè) 誤差獨(dú)立的觀測(cè)值， 個(gè)函數(shù)獨(dú) 立的未知數(shù)（必要觀測(cè)數(shù)）， ，多余觀測(cè)數(shù)為 nt tn tnr 記：觀測(cè)值 n n L L L L 2 1 1 相應(yīng)權(quán)陣 n nn p p p p 00 00 00 2 1 n n v v v V 2 1 1 平差值改正數(shù) nn n n vL vL vL L L L L 22 11 2 1 1 平差值 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 1 1、條件平差的數(shù)學(xué)模型和公式、條件平差的數(shù)學(xué)模型和公式 1）平差值方程（ ）tnr 0 0 0 2211 2

3、211 2211 rLrLrLr bLbLbLb aLaLaLa nn nn nn （1） 式中 、 、 （ =1、2、 ）為條件方程的系數(shù)； 、 、 為條件方程的常項(xiàng)數(shù) i a i b i ri n 0 a 0 b 0 r 2） 改正數(shù)條件方程 以 （ =1、2、 ）代入(1)得純量形式為： iii vLL in 0 0 0 2211 2211 2211 rnn bnn ann wvrvrvr wvbvbvb wvavava （2） 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 式中 、 、 為條件方程的閉合差，或稱為條件方程 的不符值，即 02211 02211 02211 rLrLrLrw

4、bLbLbLbw aLaLaLaw nnn nnb nna r b a A o r 1 n n v v v V 2 1 1 令 n n n nr rrr bbb aaa A 21 21 21 r b a r w w w W 1 矩陣形式為： 0 11 rrnr WVA（4） （3） a w b w r w 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 3）改正數(shù)方程 上改正數(shù)條件方程式中 的解不是唯一的解，根據(jù)最小二乘原 理，在 的無(wú)窮多組解中，取 = 最小的一組解是唯一的， 的這一組解，可用拉格朗日乘數(shù)法解出。為此， 設(shè) ， 稱為聯(lián)系數(shù)向量，它的唯數(shù) 與條件方程個(gè)數(shù)相等，按拉格朗日乘數(shù)法解條件極

5、值問題時(shí)， 要組成新的函數(shù)： V V PVV T V rba r T kkkK 1 K )(2WAVKPVV TT 將對(duì) 求一階導(dǎo)數(shù)，并令其為零得：V AKPV V TT 22 AKPV TT KAPV T 1 1 1 r T rnnnn KAPV （5） 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 上式稱為改正數(shù)方程，其純量形式為： )( 1 )( 1 )( 1 222 2 2 111 1 1 rnbnan n n rbia rba krkbka p v krkbka p v krkbka p v （i=1,2,n） （6） 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 4）法方程 將 代入 得

6、KAPV T1 0WAV0 1 WKAAP T 矩陣形式為： rn T nnnrrr APAN 1 0 11 rrrr WKN（7） 上式稱為聯(lián)系數(shù)法方程，簡(jiǎn)稱法方程。式中法方程系數(shù)距 陣，為 P rr P br P ar P br P bb P ab P ar P ab p aa N 因 故， 是 階的對(duì)稱方陣。 NAAPAPAAAPN TTTTTTT 111 )()( Nr 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 法方程的純量形式為 0 0 0 rrba brba arba wk p rr k p br k p ar wk p br k p bb k p ab wk p ar k p a

7、b k p aa （8） 從法方程解出聯(lián)系數(shù)K后，將 值代入改正數(shù)方程， 求出改正數(shù) 值，再求平差值 ，這樣就完 成了按條件平差求平差值的工作。 K V VLL 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 2、條件平差法求平差值的步驟、條件平差法求平差值的步驟 根據(jù)平差問題的具體情況，列出平差值條件方程式（1）， 并轉(zhuǎn)化為改正出數(shù)的條件方程（2），條件方程的個(gè)數(shù)等于為 多余觀測(cè)的個(gè)數(shù)r； 根據(jù)條件方程的系數(shù)，閉合差及觀測(cè)值的權(quán)組成法方程式 （8）；法方程的個(gè)數(shù)等于多余觀測(cè)的； 解法方程，求出聯(lián)系數(shù)K,并代入法方程檢驗(yàn)； 將K代入改正數(shù)方程（6），求改正數(shù) 值； 將V代入平差值方程 求平差值； 將

