冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)方法概括與總結(jié)-冪級(jí)數(shù)總結(jié)

1、常見(jiàn)冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)方法綜述引言級(jí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)體系的重要組成部分，它是在生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)推動(dòng)下逐步形成和發(fā)展起來(lái)的。中國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽早在公元263年創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，其要旨是用圓內(nèi)接正多邊形去逐步逼近圓，從而求得圓的面積。這種“割圓術(shù)”就已經(jīng)建立了級(jí)數(shù)的思想方法，即無(wú)限多個(gè)數(shù)的累加問(wèn)題。而將一個(gè)函數(shù)展開(kāi)成無(wú)窮級(jí)數(shù)的概念最早來(lái)自于14世紀(jì)印度的馬徳哈瓦，他首先發(fā)展了冪級(jí)數(shù)的概念，對(duì)泰勒級(jí)數(shù)、麥克勞林級(jí)數(shù)、無(wú)窮級(jí)數(shù)的有理數(shù)逼近等做了研究。同時(shí)，他也開(kāi)始討論判斷無(wú)窮級(jí)數(shù)的斂散性方法。到了19世紀(jì)，高斯、歐拉、柯西等各自給出了各種判別級(jí)數(shù)審斂法則，使級(jí)數(shù)理論全面發(fā)展起來(lái)。中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)在冪級(jí)數(shù)理

2、論研究上可謂一枝獨(dú)秀，清代數(shù)學(xué)家董祐誠(chéng)、坎各達(dá)等運(yùn)用具有傳統(tǒng)數(shù)學(xué)特色的方法對(duì)三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等初等函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)問(wèn)題進(jìn)行了深入的研究。而今，級(jí)數(shù)的理論已經(jīng)發(fā)展的相當(dāng)豐富和完整，在工程實(shí)踐中有著廣泛的應(yīng)用，級(jí)數(shù)可以用來(lái)表示函數(shù)、研究函數(shù)的性質(zhì)、也是進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的一種工具。它在自然科學(xué)、工程技術(shù)和數(shù)學(xué)本身方面都有廣泛的作用。冪級(jí)數(shù)是一類(lèi)最簡(jiǎn)單的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，在冪級(jí)數(shù)理論中，對(duì)給定冪級(jí)數(shù)分析其收斂性，求收斂?jī)缂?jí)數(shù)的和函數(shù)是重要內(nèi)容之一。但很多人往往對(duì)這一內(nèi)容感到困難。產(chǎn)生這一問(wèn)題的一個(gè)重要原因是教材對(duì)這一問(wèn)題討論較少，僅有的一兩個(gè)例題使得我們對(duì)冪級(jí)數(shù)求和中的諸多類(lèi)型問(wèn)題感到無(wú)從下手。事實(shí)上，求冪級(jí)數(shù)

3、和函數(shù)的方法與技巧是多種多樣的，一般要綜合運(yùn)用求導(dǎo)、拼湊、分解等來(lái)求解，因此它是一個(gè)難度較大、技巧較高的有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題。一、冪級(jí)數(shù)的基本概念 （一）、冪級(jí)數(shù)的定義 11、設(shè)是定義在數(shù)集上的一個(gè)函數(shù)列，則稱(chēng) 為定義在上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)記為 。2、具有下列形式的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱(chēng)為在點(diǎn)處的冪級(jí)數(shù)。特別地，在中，令，即上述形式化為稱(chēng)為在0點(diǎn)的冪級(jí)數(shù)。（二）、冪級(jí)數(shù)的和函數(shù) 2若對(duì)冪級(jí)數(shù)中的每一個(gè)都有，則稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。 冪級(jí)數(shù)的部分和記為且部分和有如下性質(zhì) 二、冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)的幾種方法以下所要介紹的幾種方法旨在分析不同類(lèi)型的冪級(jí)數(shù)該如何進(jìn)行求和，并且?guī)椭蠹艺莆战忸}技巧。（一）、定義法 3對(duì)于冪級(jí)數(shù)，

