交通系統(tǒng)工程教學講義

1、第五章 交通系統(tǒng)動態(tài)控制我們知道，世界絕大部分系統(tǒng)尤其是交通系統(tǒng)，都是動態(tài)系統(tǒng)，而且很多是動態(tài)反饋系統(tǒng)，不斷的反饋使系統(tǒng)的輸出與理想輸出之間的誤差越來越小，成為使系統(tǒng)能夠按照理想的輸出予以實現(xiàn)，來完成我們的目標，這就構成了系統(tǒng)的控制。交通系統(tǒng)大部分為人造動態(tài)系統(tǒng)，構造的交通系統(tǒng)可控性能與目標優(yōu)化成為我們的中心任務，只有實現(xiàn)這些，才能使交通系統(tǒng)按照我們的目標予以實現(xiàn)，同時投入最小或產(chǎn)出最大。因此需要對交通系統(tǒng)的控制進行專門研究。首先用一個簡單例子來說明運用狀態(tài)空間法建立動態(tài)系統(tǒng)控制的優(yōu)化模型過程。mgxu圖5.1.1. 快速降落問題假定有一控制器可以控制物體m垂直上升和降落，見圖5.1.1。設m

2、的質量為1，受重力g的作用，該控制器對m的垂直作用力為u(t)，u(t)的最大幅值為k, m可解釋為一架直升飛機或礦井的升降機。若已知m在t=t0時離地面高度為x10，垂直運動速度為x20，現(xiàn)在要解決的問題是如何確定控制作用力u(t)，使m最快的達到地面，并且達到地面時速度為零。解：假定x(t)以地面向上為正，作用力向上為正，得到運動方程：d2x/dt2=u(t)-g(t)令x=x1,=x2,得狀態(tài)方程： 1 0 1 x1 0 = + （u-g） 2 0 1 x2 1 初始條件： x1 (t0) x10 = x2(tf) x20控制約束： |u(t)|k性能指標則表示為： j=tf-t0于是問

3、題就可歸結為求滿足控制約束u(t)，使系統(tǒng)從初始狀態(tài)轉移到終止狀態(tài)所需的時間最小.這里再以城市單一交叉路口動態(tài)系統(tǒng)優(yōu)化控制模型為例來近一步說明交通動態(tài)系統(tǒng)優(yōu)化控制的基本概念。交通控制是通過安裝在路口的信號燈來控制車流的有序運動，以達到提高通行能力的目的。其控制方案主要包括參數(shù)有：(1)信號周期：路口的各個相位是按順序切換的，一次循環(huán)稱為一個信號周期。(2)綠信比：對一個相位，其綠燈持續(xù)時間與周期長度之比。對于某個特定相位的車輛，綠信比決定了其在路日的等待時間。(3)綠燈時間：路口某相位綠燈持續(xù)的時間。(4)相位差：相鄰路口同方向的相位，綠燈開始時刻的時間差。(5)綠燈間隔時間（黃燈時間）：相鄰

4、相位從一個相位結束到下一個相位綠燈的開始之間的時間間隔，其目的是騰空路口，避免不同相位車輛間的沖突。(6)最短（長）綠燈時間：各相位規(guī)定的綠燈時間的下（上）限值。其控制目標和約來為：信號控制交叉路口的運行效率一般由四個基本指標來衡量，即通行能力、飽和度、延誤時間和停車次數(shù)?？刂菩Ч褪菍で笞畲蟮耐ㄟ^能力，最低的飽和度，使道路上車輛的延誤時間和停車次數(shù)最少。另外，有時還要考慮其他參數(shù)，如最大等待隊長，耗油量等。在來往各個相鄰路日距離比較短的時候，為了不使下游路日的等待隊列延續(xù)到上游路口，以至影響上游路口，有必要將隊列長度作為控制目標。耗油量多少不僅直接影響運行費用的經(jīng)濟指標，同時也決定了尾氣排放

5、量和對環(huán)境的污染程度，因此，在考慮能源和環(huán)境因素時，必須將耗油量作為一個目標。除了上述目標外，控制方案還必須滿足約束條件，保證控制方案的可行性，這些約束包括最大（?。┚G燈時間，非負約束等。交通流按照其控制的范圍，可分為孤立路口控制，主干道控制（綠波帶控制）和區(qū)域控制等不同層次，也稱為點控、線控、面控、孤立路口控制等。我們一般所講的城市交叉路口控制研究主要是在靜態(tài)條件下進行的，并沒有從控制角度出發(fā)去研究交叉路口各項品質指標對控制變量變化的響應，也即設有研究其動態(tài)性。然而解決任何控制問題都必須首先解決控制對象的動特性問題。因此要真正實現(xiàn)對交叉路口的有效控制實現(xiàn)真正的交通控制，其動特性是不可回避的問

