全國(guó)統(tǒng)考2022版高考數(shù)學(xué)大一輪備考復(fù)習(xí)第10章第1講橢圓課件文

1、第一講 橢 圓,第十章 圓錐曲線(xiàn)與方程,考點(diǎn)幫必備知識(shí)通關(guān),考點(diǎn)1 橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程,考點(diǎn)2 橢圓的幾何性質(zhì),考法幫解題能力提升,考法1 橢圓的定義及其應(yīng)用,考法2 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考法3 橢圓的幾何性質(zhì),考法4 直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系,高分幫 “雙一流”名校沖刺,析情境 數(shù)學(xué)應(yīng)用,數(shù)學(xué)應(yīng)用 橢圓與物理知識(shí)的融合,考情解讀,考情解讀,考點(diǎn)1 橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程 考點(diǎn)2 橢圓的幾何性質(zhì),考點(diǎn)幫必備知識(shí)通關(guān),考點(diǎn)1 橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程,1.定義 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫作橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫作橢圓的焦距. 集合語(yǔ)

2、言:P=M|MF1|+|MF2|=2a,2a|F1F2|,|F1F2|=2c,其中ac0,且a,c為常數(shù). 注意 若2a=|F1F2|,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線(xiàn)段F1F2;若2a|F1F2|,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在.,考點(diǎn)1 橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程,2.標(biāo)準(zhǔn)方程 (1)中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 2 2 + 2 2 =1(ab0); (2)中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 2 2 + 2 2 =1(ab0). 規(guī)律總結(jié) 橢圓焦點(diǎn)位置的判斷 焦點(diǎn)在x軸上標(biāo)準(zhǔn)方程中x2項(xiàng)的分母較大;焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程中y2項(xiàng)的分母較大.,考點(diǎn)2 橢圓的幾何性質(zhì),考點(diǎn)2 橢圓的幾何性質(zhì),考點(diǎn)2

3、 橢圓的幾何性質(zhì),規(guī)律總結(jié) 離心率表示橢圓的扁平程度,當(dāng)e越接近于1時(shí),c越接近于a,從而b= 2 2 越小,因此橢圓越扁;當(dāng)e越接近于0時(shí),c越接近于0,從而b= 2 2 越大,因此橢圓越接近圓;當(dāng)e=0時(shí),c=0,a=b,兩焦點(diǎn)重合,圖形就是圓.,考法1 橢圓的定義及其應(yīng)用 考法2 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 考法3 橢圓的幾何性質(zhì) 考法4 直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系,考法幫解題能力提升,考法1 橢圓的定義及其應(yīng)用,示例1 (1)若F1,F2是橢圓 2 9 + 2 7 =1的兩個(gè)焦點(diǎn),A為橢圓上一點(diǎn),且AF1F2= 45,則AF1F2的面積為 A.7B. 7 4 C. 7 2 D. 7 5 2 (2)202

4、0江西省九江市三校聯(lián)考已知F是橢圓C: 2 25 + 2 16 =1的右焦點(diǎn),P是橢圓上一點(diǎn),A(0, 36 5 ),當(dāng)APF的周長(zhǎng)最大時(shí),該三角形的面積為.,考法1 橢圓的定義及其應(yīng)用,思維導(dǎo)引,考法1 橢圓的定義及其應(yīng)用,解析(1)由題意得a=3,b= 7 ,c= 2 , |F1F2|=2 2 ,|AF1|+|AF2|=6.(應(yīng)用橢圓定義) |AF2|2=|AF1|2+|F1F2|2-2|AF1|F1F2|cos 45=|AF1|2+8-4|AF1|, (6-|AF1|)2=|AF1|2+8-4|AF1|,解得|AF1|= 7 2 . 1 2 = 1 2 2 2 7 2 2 2 = 7 2

5、 .故選C. (2)設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F,由橢圓方程得a=5,F(3,0),F(-3,0).APF的周長(zhǎng)為|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+2a-|PF|10+(|AF|+|AF|),(利用橢圓定義轉(zhuǎn)化),考法1 橢圓的定義及其應(yīng)用,當(dāng)A,F,P三點(diǎn)共線(xiàn)且F在線(xiàn)段AP上時(shí)取等號(hào),此時(shí)APF的周長(zhǎng)最大.(找到求最值的條件) 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xP,yP),yP0.易知直線(xiàn)AF的方程為 3 + 36 5 =1,又 2 25 + 2 16 =1,可得yP=- 12 5 .所以SAPF= 1 2 |FF|yA-yP|= 1 2 6( 36 5 + 12 5 )= 144 5 .故填 144