4、若前項(xiàng)和函數(shù)列有極限，即 存在，則此冪級(jí)數(shù)收斂，且 。 例1：求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，其中，。解：當(dāng)時(shí)（二）、分項(xiàng)組合法我們通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)有些冪級(jí)數(shù)具有某些明顯的特征，比如可以將已知級(jí)數(shù)的通項(xiàng)拆項(xiàng)組合，再計(jì)算所拆得各項(xiàng)的和函數(shù)，從而求得該級(jí)數(shù)的和函數(shù)。例2：求的和函數(shù)。解:易知該級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)楫?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí) 所以 （三）、逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)積分法 若冪級(jí)數(shù)的通項(xiàng)系數(shù)是自然數(shù)或相鄰的自然數(shù)相乘的形式，可考慮用“先積分，再求導(dǎo)”的做法；若冪級(jí)數(shù)的通項(xiàng)系數(shù)是自然數(shù)的倒數(shù)或相鄰的自然數(shù)乘積的倒數(shù)，可考慮用“先求導(dǎo)，再積分”的做法。定理 4：設(shè)冪級(jí)數(shù)在內(nèi)的和函數(shù)為，則1、 在內(nèi)每一點(diǎn)都是可導(dǎo)的，且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式：求

5、導(dǎo)后的冪級(jí)數(shù)與原冪級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑。2、 在內(nèi)可以積分，且有逐項(xiàng)積分公式：其中是內(nèi)任意一點(diǎn)，積分后的冪級(jí)數(shù)與原冪級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑。在函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的前提下，對(duì)其進(jìn)行逐項(xiàng)微分或積分。通過(guò)逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分將給定的冪級(jí)數(shù)化為已知和函數(shù)的級(jí)數(shù)形式，從而得到新級(jí)數(shù)的和函數(shù)；將得到的和函數(shù)做與之前相反的分析運(yùn)算，便得到所求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。例3：求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。解：易知該級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?，在任意區(qū)間上可以逐項(xiàng)積分令 所以 從而可得所求和函數(shù) 例4：求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。解：易知收斂區(qū)間為當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)設(shè) 得出 綜上所述 （四）、代數(shù)方程法此種方法目的在于建立以所求冪級(jí)數(shù)的和為變量的代數(shù)方程，并解之，從

6、而得到原冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。例5：設(shè)有等差數(shù)列 ： 等比數(shù)列 ： 則各項(xiàng)為等差數(shù)列、等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積所構(gòu)成的級(jí)數(shù)為求其和函數(shù),其中為常數(shù)。解：易知此級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)樗?例6：求冪級(jí)數(shù) 的和函數(shù)，其中 為 的 次多項(xiàng)式。解：記 則 其中 為的次多項(xiàng)式 再使用一次以上的運(yùn)算方法可得 - 得 其中 為的次多項(xiàng)式 反復(fù)使用以上的方法可以得到這樣就可以求得 。（五）、微分方程法在冪級(jí)數(shù)中，有一類(lèi)含有階乘運(yùn)算的冪級(jí)數(shù)，這種冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的求法，在現(xiàn)行高等數(shù)學(xué)教材中涉及的不多，因此成為很多同學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)盲點(diǎn)。此方法將通過(guò)實(shí)例介紹這類(lèi)冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求法，把冪級(jí)數(shù)求和問(wèn)題劃歸為求解微分方程的問(wèn)題，也就是把冪級(jí)數(shù)

7、的和函數(shù)微分后，再與原來(lái)冪級(jí)數(shù)作某種運(yùn)算，得到一個(gè)含有冪級(jí)數(shù)和函數(shù)以及和函數(shù)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式，即微分方程。最后求解此微分方程即得和函數(shù)。例7：求冪級(jí)數(shù) 在下列情況下的和函數(shù)： ，即公差為的等差數(shù)列，其中為常數(shù)； ，即公比為的等比數(shù)列，其中為常數(shù)。解：易知該級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閯t 這是一個(gè)滿(mǎn)足初始條件的一階常系數(shù)的線(xiàn)性微分方程，解此微分方程得 易知該級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?這是一個(gè)滿(mǎn)足初始條件的一階常系數(shù)的線(xiàn)性微分方程，解此微分方程得 （六）、柯西方法5如果級(jí)數(shù) 與 都絕對(duì)收斂，作這兩個(gè)級(jí)數(shù)的乘積，其中，則也絕對(duì)收斂，且必有。例8:求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)解：令則 為絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)再令為 的泰勒級(jí)數(shù)：此級(jí)數(shù)在內(nèi)是絕對(duì)收斂的

