兩角差的余弦公式教案(示范課)

1、3.1.1 兩角差的余弦公式教案玉林高中數(shù)學(xué)科 授課人：饒?zhí)@一 . 教材分析本節(jié)課選自人教A版高中數(shù)學(xué)必修4第三章三角恒等變換第一節(jié)課“3.1.1 兩角差的余弦公式”。變換是數(shù)學(xué)的重要工具，而三角恒等變換處于三角函數(shù)知識 與數(shù)學(xué)變換的結(jié)合點和交匯點，是前面所學(xué)三角函數(shù)知識的繼續(xù)與發(fā)展，是培養(yǎng) 學(xué)生推理能力和運算能力的重要素材。兩角差的余弦公式是“三角恒等變換”這 一章的基礎(chǔ)和出發(fā)點，公式的發(fā)現(xiàn)和證明是本節(jié)課的重點，也是難點。教材選擇兩角差的余弦公式作為基礎(chǔ)，其基本出發(fā)點是使公式的證明過程盡 量簡潔明了，易于學(xué)生理解和掌握，同時也有利于提高學(xué)生運用向量解決相關(guān)問 題的意識和能力。教材里面沒有直接

2、給出兩角差的余弦公式，而是分探求結(jié)果、 證明結(jié)果兩步進(jìn)行，從簡單情況入手得出結(jié)果，有利于學(xué)生學(xué)會探究和思維的發(fā) 展.由于本節(jié)課可以從不同的角度提出不同的問題，并且可以用不同的途徑與方 法解決問題，因此本節(jié)課為學(xué)生的思維發(fā)展提供了很好的空間和平臺，教師要注 意引導(dǎo)學(xué)生用觀察、聯(lián)想、對比、化歸等方法分析問題，尋找解決問題的思路 .二 . 教學(xué)目標(biāo)1. 知識與技能：通過讓學(xué)生探索、猜想、發(fā)現(xiàn)并推導(dǎo)“兩角差的余弦公式” ，通過 公式的簡單應(yīng)用，使學(xué)生初步理解公式的結(jié)構(gòu)及其功能，并為建立其他和差公 式打好基礎(chǔ) .2. 過程與方法：在探究公式的過程中，逐步培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會分析問題、解決問題、 合作交流的能力；

3、通過兩角差的余弦公式的簡單運用 ,掌握不同方法求值 .3. 情感態(tài)度：通過課題背景的設(shè)計，增強(qiáng)學(xué)生的探究、應(yīng)用意識，認(rèn)識到數(shù)學(xué)來 源于生活，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性 .三教學(xué)重、難點1. 重點：兩角差余弦公式的探究、證明過程和公式的初步應(yīng)用 .2. 難點：探究過程的組織和適當(dāng)引導(dǎo) .四學(xué)情分析學(xué)生已經(jīng)掌握了利用單位圓上點的坐標(biāo)定義任意角的三角函數(shù)，也學(xué)習(xí)了同 角三角函數(shù)式的變換；理解了平面向量及其運算的意義，并能用數(shù)量積表示兩個 向量的夾角，經(jīng)歷了用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、力學(xué)問題與其他 一些實際問題的過程，具有一定的推理能力、運算能力和解決實際問題的能力， 但利用向量的數(shù)量積公式證明

4、兩角差的余弦公式時，學(xué)生容易犯思維不嚴(yán)謹(jǐn)、不 嚴(yán)密的錯誤，教學(xué)時需要引導(dǎo)學(xué)生搞清楚兩角差與相應(yīng)向量夾角的聯(lián)系與區(qū)別 .五 . 教法、學(xué)法1. 教法：問題驅(qū)動、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)、合作探究相結(jié)合的教學(xué)方法展開教學(xué) .2. 學(xué)法：課前預(yù)習(xí)、小組探究、反思小結(jié)等 .六.教學(xué)過程(一) 創(chuàng)設(shè)情境，弓I入課題金城超市電梯長度約為8米，坡度(與地面夾角)約為30度，請問當(dāng)我們上完電 梯后，在水平方向上前進(jìn)了多少米？設(shè)前進(jìn)量為x米，則 x 8cos30 4 3米提問：當(dāng)電梯坡度為45度時，其他不變，x等于多少？答：x 8cos45 4 2 米提問：當(dāng)電梯坡度為15度時，此時x又等于多少？答：x 8cos15 米問題1

