高考數(shù)學復習簡單的線性規(guī)劃

1、簡單的線性規(guī)劃第1課時【教學目標】1知識與技能：使學生了解二元一次不等式表示平面區(qū)域；了解線性規(guī)劃的意義以及約束條件、目標函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念；了解線性規(guī)劃問題的圖解法，并能應用它解決一些簡單的實際問題；2過程與方法：經(jīng)歷從實際情境中抽象出簡單的線性規(guī)劃問題的過程，提高數(shù)學建模能力；3情態(tài)與價值：培養(yǎng)學生觀察、聯(lián)想以及作圖的能力，滲透集合、化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，提高學生“建?！焙徒鉀Q實際問題的能力?！窘虒W重點】用圖解法解決簡單的線性規(guī)劃問題【教學難點】準確求得線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解【教學過程】1.課題導入復習提問1、二元一次不等式在平面直角坐標系中表示什么圖形？2、怎樣畫二

2、元一次不等式（組）所表示的平面區(qū)域？應注意哪些事項？3、熟記“直線定界、特殊點定域”方法的內(nèi)涵。2.講授新課在現(xiàn)實生產(chǎn)、生活中，經(jīng)常會遇到資源利用、人力調(diào)配、生產(chǎn)安排等問題。1、下面我們就來看有關(guān)與生產(chǎn)安排的一個問題：引例：某工廠有a、b兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品使用4個a配件耗時1h,每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品使用4個b配件耗時2h，該廠每天最多可從配件廠獲得16個a配件和12個b配件，按每天8h計算，該廠所有可能的日生產(chǎn)安排是什么？（1）用不等式組表示問題中的限制條件：設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)x、y件，又已知條件可得二元一次不等式組： .（1）（2）畫出不等式組所表示的平面區(qū)域：如

3、圖，圖中的陰影部分的整點（坐標為整數(shù)的點）就代表所有可能的日生產(chǎn)安排。（3）提出新問題：進一步，若生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利2萬元，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利3萬元，采用哪種生產(chǎn)安排利潤最大？（4）嘗試解答：設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件，乙產(chǎn)品y件時，工廠獲得的利潤為z,則z=2x+3y.這樣，上述問題就轉(zhuǎn)化為：當x,y滿足不等式（1）并且為非負整數(shù)時，z的最大值是多少？把z=2x+3y變形為，這是斜率為，在y軸上的截距為的直線。當z變化時，可以得到一族互相平行的直線，如圖，由于這些直線的斜率是確定的，因此只要給定一個點，（例如（1，2），就能確定一條直線（），這說明，截距可以由平面內(nèi)的一個點的坐標唯一確定?？梢钥吹?，直

4、線與不等式組（1）的區(qū)域的交點滿足不等式組（1），而且當截距最大時，z取得最大值。因此，問題可以轉(zhuǎn)化為當直線與不等式組（1）確定的平面區(qū)域有公共點時，在區(qū)域內(nèi)找一個點p，使直線經(jīng)過點p時截距最大。（5）獲得結(jié)果：由上圖可以看出，當實現(xiàn)金國直線x=4與直線x+2y-8=0的交點m（4，2）時，截距的值最大，最大值為，這時2x+3y=14.所以，每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品4件，乙產(chǎn)品2件時，工廠可獲得最大利潤14萬元。2、線性規(guī)劃的有關(guān)概念：線性約束條件：在上述問題中，不等式組是一組變量x、y的約束條件，這組約束條件都是關(guān)于x、y的一次不等式，故又稱線性約束條件線性目標函數(shù)：關(guān)于x、y的一次式z=2x+y是欲

5、達到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，叫線性目標函數(shù)線性規(guī)劃問題：一般地，求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題可行解、可行域和最優(yōu)解：滿足線性約束條件的解（x,y）叫可行解由所有可行解組成的集合叫做可行域使目標函數(shù)取得最大或最小值的可行解叫線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解3、 變換條件，加深理解探究：課本第100頁的探究活動（1） 在上述問題中，如果生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利3萬元，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利2萬元，有應當如何安排生產(chǎn)才能獲得最大利潤？在換幾組數(shù)據(jù)試試。（2） 有上述過程，你能得出最優(yōu)解與可行域之間的關(guān)系嗎？3.隨堂練習1請同學們結(jié)合課本p103練習1來掌握圖