8、。從而 所以（七）、差分算子求和法此方法適用于通項(xiàng)系數(shù)是以為自變量的有限次多項(xiàng)式的冪級(jí)數(shù)求和問(wèn)題。若為任意實(shí)函數(shù)，為差分算子，則定義函數(shù)的一階差分為 階差分為 定理6 ：設(shè)為次多項(xiàng)式，則當(dāng)時(shí)收斂，而且其和函數(shù) 定理證明：當(dāng)時(shí)，冪級(jí)數(shù) 收斂，現(xiàn)在定義單位算子及位移算子分別為 則 即由于 所以 例9：求冪級(jí)數(shù) 的和函數(shù)解：令 則 故 所以由定理得 則 三、冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)各種方法特點(diǎn)分析與評(píng)價(jià)以上介紹了七種求冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的方法，這也只是若干種求冪級(jí)數(shù)和函數(shù)方法中一部分，其他更多的方法還有待探索發(fā)現(xiàn)，在此不再進(jìn)一步探究。下面就以上七種方法再做一點(diǎn)討論：（一）定義法的特點(diǎn)：此方法是根據(jù)求冪級(jí)數(shù)部分和函數(shù)

9、列的極限得出的，所以它自然適用于一切形式的冪級(jí)數(shù)求和。但是問(wèn)題在于，對(duì)于一些通項(xiàng)比較復(fù)雜的冪級(jí)數(shù)，冪級(jí)數(shù)部分和數(shù)列的極限很難求出，則此方法就會(huì)失效。例如冪級(jí)數(shù) 的部分和數(shù)列是否收斂就難以判斷，假如要用定義法進(jìn)行求和，那么就會(huì)相當(dāng)困難而得不出結(jié)果。（二）分項(xiàng)組合法特點(diǎn)：要運(yùn)用這一方法我們首先要對(duì)所求冪級(jí)數(shù)的各項(xiàng)進(jìn)行細(xì)心的觀察。當(dāng)逐項(xiàng)觀察時(shí)發(fā)現(xiàn)不了什么規(guī)律，這時(shí)可以隔一項(xiàng)甚至兩項(xiàng)、三項(xiàng)再次觀察，也可以把通項(xiàng)稍作變形再觀察。如果發(fā)現(xiàn)了一題中存在不止一種規(guī)律，那么就把符合同一種規(guī)律的各項(xiàng)組合在一起進(jìn)行分別計(jì)算，最終再聯(lián)列得出所求級(jí)數(shù)的和函數(shù)。這種方法在對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行拆項(xiàng)上技巧性很強(qiáng)，一般可以利用已知和函數(shù)

10、的冪級(jí)數(shù)來(lái)進(jìn)行。（三）逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)積分法，這一方法使用起來(lái)比較簡(jiǎn)單。遇到一個(gè)級(jí)數(shù)，第一步將其通項(xiàng)單獨(dú)拿出來(lái)分析。如果開(kāi)始比較復(fù)雜無(wú)從下手，可以試著進(jìn)行逐次求導(dǎo)、逐次積分、先求導(dǎo)再積分、先積分再求導(dǎo)，經(jīng)過(guò)幾次運(yùn)算以后可以變成比較簡(jiǎn)單、容易求和的級(jí)數(shù)的話(huà)，那么先求出新級(jí)數(shù)的和，接著再做與之前所做的相反的運(yùn)算就可以得出原來(lái)的級(jí)數(shù)的和函數(shù)。這種方法運(yùn)用時(shí)要熟記常見(jiàn)函數(shù)的麥克勞林展開(kāi)式，此時(shí)的展開(kāi)式就是常見(jiàn)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)公式，這種求冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的方法還可以用來(lái)求一些簡(jiǎn)單的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。（四）代數(shù)方程法，看到所求冪級(jí)數(shù)時(shí)，要仔細(xì)觀察相鄰兩項(xiàng)之間是否存在有明顯的關(guān)系，比如：前后兩項(xiàng)之間只相差一個(gè)倍數(shù)，前一