6、 5 . 點(diǎn)評(píng)本題組的第(2)題中,利用數(shù)形結(jié)合的思想方法,巧妙地將求APF的周長(zhǎng)的最大值轉(zhuǎn)化為三角形的三邊關(guān)系的分析,從而化繁為簡(jiǎn),減少了計(jì)算量.,考法1 橢圓的定義及其應(yīng)用,方法技巧 1.與橢圓定義有關(guān)的結(jié)論 (1)橢圓的通徑(過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦)長(zhǎng)為 2 2 ,通徑是最短的焦點(diǎn)弦. (2)設(shè)P是橢圓上一點(diǎn),F為橢圓的焦點(diǎn),則|PF|a-c,a+c,即橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為a+c,最小值為a-c. (3)橢圓的焦點(diǎn)三角形:以橢圓上的點(diǎn)P(x0,y0)與兩焦點(diǎn)F1,F2為頂點(diǎn)的PF1F2叫作焦點(diǎn)三角形.,考法1 橢圓的定義及其應(yīng)用,考法1 橢圓的定義及其應(yīng)用,2.利用定義求方程

7、、焦點(diǎn)三角形及最值的方法,考法1 橢圓的定義及其應(yīng)用,2.利用定義求方程、焦點(diǎn)三角形及最值的方法,注意 定義是解決橢圓問(wèn)題的常用工具,如果題目中的條件能轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離和為常數(shù)的問(wèn)題,可考慮能否利用橢圓的定義求解,或者有關(guān)橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離問(wèn)題,也可考慮利用橢圓的定義求解.,考法2 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,示例2 過(guò)點(diǎn)( 3 ,- 5 ),且與橢圓 2 25 + 2 9 =1有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 A. 2 20 + 2 4 =1B. 2 2 5 + 2 4 =1 C. 2 20 + 2 4 =1D. 2 4 + 2 2 5 =1,考法2 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,解析解法一(定義法)橢圓 2

8、25 + 2 9 =1的焦點(diǎn)為(0,-4),(0,4),即c=4. 由橢圓的定義知,2a= ( 3 0 ) 2 +( 5 +4 ) 2 + ( 3 0 ) 2 +( 5 4 ) 2 ,解得a=2 5 . 由c2=a2-b2可得b2=4. 所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 2 20 + 2 4 =1.,考法2 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,解法二(待定系數(shù)法)設(shè)所求橢圓方程為 2 25+ + 2 9+ =1(k-9),將點(diǎn)( 3 ,- 5 )的坐標(biāo)代入,可得 ( 5 ) 2 25+ + ( 3 ) 2 9+ =1,解得k=-5,所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 2 20 + 2 4 =1. 答案C,考法2 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,方

9、法技巧 1.用定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 先根據(jù)橢圓的定義確定a2,b2的值,再結(jié)合焦點(diǎn)位置求出橢圓的方程.其中常用的關(guān)系有: (1)b2=a2-c2; (2)橢圓上任意一點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和等于2a; (3)橢圓上任一短軸頂點(diǎn)到任一焦點(diǎn)的距離都等于實(shí)半軸長(zhǎng)a.,考法2 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,2.用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟,考法2 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,注意1.當(dāng)橢圓焦點(diǎn)位置不明確時(shí),有兩種解決方法:(1)分類(lèi)討論;(2)設(shè)橢圓方程為 2 + 2 =1(M0,N0,且MN)或Ax2+By2=1(A0,B0,且AB). 2.與橢圓 2 2 + 2 2 =1共焦點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為 2 2 + + 2