8、平差值 代入平差值方程，檢驗(yàn)是否滿足條件； 精度評(píng)定。 VLL L V 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 2、精度評(píng)定 1）單位權(quán)中誤差 tn PVV T r pvv 從中誤差計(jì)算公式可知，為了計(jì)算 ，關(guān)鍵是計(jì)算 。 下面將討論 的計(jì)算方法。 PVV T pvv PVV T PVV 由 直接計(jì)算 i V 22 22 2 11nnv PvPvPpvv 由聯(lián)系數(shù) 及常數(shù)項(xiàng) 計(jì)算KW )( rrbbaa kWkWkWpvv 直接在高斯杜力特表格中解算 1 1 1 1 1 1 rW r p rr rW W p bb W W p aa W WPVV r r b b a a w T )()(0ww

9、rWw 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 2）平差值函數(shù)的權(quán)倒數(shù) 設(shè)有平差值函數(shù)為 它的權(quán)函數(shù)式為： n LLLf , , 21 n n Ld L Ld L Ld L d ) ( ) ( ) ( 2 2 1 1 nn LdfLdfLdf 2211 令 則 n T ffff, 21 T n LdLdLdLd , , 21 Ldfd T 1 1 1 1 1 1 1 r P rf r P rr r P rf P bf P bb P bf P af P aa P af P ff P r P ff 這就是高斯約化表中 的計(jì)算公式，其規(guī)律與 計(jì) 算規(guī)律完全相同。 P 1 rW w 返回本章首頁(yè) 第

10、九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 9.2 9.2 水準(zhǔn)網(wǎng)按條件平差算例水準(zhǔn)網(wǎng)按條件平差算例 在如圖1所示水準(zhǔn)網(wǎng)中, , 兩點(diǎn)高程及各觀測(cè)高差和路線長(zhǎng) 度列于（表1）中。 AB A B P1 P2 P3 h1 h7 h5 h6 h3 h4 h2 圖1 000.35 A H 000.36 H H 觀 測(cè) 號(hào) 觀測(cè)高 差(m) 路線長(zhǎng)度 （km） 觀 測(cè) 號(hào) 觀測(cè)高差 (m) 路線長(zhǎng)D （km） 已知高程 （m） 1 2 3 4 1.359 2.009 0.363 0.640 1 1 2 2 5 6 7 0.657 1.000 1.650 1 1 2 表1 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差

11、分析 試求： （） 、 及 點(diǎn)高程之最或然值； （） 、 點(diǎn)間平差后高差的中誤差。 1 P 2 P 3 P 1 P 2 P 解:列條件方程式,不符值以“mm”為單位。 已知 ，故 ，其條件方程式為3, 7tn437r 01 03 07 07 742 643 765 521 vvv vvv vvv vvv 列函數(shù)式。 555 vhxF 故 1 5 f 0 764321 ffffff 組成法方程式。 1）令每公里觀測(cè)高差的權(quán)為1，按1/ ,將條件方程系 數(shù)及其與權(quán)倒數(shù)之乘積填于（表2）中。 ii sp 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 2)由下表2數(shù)字計(jì)算法方程系數(shù),并組成法方程式: 52

12、21 2510 2141 1013 d c b a k k k k 1 3 7 7 + =0 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 表2 條件方程系數(shù)表 觀測(cè) 號(hào) abcdsf 1111 2-1100 3-1-1-1 4-1100 51-1011 6-1100 71-100 1-1-11 0 0 1 1 1 s 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 p 1 p a p b p c p d p s p f p s 觀測(cè) 號(hào) 11111 21-11 32-2-2-2 42-22 511-111 61-11 722-2 10-31 -1 -1 1 0 0 p 1 p a p b p c p

