熊偉運(yùn)籌學(xué)課后習(xí)題答案1-4章45頁

1、44運(yùn)籌學(xué) 習(xí)題答案目錄教材習(xí)題答案1習(xí)題一1習(xí)題二28習(xí)題三39習(xí)題四41習(xí)題五46習(xí)題六54習(xí)題七64習(xí)題八70 部分有圖形的答案附在各章PPT文檔的后面，請(qǐng)留意。習(xí)題一1.1 討論下列問題：（1）在例1.1中，假定企業(yè)一周內(nèi)工作5天，每天8小時(shí)，企業(yè)設(shè)備A有5臺(tái)，利用率為0.8,設(shè)備B有7臺(tái)，利用率為0.85,其它條件不變，數(shù)學(xué)模型怎樣變化（2）在例1.2中，如果設(shè)xj(j=1，2，7)為工作了5天后星期一到星期日開始休息的營(yíng)業(yè)員，該模型如何變化（3）在例1.3中，能否將約束條件改為等式；如果要求余料最少，數(shù)學(xué)模型如何變化；簡(jiǎn)述板材下料的思路（4）在例1.4中，若允許含有少量雜質(zhì)，但雜質(zhì)

2、含量不超過1，模型如何變化（5）在例1.6中，假定同種設(shè)備的加工時(shí)間均勻分配到各臺(tái)設(shè)備上，要求一種設(shè)備每臺(tái)每天的加工時(shí)間不超過另一種設(shè)備任一臺(tái)加工時(shí)間1小時(shí)，模型如何變化1.2 工廠每月生產(chǎn)A、B、C三種產(chǎn)品 ,單件產(chǎn)品的原材料消耗量、設(shè)備臺(tái)時(shí)的消耗量、資源限量及單件產(chǎn)品利潤(rùn)如表122所示表122產(chǎn)品資源ABC資源限量材料(kg)1.51.242500設(shè)備(臺(tái)時(shí))31.61.21400利潤(rùn)(元/件)101412 根據(jù)市場(chǎng)需求,預(yù)測(cè)三種產(chǎn)品最低月需求量分別是150、260和120,最高月需求是250、310和130.試建立該問題的數(shù)學(xué)模型,使每月利潤(rùn)最大【解】設(shè)x1、x2、x3分別為產(chǎn)品A、B、

3、C的產(chǎn)量，則數(shù)學(xué)模型為1.3 建筑公司需要用6m長(zhǎng)的塑鋼材料制作A、B兩種型號(hào)的窗架兩種窗架所需材料規(guī)格及數(shù)量如表123所示：表123 窗架所需材料規(guī)格及數(shù)量型號(hào)A型號(hào)B每套窗架需要材料長(zhǎng)度（m）數(shù)量(根)長(zhǎng)度(m)數(shù)量(根)A1：1.72B1：2.72A2：1.33B1：2.03需要量（套）200150問怎樣下料使得（1）用料最少；（2）余料最少【解】 第一步：求下料方案，見下表。方案一二三四五六七八九十十一十二十三十四需要量B1:2.7m21110000000000300B2:2m01003221110000450A1:1.7m00100102103210400A2:1.3m0112001

4、0130234600余料0.600.30.700.30.70.610.10.900.40.8第二步：建立線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型設(shè)xj（j=1,2,，14）為第j種方案使用原材料的根數(shù)，則（1）用料最少數(shù)學(xué)模型為用單純形法求解得到兩個(gè)基本最優(yōu)解X(1)=( 50 ,200 ,0 ,0,84 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,200 ,0 ,0 );Z=534X(2)=( 0 ,200 ,100 ,0,84 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,150 ,0 ,0 );Z=534（2）余料最少數(shù)學(xué)模型為用單純形法求解得到兩個(gè)基本最優(yōu)解X(1)=( 0 ,300 ,0 ,0,50 ,0,0 ,0 ,0 ,