6、題。對每一交叉路口，將其交通流作為控制對象，通過控制紅綠燈信號顯示、相位差、綠信比等交通管理部門可以直接控制的動作，來實現(xiàn)通過該交叉路口的車輛單位時間內(nèi)最多，排隊等待車輛最少，等待時間最少。而對于該交叉路口的交通流狀態(tài)正是該系統(tǒng)的狀態(tài)，因此我們可以建立交叉路口的非線性動態(tài)控制模型為：狀態(tài)轉移方程：x(k+1)=a(0,k)x(k)+b(0,k)u(k)系統(tǒng)輸出： y(k)=c(0,k)x(k)系統(tǒng)指標函數(shù)：j=minf(y(k)其中：x為狀態(tài)變量，通常取交通流的流量，速度和密度為描述交通流的狀態(tài)向量。y為系統(tǒng)輸出，y= (l,v,t). l為周期內(nèi)各紅燈相排隊車輛的總量單位:輛;v為周期內(nèi)交叉

7、路口各相通過車輛的總量，單位:輛;t為周期內(nèi)各紅燈相車輛等待時間的總量，單位:秒.u為系統(tǒng)控制變量，u=(c,o,s).c為周期即紅綠燈信號顯示一周所需的時間，單位：秒; o為相位差，即相鄰兩個交叉路口同方向或同一相的綠燈起始時間之差,單位:秒;s為綠信比。為便于分析，可以對目標函數(shù)純量化如可采用其形式為 f(y)=a1l(k)+a2t(k)/a3v(k)這里a,b,c分別為系數(shù)矩陣。從上述這兩個例子，可以看到最優(yōu)控制問題的一些特點，一般來說，一個最優(yōu)控制系統(tǒng)包含有以下部分的內(nèi)容。1.動態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學模型要對一個動態(tài)系統(tǒng)實現(xiàn)最優(yōu)控制，當然必須首先了解對象的運動規(guī)律。這種運動規(guī)律的數(shù)學描述就是教學

8、模型。根據(jù)對象的不同特點，數(shù)學模型可以有不同的形式。對一個集中參數(shù)的連續(xù)時間系統(tǒng)，其數(shù)學模型的一般形式可以用一階常微分方程組表示。=fx(t),u(t),t y(t)=px(t),u(t),t對于離散系統(tǒng)可以用離散方式來表示為：x(k+1)=fx(k),u(k),k y(k+1)=px(k),u(k),k該類方程一般稱為系統(tǒng)狀態(tài)方程(或系統(tǒng)動力學方程)和系統(tǒng)輸出方程，通稱為系統(tǒng)狀態(tài)空間描述。其中向量x(t)=x1(t),x2(t), xn(t) t稱為系統(tǒng)狀態(tài)向量；向量u(t)=u1(t),u2(t),ur(t)t稱為系統(tǒng)控制向量，又稱為輸入變量；y(t)=y1(t),y2(t),ym(t)t

9、稱為系統(tǒng)的輸出向量。系統(tǒng)就是通過輸入變量改變系統(tǒng)的狀態(tài)變量，同時產(chǎn)生系統(tǒng)的輸出變量。也就是說通過系統(tǒng)的輸入變量的不斷調(diào)整（動態(tài)性），使系統(tǒng)的輸出變量不斷改變?yōu)闆Q策者希望的狀態(tài)，從而達到系統(tǒng)可控的目的。2.系統(tǒng)變量受到的約束。在實際問題中，系統(tǒng)變量x(t)和y(t)、u(t)不僅要滿足狀態(tài)轉移方程，還要受到各種各樣的約束條件的限制，根據(jù)所受約束在t0點、tf點、to,tf區(qū)間的不同，約束也不同，分別稱為起點約束、終點約束（統(tǒng)稱為端點約束）和區(qū)間約束，約束若針對狀態(tài)變量的，我們稱為狀態(tài)約束，若針對控制變量的，我們稱為控制約束。約束般可以用如下約束方程來描述：gx(t),u(t),t=0 hx(t)