13、d p s p f p s 續(xù)表 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 4）法方程式的解算。 1）解算法方程式在（表3）中進(jìn)行。 2） 計(jì)算之檢核。 pvv wkpvv467.35 wk 由表3中解得 ，兩者完全一致，證明表中解算 無(wú)誤。 5）計(jì)算觀測(cè)值改正數(shù)及平差值(見表4) 6）計(jì)算 點(diǎn)高程最或然值。 47.35pvv 321 ,PPP 359.36 1 1 xHH AP 012.37 2 2 xHH AP 360.35 4 3 xHH BP m m m 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 表3 高斯-杜力特表格 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 表4 改正數(shù)與平差值計(jì)算

14、表 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 7）精度評(píng)定。 單位權(quán)（每公里觀測(cè)高差）中誤差 0 . 3 4 47.35 mm 點(diǎn)間平差后高差中誤差 2 . 252. 00 . 3 1 F F P mmm 返回本章首頁(yè) 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 9.3 9.3 附合導(dǎo)線按條件平差算例附合導(dǎo)線按條件平差算例 1.1.附合導(dǎo)線的條件平差方程式附合導(dǎo)線的條件平差方程式 如圖1所示，符合在已知 ， 之間的單一符合導(dǎo)線 有 條 與 是已知方位角。 ),( AA yxA),( CC yxC nAB CD 設(shè)觀測(cè)角為 、 、 、 ，測(cè)角中誤差為 ，觀測(cè)邊長(zhǎng) 為 、 、 、 ，測(cè)邊中誤差為 （

15、 1、2、 ）。 1 2 1n 1 s 2 s n s si in 此導(dǎo)線共有 個(gè)觀測(cè)值，有 個(gè)未知數(shù)，故 則 。因此，應(yīng)列出三個(gè)條件方程，其中一個(gè)是 坐標(biāo)方位角條件，另兩個(gè)是縱、橫坐標(biāo)條件。 12 n1n ) 1(2nt 3) 1(2) 12(nnr B A(1) C(n+1) D s1 s2 sn 2 3 n 1 2 3 4 5 n+1圖1 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 1 1）坐標(biāo)方位角條件）坐標(biāo)方位角條件 設(shè)觀測(cè)角 的改正數(shù)為 （ 1、 2、 1），觀測(cè)邊 的改正數(shù)為 （ 1、2、 ）。 由圖1知 i i vi n i s si vi n 180) 1( 1 1 n i n

16、 i BACD 0 1 1 ai n i v 式中 方位角條件的不符值，按 a 180) 1( 1 1 n i n i CDBAa 若導(dǎo)線的A 點(diǎn)B 與點(diǎn)重合，則形成一閉合導(dǎo)線，由此坐 標(biāo)方位角條件就成了多邊形的圖形閉合條件。 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 2 2）縱、橫坐標(biāo)條件）縱、橫坐標(biāo)條件 設(shè)以 、 、 表示（圖1）中 各導(dǎo)線邊的縱坐標(biāo)增量之平差值； 、 、 表示（圖1） 中各導(dǎo)線邊的橫坐標(biāo)增量之平差值；由圖可寫出以坐標(biāo)增量平 差值表示的縱、橫坐標(biāo)條件。 1 x 2 x n x 1 y 2 yn y yi n i n Ai n AC xi n i n Ai n AC vyyy

17、yy vxxxxx 111 111 （1） 令 則 )( )( 1 1 ACi n y ACi n x yyy xxx 0 0 1 1 yyi n xxi n v v （2） )()()( 21 1 nxi n xdxdxdv 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 將上式代入式（2）得縱坐標(biāo)條件式，且同理已可得橫 坐標(biāo)的條件式即 0)( 1 sin 0)( 1 cos 11 11 yiiC n i sii n i xiiC n i sii n i vxxv vyyv （3） 上式就是單一符合導(dǎo)線的縱、橫坐標(biāo)條件方程、為條件式的 不符值，按 CCCi n Ay CCCi n Ax yyyyy