10、2 + =1(k-m2,k-n2). 3.與橢圓 2 2 + 2 2 =1(ab0)有相同離心率的橢圓方程可設(shè)為 2 2 + 2 2 =k1(k10,焦點(diǎn)在x軸上)或 2 2 + 2 2 =k2(k20,焦點(diǎn)在y軸上).,考法3 橢圓的幾何性質(zhì),命題角度1求橢圓離心率或其取值范圍 示例3 2017全國(guó)卷,11,5分文已知橢圓C: 2 2 + 2 2 =1(ab0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,且以線(xiàn)段A1A2為直徑的圓與直線(xiàn)bx-ay+2ab=0相切,則C的離心率為 A. 6 3 B. 3 3 C. 2 3 D. 1 3 思維導(dǎo)引 根據(jù)已知求出圓的方程,根據(jù)直線(xiàn)與圓相切列出關(guān)于a,b的等式,結(jié)

11、合a2=b2+c2求出離心率.,解析以線(xiàn)段A1A2為直徑的圓的方程為x2+y2=a2,由原點(diǎn)到直線(xiàn)bx-ay+2ab=0的距離d= 2 2 + 2 =a,得a2=3b2,所以C的離心率e= 1 2 2 = 6 3 . 答案A,考法3 橢圓的幾何性質(zhì),考法3 橢圓的幾何性質(zhì),方法技巧 求橢圓離心率或其取值范圍的方法 求橢圓離心率的方法,考法3 橢圓的幾何性質(zhì),2.求橢圓離心率的取值范圍的方法,考法3 橢圓的幾何性質(zhì),注意 在解關(guān)于橢圓的離心率e的二次方程時(shí),要注意根據(jù)橢圓的離心率e(0,1)進(jìn)行根的取舍,否則將產(chǎn)生增根.,考法3 橢圓的幾何性質(zhì),命題角度2求與橢圓性質(zhì)有關(guān)的最值或取值范圍問(wèn)題 示

12、例4 2017全國(guó)卷,12,5分文設(shè)A,B是橢圓C: 2 3 + 2 =1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).若C上存在點(diǎn)M滿(mǎn)足AMB=120,則m的取值范圍是 A.(0,19,+)B.(0, 3 9,+) C.(0,14,+)D.(0, 3 4,+) 思維導(dǎo)引 焦點(diǎn)位置不確定,分情況討論.,考法3 橢圓的幾何性質(zhì),解析 依題意得 3 tan 2 , 03, 所以 3 tan60, 03, 解得0m1或m9. 答案A,考法3 橢圓的幾何性質(zhì),方法技巧 1.與橢圓性質(zhì)有關(guān)的最值或取值范圍的求解方法 (1)利用數(shù)形結(jié)合、幾何意義,尤其是橢圓的性質(zhì),求最值或取值范圍. (2)利用函數(shù),尤其是二次函數(shù)求最值或取值范圍.

13、(3)利用不等式,尤其是基本不等式求最值或取值范圍. (4)利用一元二次方程的根的判別式求最值或取值范圍.,考法3 橢圓的幾何性質(zhì),2.橢圓幾何性質(zhì)的應(yīng)用技巧 (1)求解與橢圓的幾何性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題時(shí),要結(jié)合圖形進(jìn)行分析,即使畫(huà)不出圖形,思考時(shí)也要聯(lián)想到一個(gè)圖形,要厘清頂點(diǎn)、焦點(diǎn),長(zhǎng)軸、短軸等基本量之間的內(nèi)在聯(lián)系. (2)橢圓相關(guān)量的取值范圍或最值問(wèn)題常常涉及一些不等關(guān)系.例如,-axa,-byb,0e1,三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊等,在求橢圓相關(guān)量的取值范圍或最值時(shí),要注意應(yīng)用這些不等關(guān)系.,考法4 直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系,命題角度1直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系 示例5 已知對(duì)任意kR

14、,直線(xiàn)y-kx-1=0與橢圓 2 5 + 2 =1恒有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍為. 解析解法一(代數(shù)法)由橢圓方程,可知m0,且m5, 將直線(xiàn)與橢圓的方程聯(lián)立,得 1=0, 2 5 + 2 =1, 整理,得(5k2+m)x2+10kx+5(1-m)=0.,考法4 直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系,因?yàn)橹本€(xiàn)與橢圓恒有公共點(diǎn),故=(10k)2-4(5k2+m)5(1-m)= 20(5k2m-m+m2)0.因?yàn)閙0,所以不等式等價(jià)于5k2-1+m0,即k2 1 5 ,由題意,可知不等式恒成立,則 1 5 0,解得m1. 綜上,m的取值范圍為1,5)(5,+).,考法4 直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系,解法二(幾何法)因