11、項(xiàng)乘以自變量、自變量的倍數(shù)或自變量的冪得到后一項(xiàng)。一旦發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律時(shí)我們就可以果斷的運(yùn)用代數(shù)方程法求此冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，這樣可以節(jié)約大量計(jì)算時(shí)間、帶來(lái)很大的方便、提高效率。同樣對(duì)于微分方程法，所求冪級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)中通常含有階乘因子，使用之前先對(duì)原來(lái)的和函數(shù)做一定的變形，求其一階導(dǎo)數(shù)、必要時(shí)還要求其二階導(dǎo)數(shù)、三階導(dǎo)數(shù)，將所得結(jié)果與原來(lái)和函數(shù)聯(lián)列。如果容易得到一個(gè)微分方程，那么就可以轉(zhuǎn)化為求解此微分方程的初值問(wèn)題解：容易求出初值解，則此解為要求的冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)；若不易求初值解，此法就不再適用。（五）柯西方法、差分算子求和法，這兩種方法的適用條件比較明顯。只要所求級(jí)數(shù)的通項(xiàng)可以表示為另外兩個(gè)級(jí)數(shù)前 n

12、項(xiàng)相應(yīng)乘積之和，且這兩個(gè)級(jí)數(shù)的和函數(shù)容易求得，那么就可以使用柯西方法將已求得的兩個(gè)和函數(shù)相乘而得到所求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。如果遇到通項(xiàng)系數(shù)是以 n 為自變量的有限次多項(xiàng)式的冪級(jí)數(shù)，那么就可以嘗試使用差分算子求和法對(duì)其進(jìn)行求解。上面是對(duì)七種求和函數(shù)的方法分別介紹的，但不是說(shuō)對(duì)于任何一題只要使用其中的一種方法就可以得出結(jié)果，有時(shí)候會(huì)碰到稍微復(fù)雜的題目，這時(shí)可能使用以上任何一種方法都不能得出結(jié)果，而是要綜合使用其中的兩種、三種甚至四種方法才可以順利解答。例10：求冪級(jí)數(shù)和函數(shù) 其中 解：令 其中 所以 以上三式相加得 這是一個(gè)滿(mǎn)足初始條件的二階常系數(shù)的線(xiàn)性微分方程，解此微分方程得從而 例11：求 的和函

13、數(shù) 。解：易知該冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?令 則 令 所以 這兩題分別綜合用到了以上七種方法中的三個(gè)，這樣才得以成功解答。從中我們可以得到啟示，做題時(shí)自己的想法不能太單一、閉塞，所謂條條大路通羅馬，要敢于嘗試，相信肯定會(huì)有一種相對(duì)比較適合的方法的。參考文獻(xiàn)：1 李錚、周放.高等數(shù)學(xué) M .科學(xué)出版社，2001:3912 騰桂蘭、楊萬(wàn)祿.高等數(shù)學(xué) M .天津大學(xué)出版社，2000:245-2463 王金金、李廣民、于力.高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)（第二版） M .西安電子科技大學(xué)出版社，2002.4 陸少華.微積分（第二版） M .上海交通大學(xué)出版社，2002.5 盧丁著，趙慈庚等譯.數(shù)學(xué)分析原理 M .機(jī)械工業(yè)出版社，2004:646 黎力軍. 冪級(jí)數(shù)的算子求和法 J . 邵陽(yáng)高專(zhuān)學(xué)報(bào), 1994, 7（ 4 ） :311