蘇教版高中數(shù)學必修四知識講解_同角三角函數(shù)的基本關系式_基礎

1、精品文檔用心整理同角三角函數(shù)基本關系：【學習目標】1.借助單位圓，理解同角三角函數(shù)的基本關系式:sin2a+cos2a=1,sinacosa=tana，掌握已知一個角的三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值的方法；2會運用同角三角函數(shù)之間的關系求三角函數(shù)值、化簡三角式或證明三角恒等式?！疽c梳理】要點一：同角三角函數(shù)的基本關系式(1)平方關系：sin2a+cos2a=1(2)商數(shù)關系：sinacosa=tana(3)倒數(shù)關系：tanacota=1，sinacsca=1，cosaseca=1要點詮釋：(1)這里“同角”有兩層含義，一是“角相同”，二是對“任意”一個角(使得函數(shù)有意義的前提下)關系式都成立；(

2、2)sin2a是(sina)2的簡寫；(3)在應用平方關系時，常用到平方根，算術平方根和絕對值的概念，應注意“”的選取。要點二：同角三角函數(shù)基本關系式的變形1平方關系式的變形：sin2a=1-cos2a，cos2a=1-sin2a，12sinacosa=(sinacosa)22商數(shù)關系式的變形sina=cosatana，cosa=sinatana。【典型例題】類型一：已知某個三角函數(shù)值求其余的三角函數(shù)值4例1若sina=-，且a是第三象限角，求cosa，tana的值。5【思路點撥】由sina求cosa，可利用公式sin2a+cos2a=1，同時要注意角所在的象限?！敬鸢浮?3453【解析】si

3、na=-45，a是第三象限，43cosa=-1-sin2a=-1-=-，255資料來源于網絡僅供免費交流使用tansin454cos533精品文檔用心整理?！究偨Y升華】解答此類題目的關鍵在于充分借助已知角的三角函數(shù)值，縮小角的范圍。在解答過程中如果角所在象限已知，則另兩個三角函數(shù)值結果唯一；若角所在象限不確定，則應分類討論，有兩種結果，需特別注意：若已知三角函數(shù)值以字母a給出，應就所在象限討論。舉一反三：【變式1】已知sin35，求cos，tan的值?！窘馕觥恳驗閟in350，所以是第三或第四象限角。3162由sin+cos2=1得1sincos2212525。當是第三象限角時，cos0，于是

4、cos164255，從而tansin353cos544；當是第四象限角時，cos0，于是cos164255，從而tansin353cos544。類型二：利用同角關系求值【同角三角函數(shù)關系公式385948例2】例2已知：tancot2,求：（1）sincos的值；（2）sincos的值；（3）sincos的值；（4）sin及cos的值【思路點撥】同角三角函數(shù)基本關系是反映了各種三角函數(shù)之間的內在聯(lián)系，為三角函數(shù)式的恒等變形提供了工具與方法。【答案】（1）122222,（2）2（3）0（4）或,2222【解析】（1）由已知2sincos2sincossincos12sincoscossin22資料

5、來源于網絡僅供免費交流使用精品文檔用心整理（2）(sinq+cosq)2=1+2sinqcosq=1+1=2sinq+cosq=2（3）(sinq-cosq)2=1-2sinqcosq=1-1=0sinq=cosq=sinq=-cosq=-sinq-cosq=0sinq+cosq=2（4）由，解得sinq-cosq=022或222222【總結升華】本題給出了sinq+cosq,sinq-cosq及sinqcosq三者之間的關系，三者知一求二，在求解的過程中關鍵是利用了sin2q+cos2q=1這個隱含條件。舉一反三：【變式1】已知sina-cosa=2，求下列各式的值：（1）tana+cota

6、；（2）sin3acos3a。2兩邊平方得sinacosa=-【解析】由sina-cosa=1。2（1）tana+cota=sinasin2a+cos2a1+=-2。cosasinacosasinacosa（2）sin3a-cos3a=(sina-cosa)(sin2a+sinacosa+cos2a)no=(sia-cas2)o)+(1asinac=s。2【同角三角函數(shù)關系公式385948例3】1例3已知：tanq=-，求：2（1）sinq+cosqsinq-3cosq；-+1【解析】（1）原式=2=-371+2sinqcosq（2）；sin2q-cos2q（3）2sin2q-3sinqcos