10、,u(t),t0其中gt=g1,g2,gq，h=h1,h2,hr當上式在t=t0和t=tf成立時，就是端點約束，如果對整個時間區(qū)間都成立，那就是區(qū)間約束。為了以后敘述方便，我們稱滿足狀態(tài)方程，并滿足所有端點約束和狀態(tài)約束的狀態(tài)軌線x(t)為容許軌線。稱滿足所有控制約束的控制向量u(t)為容許控制，所有容許控制構成的集會稱容許控制集，用u表示。如果容許控制u(t)代入狀態(tài)方程時所得到的解x(t)為容許軌線，在稱x(t),u(t)為一個容許對。顯然，如果u*(t)為問題的最優(yōu)控制解,x*(t)為對應的最優(yōu)軌線，則u*(t)和x*(t)必定是一個容許對.3.系統(tǒng)的性能指w為了衡量控制系統(tǒng)工作的好壞或

11、者希望以最少的代價取得最佳的控制效果，要根據(jù)系統(tǒng)的實際需要提出一個度量標準，這個標準就是性能指標，又稱為目標函。所謂最優(yōu)控制，就是指在性能指標意義上的最優(yōu)。連續(xù)系統(tǒng)的性能指標一般有三種形式：j=(x,t)|tftoj=(x,u,t)dtj=(x,t)|tfto +(x,u,t)dt上述三個指標形式中第一個成為邁耶(mayer)問題，其性能指標是終端、始端時間和狀態(tài)的函數(shù)；第二個指標形式稱為拉格朗日問題，是一個積分型性能指標，強調(diào)系統(tǒng)過程的指標，應用最廣泛；第三個指標形式稱為波爾扎問題，它是一個復合型的性能指標，代表更一般情況，這三種性能指標能相互轉化。對于離散系統(tǒng)，其性能指標可以表示為：j=l

12、x(k),u(k),k若系統(tǒng)的狀態(tài)空間可以用線性方式描述，則該系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)，其方程為：1=a11x1+a12x2+a1nxn+b11u1+b12u2+b1rur2=a21x1+a22x2+a2nxn+b21u1+b22u2+b2rurn=an1x1+an2x2+annxn+bn1u1+bn2u2+bnrur y1=c11x1+c12x2+c1nxn+d11u1+d12u2+d1rury2=c21x1+c22x2+c2nxn+d21u1+d22u2+d2rur ym=cm1x1+cm2x2+cmnxn+dm1u1+dm2u2+dmrur寫成矩陣形式： =ax+bu y=cx+du這是一個多輸

13、入（r維），多輸出（m維）的線性系統(tǒng)，若系數(shù)矩陣與時間有關，即為a(t)、b(t)、c(t)、d(t)，該系統(tǒng)為線性時變系統(tǒng),與時間無關為線性定常系統(tǒng)。雖然狀態(tài)空間法描述了系統(tǒng)的動態(tài)結構，但對于一個動態(tài)系統(tǒng)，尤其是動態(tài)交通系統(tǒng)，必須具有其他一些特性才能使系統(tǒng)成為我們希望的系統(tǒng)，它是我們進行交通系統(tǒng)分析、設計與交通系統(tǒng)工程的理論基礎。這些基本特性為系統(tǒng)的能控性、能觀測性、穩(wěn)定性。交通系統(tǒng)是一個復雜動態(tài)系統(tǒng)，因此動態(tài)優(yōu)化控制的應用覆蓋了大部分方面，即大部分交通系統(tǒng)需要建立其動態(tài)模型才能真正符合實際與實現(xiàn)其預定目標，如交通控制、項目管理等，這里以交通信號控制為例來予以說明。我們知道beckmann等

14、根據(jù)wardrop最優(yōu)原理建立了交通靜態(tài)最優(yōu)分配模型,用它來預測交通網(wǎng)絡的流量起到了非常重要的作用，目前這種靜態(tài)最優(yōu)分配模型是教學、科學研究和實際應用中的主要模型。但交通系統(tǒng)是動態(tài)系統(tǒng),尤其是城市交通系統(tǒng)的優(yōu)化控制以及智能交通誘導系統(tǒng)的實施迫切需要采用動態(tài)模型,很多學者從事動態(tài)交通分配模型的研究,1978年merchant和 namhauser首次提出系統(tǒng)最優(yōu)分配模型,該模型為離散、非凸非線性規(guī)劃模型:有人研究了該模型的分段線性形式,并提出了一些求解方法;caray證明了m-n模型最優(yōu)解的有效性，并將該模型改進為非線性規(guī)劃問題,以上模型的最大缺點是局限于多個起點、一個終點的簡單網(wǎng)絡.與上述利用