18、 xxxxx 1 1 式中、是由觀測(cè)值計(jì)算的各導(dǎo)線點(diǎn)的近似坐標(biāo)。 1 2312 11 )()()(cos v yyyyyyvv nCsii n xi n n ncnC v yy v yyyyyy)()()()( 2 3423 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 計(jì)算時(shí)一般 以秒為單位， 、 、 以cm為單位； 若 、 以m為單位，則 ， 從而使全式單位統(tǒng)一。若單一導(dǎo)線的 與 點(diǎn)重合形成閉 合導(dǎo)線，則縱、橫坐標(biāo)條件成為多邊形各邊的坐標(biāo)增量閉合 條件，以增量平差值表示為 i v si v x y xy 65.2062 100 206265 AC 0 0 1 1 i n i n y x 第九章

19、控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 2.2.符合導(dǎo)線的精度評(píng)定符合導(dǎo)線的精度評(píng)定 1）單位權(quán)中誤差單位權(quán)中誤差：?jiǎn)我环蠈?dǎo)線計(jì)算單位權(quán)中誤差公式與邊 角網(wǎng)相同，按 r vvPvvP r pvv sss 2）平差值的權(quán)函數(shù)式平差值的權(quán)函數(shù)式：為了平定平差值函數(shù)的精度，必須要列 出權(quán)函數(shù)式。一般有下列三種函數(shù)式。 邊長(zhǎng)平差值權(quán)函數(shù)式 由導(dǎo)線邊 故其權(quán)函數(shù)式為 siii vss siFsi vv 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 坐標(biāo)平差值的權(quán)函數(shù)式 由（23頁(yè)圖1）得點(diǎn)坐標(biāo)平差值的權(quán)函數(shù)式為 i ij j i sii j i Fyi i ij j i sii j i Fxi v yx vv

20、 v yy vv 1 1 1 1 1 1 1 1 sin cos 坐標(biāo)方位角平差值權(quán)函數(shù)式 由（23頁(yè)圖1）得單一符合導(dǎo)線的任一邊的坐標(biāo)方位角的計(jì)算式 為 180 1 n i n BAi n iiF vv 1 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 3.3.附合導(dǎo)線按條件平差算例附合導(dǎo)線按條件平差算例 在下圖2所示附合導(dǎo)線中A,B 為已知點(diǎn)，其坐標(biāo)為 947.6556 A x 735.4101 A y155.8748 B x 647.6667 A y 方位角 ，應(yīng)用紅外測(cè)距儀觀測(cè)導(dǎo)線的轉(zhuǎn)折角 和邊長(zhǎng) 列入下表1。試按條件平差法，求各觀測(cè)值及平差后 邊的邊長(zhǎng)相對(duì)中誤差。 4 .130349 A

21、B s A(1) B(5) s1 s2 s4 2 3 1 2 3 4 5 3 s3 圖2 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 表1 近似坐標(biāo)計(jì)算 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 解：（1）確定觀測(cè)值的權(quán)。 測(cè)角中誤差 0 . 3 m 邊長(zhǎng)中誤差按儀器給定公式為 26222 )105()5 . 0()( iics sppmsmm i （cm） 式中 i s 以cm為單位。 由上式算得 82. 0 2 s m96. 0 1 s m 79. 0 3 s m 92. 0 4 s m cm cm cm cm 以角度觀測(cè)的權(quán)為單位權(quán)，即 0 . 3 m 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差

22、分析 表2 條件方程及權(quán)函數(shù)式系數(shù)表 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 續(xù)表 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 則邊長(zhǎng)的權(quán)為 76. 9 2 2 1 1 s m s m m p 38.13 2 s p 42.14 3 s p 63.10 4 s p 邊長(zhǎng)權(quán)倒數(shù)為 101. 0 1 1 s p 074. 0 1 2 s p 070. 0 1 3 s p 091. 0 1 4 s p 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 （2）計(jì)算條件方程式不符值。由表1得 0 . 54 .1303494 .080349 ABABa w 9 . 4155.8746204.8748 BBx xx

23、w 9 . 2647.6667676.6667 BBy yyw （3）計(jì)算條件方程式系數(shù)及權(quán)函數(shù)式系數(shù)，列于上表2中。 （4）組成法方程式并解算。根據(jù)上表2中系數(shù)組成法方程系數(shù)， 然后填于下表3中相應(yīng)行內(nèi)。法方程式的解算在下表3中進(jìn)行。 cm cm 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 表3 法方程式解算表 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 （5）計(jì)算改正數(shù)和平差值。由法方程解算表解得的聯(lián)系數(shù)k 和觀 測(cè)邊加相應(yīng)改正數(shù)，即得角度和邊長(zhǎng)平差值。計(jì)算見下表4。 表4 觀測(cè)值之平差值計(jì)算 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 （6）計(jì)算邊的精度。 1）單位權(quán)中誤差，按 59 . 2