5、0 ,0 ,200 ,0 ,0 );Z=0，用料550根X(2)=( 0 ,450 ,0 ,0,0 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,200 ,0 ,0 );Z=0，用料650根顯然用料最少的方案最優(yōu)。1.4 A、B兩種產(chǎn)品，都需要經(jīng)過前后兩道工序加工，每一個(gè)單位產(chǎn)品A需要前道工序1小時(shí)和后道工序2小時(shí)，每一個(gè)單位產(chǎn)品B需要前道工序2小時(shí)和后道工序3小時(shí)可供利用的前道工序有11小時(shí)，后道工序有17小時(shí)每加工一個(gè)單位產(chǎn)品B的同時(shí)，會(huì)產(chǎn)生兩個(gè)單位的副產(chǎn)品C，且不需要任何費(fèi)用，產(chǎn)品C一部分可出售贏利，其余的只能加以銷毀出售單位產(chǎn)品A、B、C的利潤(rùn)分別為3、7、2元，每單位產(chǎn)品C的銷毀費(fèi)為1元預(yù)測(cè)表

6、明，產(chǎn)品C最多只能售出13個(gè)單位試建立總利潤(rùn)最大的生產(chǎn)計(jì)劃數(shù)學(xué)模型【解】設(shè)x1,x2分別為產(chǎn)品A、B的產(chǎn)量，x3為副產(chǎn)品C的銷售量,x4為副產(chǎn)品C的銷毀量，有x3+x4=2x2,Z為總利潤(rùn)，則數(shù)學(xué)模型為1.5 某投資人現(xiàn)有下列四種投資機(jī)會(huì), 三年內(nèi)每年年初都有3萬元（不計(jì)利息）可供投資：方案一：在三年內(nèi)投資人應(yīng)在每年年初投資，一年結(jié)算一次，年收益率是20，下一年可繼續(xù)將本息投入獲利；方案二：在三年內(nèi)投資人應(yīng)在第一年年初投資，兩年結(jié)算一次，收益率是50，下一年可繼續(xù)將本息投入獲利，這種投資最多不超過2萬元；方案三：在三年內(nèi)投資人應(yīng)在第二年年初投資，兩年結(jié)算一次，收益率是60，這種投資最多不超過1

7、.5萬元；方案四：在三年內(nèi)投資人應(yīng)在第三年年初投資，一年結(jié)算一次，年收益率是30，這種投資最多不超過1萬元投資人應(yīng)采用怎樣的投資決策使三年的總收益最大，建立數(shù)學(xué)模型.【解】是設(shè)xij為第i年投入第j項(xiàng)目的資金數(shù)，變量表如下項(xiàng)目一項(xiàng)目二項(xiàng)目三項(xiàng)目四第1年第2年第3年x11x21x31x12x23x34數(shù)學(xué)模型為最優(yōu)解X=(30000，0，66000，0，109200，0)；Z847201.6 IV發(fā)展公司是商務(wù)房地產(chǎn)開發(fā)項(xiàng)目的投資商公司有機(jī)會(huì)在三個(gè)建設(shè)項(xiàng)目中投資：高層辦公樓、賓館及購(gòu)物中心，各項(xiàng)目不同年份所需資金和凈現(xiàn)值見表124三個(gè)項(xiàng)目的投資方案是：投資公司現(xiàn)在預(yù)付項(xiàng)目所需資金的百分比數(shù)，那么

8、以后三年每年必須按此比例追加項(xiàng)目所需資金，也獲得同樣比例的凈現(xiàn)值例如，公司按10投資項(xiàng)目1，現(xiàn)在必須支付400萬，今后三年分別投入600萬、900萬和100萬，獲得凈現(xiàn)值450萬公司目前和預(yù)計(jì)今后三年可用于三個(gè)項(xiàng)目的投資金額是：現(xiàn)有2500萬，一年后2000萬，兩年后2000萬，三年后1500萬當(dāng)年沒有用完的資金可以轉(zhuǎn)入下一年繼續(xù)使用IV公司管理層希望設(shè)計(jì)一個(gè)組合投資方案，在每個(gè)項(xiàng)目中投資多少百分比，使其投資獲得的凈現(xiàn)值最大表124年份10項(xiàng)目所需資金（萬元）項(xiàng)目1項(xiàng)目2項(xiàng)目30400800900160080050029008002003100700600凈現(xiàn)值450700500【解】以1為單