15、數(shù)學規(guī)劃方法解決動態(tài)均衡模型不同，friesz等提出一個應用最優(yōu)控制原理解決動態(tài)均衡模型的新思想，他們將m一n模型改進成一個連續(xù)的最優(yōu)控制問題利用最小值原理獲得最優(yōu)解條件目前很多學者都在利用數(shù)學規(guī)劃方法和最優(yōu)控制理論研究各種動態(tài)均衡模型，這種動態(tài)均衡模型利用仿真技術進行求解優(yōu)化，該領域將成為交通研究領域的一個主要方向這里使用不同的目標函數(shù)，提出一個動態(tài)多用戶均衡分配模型，并利用最小值原理推導、分析該模型的最優(yōu)解條件，證明了該條件與動態(tài)用戶均衡條件相一致,該模型可以調(diào)控交通網(wǎng)絡中的交通流量1.模型考慮交通網(wǎng)絡有向圖g（n,a），這里n表示節(jié)點集,a表示有向孤集即路段集合,a=a:a是路段,n分為

16、起點集、中間節(jié)點和終點集三部分，這三部分可以相交.a(k)表示以節(jié)點k為起點的所有路段集合,b(k)表示以節(jié)點k為終點的所有路段集合,prs由r到s的所有路徑集合,sk(t)為t時刻節(jié)點上產(chǎn)生的交通流量(已知),ok(t)為t時刻節(jié)點k吸收的交通流量(已知).ca(q)為路段a上交通量為q時的路權,即路權函數(shù)(已知),該函數(shù)是非負、單增、具有二階導數(shù)的凸函數(shù),該函數(shù)也稱為路阻函數(shù),包含很多因素,如運行時間、安全性、交通費用等,由于運行時間、交通費用較容易測算，一般情況下主要用運行時間或交通費用來代表路權，這里用運行時間來表示路權的具體含義。系統(tǒng)狀態(tài)變量x(t)=x1(t),x2(t), xs(

17、t)t,xk(t)為t時刻路段a上的交通負荷,s為網(wǎng)絡中路段條數(shù)。系統(tǒng)決策變量(控制變量)u(t)=u1(t),u2(t), us(t)t,ua(t)為t時刻分配到路段a上的交通流。gaxa(t)為t時刻流出路段a的交通流量，即a的流出函數(shù)是非負、單增具有二階導數(shù)的凹函數(shù)，對xa(t)0,aa,t0,t.動態(tài)用戶均衡的定義是wardrop第一原理的推廣,在所考慮的時段0,t中的任一時刻t,對于任一od對(r,s),若在r到s的路徑上可分配流量，則該路徑上的路權應為r到s的最小路權,該路權為動態(tài)意義下的路權,根據(jù)動態(tài)用戶均衡的含義,目標也應該為beckmann靜態(tài)模型目標函數(shù)的推廣,目標函數(shù)為：

18、 min j =ca(q)dqdt系統(tǒng)狀態(tài)方程:在路段a上的交通量關于t的改變率為流入量與流出量之差。 =ua(t)-gaxa(t) aa,t0,t系統(tǒng)中間方程和約束：(1)在節(jié)點k處流量保持平衡, ga(0)=0, aa sk(t)+gaxa(t)=ua(t)+ok(t) k,t0,t(2)設xa(0)=xa0。aa ua(t)0, xa(t)0 aa,t0,t(3)其他約束2.最優(yōu)解條件上述模型的哈密爾頓函數(shù)為: hx(t),u(t),(t)=ca(q)dq+a(t)ua(t)-gaxa(t)其中a(t)為伴隨(協(xié)態(tài))變量根據(jù)ca(q)及gaxa(t)的假設可知哈密爾頓函數(shù)是關于xa(t)

19、的凸函數(shù)，根據(jù)最優(yōu)控制原理得出最優(yōu)解的必要條件亦為充分條件。建立拉格朗日函數(shù)： lx(t),u(t),(t),(t)=hx(t),u(t),(t)+k(t) sk(t)+gaxa(t)-ua(t)-ok(t) 其中k是拉格朗日乘子由最優(yōu)控制原理可知：(1) 伴隨(協(xié)態(tài))方程： -a(t)=caxa(t)-a(t)gaxa(t)+k(t)gaxa(t) =caxa(t)-a(t)-k(t)gaxa(t) ab(k),t0,t (2)邊界條件: a(t)=0, aa設x*(t)為最優(yōu)狀態(tài),則關于控制變量的最小化問題為 min lx*(t),u(t),(t),(t) s.t. ua(t)0上式存在最