5、： cos15等于多少？能否用特殊角三角函數(shù)值來表示？【設(shè)計意圖】從學(xué)生的實際生活出發(fā)，自然地引出問題，培養(yǎng)學(xué)生把實際問題抽象為 數(shù)學(xué)模型來解決的能力，讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)來源于生活，并應(yīng)用于生活，激發(fā)學(xué)生的學(xué) 習(xí)興趣;(二) 探究歸納，提出猜想問題2：對任意的，cos( ) cos cos是否成立？1.思考：15能否用特殊角表示？預(yù)案 1: cos 15 cos(45 30 )問：cos15 cos45 cos30是否成立？為什么？預(yù)案 2： cos 15 cos(60 45 )問：cos15 cos60 cos45是否成立？為什么？【設(shè)計意圖】讓學(xué)生經(jīng)歷提出假設(shè)證明假設(shè)的過程，知道要證明一個假設(shè)

6、不成立,只需舉出反例即可，即明白特殊與一般的辯證關(guān)系。2.探究：cos15能否用特殊角三角函數(shù)來表示？如何表示？ 提示：構(gòu)造特殊三角形或利用單位圓、向量知識 預(yù)案1:構(gòu)造直角三角形AAB 1 BC 2 5/3AC V61cos15預(yù)案2:OA?OBcos45 ,sin45 )cos45 cos30又 OA?OBcos(45pA ? OB coscos cos(45sin 45 sin 3030 )30 ) cos45 cos30 sin 45 sin30V Y(cos30 ,sin30 )利用單位圓、向量知識(cos 45 , sin 45 )?(cos30 ,sin30 )問題4：如何探討，

7、的任意性?得出結(jié)論：cos(45 30 ) cos45 cos30 sin 45 sin30提出猜想：對任意的，都有cos( ) cos cos sin sin .【設(shè)計意圖】通過求cos15的值，讓小組展示成果，不僅培養(yǎng)學(xué)生合作探究能力、表 達(dá)能力，還培養(yǎng)了觀察能力、歸納能力，并由此提出猜想，使學(xué)生懂得如何探究問題， 從特殊情況遷移到一般情況下的討論，為下個環(huán)節(jié)能突出重點起到鋪墊作用。(三) 小組合作，證明猜想問題3:以上探究cos15值時，都是用到特殊角來求值，對一般情況下的角是否 成立？探究：證明對任意的，都有cos( ) cos cos sin sin預(yù)案1：利用單位圓、向量知識。OA

8、 (cos ,sin ) OB (cos ,sin ) OA?OB (cos ,sin )?(cos ,sin ) cos cos sin sin又 OA?OB OA ? OB cos( AOB)cos( ) cos cos sin sin若貝U cos( ) cos cos sin sin而2kcos( ) cos(2k ) coscos cos sin sin預(yù)案2:利用三角函數(shù)線xOP此時，過P點作垂線PA丄OPi于點A,PM 丄 Ox 于點 M. cos( ) OM 過A點作垂線AB丄OM于點B, 過P點作垂線PC丄AB于點C.則PACOM OB BM OB CPOAcos APsin

9、cos cos sin sin定義:,都有cos()cos cos sin sin，稱為差角余弦公式。cos( ) cos cos sin sin記為：C() cc ss，特征：任意角、同名積、符號反【設(shè)計意圖】本環(huán)節(jié)由小組展示探究過程，讓學(xué)生根據(jù)已有的經(jīng)驗(探究 cos15 證明一般情況下的結(jié)論，符合學(xué)生的思維發(fā)展規(guī)律。通過各種方法的證明和教師適當(dāng) 的點評、指導(dǎo)，起到突出本節(jié)課重點的作用。在探究角的任意性過程中，也培養(yǎng)了學(xué) 生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力。(四) .小試牛刀，學(xué)以致用例1：利用差角余弦公式求cos15的值？法 1: cos15 cos(45 30 ) cos45 cos30sin45

10、sin30.23216, 222224法 2： cos15 cos(60 45 ) cos60 cos45sin60 sin451 _2 3 _22 一 62 2224變式1：利用差角余弦公式求cos75的值？法 1: cos75 cos(12045 ) cos120 cos45 sin 120 sin451 23-2 一6 一22 2224法 2： cos75 cos45 ( 30 ) cos45 cos( 30 ) sin45 sin( 30 )cos45 cos30 sin45 sin30_3_21 一6 一 222224【設(shè)計意圖】通過公式的簡單應(yīng)用，使學(xué)生初步理解公式的結(jié)構(gòu)及其功能，并為建立 其他和差公式打好基礎(chǔ)；通過變式的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生用多種方法解決問題的能力。（五）課堂小結(jié)，回顧反思1這堂課你學(xué)到了什么內(nèi)容？如何學(xué)習(xí)的？ 學(xué)習(xí)了差角余弦公式； 假設(shè)猜想一反證否定一用向量、三角函數(shù)線探究公式 一證明結(jié)論一公式應(yīng)用 2學(xué)習(xí)與應(yīng)用過程中，你有什么體會？ 證明一個假設(shè)不成立，只需舉出反例即可。 探究證明公式過程中，可以通過特殊情況去討論證明一