6、解法解決簡單的線性規(guī)劃問題.（1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y 滿足約束條件解：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示：當x=0,y=0時，z=2x+y=0點（0，0）在直線:2x+y=0上.作一組與直線平行的直線:2x+y=t,tr. 可知，在經(jīng)過不等式組所表示的公共區(qū)域內(nèi)的點且平行于的直線中，以經(jīng)過點a（2，-1）的直線所對應的t最大.所以zmax=22-1=3.（2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y滿足約束條件解：不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示：從圖示可知，直線3x+5y=t在經(jīng)過不等式組所表示的公共區(qū)域內(nèi)的點時，以經(jīng)過點（-2，-1）的直線所對應的t最小，以經(jīng)過點（

7、）的直線所對應的t最大.所以zmin=3(-2)+(-1)=-11.zmax=3+5=14簡單的線性規(guī)劃第2課時【教學目標】1知識與技能：掌握線性規(guī)劃問題的圖解法，并能應用它解決一些簡單的實際問題；2過程與方法：經(jīng)歷從實際情境中抽象出簡單的線性規(guī)劃問題的過程，提高數(shù)學建模能力；3情態(tài)與價值：引發(fā)學生學習和使用數(shù)學知識的興趣，發(fā)展創(chuàng)新精神，培養(yǎng)實事求是、理論與實際相結(jié)合的科學態(tài)度和科學道德。【教學重點】利用圖解法求得線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解；【教學難點】把實際問題轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃問題，并給出解答，解決難點的關(guān)鍵是根據(jù)實際問題中的已知條件，找出約束條件和目標函數(shù)，利用圖解法求得最優(yōu)解?！窘虒W過程】1.課

8、題導入復習引入： 1、二元一次不等式ax+by+c0在平面直角坐標系中表示直線ax+by+c=0某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域（虛線表示區(qū)域不包括邊界直線）2、目標函數(shù), 線性目標函數(shù)，線性規(guī)劃問題,可行解，可行域, 最優(yōu)解:2.講授新課線性規(guī)劃在實際中的應用：線性規(guī)劃的理論和方法主要在兩類問題中得到應用，一是在人力、物力、資金等資源一定的條件下，如何使用它們來完成最多的任務(wù)；二是給定一項任務(wù)，如何合理安排和規(guī)劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來完成該項任務(wù)下面我們就來看看線性規(guī)劃在實際中的一些應用：范例講解簡單線性規(guī)劃問題就是求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解，無論此類題目是以什么實際問題

9、提出，其求解的格式與步驟是不變的：（1）尋找線性約束條件，線性目標函數(shù)；（2）由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域；（3）在可行域內(nèi)求目標函數(shù)的最優(yōu)解典型例題一例1畫出不等式組表示的平面區(qū)域分析：采用“圖解法”確定不等式組每一不等式所表示的平面區(qū)域，然后求其公共部分解：把，代入中得 不等式表示直線下方的區(qū)域（包括邊界），即位于原點的一側(cè)，同理可畫出其他兩部分，不等式組所表示的區(qū)域如圖所示說明：“圖解法”是判別二元一次不等式所表示的區(qū)域行之有效的一種方法典型例題二例2 畫出表示的區(qū)域，并求所有的正整數(shù)解分析：原不等式等價于而求正整數(shù)解則意味著，還有限制條件，即求解：依照二元一次不等式表示的平