9、位，計(jì)算累計(jì)投資比例和可用累計(jì)投資額，見表（2）。表（2）年份每種活動(dòng)單位資源使用量（每個(gè)百分點(diǎn)投資的累計(jì)數(shù)）項(xiàng)目1項(xiàng)目2項(xiàng)目3累計(jì)可用資金(萬元)04080902500110016014045002190240160650032003102208000凈現(xiàn)值457050設(shè)xj為j項(xiàng)目投資比例，則數(shù)學(xué)模型：最優(yōu)解X（0，16.5049，13.1067）；Z=1810.68萬元年份實(shí)際投資項(xiàng)目1比例：0項(xiàng)目2比例：16.5049項(xiàng)目3比例：13.1067累計(jì)投資(萬元)001320.3921179.6032499.995102640.7841834.9384475.722203961.17620

10、97.0726058.248305116.5192883.4747999.993凈現(xiàn)值01155.343655.3351.7 圖解下列線性規(guī)劃并指出解的形式： (1) 【解】最優(yōu)解X（1/2，1/2）；最優(yōu)值Z=1/2 (2) 【解】最優(yōu)解X（3/4，7/2）；最優(yōu)值Z=45/4 (3) 【解】最優(yōu)解X（4，1）；最優(yōu)值Z=10(4) 【解】最優(yōu)解X（3/2，1/4）；最優(yōu)值Z=7/4(5) 【解】最優(yōu)解X（3，0）；最優(yōu)值Z=3(6) 【解】無界解。 (7)【解】無可行解。(8) 【解】最優(yōu)解X（2，4）；最優(yōu)值Z=131.8 將下列線性規(guī)劃化為標(biāo)準(zhǔn)形式 (1)【解】（1）令為松馳變量 ，則

11、標(biāo)準(zhǔn)形式為 (2) 【解】（2）將絕對(duì)值化為兩個(gè)不等式，則標(biāo)準(zhǔn)形式為 (3) 【解】方法1：方法2：令則標(biāo)準(zhǔn)型為(4) 【解】令，線性規(guī)劃模型變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)型為1.9 設(shè)線性規(guī)劃取基分別指出對(duì)應(yīng)的基變量和非基變量，求出基本解，并說明是不是可行基【解】B1：x1，x3為基變量，x2，x4為非基變量,基本解為X=（15，0，20，0）T，B1是可行基。B2：x1,x4是基變量，x2,x3為非基變量，基本解X=（25，0，0，40）T，B2不是可行基。1.10分別用圖解法和單純形法求解下列線性規(guī)劃，指出單純形法迭代的每一步的基可行解對(duì)應(yīng)于圖形上的那一個(gè)極點(diǎn) (1)【解】圖解法單純形法：C(j)1300bR

12、atioC(i)BasisX1X2X3X40X3-2110220X42301124C(j)-Z(j)130003X2-21102M0X480-3160.75C(j)-Z(j)70-3063X2010.250.257/21X110-0.3750.1253/4C(j)-Z(j)00-0.375-0.87511.25對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)：基可行解可行域的頂點(diǎn)X(1)=（0，0，2，12）、X(2)=（0，2，0，6，）、X(3)=（、（0，0）（0，2）最優(yōu)解 (2) 【解】圖解法單純形法：C(j)-3-5000bRatioBasisC(i)X1X2X3X4X5X301210063X4014010102.5X

13、501100144C(j)-Z(j)-3-50000X300.501-0.5012X2-50.25100.2502.510X500.7500-0.2511.52C(j)-Z(j)-1.75001.250-12.5X1-3102-102MX2-501-0.50.5024X5000-1.50.5100C(j)-Z(j)003.5-0.50-16X1-310-1022X2-50110-12X4000-3120C(j)-Z(j)00201-16對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)：基可行解可行域的頂點(diǎn)X(1)=（0，0，6，10，4）、X(2)=（0，2.5，1，0，1.5，）、X(3)=（2，2，0，0，0）X(4)=（2，

14、2，0，0，0）（0，0）（0，2.5）(2，2)（2，2）最優(yōu)解：X=（2，2，0，0，0）；最優(yōu)值Z16該題是退化基本可行解，5個(gè)基本可行解對(duì)應(yīng)4個(gè)極點(diǎn)。1.11用單純形法求解下列線性規(guī)劃(1)【解】單純形表：C(j)34100R. H. S.RatioBasisC(i)X1X2X3X4X5X402311011/3X501220133/2C(j)-Z(j)341000X242/311/31/301/31/2X50-1/304/3-2/317/3MC(j)-Z(j)1/30-1/3-4/30-4/3X1313/21/21/201/2X5001/23/2-1/215/2C(j)-Z(j)0-1