20、優(yōu)解的必要條件由 kuhntucker條件可得： =a(t)-k(t)0， aa(k),k,t0,t ua(t)=ua(t)a(t)-k(t)0， aa(k),k,t0,t由上式可以看出對某些k及aa(k),若a(t)k(t),則有ua(t)=0;若a(t)=k(t),則有ua(t) 0，即說明t時刻流入路段a的交通量ua(t)是受到a(t)-k(t)的影響。對于模型中關于控制變量ua(t)的最優(yōu)解問題，由上式可知ua(t)只可能兩種情況:ua(t)=0和ua(t)o,我們不關心ua(t)=0的情形,對ua(t)o，可以求出ua(t)的具體表達式由前知,當ua(t)0，a(t)=k(t)，aa

21、(k),t0,t兩邊求導可得: a(t)=k(t)，a(t)=k(t)， aa(k),t0,t考慮某個具體路段a=(k,l),k是a的起點,l為a的終點,由伴隨(協(xié)態(tài))方程可將上式寫為： a(t)-l(t)gaxa(t)- caxa(t)-k(t)=0 a(t)-l(t)gaxa(t)+a(t)-l(t)gaxa(t)a(t)-caxa(t)a(t)-k(t)=0將上述整理可得： ua(t)=3.模型最優(yōu)解的解釋上述模型得出最優(yōu)解滿足用戶配流動態(tài)模型的最優(yōu)解，符合動態(tài)用戶均衡的定義首先動態(tài)路權是相對于靜態(tài)路權而言的,在靜態(tài)均衡模型中使用的是靜態(tài)路權.ca(q)也僅考慮了路權與交通量的關系,若q

22、給定,則ca(q)就確定,它是一種靜態(tài)路權.在實際交通網(wǎng)絡中,路段上的交通量在不斷變化,因此路權也在不斷變化,這種變化不僅與交通量大小變化有關，而且受到路段上流出函數(shù)以及其他因素的影響，這種隨時間變化且受各種因素影響的路權稱為動態(tài)意義下的路權，簡稱動態(tài)路機由于各種模型所考慮的對路權的影響因素不一樣，所以動態(tài)路權的定義形式也不一樣，這里給出動態(tài)路權形式為：定義(動態(tài)路權) 在交通網(wǎng)絡g(n,a)中,對任意aa,t時刻a路段h的動態(tài)路權為： a(t)=ea(t)caxa(t)+da(t)因此交通網(wǎng)絡中任一路徑q的動態(tài)路權為： q(t)=a(t)在該定義中,da(t)為a路段上各種動態(tài)因素對路權的影

23、響,ea(t)為a路段上流出函數(shù)對路權的影響因子,若da(t)=0,在a上不存在動態(tài)因素對路權的影響,流出函數(shù)對路權的影響因子為1，則有q(t)=caxa(t),說明定義中的動態(tài)路權是靜態(tài)路權的一種推廣形式.考慮某一特定的od對(r,s),設路徑qprs q=r=k0,a1,k1,km-1,am,km=sk0,k1,km-1,km表示路徑q的m+1個節(jié)點,a1,am表示q的m條路段,對任意qprs考慮下面函數(shù): q(t)=caxa(t)+有以下定理定理: 若對某些t0,t,對apprs,uaxa(t)0,ua(t)是用戶均衡動態(tài)模型的最優(yōu)解,則p(t)=infq(t)|qprs 證明:由2中的

24、伴隨方程可知 q(t)=caxa(t)+ ai(t)-ki(t)由前知ai(t)ki-1(t) ， i=1,2,m可得對任意qprs,有 q(t)ai-1(t)-ki(t)=a0-km=r-s對某些t0,t,模型的最優(yōu)解為ua0，對任意apprs可知ai(t)=ki-1(t) i=1,2,m可得p(t)= p(t)=infq(t)|qprs ,即定理成立由定理的證明及定義可知,q(t)就是路徑上的動態(tài)路權,a(t)為動態(tài)因素對路權的影響, caxa(t)是a上t時刻的靜態(tài)路權加動態(tài)因素對路權的貢獻,a(t)=1gaxa(t)則為a路段上流出函數(shù)對路權的影響因子。以上定理說明,當od對(r,s)的p路徑上分配流量(ua0)時,這p路徑上的動態(tài)路權一定是r到s的最小動態(tài)路權，即模型的最優(yōu)解與動態(tài)用戶均衡原則相一致第六章 交通系統(tǒng)仿真系統(tǒng)尤其是交通系統(tǒng)一般為復雜大系統(tǒng),建立通過系統(tǒng)分析、系統(tǒng)建模等方法建立的數(shù)學模型確定的系統(tǒng)方案只有到實際使用中才能得到檢驗,可能的任何誤差和失誤對實際系統(tǒng)都造成無法挽回的損失,必須在實際投入使用