量綱試題參考答案

1、1、你認(rèn)為，量綱分析中最重要的概念和原則是什么？為什么？各舉 例說明。答：量綱分析中最重要的概念是量綱。應(yīng)當(dāng)區(qū)別量綱和單位，量綱不是單位。量綱表示物理量的基本屬性。不同屬性的物理量具有不同的 量綱。單位是用來對(duì)物理量度量的標(biāo)準(zhǔn)。最重要的原理是 定理：?jiǎn)栴}中若有N個(gè)變量(包括n個(gè)自變量和1 個(gè)應(yīng)變量)，而基本量的數(shù)目為k,那么一定形成N-k個(gè)無量綱變量(包括N-k-1個(gè)無量綱自變量和1個(gè)無量綱應(yīng)變量)，他們之間形成 確定的函數(shù)關(guān)系。即：f(1,2,N k)0以分析單擺問題為例：顯然，單擺的周期p取決于四個(gè)控制參數(shù)，即懸物的質(zhì)量m，細(xì)繩的長(zhǎng)度I,重力加速度g以及初始方位角，于是有一下函數(shù)關(guān)系：p

2、f (m,l,g,)量綱：m(M), l(L),g(LT2),為無量綱數(shù)問題中自變量有4個(gè)參數(shù)，有三個(gè)具有獨(dú)立的量綱，所以問題中的無 量綱數(shù)只有一個(gè)。選取m, I ,g作為本問題的基本單位系統(tǒng)就有：丄p/(l/gf f(1,1,1,)可以寫為：p/(l/g)2 f()這樣我們就可以得出一下幾個(gè)結(jié)果：1A. p正比于l21B. p反比于g2C. p與m無關(guān)D. p只取決于，f()的具體形式要用實(shí)驗(yàn)或理論分析來求取。如果初始的方位角是個(gè)小量，那問題就更簡(jiǎn)單了，從物理上可以判斷，f()實(shí)際上是 的偶函數(shù)，將f()在=0處進(jìn)行泰勒展開：24f( ) f(0) f(0).= f(0).+f(0)24!于

3、是近似有：1Tp (i/g)Sf(0)那么只要一次實(shí)驗(yàn)就可以確定f (0)數(shù)值了，這個(gè)常數(shù)值其實(shí)就是從理 論意義上可以推導(dǎo)出的2 。2、在流體力學(xué)和固體力學(xué)問題中，各舉兩個(gè)無量綱數(shù)，對(duì)每個(gè)無量 綱數(shù)，說明其物理意義，并舉例說明可以用它來表示現(xiàn)象發(fā)生質(zhì)的變 化的判據(jù)。答：無量綱數(shù)：雷諾數(shù)Re舉例：假設(shè)有一段長(zhǎng)度為I，內(nèi)徑為d的圓管，其中輸送不可壓縮的 流體，其密度和粘性系數(shù)各為 和d，通過橫斷面的平均流速為 U， 求進(jìn)出口的壓力差 p為多大？顯然壓力差肯定與管長(zhǎng)成正比，所以單位長(zhǎng)度管道上的壓力p/l應(yīng)該是圓管直徑、平均流速以及流體的密度和粘性系數(shù)之間的關(guān)系，即：p/l f(d,U,)在上述的四個(gè)

4、自變量中，具有三個(gè)獨(dú)立的量綱，可取 d,U ,作為問題 中的基本的單位，且作為本問題的單位系統(tǒng)，根據(jù)定理，應(yīng)該形成兩個(gè)無量綱量，它們之間存在一下的函數(shù)關(guān)系：p/( U2l/d) f( / dU )或者可以改寫成：(p/( U2).(d /l) f ( dU / )其中，dU /便是流體力學(xué)中有名的雷諾數(shù) Re,它表征流體的慣性和 粘性的比值。利用雷諾數(shù)可以判斷管內(nèi)的流動(dòng)。在雷諾數(shù)足夠小的情況，管內(nèi)的流 動(dòng)很有規(guī)則，流體質(zhì)點(diǎn)都沿著管道方向做平行運(yùn)動(dòng)，稱之為層流。當(dāng) 雷諾數(shù)足夠大的情況(Re2000)，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)變的很不規(guī)則，變成了 湍流。無量綱數(shù)：表征重力與彈性極限的比值gh/Ya) 在彈性體的

5、高度h超過一定數(shù)值時(shí)，即表征重力與彈性極限的 比值gh/Y接近或超過1時(shí)，重力作用不容忽略。b) 即使表征重力與彈性極限的比值gh/Y遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1,但是如果要研究的問題出現(xiàn)彈性失效，如屈曲失穩(wěn)，也應(yīng)該考慮重力的 作用。c) 如非上述兩種情況，表征重力與彈性極限的比值 gh/Y遠(yuǎn)遠(yuǎn)小 于1,則可以忽略重力效應(yīng)的作用。3、怎樣用模型試驗(yàn)考察一個(gè)方形空心截面梁在自重作用下的最大撓 度。答:設(shè)方形內(nèi)邊長(zhǎng)為L(zhǎng)i，外邊長(zhǎng)為L(zhǎng)2，則方形空心截面梁的慣性矩為控制參數(shù):梁的長(zhǎng)度I,梁的抗彎剛度EI ,單位長(zhǎng)度的梁的重量q,則有:w f(x;I,EI,q)L L L FL2 F/L選取I和El作為基本量，則:w/l f (x/I,q|3/EI )做模型實(shí)驗(yàn)中，只要保持q|3/EI =C0 nst即: qi3/EQ(L： L：)12就會(huì)得到一個(gè)無量綱的撓度分布：w/丨 f (x/1)4、有一堵厚度為L(zhǎng),初溫為To的墻，一側(cè)突然加熱到Ti，問另一面 墻何時(shí)感覺到溫度變化。答：假設(shè)墻的密度為，比熱為c,導(dǎo)熱系數(shù)為，墻的形狀由特征長(zhǎng)度L表征；墻的初溫為T。，換熱系數(shù)為，溫差用表示。e0，t。， 0為相應(yīng)的特征值。溫差可以表示為：f(X,t；L； c/ , o/ ； eo,to)可取L, eo和 to作為基本量，上式可化為下面的無量綱關(guān)系式：2/ eo f(x /L,t/to； to/(