15、為方程 2 5 + 2 =1表示橢圓,所以m0且m5. 因?yàn)橹本€(xiàn)y-kx-1=0過(guò)定點(diǎn)(0,1), 所以要使直線(xiàn)和橢圓恒有公共點(diǎn),點(diǎn)(0,1)在橢圓上或橢圓內(nèi),即 0 2 5 + 1 2 1,整理得 1 1,解得m1. 綜上,m的取值范圍為1,5)(5,+).,考法4 直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系,方法技巧 1.研究直線(xiàn)與橢圓位置關(guān)系的方法 (1)研究直線(xiàn)和橢圓的位置關(guān)系,一般轉(zhuǎn)化為研究直線(xiàn)方程與橢圓方程組成的方程組的解的個(gè)數(shù). 如把橢圓方程 2 2 + 2 2 =1與直線(xiàn)方程y=kx+m聯(lián)立消去y,整理成Ax2+Bx+C=0的形式(這里的系數(shù)A一定不為零),設(shè)其判別式為. 0有兩個(gè)交點(diǎn)相交; =0有

16、一個(gè)交點(diǎn)相切; 0無(wú)交點(diǎn)相離.,考法4 直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系,(2)對(duì)于過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn),也可以根據(jù)定點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系判定直線(xiàn)和橢圓是否有交點(diǎn). 2.點(diǎn)P(x0,y0)和橢圓 + =1的位置關(guān)系 (1)點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓內(nèi) 0 2 2 + 0 2 2 1.,考法4 直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系,命題角度2弦長(zhǎng)問(wèn)題 示例6 已知橢圓E: 2 2 + 2 2 =1(ab0)的焦距為2c,且b= 3 c,圓O:x2+y2=r2(r0)與x軸交于點(diǎn)M,N,P為橢圓E上的動(dòng)點(diǎn),|PM|+|PN|=2a,PMN面積的最大值為 3 . (1)求圓O與橢圓E的方程; (2)圓O的切線(xiàn)l交橢圓E于點(diǎn)A,B,求|AB

17、|的取值范圍.,考法4 直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系,思維導(dǎo)引,考法4 直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系,解析(1)因?yàn)閎= 3 c,所以a=2c. 因?yàn)閨PM|+|PN|=2a,所以點(diǎn)M,N為橢圓的焦點(diǎn),所以r2=c2= 1 4 a2. 設(shè)P(x0,y0),-by0b,則SPMN=r|y0|= 1 2 a|y0|, 當(dāng)|y0|=b時(shí),(SPMN)max= 1 2 ab= 3 , 所以r=c=1,b= 3 ,a=2, 所以圓O的方程為x2+y2=1,橢圓E的方程為 2 4 + 2 3 =1.,考法4 直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系,(2)當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí),(先討論直線(xiàn)l的斜率不存在的情形) 不妨取直線(xiàn)l的方程為x=1

18、,則可取A(1, 3 2 ),B(1,- 3 2 ),|AB|=3. 當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí),(再研究直線(xiàn)l的斜率存在的情形) 設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx+m,A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m), 因?yàn)橹本€(xiàn)l與圓O相切,所以 | 1+ 2 =1,即m2=1+k2. 由 2 4 + 2 3 =1, =+ 消去y,可得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,考法4 直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系,=64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=48(4k2+3-m2)=48(3k2+2)0, x1+x2=- 8 4 2 +3 ,x1x2= 4 2 12 4 2 +3 . |AB|= 2 +

19、1 ( 1 + 2 ) 2 4 1 2 (利用弦長(zhǎng)公式建立目標(biāo)函數(shù)) =4 3 2 +1 4 2 +3 2 4 2 +3 = 4 3 ( 2 +1)(3 2 +2) 4 2 +3,考法4 直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系,= 3 1 16 1 ( 2 + 3 4 ) 2 + 1 2 1 2 + 3 4 +3 . 令t= 1 2 + 3 4 ,0t 4 3 ,則|AB|= 3 1 16 2 + 1 2 +3 ,0t 4 3 , 所以|AB|= 3 1 16 (4 ) 2 +4 ,所以3|AB| 4 6 3 .(利用二次函數(shù)性質(zhì)) 綜上,|AB|的取值范圍是3, 4 6 3 .,方法技巧 求解直線(xiàn)被橢圓截得的