10、面區(qū)域，知表示的區(qū)域如下圖：對于的正整數(shù)解，先畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖所示容易求得，在其區(qū)域內(nèi)的整數(shù)解為、說明：這類題可以將平面直角坐標系用網(wǎng)絡(luò)線畫出來，然后在不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)找出符合題設(shè)要求的整數(shù)點來典型例題三例3 求不等式組所表示的平面區(qū)域的面積分析：本題的關(guān)鍵是能夠?qū)⒉坏仁浇M所表示的平面區(qū)域作出來，判斷其形狀進而求出其面積而要將平面區(qū)域作出來的關(guān)鍵又是能夠?qū)Σ坏仁浇M中的兩個不等式進行化簡和變形，如何變形？需對絕對值加以討論解：不等式可化為或；不等式可化為或在平面直角坐標系內(nèi)作出四條射線， ，則不等式組所表示的平面區(qū)域如圖 由于與、與互相垂直，所以平面區(qū)域是一個矩形根據(jù)

11、兩條平行線之間的距離公式可得矩形的兩條邊的長度分別為和所以其面積為典型例題四例1若、滿足條件求的最大值和最小值分析：畫出可行域，平移直線找最優(yōu)解解：作出約束條件所表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖所示作直線，即，它表示斜率為，縱截距為的平行直線系，當它在可行域內(nèi)滑動時，由圖可知，直線過點時，取得最大值，當過點時，取得最小值 說明：解決線性規(guī)劃問題，首先應明確可行域，再將線性目標函數(shù)作平移取得最值典型例題五例5 用不等式表示以，為頂點的三角形內(nèi)部的平面區(qū)域分析：首先要將三點中的任意兩點所確定的直線方程寫出來，然后結(jié)合圖形考慮三角形內(nèi)部區(qū)域應怎樣表示。解：直線的斜率為：，其方程為可求得直線的方程為直線

12、的方程為的內(nèi)部在不等式所表示平面區(qū)域內(nèi)，同時在不等式所表示的平面區(qū)域內(nèi)，同時又在不等式所表示的平面區(qū)域內(nèi)（如圖）所以已知三角形內(nèi)部的平面區(qū)域可由不等式組表示說明：用不等式組可以用來平面內(nèi)的一定區(qū)域，注意三角形區(qū)域內(nèi)部不包括邊界線典型例題六例6 已知，求的最大、最小值分析：令，目標函數(shù)是非線性的而可看做區(qū)域內(nèi)的點到原點距離的平方問題轉(zhuǎn)化為點到直線的距離問題解：由得可行域(如圖所示)為，而到，的距離分別為和所以的最大、最小值分別是50和說明：題目中的目標函數(shù)是非線性的解決的方法類似于線性規(guī)劃問題可做出圖，利用圖進行直觀的分析典型例題七例7 設(shè)式中的變量、滿足下列條件求的最大值分析：先作出不等式組所

13、表示的可行域，需要注意的是這里的，故只是可行域內(nèi)的整數(shù)點，然后作出與直線平等的直線再進行觀察解：作出直線和直線，得可行域如圖所示解方程組得交點又作直線，平等移動過點時，取最大值，然而點不是整數(shù)點，故對應的值不是最優(yōu)解，此時過點的直線為，應考慮可行域中距離直線最近的整點，即，有，應注意不是找距點最近的整點，如點為可行域中距最近的整點，但，它小于，故的最大值為34說明：解決這類題的關(guān)鍵是在可行域內(nèi)找準整點若將線性目標函數(shù)改為非線性目標函數(shù)呢？典型例題八例8 設(shè)，式中的變量、滿足試求的最大值、最小值分析：作出不等式組所表示的平面區(qū)域，本題的關(guān)鍵是目標函數(shù)應理解為可行域中的點與坐標原點的距離的平方解：

14、作出直線，得到如圖所示的可行域由得由得由得由圖可知：當為點時，取最小值為2；當為點時，取最大值29說明：若將該題中的目標函數(shù)改為，如何來求的最大值、最小值呢？請自己探求（將目標函數(shù)理解為點與點邊線的斜率）典型例題九例9 設(shè)，；，用圖表示出點的范圍分析：題目中的，與，是線性關(guān)系可借助于，的范圍確定的范圍解：由得由，得做出不等式所示平面區(qū)域如圖所示說明：題目的條件隱蔽，應考慮到已有的，的取值范圍借助于三元一次方程組分別求出，從而求出，所滿足的不等式組找出的范圍典型例題十例10某糖果廠生產(chǎn)、兩種糖果，種糖果每箱獲利潤40元，種糖果每箱獲利潤50元，其生產(chǎn)過程分為混合、烹調(diào)、包裝三道工序，下表為每箱糖

