橢圓三：定值問題

1、橢圓三：定值問題1. （2010寒假）東城19.（本小題滿分13分）已知橢圓C的中心在原點，一個焦點 F （0,、2），且長軸長與短軸長的比是 ,.2 :1 .（I）求橢圓C的方程；（n）若橢圓C在第一象限的一點 P的橫坐標(biāo)為1，過點P作傾斜角互補的兩條不同的直 線PA , PB分別交橢圓C于另外兩點 A , B，求證：直線 AB的斜率為定值；（川）求 PAB面積的最大值.答案：19.（本小題滿分13分）2 2解：（I）設(shè)橢圓C的方程為爲(wèi)篤 1（a b 0）.a ba2 b2 c2,由題意 a: b .2 :1, 2分c 、 2.解得 a24, b22 .2所以橢圓C的方程為二41（n）由題意

2、知，兩直線 PA, PB的斜率必存在，設(shè) PB的斜率為k ,則PB的直線方程為y .2 k（x 1）.y 2 k(x 1),由22得由1得42.(2 k2)x22k(、2 k)x(.2 k)240.設(shè) A(XA，yA), B(Xb, Yb)，則1 XBk22&k2 k2同理可得xAk22、2k 2k2則 XaXbYbk(xA 1) k(xB 1)8k2 k2 .所以直線AB的斜率kABYa YbXaXb、.2為定值.（川）設(shè) AB的直線方程為y由y242x2x2m,得4x21.2、2mx由 (2.2m)216(m24）0，得m28.10分此時XaXb2mXa XbP到AB的距離為dAB J(X

3、a Xb)2(Ya Yb)212則 S pab丄 |AB d2因為m2；m2( m2 8)22小m m 8 2.24使判別式大于零,所以當(dāng)且僅當(dāng)m 2時取等號,所以 PAB面積的最大值為 213分2. ( 2010 二模)（19）（本小題共14分）2x已知橢圓a2b21 a b 0和圓O： x y b，過橢圓上一點P引圓O的兩條切線，切點分別為(ii)若橢圓上存在點P，使得 APB 90：,求橢圓離心率e的取值范圍;(n)設(shè)直線AB與x軸、y軸分別交于點M , N,求證:ONb22為定值.OM答案：解：(I)i)圓O過橢圓的焦點,O : x22 ,2y b b2a2c2a22c2(ii)由 A

4、PB90及圓的性質(zhì)，可得OP(n)設(shè) P22b2c2x,y , AXi, yi,B X2，y2，則yoyiXoXiyi整理得xox2 24 XiyiyyxjYi2b2 PA 方程為：XiX yiyb2,PB方程為：X2X河b2xixyi y x2xXg.X2Xiyo.y2yi直線AB方程為yiXoXYoXi2XoXyy b .令x 0,得ONb20,得OM xb2Xo，b22 2. 2 2a yob XoONON3.(2011朝陽二模理OMb2OMb4a2b2b422為定值，定值是春19)(本小題滿分14分)2 2已知橢圓C:冷爲(wèi) 1(a b 0)經(jīng)過點a b直線I與橢圓C交于不同的兩點M,N

5、 .(I)求橢圓C的方程;的取值范圍;(n)求(川)設(shè)直線AM和直線AN的斜率分別為a2b2 ,A(2, 1)，離心率為-1 過點B(3, 0)的2kAM 和 kAN，求證：kAMkAN為定值.4 a解：(I)由題意得 a2丄b2b2.21,c2，解得a.6 , b .故橢圓C的方程為2y- 1.3(n)由題意顯然直線I的斜率存在，設(shè)直線I方程為yk(x 3),k(x2y_33),得(1 2k2)x2 12k2x1,218k60.因為直線l與橢圓C交于不同的兩點所以4 2 2144k4(1 2k )(18k6)24(1k2)0，解得 1 k 1.6分N的坐標(biāo)分別為(Xi, yj ,(X2,財,

6、12k21 2k2 所以 bM BN (x118k2x-ix2X-|X21 2kk(x13) , y2k(x2 3).7 分(13)(X23) y1 y2疋)衲2 3(X1X2)93 3k21 2k22(132k2)因為1 k 1，所以2_ 32(12k2)故的取值范圍為(2,10分（川）由（n）得 kAM kANx12y2 1x2211分(k 3k 1)(x22) (kx2 3k 1)( 2)(X12)(x22)2kx1 x2(5k1)(x-i x2) 12k4x1x22(x-| x2) 42k(18k26)(5k 1) 12k2(12k 4)(1 2k2)18k26 24k24(1 2k2

7、)4k24c2 .2k22所以kAMkAN為定值2 .3.（2010 一模）石景山19.（本題滿分14分）22xy已知橢圓221(a b0）的離心率為一6 ,長軸長為2.3 ,直線l : y kx mab3交橢圓于不同的兩點A、B o（1 ）求橢圓的方程；（2）求m 1,且OA OB 0,求k的值（O點為坐 標(biāo)原點）；（3）若坐標(biāo)原點O到直線I的距離為，求2AOB面積的最大值。答案：19.（本題滿分14分）解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為 c.c.6依題意a3 ，a .：3解得c、. 2222由a b c ,得b 1. 2分2所求橢圓方程為y21.3分3(2) m 1, y kx 1.設(shè) AX, y

8、j, B(X2,y2),其坐標(biāo)滿足方程y kx 1消去y并整理得(1 3k2)x2 6kx 0,4 分(6k)24(1 3k2)(3k23)0(*)故 x1x26k3k,X1X23k231 3k2AO OB 0x1 X2y1 yx1 x2(kx11) (kx21)(1 k2)x.| x2k(x1X2) k2(1k2)3k231 3k2k26k1 3k2k2k233k21k .3經(jīng)檢驗 k滿足式(* )式8分(3)由已知_|m|_1 k2可得m23(k21)9分4將y kx m代入橢圓方程,整理得（13k2)x2 6kmkx3m230.2(6km)2 24(1 3k )(3m3)0(*)x-ix26 km廠” x223m321 3k10|ab |2(1 k2) xj22 2(1伴)212(m1)3k21 212(k21)(3k2(3k1)1 m2)2 23( k1)(9k1)2 2