15、/2-1/2-3/20-3/2最優(yōu)解：X=（1/2，0，0，0，5/2）；最優(yōu)值Z3/2 (2) 【解】單純形表：C(j)21-35000R. H. S.RatioBasisC(i)X1X2X3X4X5X6X7X50153-710030MX603-1110101010X702-6-14001205C(j)-Z(j)21-35000X509/2-11/25/40107/465MX605/21/25/4001-1/4510X451/2-3/2-1/41001/45MC(j)-Z(j)-1/217/2-7/4000-5/4X50320150111-1120MX21515/2002-1/21010X4

16、5807/2103-1/220MC(j)-Z(j)-430-2300-173因?yàn)?30并且ai70,原問題無可行解。兩階段法第一階段：數(shù)學(xué)模型為C(j)000001R. H. S.RatioBasisC(i)X1X2X4X5X6X7X4053100091.8X50-56010015MX712100-1152.5C(j)-Z(j)-2-10010514X1013/51/50009/5X5009110024X710-1/5-2/50-117/5C(j)-Z(j)01/52/5010因?yàn)閄70,原問題無可行解。圖解法如下： (4) 【解】大M法。數(shù)學(xué)模型為C(j)23-11-M-M-MR.H.S.R

17、atioBasisC(i)X1X2X3X4X5X6X7X8X9X10X11X9-M1-121-1194.5X621-1155X10-M2-13-1-1110.3333X11-M11-1133C(j)-Z(j)23-11* Big M4-26-1-1-1X9-M-1/3 -1/3 1.67-1 2/3 1 -2/3 8.33 5X6-2/3 2.33 -2/3 1 1/3 -1/3 4.67 MX3-12/3 -1/3 1 -1/3 -1/3 1/3 1/3 MX11-M1/3 1/3 1/3 1/3 -1 -1/3 1 2.67 8C(j)-Z(j)2.67 2.67 2/3 -1/3 1/3

18、 -1/3 * Big M2-11-1-2X41-1/5-1/51-3/50.43/5-0.45MX6-0.82.2-0.413/50.4-3/583.6364X3-13/5-0.41-1/5-1/51/51/52MX11-M0.40.41/51/5-1-1/5-1/5112.5C(j)-Z(j)2.82.80.4-3/5-0.43/53* Big M0.40.41/51/5-1-1.2-1.2X411-0.50.5-0.50.5-0.50.55.5MX6-3-1.51-0.55.51.50.5-5.52.50.4545X3-111-113MX23110.50.5-2.5-0.5-0.52.5

19、2.5MC(j)-Z(j)-1-2712-710* Big M-1-1-1X41-0.27 1.00 -0.64 0.09 0.45 0.64 -0.45 5.73 MX8-0.55 -0.27 0.18 -0.09 1.00 0.27 0.09 -1.00 0.45 MX3-10.451.00 -0.27 0.18 -0.09 0.27 0.09 3.45 7.6X23-0.36 1.00 -0.18 0.45 0.27 0.18 -0.27 3.64 MC(j)-Z(j)3.82 0.91 -1.27 -1.36 -0.91 1.36 13.18 * Big M-1-1-1X413/51-

20、0.81/50.40.8-0.47.8MX81.2-3/50.4-1/513/51/5-14.6MX1212.2-3/50.4-1/53/51/57.6MX2310.8-0.43/51/50.4-1/56.4MC(j)-Z(j)-8.43.2-2.8-3/5-3.23/542.2* Big M-1-1-1無界解。兩階段法。第一階段：C(j)111R.H.S.RatioBasisC(i)X1X2X3X4X5X6X7X8X9X10X11X911-121-1199/2X621-1155X1012-13-1-1111/3X11111-1133C(j)-Z(j)-42-611113X91-1/3 -1/

21、3 5/3 -1 2/3 1 -2/3 25/3 5X6-2/3 7/3 -2/3 1 1/3 -1/3 14/3MX32/3 -1/3 1 -1/3 -1/3 1/3 1/3 MX1111/3 1/3 1/3 1/3 -1 -1/3 1 8/3 8C(j)-Z(j)-21-11211X4-1/5-1/51-3/52/53/5-2/55MX6-4/511/5-2/513/52/5-3/5840/11X33/5-2/51-1/5-1/51/51/52MX1112/52/51/51/5-1-1/5-1/5115/2C(j)-Z(j)-2/5-2/5-1/5-1/516/56/51X41-1/21/