7、q-5cos2q。1tanq+11tanq-312(sinq+cosq)(sinq-cosq)sinq-cosq=tanq+1（2）原式=（3）原式=(sinq+cosq)2sinq+cosq=2sin2q-3sinqcosq-5cos2qsin2q+cos2q1=-tanq-13資料來源于網絡僅供免費交流使用精品文檔用心整理=2tan2q-3tanq-5tan2q+12+-542151312=-+14【總結升華】已知tana的值，求關于sina、cosa的齊次式的值問題如（1）、（2）題，cosa0，所以可用cosna（nn*）除之，將被求式轉化為關于tana的表示式，可整體代入tana=m

8、的值，從而完成被求式的求值；在（3）題中，求形如asin2a+bsinacosa+ccos2a的值，注意將分母的1化為1=sin2a+cos2a代入，轉化為關于tana的表達式后再求值。舉一反三：【變式1】已知tanatana-1=-1，求下列各式的值.sina-3cosa(1);sina+9cosa(2)sin2a+sinacosa+2【解析】tana=12,sina-3cosatana-35=-;sina+9cosatana+919sin2a+sinacosatan2a+tana13sin2a+sinacosa+2=+2=+2=.sin2a+cos2atan2a+15類型三：利用同角關系化

9、簡三角函數(shù)式例4化簡：（1）1-2sin10cos10sin10-1-sin210；（2）若3p2a2p，化簡1-cosa1+cosa+。1+cosa1-cosa【思路點撥】把根號下面的式子化成完全平方式，開方去掉根號?！窘馕觥浚?）原式=(cos10-sin10)2sin10-cos210（2）3p2|cos10-sin10|cos10-sin10=-1。=sin10-cos10sin10-cos10a2p，sina0，(1-cosa)2(1+cosa)2原式=+(1+cosa)(1-cosa)(1-cosa)(1+cosa)s|c(1-cosa)2(1+cosa)2|1-coa|+1aos

10、|=+=+nssin2asin2a|sia|ain|資料來源于網絡僅供免費交流使用精品文檔用心整理原式=-1-cosasina0，1+cosa2-=-sinasinasina。【總結升華】解答此題目常用的方法有：（1）化切為弦，即把非正弦、余弦的函數(shù)都化成正弦函數(shù)、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱，達到化簡的目的。（2）對于含有根號的，常把根號下的式子化成完全平方式，然后去根號達到化簡的目的。（3）對于化簡含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解，或構造sin2a+cos2a=1，以降低函數(shù)次數(shù)，達到化簡的目的。舉一反三：【變式1】化簡q2kp-,2kpkz；（1）1-2sinqcosqsinq-co

11、sq,p2例5求證：（1）sinq(1+tanq)+cosq(1+1（2）1-sin22-1-cos22；【答案】（1）1（2）-cos2-sin2(sinq-cosq)2|sinq-cosq|【解析】（1）原式=-1sinq-cosqsinq-cosq（2）原式=cos22-sin22=|cos2|-|sin2|=-cos2-sin2類型四：利用同角關系證明三角恒等式11)=+tanqsinqcosq；（2）cosasina2(cosa-sina)-=1+sina1+cosa1+sina+cosa?！舅悸伏c撥】利用同角三角函數(shù)關系式對式子的左邊或右邊進行化簡，使之與式子的另一邊相同?！咀C明】

12、（1）左邊=sinq1+cosq1+=sinq+cosqsinqsinqcosqsin2qcos2q+cosqcosqsinqsin2q+cos2qsin2q+cos2q11+=+=右邊，sinqcosqsinqcosq原等式成立。（2）左邊=cosa+cos2a-sina-sin2a(cosa-sina)(1+sina+cosa)=1+sina+cosa+sinacosa1+sina+cosa+sinacosa2(cosa-sina)(1+sina+cosa)1+sin2a+cos2a+2sina+2cosa+2sinacosa=2(cosa-sina)(1+sina+cosa)(1+sin

13、a+cosa)22(cosa-sina)=右邊，1+sina+cosa原等式成立?！究偨Y升華】（1）在三角式的化簡中，常常“化切為弦”，以減少函數(shù)種類。（2）三角恒等式的證明方法靈活多變，因題而異，要細心觀察兩邊的差異，靈活運用所學知識，本題也可從右到左證明。舉一反三：資料來源于網絡僅供免費交流使用【變式】求證：cosx1+sinx=1-sinxcosx精品文檔用心整理.左邊=cosx(1+sinx)【解析】證法一：由題意知cosx0，所以1+sinx0,1-sinx0.cosx(1+sinx)1+sinx=右邊.(1-sinx)(1+sinx)cos2xcosx原式成立.證法二：由題意知cosx0，所以1+sinx0,1-sinx0.又(1-sinx)(1