24、3 080.26 r pvv 計(jì)算 邊的中誤差 3 s2） cm75. 0064. 095. 2 1 3 3 s s p m 3 s邊長(zhǎng)相對(duì)中誤差 164000 1 122942 75. 0 3 3 s ms 返回本章首頁(yè) 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 9-4 參數(shù)平差數(shù)學(xué)模型和公式 1. 參數(shù)平差數(shù)學(xué)模型 （1）平差值方程 設(shè)平差問題中，有 個(gè)不等精度的獨(dú)立觀測(cè) ，相應(yīng)權(quán) 為 （ 1，2, , ），并設(shè)需 個(gè)必要觀測(cè)，用 表示選定的未知數(shù)，按題列出 個(gè)平差值方程為 n n 1n L i p it 1t X n ntnnnnnn t t dxtxbxavlL dxtxbxavLL

25、dxtxbxavLL 21 222212222 112111111 式1 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 (2) 誤差方程 令 則1式為 iii xxx 0 ntnnnn t t lxtxbxav lxtxbxav lxtxbxav 21 2222122 1121111 其中 （ 1，2，, ） iiiiiii Ldxtxbxal 00 2 0 1 in n n v v v V 2 1 1 t t x x x x 2 1 1 n n l l l l 2 1 1 nnn tn tba tba tba B 222 111 n nn p p p P 00 00 00 2 1 則 2式的矩陣

26、形式為lxBV 若設(shè) 式2 式3 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 （3）法方程 式中有 個(gè)待定的改正數(shù)和 個(gè)未知數(shù)，共 個(gè)待定量， 而方程只有 個(gè)，所以有無(wú)窮多組解。為了尋求一組唯一的解， 根據(jù)最小二乘原理按 的準(zhǔn)則求，按數(shù)學(xué)上求函數(shù)自由 極值的理論，即 nn t tn minPVV T 022 PBV x V PV x PVV TT T 轉(zhuǎn)置后得 11 0 tnnnnt T VPB 代3式代入4式得法方程 0 ）（lxBPB T 0PlBxPBB TT 式4 式5 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 令 PBBN T tt PlBU T t 1 5式可表示為 0 UxN Pl

27、BPBBUNx TT11 ）（ 其純量形式為 0 0 0 21 21 21 ptlxpttxpbtxpat pblxpbtxpbbxpab palxpatxpabxpaa t t t 將上式算得的 代入式2求出改正數(shù)向量V，進(jìn)而求出觀測(cè)平 差值。 x 式6 式7 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 2、按間接平差法求平差值的計(jì)算步驟 根據(jù)平差問題的性質(zhì)，選擇 個(gè)獨(dú)立量作為未知 數(shù)； 將每一個(gè)觀測(cè)量的平差值分別表達(dá)成所選參數(shù)的函 數(shù)。若函數(shù)為非線性要將其線性化，列出誤差方程； 由誤差方程系數(shù) 和自由項(xiàng) 組成法方程，法方 程個(gè)數(shù)等于未知數(shù)個(gè)數(shù) ； 解算法方程，求出未知數(shù)改正數(shù) ，計(jì)算未知數(shù)；

28、 由誤差方程計(jì)算V，求出觀測(cè)量平差 。 t Bl t x VLL 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 3、精度評(píng)定 （1）單位權(quán)中誤差和 的計(jì)算 同條件平差一樣，間接平差單位權(quán)中誤差公式為 PVV T tn PVV T r pvv pvvPVV T 的計(jì)算方法為 或 由 i v 直接計(jì)算 22 22 2 11nnv pvpvppvv 由未知數(shù)改正數(shù) 及法方程常數(shù)項(xiàng) 及計(jì)算 xpll t xptlxpblxpalpllpvv 21 在高斯杜力特表中解算 1 1 1 1 1 1 tptl tptt tptl pbl pbb pbl pal paa pal pllpvv llplltpll 第