20、弦長(zhǎng)的方法 (1)當(dāng)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)易求時(shí),可直接利用兩點(diǎn)間的距離公式求解. (2)當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí),斜率為k的直線(xiàn)l與橢圓C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩個(gè)不同的點(diǎn),則弦長(zhǎng)|AB|= ( 1 2 ) 2 +( 1 2 ) 2 = 1+ 2 |x1-x2|= 1+ 1 2 |y1-y2|(k0).,考法4 直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系,考法4 直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系,(3)當(dāng)弦過(guò)焦點(diǎn)時(shí),可結(jié)合焦半徑公式求解弦長(zhǎng):若M(x0,y0)是橢圓 2 2 + 2 2 =1 (ab0)上一點(diǎn),則左焦半徑r1=a+ex0,右焦半徑r2=a-ex0.若直線(xiàn)AB經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn),則弦長(zhǎng)|AB|=2a+e(x1

21、+x2);若直線(xiàn)AB經(jīng)過(guò)橢圓右焦點(diǎn),則弦長(zhǎng)|AB|=2a-e(x1+x2). 注意1.解決直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問(wèn)題時(shí),常規(guī)思路是先把直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立得到一元二次方程,應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系解決相關(guān)問(wèn)題. 2.利用公式計(jì)算直線(xiàn)被橢圓截得的弦長(zhǎng)是在方程有2個(gè)不同的解的情況下進(jìn)行的,不要忽略判別式大于零.,考法4 直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系,命題角度3弦中點(diǎn)問(wèn)題 示例7 已知橢圓E: 2 2 + 2 2 =1(ab0)的右焦點(diǎn)為F(3,0),過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交橢圓于A,B兩點(diǎn).若線(xiàn)段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1),則E的方程為 A. 2 45 + 2 36 =1B. 2 36 + 2 27 =1C. 2

22、 27 + 2 18 =1D. 2 18 + 2 9 =1,思維導(dǎo)引,考法4 直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系,解析 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),代入橢圓方程得 1 2 2 + 1 2 2 =1, 2 2 2 + 2 2 2 =1, -得 1 2 2 2 2 + 1 2 2 2 2 =0,(利用點(diǎn)差法) 易知x1x2, 1 + 2 2 + 1 2 1 2 1 + 2 2 =0. x1+x2=2,y1+y2=-2,kAB= 10 13 = 1 2 , 2 2 + 1 2 2 2 =0,即a2=2b2.,考法4 直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系,又c=3= 2 2 ,a2=18,b2=9. 橢圓E的方程為 2

23、18 + 2 9 =1. 答案D 點(diǎn)評(píng)本題設(shè)出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo),卻不求出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo),而是利用點(diǎn)差法,巧妙地表達(dá)出直線(xiàn)AB的斜率,并利用焦點(diǎn)坐標(biāo)和中點(diǎn)坐標(biāo)建立幾何量之間的關(guān)系,從而快速解決問(wèn)題.,考法4 直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系,方法技巧 1.對(duì)于弦中點(diǎn)問(wèn)題,常用“根與系數(shù)的關(guān)系”或“點(diǎn)差法”求解.在用根與系數(shù)的關(guān)系時(shí),要注意前提條件0. 2.用“點(diǎn)差法”求解弦中點(diǎn)問(wèn)題的步驟 已知直線(xiàn)y=kx+b(k0)與橢圓的相交弦AB,弦AB中點(diǎn)為M(x0,y0). (1)設(shè)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo):A(x1,y1),B(x2,y2). (2)代入橢圓方程: 1 2 2 + 1 2 2 =1, 2 2 2 + 2 2 2 =1.,考法4 直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系,(3)兩式作差,用平方差公式展開(kāi): ( 1 + 2 )( 1 2 ) 2 + ( 1 + 2 )( 1 2 ) 2 =0.