15、果生產(chǎn)過程中所需平均時間（單位：分鐘）混合烹調(diào)包裝153241每種糖果的生產(chǎn)過程中，混合的設(shè)備至多能用12機器小時，烹調(diào)的設(shè)備至多只能用機器30機器小時，包裝的設(shè)備只能用機器15機器小時，試用每種糖果各生產(chǎn)多少箱可獲得最大利潤分析：找約束條件，建立目標函數(shù)解：設(shè)生產(chǎn)種糖果箱，種糖果箱，可獲得利潤元，則此問題的數(shù)學模式在約束條件下，求目標函數(shù)的最大值，作出可行域，其邊界 由得，它表示斜率為，截距為的平行直線系，越大，越大，從而可知過點時截距最大，取得了最大值解方程組 即生產(chǎn)種糖果120箱，生產(chǎn)種糖果300箱，可得最大利潤19800元說明：由于生產(chǎn)種糖果120箱，生產(chǎn)種糖果300箱，就使得兩種糖果

16、共計使用的混合時間為1202300720（分），烹調(diào)時間512043001800（分），包裝時間3120300660（分），這說明該計劃已完全利用了混合設(shè)備與烹調(diào)設(shè)備的可用時間，但對包裝設(shè)備卻有240分鐘的包裝時間未加利用，這種“過剩”問題構(gòu)成了該問題的“松馳”部分，有待于改進研究典型例題十一例11甲、乙、丙三種食物的維生素、含量及成本如下表：甲乙丙維生素（單位/千克）600700400維生素（單位/千克）800400500成本（元/千克）1194某食物營養(yǎng)研究所想用千克甲種食物，千克乙種食物，千克丙種食物配成100千克的混合食物，并使混合食物至少含56000單位維生素和63000單位維生素（

17、1）用、表示混合物成本（2）確定、的值，使成本最低分析：找到線性約束條件及目標函數(shù)，用平行線移動法求最優(yōu)解解：（1）依題意：、滿足 成本（元）（2）依題意 作出不等式組所對應的可行域，如圖所示聯(lián)立作直線則易知該直線截距越小，越小，所以該直線過時，直線在軸截距最小，從而最小，此時750520400850元 千克，千克時成本最低典型例題十二例12 某工廠有甲、乙兩種產(chǎn)品，按計劃每天各生產(chǎn)不少于15，已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1需煤9，電力4，勞力3個（按工作日計算）；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1需煤4，電力5，勞力10個；甲產(chǎn)品每噸價7萬元，乙產(chǎn)品每噸價12萬元；但每天用煤最不得超過300噸，電力不得超過200，勞力只有30

18、0個問每天各生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品多少，才能既保定完成生產(chǎn)任務(wù)，又能為國家創(chuàng)造最多的財富分析：先設(shè)每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為和，建立約束條件和目標函數(shù)后，再利用圖形直觀解題解：設(shè)每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品，乙產(chǎn)品，總產(chǎn)值，依題意約束條件為：目標函數(shù)為約束條件表示的可行域是五條直線所圍成區(qū)域的內(nèi)部的點加上它的邊線上的點(如圖陰影部分)現(xiàn)在就要在可行域上找出使取最大值的點作直線，隨著取值的變化，得到一束平行直線，其縱截距為，可以看出，當直線的縱截距越大，值也越大從圖中可以看出，當直線經(jīng)過點時，直線的縱截距最大，所以也取最大值解方程組得故當，時，(萬元)答：第天生產(chǎn)甲產(chǎn)品20，乙產(chǎn)品24，這樣既保證完成任務(wù)