29、九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 （2）未知數(shù)函數(shù)的權(quán)倒數(shù)和中誤差 設(shè)某平差問題的未知數(shù)的函數(shù)為 t xxxf, 21 它的權(quán)函數(shù)式為 tt t t xfxfxf x x f x x f x x f 2211 2 2 1 1 t T ffff 21 T t xxxx 21 則上式的矩陣形式為 xf T 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 根據(jù)權(quán)逆陣的傳播律，得未知數(shù)的權(quán)倒數(shù) 1 1 1 1 1 1 0 1 2 2 1 1 tf tptt tf f pbb f f paa f P t t 1 11 1 11 0 1 2211 tptt tftf pbb ff paa ff P tt

30、ff t 0 0 則 的中誤差為： P m 1 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 （3）未知數(shù)的權(quán)逆陣和中誤差 由法方程 0UxN 得 UNx 1 011 01 1 )( )( PLBNPLBN lLPBN PlBN TT T T 由權(quán)逆陣的傳播律得 TT L T XX PBNQPBNQ)()( 11 111 11 11 NNNN PBNBN PBNPQBN T L T 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 即法方程系數(shù)距陣的逆陣就是知數(shù)向量的權(quán)逆陣 ，令 tttt t t xxxxxx xxxxxx xxxxxx XX QQQ QQQ QQQ NQ 21 22212 12111

31、1 因?yàn)榉ǚ匠滔禂?shù)陣是一個(gè)對(duì)稱方陣，故它的逆陣也為對(duì)稱方陣 未知數(shù)的權(quán)逆陣，通常又稱為權(quán)系數(shù)陣，其對(duì)角線上的元素 為 未知數(shù)的權(quán)倒數(shù)，非對(duì)角線上的元素 稱為未知數(shù) 關(guān)于 的相 關(guān)權(quán)倒數(shù)，而所有的元素又稱為權(quán)系數(shù)。 權(quán)系數(shù)的計(jì)算除了用矩陣求逆的方法以外，還可以用高斯約化法 求權(quán)系數(shù)的方法。 則任一未知數(shù) 的中誤差為： ii Q ij Q i x j x i x iixi Qm 返回本章首頁(yè) 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 9.5 9.5 高程網(wǎng)參數(shù)平差及算例高程網(wǎng)參數(shù)平差及算例 1、未知數(shù)個(gè)數(shù)的確定、未知數(shù)個(gè)數(shù)的確定 在間接平差中，未知數(shù)個(gè)數(shù)就等于必要觀測(cè)個(gè)數(shù)。 2、未知數(shù)的選取、未知

32、數(shù)的選取 在水準(zhǔn)網(wǎng)中，即可以選取待定點(diǎn)高程作為未知數(shù)，也可選取高差 作為未知數(shù)，但一般是選高程為未知數(shù)，例如在下圖1中，就是選 取待定點(diǎn)高程作為未知數(shù)的。 3 3、算例、算例 在下圖1所示水準(zhǔn)網(wǎng)，已知水準(zhǔn)點(diǎn)A的高程為 m，為求B， C，D三點(diǎn)的高程，進(jìn)行了水準(zhǔn)測(cè)量，及觀測(cè)高差及水準(zhǔn)路線長(zhǎng)度 載于下表1中，試按間接平差法求定B、C、D三點(diǎn)高程的平差值。 483.237 A H 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 水準(zhǔn)路線 觀測(cè)高差 （m） 路線長(zhǎng)度 （km） 15.8353.5 23.7822.7 39.6404.0 47.3843.0 52.2722.5 i h i s 表1 圖1 第九