22、2-1/21/2-1/21/211/2MX6-3-3/21-1/211/23/21/2-11/25/25/11X311-113MX2111/21/2-5/2-1/2-1/25/25/2MC(j)-Z(j)111第二階段：C(j)23-11R.H.S.RatioBasisC(i)X1X2X3X4X5X6X7X8X411-1/21/2-1/211/2MX6-3-3/21-1/211/25/25/11X3-111-13MX23111/21/2-5/25/2MC(j)-Z(j)-1-2710X41-3/11 1 -7/11 1/11 5/11 63/11 MX8-6/11 -3/11 2/11 -1/

23、11 1 5/11 MX3-15/11 1 -3/11 2/11 -1/11 38/11 38/5X23-4/11 1 -2/11 5/11 3/11 40/11 MC(j)-Z(j)42/111-14/11-15/1113.18X413/51-4/51/52/539/5MX86/5-3/52/5-1/5123/5MX12111/5-3/52/5-1/538/5MX2314/5-2/53/51/532/5MC(j)-Z(j)-42/516/5-14/5-3/542.2原問題無界解。1.13 在第1.9題中，對(duì)于基求所有變量的檢驗(yàn)數(shù),并判斷B是不是最優(yōu)基【解】, B不是最優(yōu)基，可以證明B是可行基

24、。1.14已知線性規(guī)劃的最優(yōu)基為，試用矩陣公式求（1）最優(yōu)解；(2)單純形乘子；(3)(4)【解】則(1)(2)(3)(4)注：該題有多重解：X(1)=(0，5，0，5/2)X(2)=(0，10/3，10/3，0)X(3)=(10，0，0，0)，x2是基變量，X(3)是退化基本可行解Z501.15 已知某線性規(guī)劃的單純形表125, 求價(jià)值系數(shù)向量C及目標(biāo)函數(shù)值Z表125Cjc1c2c3c4c5c6c7bCBXBx1x2x3x4x5x6x73x4012130244x1101020100x601404123/2j0110102【解】由有c21（31400（1）2c31（324（1）04）1c51（

25、3（3）420（4）0則(4,2,1,3,0,0,0,)，Z=CBXB=12 1.16 已知線性規(guī)劃的最優(yōu)單純形表如表126所示，求原線性規(guī)劃矩陣C、A、及b，最優(yōu)基B及表126Cjc1c2c3c4c5bCBXBx1x2x3x4x5c1x11041/61/156c2x201301/52j00123【解】，c4c50，仿照第15題方法可求出c112，c211，c314由 得 由 得 則有 ，1.17 已知線性規(guī)劃的單純形表127表127Cj3a11bCBXBx1x2x3x41x32210b11x43101b2j1234當(dāng)=（ ）,=（ ）,a=（ ）時(shí)，為唯一最優(yōu)解.當(dāng)=（ ）,=（ ）,a=（

26、 ）時(shí)，有多重解，此時(shí)（ ）【解】(1)b10,b20,a-3 (2)b10,b20,a=3,(-2,0,0,0)習(xí)題二1某人根據(jù)醫(yī)囑，每天需補(bǔ)充A、B、C三種營(yíng)養(yǎng)，A不少于80單位，B不少于150單位，C不少于180單位此人準(zhǔn)備每天從六種食物中攝取這三種營(yíng)養(yǎng)成分已知六種食物每百克的營(yíng)養(yǎng)成分含量及食物價(jià)格如表2-22所示（1）試建立此人在滿足健康需要的基礎(chǔ)上花費(fèi)最少的數(shù)學(xué)模型；（2）假定有一個(gè)廠商計(jì)劃生產(chǎn)一中藥丸，售給此人服用，藥丸中包含有A，B，C三種營(yíng)養(yǎng)成分試為廠商制定一個(gè)藥丸的合理價(jià)格，既使此人愿意購(gòu)買，又使廠商能獲得最大利益，建立數(shù)學(xué)模型表2-22含量 食物營(yíng)養(yǎng)成分一二三四五六需要量A1325144081180B24930251215150C1872134100180食物單價(jià)（元/100g）0.50.40.80.90.30.2【解】（1）設(shè)xj為每天第j種食物的用量，數(shù)學(xué)模型為（