19、，又能為國家創(chuàng)造最多的財富428萬元 說明：解決簡單線性規(guī)劃應用題的關(guān)鍵是：(1)找出線性約束條件和目標函數(shù)；(2)準確畫出可行域；(3)利用的幾何意義，求出最優(yōu)解如本例中，是目標函數(shù)的縱截距典型例題十三例13 有一批鋼管，長度都是4000，要截成500和600兩種毛坯，且這兩種毛坯數(shù)量比大于配套，怎樣截最合理？分析：先設(shè)出未知數(shù)，建立約束條件和目標函數(shù)后，再按求最優(yōu)解是整數(shù)解的方法去求解：設(shè)截500的根，600的根，根據(jù)題意，得且作出可行域，如下圖中陰影部分目標函數(shù)為，作一組平行直線，經(jīng)過可行域內(nèi)的點且和原點距離最遠的直線為過的直線，這時由，為正整數(shù)，知不是最優(yōu)解在可行域內(nèi)找整點，使可知點，

20、均為最優(yōu)解答：每根鋼管截500的2根，600的5根，或截500的3根，600的4根或截500的4根，600的3根或截500的5根，600的2根或截500的6根，600的1根最合理說明：本題易出現(xiàn)如下錯解：設(shè)截500的根，600的根，則即其中、均為整數(shù)作出可行域，如下圖所示中陰影部分目標函數(shù)為，作一組平行直線，經(jīng)過可行域內(nèi)的點且和原點相距最遠的直線為過點的直線先求點的坐標，解得，故，即，調(diào)整為，經(jīng)檢驗滿足條件，所以每根截500的2根，600的5根最合理本題解法錯誤主要是在作一組平行直線時沒能準確作出，而得到經(jīng)過可行域內(nèi)的點且和原點距離最遠的直線為過點的直線此錯誤可檢驗如下：如果直線通過點，它是經(jīng)

21、過可行域內(nèi)的點且到原點距離最遠的直線，那么，即由于，為整數(shù)，所以點不是最優(yōu)解但在可行域內(nèi)除點外，不可能再有其他點滿足，只能在可行域內(nèi)找滿足的點如果還沒有整數(shù)點，則只能在可行域內(nèi)找滿足的整數(shù)點但我們知道，滿足題意，這樣，就出現(xiàn)了矛盾，從而判斷解法錯誤，即通過點的直線并不是通過可行域內(nèi)的點且和原點距離最遠的直線典型例題十四例14 某工廠生產(chǎn)、兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)產(chǎn)品1要用煤9，電力4，3個工作日；生產(chǎn)產(chǎn)品1要用煤4，電力5，10個工作日又知生產(chǎn)出產(chǎn)品1可獲利7萬元，生產(chǎn)出產(chǎn)品1可獲利12萬元，現(xiàn)在工廠只有煤360，電力200，300個工作日，在這種情況下生產(chǎn)，產(chǎn)品各多少千克能獲得最大經(jīng)濟效益分析：在

22、題目條件比較復雜時，可將題目中的條件列表解：設(shè)這個工廠應分別生產(chǎn)，產(chǎn)品，可獲利萬元根據(jù)上表中的條件，列出線性約束條件為目標函數(shù)為(萬元)畫出如圖所示的可行域，做直線，做一組直線與平行，當過點時最大由得點坐標為把點坐標代入的方程，得(萬元)答：應生產(chǎn)產(chǎn)品20，產(chǎn)品24，能獲最大利潤428萬元說明：把實際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題的難點在于找出題目中的所有線性約束條件同時本題的可行域形狀較復雜，要注意分析目標函數(shù)的斜率和各邊界斜率的關(guān)系：從而確定在何處取得最優(yōu)解解應用題時還應注意設(shè)出未知量和做答這兩個必要步驟典型例題十五例15 某公司每天至少要運送180貨物公司有8輛載重為6的型卡車和4輛載重為10的型卡車，型卡車每天可往返4次，型卡車可往返3次，型卡車每天花費320元，型卡車每天花費504元，問如何調(diào)配車輛才能使公司每天花費最少分析：設(shè)型卡車輛，型卡車輛問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題同時應注意到題中的，只能取整數(shù)解：設(shè)型卡車輛，型卡車輛，則即目標函數(shù)做如圖所示的可行域，做直線在可行域中打上網(wǎng)格，找出，等整數(shù)點做與平行，可見當過時最小，即(元)說明：整數(shù)解的線性規(guī)