33、章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 解：按題意知必要觀測(cè)數(shù) t =3，選取B、C、D三點(diǎn)高程 、 、 為參數(shù) 根據(jù)圖示水準(zhǔn)路線寫出5個(gè)平差值方程 1 x 2 x 3 x A A A HxvL xxvL HxvL xxvL HxvL 355 3244 233 2122 111 則誤差方程為 )( )( )( 535 4324 323 2212 111 hHxv hxxv hHxv hxxv hHxv A A A 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 將觀測(cè)高差和已知點(diǎn)高程代入上式，即可計(jì)算誤差方程的 常數(shù)項(xiàng)，此時(shí)，這些常數(shù)項(xiàng)具有56個(gè)數(shù)字，這對(duì)后續(xù)計(jì)算是不 利的。為了便于計(jì)算，選取參數(shù)的近

34、似值 5 0 3 3 0 2 1 0 1 hHx hHx hHx A A A 這樣，后續(xù)計(jì)算求定的只是未知數(shù)近似值改正數(shù) 、 、 ， 它們的關(guān)系為 1 x 2 x 3 x 3 0 33 2 0 22 1 0 11 xxx xxx xxx 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 將上二式代入誤差方程，得 0 14 0 23 0 35 324 23 212 11 xv xxv xv xxv xv 取10km的觀測(cè)高差為單位權(quán)觀測(cè)，即按 ii i ss c P 10 定權(quán)，得各觀測(cè)值的權(quán)分別為 9 . 2 1 p7 . 3 2 p5 . 2 3 p3 . 3 4 p0 . 4 5 p ， 第九章控

35、制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 組成法方程為 02 .463 . 73 . 3 09 .383 . 3 .5 . 97 . 3 01 .857 . 36 . 6 32 321 21 xx xxx xx 解法方程，得 75.11 1 x04. 2 2 x25. 7 3 xmm mm ，mm， 代人誤差方程得 12 1 v9 2 v2 3 v9 4 v7 5 v mm， mm， mm， mm， 最后得平差值 330.243 1 x121.247 2 x746.239 3 xm， m， 847. 5 1 h791. 3 2 h638. 9 3 h 375. 7 4 h263. 2 5 hm， m，

36、m， m， mm m m 返回本章首頁(yè) 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 9.6 9.6 三角網(wǎng)參數(shù)平差及算例三角網(wǎng)參數(shù)平差及算例 1. 1. 未知數(shù)的選定未知數(shù)的選定 平面控制網(wǎng)參數(shù)平差總是選擇未知點(diǎn)x,y的坐標(biāo)為平差參數(shù)。 2、測(cè)角網(wǎng)坐標(biāo)平差誤差方程列立、測(cè)角網(wǎng)坐標(biāo)平差誤差方程列立 這里討論測(cè)角網(wǎng)中選擇待定點(diǎn)坐標(biāo)為未知數(shù)時(shí)，誤差方程 列立及線性化問題。如下圖1為某一測(cè)角網(wǎng)的任一角 為三個(gè)待定點(diǎn)，它們的近似坐標(biāo)為 改 正數(shù)為 ，則平差值分別為 hkjLi, 000000 ,;,;, hhkkjj yxyxyx hhkkjj yxyxyx,;,;, jjj jjj yyy xxx 0

37、0 kkk kkk yyy xxx 0 0 hhh hhh yyy xxx 0 0 由圖1可得 的平差值方程為 i L jhjki L 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 令 jkjkjk 0 jhjhjh 0 誤差方程為 ijhjkijhjkjhjki lLv)( 00 ijki Ll 0 式中： k jk jk k jk jk j jk jk j jk jk jk y s x x s y y s x x s y 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 )()()()( h jh jh h jh jh j jh jh j jh jh jh y s x x s y y s x x

38、 s y 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 )()()()( i L ),( hh yxh ),( kk yxk),( jj yxj 圖1 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 或?qū)憺椋?k jk jk k jk jk j jk jk j jk jk jk y s x s y s x s 0 0 0 0 0 0 0 0 cossincossin h jh jh h jh jh j jh jh j jh jh jh y s x s y s x s 0 0 0 0 0 0 0 0 cossincossin 討論討論：（1）若測(cè)站點(diǎn) 為已知點(diǎn)時(shí)，則 = =0 有，得j j x j

39、y k jk jk k jk jk jk y s x x s y 2 0 0 2 0 0 )()( 若照準(zhǔn)點(diǎn) 為已知點(diǎn)，則有 = =0 ，得 k k x k y j jk jk j jk jk jk y s x x s y 2 0 0 2 0 0 )()( 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 （3）若某邊的兩個(gè)端點(diǎn)均為已知點(diǎn)，則 j x j y k x k y0 jk = = = =0 ， （4）同一邊的正反坐標(biāo)方位角的改正數(shù)相等，它們 與坐標(biāo)改正數(shù)的關(guān)系也一樣。 即 kjjk 因?yàn)?k jk jk k jk jk j jk jk j jk jk jk y s x x s y y s x

40、 x s y 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 )()()()( j kj kj j kj kj k kj kj k kj kj kj y s x x s y y s x x s y 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 )()()()( 顧及 00 00 kjjk kjjk yy xx 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 綜上所述，對(duì)于角度觀測(cè)的角網(wǎng)，采用間接平差，選 擇待定點(diǎn)的坐標(biāo)為未知數(shù)時(shí)，列誤差方程的步驟為： 計(jì)算各待定點(diǎn)的近似坐標(biāo)； 由待定點(diǎn)的近似坐標(biāo)和已知點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算各邊的近似 坐標(biāo)方位角和近似邊長(zhǎng)； 計(jì)算各邊的坐標(biāo)方位角改正數(shù)，并計(jì)算其系數(shù) 列出誤差方

41、程。 據(jù)此，實(shí)際計(jì)算時(shí)，只要對(duì)每條待定邊計(jì)算一 個(gè)方向的坐標(biāo)方位角改正數(shù)方程即可。 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 3、測(cè)邊網(wǎng)坐標(biāo)平差誤差方程列立 如下圖2為某一測(cè)邊網(wǎng)中的任意一條邊， ， 為兩個(gè)待定點(diǎn)，它 們的近似坐標(biāo)為 ，改正數(shù)為 則 ， 的坐標(biāo)平差值為 j k 0000 ,;, kkjj yxyx kkjj yxyx,;, j k jjj jjj yyy xxx 0 0 kkk kkk yyy xxx 0 0 k i s j 由右圖2可寫出 的平差值方程為 i s 22 )()( jkjkiii yyxxvss 圖2 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 按臺(tái)勞公式展開，

42、得 k j i k j i j k i j k i jkjkii y y s x x s y y s x x s yyxxvs 00 00 2 00 2 00 )()( ik jk jk k jk jk j jk jk j jk jk i ly s y x s x y s y x s x v 0 0 0 0 0 0 0 0 討論：討論：（1）若 為已知點(diǎn)，則 j 0 jj yx ik jk jk k jk jk i ly s y x s x v 0 0 0 0 )( ijki ssl 若 為已知點(diǎn)，則 k0 kk yx ij jk jk j jk jk i ly s y x s x v 0 0

43、 0 0 22 )()( jkjkjk yyxxs 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 （2）若 ， 均為知點(diǎn)， 則該邊為固定邊，不需要列誤差方程。 j k jj yx 0 kk yx （3）某邊的誤差方程，按 方向列立與按 方向列立結(jié)果完全相 同。 jkkj 若按 方向，則jk ik jk jk k jk jk j jk jk j jk jk i ly s y x s x y s y x s x v 0 0 0 0 0 0 0 0 按 方向，則kj ij kj kj j kj kj k kj kj k kj kj i ly s y x s x y s y x s x v 0 0 0 0 0 0 0 0 顧及 kjjk kjjk yy xx 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 4 4、三邊網(wǎng)參數(shù)平差算例、三邊網(wǎng)參數(shù)平差算例 同精度測(cè)得如右圖3中的三個(gè)邊長(zhǎng),其結(jié)果為 363.387 1 L 065.306 2 L 862.354 3 L m m m 已知點(diǎn)A，B，C 的起算數(shù)據(jù)列于下表1。試列出誤差方程并求平差 值。 表1 圖3 第九章控制網(wǎng)平差分析第九章控制網(wǎng)平差分析 解:（1）本題,選擇待定點(diǎn)的坐標(biāo)和為未知數(shù),其 近似值和由已知點(diǎn)、和觀測(cè)邊、交會(huì)